高中数学北师大版必修第一册4.1 一元二次函数（含解析）

4.1　一元二次函数
课后训练巩固提升
一、基础训练
1.一元二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则(　　).
A.m=-2 B.m=2
C.m=-1 D.m=1
2.一元二次函数y=-x2+4x+t的图象的顶点在x轴上,则t的值是(　　).
A.-4 B.4 C.-2 D.2
3.(多选题)对于一元二次函数y=(x-2)2+1,下列说法正确的有(　　).
A.函数的最小值为1
B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2
C.当x<2时,函数值y随自变量x的增大而增大,当x≥2时,函数值y随自变量x的增大而减小
D.它的图象可由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
4.已知函数y=-x2+4x,x∈[m,5]的函数值的取值范围是[-5,4],则实数m的取值范围是(　　).
A.(-∞,-1) B.(-1,2]
C.[-1,2] D.[2,5)
5.一元二次函数y=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　.
6.已知一元二次函数的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,对称轴是直线x=2,求此函数的解析式.
7.已知抛物线y=ax2+6x-8与一次函数y=-3x的图象相交于点A(1,m).
(1)求抛物线对应函数的解析式;
(2)(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax2的图象
二、能力提高
1.已知一元二次函数y=x2-6x+8,x∈[1,a],且在x=a时取最小值,则实数a的取值范围是(　　).
A.(1,6] B.(1,3] C.(1,4] D.(1,5]
2.函数y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值是a2,则实数a的取值范围是(　　).
A.[0,1] B.[0,2]
C.[-2,0] D.[-1,0]
3.若一元二次函数y=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(　　).
A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关
4.设函数y=x2+bx+c,若函数的图象经过点(-4,c),(-2,-2),则函数的解析式为　　　　　.
5.已知一元二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的实数根为　　　　　.
6.已知y1,y2关于x的函数圴为二次函数,它们的图象开口大小相同,开口方向也相同,y2=-2x2-x-2,y1关于x的二次函数的图象过点(0,6),且对称轴为直线x=-1.
(1)求y1关于x的二次函数的解析式;
(2)求y1关于x的二次函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值.
7.是否存在实数a,使一元二次函数y=x2-2ax+a在区间[-1,1]上的取值范围是[-2,2] 若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.
一、基础训练
1.解析:函数y=x2+mx+1的图象的对称轴为直线x=-,所以-=1,即m=-2.
答案:A
2.解析:由函数的图象顶点在x轴上,可知Δ=16+4t=0,解得t=-4.
答案:A
3.解析:由一元二次函数y=(x-2)2+1可知,该函数图象开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1),当x=2时,函数有最小值1,当x≥2时,函数值y随自变量x的增大而增大,当x<2时,函数值y随自变量x的增大而减小,故A,B正确,C错误,根据平移规律可知,D正确.
答案:ABD
4.解析:如图,一元二次函数的图象的对称轴为直线x=2,且函数在x=2处取得最大值,即ymax=-4+4×2=4.又当x=5时,ymin=-5.由一元二次函数图象的对称性可知,x=-1时,y=-5,所以要使x∈[m,5]时函数值的取值范围是[-5,4],需满足m∈[-1,2].
答案:C
5.解析:函数y=2x2-6x+1的图象的对称轴为直线x=,图象开口向上,∴在区间[-1,1]上,函数值y随自变量x的增大而减小,∴当x=1时,函数取最小值,即ymin=2-6+1=-3;当x=-1时,函数取最大值,即ymax=2×(-1)2-6×(-1)+1=9.
答案:-3　9
6.解:∵函数的图象的对称轴为直线x=2,且函数图象被x轴截得的线段长为2,∴函数图象与x轴交点的横坐标为1和3.则可设函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)(a≠0).又函数的图象过点(4,3),∴有(4-1)×(4-3)a=3,解得a=1.故所求函数的解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
7.解:(1)∵点A(1,m)在一次函数y=-3x的图象上,
∴m=-3×1=-3.
把x=1,y=-3代入y=ax2+6x-8,得a+6-8=-3,解得a=-1.
∴抛物线对应的函数解析式是y=-x2+6x-8.
(2)由(1)知,y=ax2=-x2.
∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,
∴把抛物线y=-x2+6x-8向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到y=-x2的图象.
二、能力提高
1.解析:函数的图象的对称轴为直线x=3,又一元二次函数在x=a时取最小值,结合图象(图略)可得1答案:B
2.解析:y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2.
∵函数在区间[0,1]上的最大值是a2,
∴0≤-a≤1,
即-1≤a≤0.
答案:D
3.解析:因为一元二次函数的最值在x=0,x=1与x=-对应的函数值中取得,当x=0时,y=b,当x=1时,y=1+a+b,当x=-时,y=b-,所以最值之差一定与a有关,与b无关.
答案:B
4.解析:由已知得
解得b=4,c=2.
所以函数的解析式为y=x2+4x+2.
答案:y=x2+4x+2
5.解析:由题图知,抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标是(3,0),所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(-1,0).所以关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的实数根为-1,3.
答案:-1,3
6.解:(1)由题意,知可设y1=-2x2+bx+c,∵y1=-2x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=-1,且过点(0,6),
∴解得∴y1=-2x2-4x+6.
(2)∵y1=-2(x+1)2+8,x∈[-2,3],∴当x=-1时,y1取得最大值8;当x=3时,y1取最小值-24.
7.解:y=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2,当a<-1时,在区间[-1,1]上,函数值y随自变量x的增大而增大,所以有解得a=-1(舍去).
当-1≤a≤0时,有解得a=-1.
当0当a>1时,在区间[-1,1]上,函数值y随自变量x的增大而减小,有此时a不存在.
综上可知,存在实数a,且a=-1满足题意.
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