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北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》 3 用公式法求解一元二次方程（1）
一、选择题
1．（2023·吉林）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
2．（2023·聊城）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（2023八下·金东月考） 一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·长子期末）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
5．如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2-4q≥0 B．p2-4q≤0 C．p2-4q>0 D．p2-4q<0
6．（2021九上·厦门期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·淮南月考）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（ ）
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
8．（2021九上·遵义月考）用公式法解方程 所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
10．（2023·金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为.现将边AB增加1m.
（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 .
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，则s的值是 .
11．（2020九上·朝阳期末）一元二次方程 的根为 ．
12．（2020九上·巩义月考）关于x的一元二次方程 的两根是 .
13．（2020·永州模拟）方程 的解为 ．
14．一元二次方程 的解是 .
三、解答题
15．（2022九上·西安月考）用公式法解方程：．
16．（2021九上·宜州期中）用公式法解方程：x2-2x=2
17．（2021八下·槐荫期末）解方程： ．
18．（2023九上·礼泉期末）解方程：5x2+2x-1 =0.
19．（2023九上·凤翔期末）解一元二次方程：.
20．（2023九上·宁强期末）用公式法解方程：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的判别式结合题意即可求解。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
3．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
方程有两个不相等的两个实数根，
即.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程可得△>0，则方程有两个不相等的两个实数根，然后利用公式法求解即可.
4．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣4x＝2，即x2﹣4x-2=0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0（第二步），
∴（第三步），
∴（第四步）
∴小明解答过程开始出错的步骤是第三步，
故答案为：C．
【分析】利用公式法求解一元二次方程即可。
5．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =p2-4q≥0，
∴一元二次方程x2+px+q=0的根为x=，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的求根公式x=（b2-4ac≥0），得出一元二次方程x2+px+q=0的根为x=（p2-4q≥0），即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时，
一元二次方程 的求根公式为x= .
故答案为：D.
【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行解答.
7．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2－8x＋15＝0，
得：x1=3，x2=5；
当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意；
当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形；
所以这个三角形的周长为5+6+2=13．
故答案为：C．
【分析】求出方程的两个根，根据三角形三边的关系，判断得到边长，计算得到三角形的周长即可。
8．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x= = .
故答案为：D.
【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解.
9．【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
10．【答案】（1）6m
（2）()m2
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）当a=5时，S=ab=5b，
新矩形的长为5+1=6m，宽为（b-1）m，面积为6（b-1），
∴5b=6（b-1），
解得b=6；
故答案为：6m；
（2）∵S=ab，
∴b=
由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），
∴2s=（a+1）（+2），
整理得2a2+（2-s）a+s=0，
∵ 有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s，
∴△=（2-s）2-4×2s=0，
整理得s2-12s+4=0，
解得，，
∵新矩形的长增加2，宽增加1后得到的矩形面积是原矩形面积的2倍，
∴原矩形面积应该大于2，
∴s=()m2.
故答案为：()m2.
【分析】（1）当a=5时，分别根据矩形的面积计算方法表示出原矩形ABCD及新矩形的面积，由两个矩形的面积相等建立方程，求解可得b的值；
（2）由矩形的面积计算公式得S=ab，则b=，由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），根据新矩形的面积等于原矩形面积的2倍建立方程可得关于字母s与a的方程，由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s可得关于字母a的方程中根的判别式的值为0，从而建立出关于字母s的方程，求解并根据原矩形的面积一定大于2可得答案.
11．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】a=1，b= 3，c=1，
∵△=9 4=5，
∴
故答案为
【分析】利用公式法求解即可。
12．【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∵a=1，b=-2，c=-1，
∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（-1）=8，
∴ ， ，
故答案为： ，
【分析】先确定方程中的a、b、c，然后算出根的判别式的值，最后再利用公式法求解.
13．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
a=-1，b=-5，c=6，
△=b2-4ac=25+24=49
x= ，
所以 ．
【分析】根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出△的值，最后套用求根公式解得．
14．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由一元二次方程的求根公式可知，
x=
∴x1=，x2=-3
【分析】根据一元二次方程的求根公式进行计算即可得到答案。
15．【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，首先找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，接着求出判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而借助求根公式进行计算即可.
16．【答案】解：方程化为一般形式得x2-2x-2=0
∵a=1，b=-2，c=-2
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-2）=12＞0
∴
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将方程化为一般形式，求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
17．【答案】解：
a=1，b=-6，c=4
∴△=36-16=20
∴
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解方程即可。
18．【答案】解：∵a=5，b=2，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=22-4×5×(-1)=24>0，
所以
解得：
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出b2-4ac的值，再代入一元二次方程的求根公式进行计算，可求出方程的解.
19．【答案】解：∵2x2-5x-3=0，a=2，b=-5，c=3
∴b2-4ac=（-5）2-4×2×（-3）=49
∴.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
20．【答案】解：∵b2-4ac=1-4×4×（-3）=49，
∴，
解之：x1=-1，x2=
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】已知方程是一元二次方程的一般形式，先求出b2-4ac的值，再代入公式可求出方程的解.
