高中数学北师大版必修第一册第一章 预备知识 测评（含解析）

第一章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“ x∈R,有|x|+x≥0”的否定是(　　).
A. x∈R,|x|+x<0
B. x∈R,|x|+x≤0
C. x∈R,使|x|+x<0
D. x∈R,使|x|+x≥0
2.设集合A={a,b},B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B=(　　).
A.{1,2} B.{1,5}
C.{2,5} D.{1,2,5}
3.“a≤1”是“函数y=x2-4ax+1在区间[4,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大”的(　　).
A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的大致图象可能是(　　).
5.不等式ax2+5x+c>0的解集为,则a,c的值为(　　).
A.a=6,c=1
B.a=-6,c=-1
C.a=1,c=6
D.a=-1,c=-6
6.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是(　　).
A.[1,+∞) B.[0,2]
C.[1,2] D.(-∞,2]
7.已知命题“ x∈R,有ax2+4x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　).
A.(4,+∞) B.(0,4]
C.(-∞,4] D.[0,4)
8.已知a>,b>0,且a+b=2,则的最小值为(　　).
A.3+2 B.6
C.9 D.3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.如果a,b,c满足cA.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2D.ac(a-c)<0
10.已知U为全集,则下列说法正确的有(　　).
A.若A∩B= ,则( UA)∪( UB)=U
B.若A∩B= ,则A= 或B=
C.若A∪B=U,则( UA)∩( UB)=
D.若A∪B= ,则A=B=
11.下列说法正确的是(　　).
A.“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B.若命题p: x∈R,x2>0,则p的否定为“ x∈R,x2<0”
C.命题“ a>b>0,”的否定是假命题
D.“a>b”是“a2>b2”成立的充分条件,但不是必要条件
12.若一个非空数集G满足“任意a,b∈G,则a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时,∈G”,我们就称G是一个数域,以下关于数域的说法,正确的有(　　).
A.0是任何数域的元素
B.若数域G有非零元素,则1 021∈G
C.集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个数域
D.任何一个有限数域的元素个数必为奇数
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知集合S={x|x>5或x<-1},T={x|a14.若将一元二次函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位长度,得到一元二次函数y=x2-3x+2的图象,则a的值为　　　　　.
15.已知关于x的一元二次函数y=ax2-2x+c的函数值的取值范围为[0,+∞),则的最小值为　　　　　.
16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)()的最小值.
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:
甲:z=(x+2y)()=2++8≥18;
乙:z=(x+2y)()≥2·2=16.
(1)你认为甲、乙两人谁的解法正确:　　　　　;
(2)请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确:　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知集合A={x|x2-4x-5≥0},B={x|2a≤x≤a+2}.
(1)若a=-1,求A∩B和A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
18.(12分)已知集合A=[3,6],B=[a,8].
(1)在①a=2;②a=5;③a=4,这三个条件中选择一个条件,使得A∩B≠ ,并求A∩B;
(2)若A∪B=[3,8],求实数a的取值范围.
19.(12分)已知一元二次函数y=x2-4x.
(1)若在区间[2a-1,+∞)上,函数值y随x的增大而增大,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[1,7]时,求函数值y的取值范围.
20.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.
(1)求的最小值;
(2)求证:≤1.
21.(12分)(1)若b=-, x∈R,ax2+(a+2)x+b≤0(a∈R),求实数a的取值范围;
(2)若b=-2a-2(a,b∈R),求关于x的不等式ax2+(a+2)x+b≤0的解集.
22.(12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.
(1)试写出年利润W(单位:万元)与年广告费x(单位:万元)之间的关系式;
(2)当年广告费投入多少万元时,该企业年利润最大 最大年利润为多少
1.解析:命题“ x∈R,有|x|+x≥0”的否定是“ x∈R,使|x|+x<0”.
答案:C
2.解析:∵A∩B={2},∴a+1=2,得a=1,
则b=2,∴A={1,2},B={2,5},∴A∪B={1,2,5}.
答案:D
3.解析:若函数y=x2-4ax+1在区间[4,+∞)上,函数值y自变量随x的增大而增大,则对应图象的对称轴x=-=2a,且2a≤4,解得a≤2,则“a≤1”是“函数y=x2-4ax+1在区间[4,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大”的充分条件,但不是必要条件,故选A.
答案:A
4.解析:∵a>b>c,且a+b+c=0,
∴a>0,c<0.
故函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,且与y轴交点的纵坐标小于零.因此选D.
答案:D
5.解析:因为不等式ax2+5x+c>0的解集为,
所以方程ax2+5x+c=0的两个实数根为x1=,x2=,且a<0.
所以有
解得a=-6,c=-1.
答案:B
6.解析:作出函数的图象,如图所示.
当x=1时,y取得最小值2,当x=2,或x=0时,y=3,结合图象,可知1≤m≤2,即实数m的取值范围是[1,2].
答案:C
7.解析:∵命题“ x∈R,有ax2+4x+1>0恒成立”是假命题,
∴命题“ x∈R,使ax2+4x+1≤0”是真命题,
∴a≤0,或
解得a≤0,或0∴实数a的取值范围是(-∞,4].
答案:C
8.解析:∵a>,b>0,a+b=2,
∴2a-1+2b=3,∴(2a-1+2b)[5+]≥(5+2×2)=3,
当且仅当b=2a-1=1,
即a=1,b=1时取等号.
