高中数学北师大版必修第一册3.2 第2课时　基本不等式与最大(小)值（含解析）

第2课时　基本不等式与最大(小)值
课后训练巩固提升
一、基础训练
1.若x>0,y>0,且=1,则xy有(　　).
A.最大值64 B.最小值
C.最小值 D.最小值64
2.(多选题)下列说法正确的有(　　).
A.y=x+(x<0)的最大值是-2
B.y=的最小值是2
C.y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4
D.y=2-3x-(x>0)的最小值是2-4
3.函数y=的最大值为(　　).
A. B. C. D.1
4.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.25 D.5
5.若函数y=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a=(　　).
A.1+ B.1+ C.3 D.4
6.某校要建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价分别为240元/m2和160元/m2,那么水池的最低总造价为　　　元.
7.若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值.
二、能力提升
1.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是(　　).
A.[6,+∞) B.[9,+∞) C.(0,9] D.(0,6]
2.已知点A(m,n)在一次函数y=x的图象上,其中mn>0,则的最小值为(　　).
A.4 B.8 C.9 D.12
3.(多选题)设a+b=2(a>0,b>0),则取最小值时,下列结论正确的有(　　).
A.a= B.ab=1
C. D.
4.设a>0,b>0,a+b=5,则的最大值为　　　　　.
5.已知两个正数x,y满足x+y=4,则使不等式≥m恒成立的实数m的取值范围是　　　　　.
6.已知正数x,y满足=1,则的最小值为　　　　　.
7.已知a>0,b>0,且恒成立,求m的最大值.
8.某厂家拟在今年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单位:万元)(m≥0)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知今年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将今年厂家销售该产品获得的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;
(2)该厂家今年的促销费用为多少万元时,获得的利润最大
基础训练
1.解析:由题意得xy=xy=2y+8x≥2=8,∴≥8,即xy有最小值64,等号成立的条件是x=4,y=16.
答案:D
2.解析:当x<0时,y=x+=-(-x+)≤-2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以A正确;
y=>2,取不到2(等号取不到),所以B错误;
当x>0时,y=2-3x-=2-(3x+)≤2-4,当且仅当3x=时,等号成立,所以C正确,D错误.
答案:AC
3.解析:令t=(t≥0),则x=t2,∴y=.
当t=0时,y=0;当t>0时,y=.
∵t+≥2,∴0<,当且仅当t=1时取等号,∴y的最大值为,此时x=t2=1.
答案:B
4.解析:设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,且a2+b2=25,
则直角三角形的面积S=ab.
因为25=a2+b2≥2ab,所以ab≤,
则直角三角形的面积S=ab≤,当且仅当a=b=时取等号,即这个直角三角形面积的最大值等于.
答案:A
5.解析:y=x+=x-2++2.
∵x>2,∴x-2>0,
∴y=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时等号成立.
又由题知,函数在x=a处取得最小值,∴a=3.
答案:C
6.解析:设池底的长为x m,宽为y m,水池总造价为z元,根据题意,有2xy=8,则xy=4,于是z=240×4+160(2×2x+2×2y)=960+640(x+y)≥960+1 280=960+1 280×2=3 520,当且仅当x=y=2时,等号成立.
答案:3 520
7.解:因为x+3y=5xy,所以=5,
所以3x+4y=(3x+4y)=×2×=5,
当且仅当,即x=2y时取等号.
由
所以当x=1,y=时,3x+4y取得最小值5.
能力提升
1.解析:∵a,b是正数,∴ab=a+b+3≥2+3(当a=b时取“=”),即ab-2-3≥0,∴≥3,或≤-1(舍去),∴ab≥9.
答案:B
2.解析:因为点A(m,n)在函数y=x的图象上,所以m+2n=1.又mn>0,所以=(m+2n)() =2++2≥4+2=8,当且仅当m=2n=时取等号.
答案:B
3.解析:因为a+b=2,a>0,b>0,所以+2+1=,当且仅当,即b2=4a2时等号成立,此时a=,b=,所以当a=,b=时,取最小值.
答案:AC
4.解析:因为a>0,b>0,a+b=5,
所以(a+1)+(b+3)=9.
由不等式可知,,所以的最大值为3,当且仅当a=,b=时取等号.
答案:3
5.解析:∵x+y=4,∴=1,
∴+1=+2+2×,当且仅当时,取“=”,因此要使≥m恒成立,只需m≤即可,故m的取值范围是.
答案:
6.解析:∵x>0,y>0,=1,∴=9x+4y=(9x+4y)=13+≥25,当且仅当x=,y=时取等号.
答案:25
7.解:因为,a>0,b>0,
所以m≤(2a+b)恒成立,
所以m≤[()(2a+b)]min.
而(2a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当a=b时等号成立,
所以m≤9,即m的最大值为9.
8.解:(1)由题意,可知当m=0时,x=1,
∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-.
又每件产品的销售价格为1.5×元,
∴y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-[+(m+1)]+29(m≥0).
(2)∵m≥0,∴+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时等号成立,
∴y≤-8+29=21,∴ymax=21.
故该厂家今年的促销费用为3万元时,获得的利润最大,最大利润为21万元.
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