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北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》 3 用公式法求解一元二次方程（1）
一、选择题
1．（2023·吉林）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的判别式结合题意即可求解。
2．（2023·聊城）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
3．（2023八下·金东月考） 一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
方程有两个不相等的两个实数根，
即.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程可得△>0，则方程有两个不相等的两个实数根，然后利用公式法求解即可.
4．（2021九上·长子期末）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣4x＝2，即x2﹣4x-2=0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0（第二步），
∴（第三步），
∴（第四步）
∴小明解答过程开始出错的步骤是第三步，
故答案为：C．
【分析】利用公式法求解一元二次方程即可。
5．如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2-4q≥0 B．p2-4q≤0 C．p2-4q>0 D．p2-4q<0
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =p2-4q≥0，
∴一元二次方程x2+px+q=0的根为x=，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的求根公式x=（b2-4ac≥0），得出一元二次方程x2+px+q=0的根为x=（p2-4q≥0），即可得出答案.
6．（2021九上·厦门期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时，
一元二次方程 的求根公式为x= .
故答案为：D.
【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行解答.
7．（2021九上·淮南月考）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（ ）
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2－8x＋15＝0，
得：x1=3，x2=5；
当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意；
当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形；
所以这个三角形的周长为5+6+2=13．
故答案为：C．
【分析】求出方程的两个根，根据三角形三边的关系，判断得到边长，计算得到三角形的周长即可。
8．（2021九上·遵义月考）用公式法解方程 所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x= = .
故答案为：D.
【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解.
二、填空题
9．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
10．（2023·金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为.现将边AB增加1m.
（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 .
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，则s的值是 .
【答案】（1）6m
（2）()m2
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）当a=5时，S=ab=5b，
新矩形的长为5+1=6m，宽为（b-1）m，面积为6（b-1），
∴5b=6（b-1），
解得b=6；
故答案为：6m；
（2）∵S=ab，
∴b=
由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），
∴2s=（a+1）（+2），
整理得2a2+（2-s）a+s=0，
∵ 有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s，
∴△=（2-s）2-4×2s=0，
整理得s2-12s+4=0，
解得，，
∵新矩形的长增加2，宽增加1后得到的矩形面积是原矩形面积的2倍，
∴原矩形面积应该大于2，
∴s=()m2.
故答案为：()m2.
【分析】（1）当a=5时，分别根据矩形的面积计算方法表示出原矩形ABCD及新矩形的面积，由两个矩形的面积相等建立方程，求解可得b的值；
（2）由矩形的面积计算公式得S=ab，则b=，由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），根据新矩形的面积等于原矩形面积的2倍建立方程可得关于字母s与a的方程，由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s可得关于字母a的方程中根的判别式的值为0，从而建立出关于字母s的方程，求解并根据原矩形的面积一定大于2可得答案.
11．（2020九上·朝阳期末）一元二次方程 的根为 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】a=1，b= 3，c=1，
∵△=9 4=5，
∴
故答案为
【分析】利用公式法求解即可。
12．（2020九上·巩义月考）关于x的一元二次方程 的两根是 .
【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∵a=1，b=-2，c=-1，
∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（-1）=8，
∴ ， ，
故答案为： ，
【分析】先确定方程中的a、b、c，然后算出根的判别式的值，最后再利用公式法求解.
13．（2020·永州模拟）方程 的解为 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
a=-1，b=-5，c=6，
△=b2-4ac=25+24=49
x= ，
所以 ．
【分析】根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出△的值，最后套用求根公式解得．
14．一元二次方程 的解是 .
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由一元二次方程的求根公式可知，
x=
∴x1=，x2=-3
【分析】根据一元二次方程的求根公式进行计算即可得到答案。
三、解答题
15．（2022九上·西安月考）用公式法解方程：．
【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，首先找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，接着求出判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而借助求根公式进行计算即可.
16．（2021九上·宜州期中）用公式法解方程：x2-2x=2
【答案】解：方程化为一般形式得x2-2x-2=0
∵a=1，b=-2，c=-2
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-2）=12＞0
∴
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将方程化为一般形式，求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
17．（2021八下·槐荫期末）解方程： ．
【答案】解：
a=1，b=-6，c=4
∴△=36-16=20
∴
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解方程即可。
18．（2023九上·礼泉期末）解方程：5x2+2x-1 =0.
【答案】解：∵a=5，b=2，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=22-4×5×(-1)=24>0，
所以
解得：
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出b2-4ac的值，再代入一元二次方程的求根公式进行计算，可求出方程的解.
19．（2023九上·凤翔期末）解一元二次方程：.
【答案】解：∵2x2-5x-3=0，a=2，b=-5，c=3
∴b2-4ac=（-5）2-4×2×（-3）=49
∴.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
20．（2023九上·宁强期末）用公式法解方程：．
【答案】解：∵b2-4ac=1-4×4×（-3）=49，
∴，
解之：x1=-1，x2=
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】已知方程是一元二次方程的一般形式，先求出b2-4ac的值，再代入公式可求出方程的解.
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