答案:D
9.解析:由c0,c<0,而b的取值不确定,当b=0时,C不成立.
根据不等式的性质可知A,B,D均成立.
答案:ABD
10.解析:A说法正确,因为A∩B= ,所以( UA)∪( UB)= U(A∩B)=U;
B说法错误,A∩B= ,集合A,B不一定为空集,只需两个集合无公共元素;
C说法正确,因为A∪B=U,所以( UA)∩( UB)= U(A∪B)= ;
D说法显然正确.
答案:ACD
11.解析:对于选项A,a>1,b>1时,易得ab>1,故A正确;
对于选项B,全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p: x∈R,x2>0的否定为“ x∈R,x2≤0”,故B错误;
对于选项C,命题的否定为“ a>b>0,使得”,当a>b>0时,<0,故“ a>b>0,使得”为假命题,故C正确;
对于选项D,由“a>b”并不能推出“a2>b2”,如a=1,b=-1,故D错误.
答案:AC
12.解析:当a=b时,由数域的定义可知,a-b=0∈G,故A正确;
当a=b≠0时,由数域的定义可知,=1∈G,则1+1=2∈G,则2+1=3∈G,……则1+1 020=1 021∈G,故B正确;
当a=2,b=4时, G,故C错误;
因为0∈G,当b∈G且b≠0时,则-b∈G,因此只要这个数不为0,就一定成对出现,所以有限数域的元素个数必为奇数,所以D正确.
答案:ABD
13.解析:在数轴上表示出集合S,T,如图.
由图可知,要使S∪T=R,需满足解得-3答案:(-3,-1)
14.解析:将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位长度后,对应函数的解析式为y=(x-a)2+(x-a)=x2-(2a-1)x+a2-a,
由题意得x2-(2a-1)x+a2-a=x2-3x+2,
故解得a=2.
答案:2
15.解析:由关于x的一元二次函数y=ax2-2x+c的函数值的取值范围为[0,+∞),可得a>0,且判别式Δ=4-4ac=0,所以ac=1,且a>0,c>0,可得≥2=2×3=6,当且仅当,即c=,a=3时,等号成立.
答案:6
16.答案:(1)甲
(2)已知a>0,b>0,求z=(a+b)()的最小值.(答案不唯一)
17.解:(1)集合A={x|x2-4x-5≥0}={x|x≤-1,或x≥5},当a=-1时,B={x|-2≤x≤1};
故A∩B={x|-2≤x≤-1},A∪B={x|x≤1,或x≥5}.
(2)∵A∩B=B,
∴B A.
①若B= ,则2a>a+2,解得a>2;
②若B≠ ,则解得a≤-3.
综上,实数a的取值范围是{a|a>2,或a≤-3}.
18.解:(1)若选①,则B=[2,8],所以A∩B=[3,6].
若选②,则B=[5,8],所以A∩B=[5,6].
若选③,则B=[4,8],所以A∩B=[4,6].
(2)在数轴上表示出集合A,B如图所示:
由图可知,实数a的取值范围是[3,6].
19.解:(1)函数y=x2-4x的图象的对称轴为直线x=2,
∵在区间[2a-1,+∞)上,函数值y随x的增大而增大,
∴2a-1≥2,
解得a≥.
故所求实数a的取值范围是.
(2)∵函数的图象为开口向上的抛物线,且对称轴为直线x=2,结合图象(图略)知,在区间[1,7]上,当x=2时,y取得最小值,且ymin=22-4×2=-4;当x=7时,y取得最大值,且ymax=72-4×7=21.
∴当x∈[1,7]时,函数值y的取值范围为[-4,21].
20.(1)解:∵a+b=2,且a>0,b>0,
∴×5+≥×5+2=,
当且仅当
即a=,b=时等号成立.
故的最小值为.
(2)证明:∵a>0,b>0,a+b=2,
∴·ab≤·2=1,
当且仅当a=b=1时等号成立.
21.解:(1)当a=0时,原不等式可化为2x-≤0,显然在R上不恒成立,所以a≠0.
当a≠0时,则有解得-4≤a≤-1.
故实数a的取值范围为{a|-4≤a≤-1}.
(2)由题意得,不等式ax2+(a+2)x+b≤0可化为ax2+(a+2)x-2a-2≤0,
即(ax+2a+2)(x-1)≤0.
①当a=0时,2(x-1)≤0,原不等式的解集为{x|x≤1}.
②当a>0时,-<0,原不等式的解集为{x}.
③当a<0时,--1=-.
若a=-,则-(x-1)2≤0,原不等式的解集为R;
若a<-,则-<0,-<1,原不等式的解集为{x或x≥1};
若-0,->1,原不等式的解集为{x}.
22.解:(1)由题意可得,每年产品的生产成本为(32Q+3)万元,年销售收入为(×150%+×50%)·Q=(32Q+3)+x,
故年利润W=(32Q+3)+x-(32Q+3)-x=(32Q+3-x)=(x≥0).
(2)由(1)得,W==-+50.
∵x+1≥1,
∴≥2=8,
∴W≤42,
当且仅当,
即x=7时,W有最大值42,
即当年广告费投入7万元时,该企业年利润最大,最大年利润为42万元.
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