北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》4 用因式分解法求解一元二次方程
一、选择题
1．（2023·广东模拟）一元二次方程x2-4x=12的根是（ ）
A．x1=2，x2=-6 B．x1=-2，x2=6
C．x1=-2，x2=-6 D．x1=2，x2=6
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x2-4x=12得，x2-4x-12=0，
因式分解得，（x+2）（x-6）=0，
∴x+2=0，或x-6=0
∴x1=-2，x2=6
故答案为：B
【分析】先移项，把方程变成一般式，再利用十字相乘方法分解因式，可得结果；也可以用配方法、公式法得到方程的解。
2．（2023·临安模拟）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程转化为（x-2）2-2x（x-2）=0，
∴（x-2）（x-2-2x）=0
x-2=0或-x-2=0，
解之：x1=2，x2=-2.
故答案为：B
【分析】观察方程特点：方程两边含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.
3．（2023八下·莱西期中）方程的根是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．0或-1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴或，
解得：或 ，
故答案为：C．
【分析】将原式变形为，再求解即可。
4．（2023八下·瓯海期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（ ）
A．5和 B． C．5 D．-5和
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（2x+1）＝5（2x+1），
∴x（2x+1）-5（2x+1）＝0，
∴（x-5）（2x+1）＝0，
∴x1＝5，x2＝-.
故答案为：A.
【分析】首先将右边的式子移至左边，然后分解因式可得(x-5)(2x+1)=0，据此求解.
5．（2023·泉州模拟）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项，
提取公因式，，整理得，，
∴，
故答案为：D.
【分析】首先移项，然后分解因式可得x[(x-3)-1]=0，据此求解.
6．（2023九下·沭阳月考）方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
或，
，
故答案为：C.
【分析】根据方程可得x=0或x-1=0，求解即可.
7．（2023九上·福州模拟）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
∴，.
故答案为：C.
【分析】由方程可得x-1=0或x+2=0，求解可得x的值.
8．（2023九上·凤翔期末）关于x的方程的一个根是4，那么m的值是（ ）
A．-3或4 B．或7 C．3或4 D．3或7
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根是4，
∴，
即，
即
解得，
故答案为：B.
【分析】根据方程根的概念，将x=4代入方程中可得关于m的方程，求解可得m的值.
二、填空题
9．（2023·相城模拟）关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+(a+4)x+3a+3=0，
∴(x+3)(x+a+1)=0，
∴x+3=0或x+a+1=0，
∴x=-3或x=-a-1.
∵方程有一个大于-2的非正数根，
∴-2<-a-1≤0，
∴-1≤a<1.
故答案为：-1≤a<1.
【分析】对方程因式分解可得(x+3)(x+a+1)=0，则x=-3或x=-a-1，由方程有一个大于-2的非正数根可得-2<-a-1≤0，求解即可.
10．（2023八下·缙云期中）方程的解为
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x(x-2)=x-2，
移项，得x(x-2)-（x-2）=0，
∴（x-2）（x-1）=0，
∴x-2=0或 x-1=0，
解得：x1=2，x2=1.
故答案为：x1=2，x2=1.
【分析】将x-2看成一个整体，将方程右边的项移到方程的左边，进而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
11．（2023八下·缙云期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ．
【答案】①③
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵b2-4ac=0，∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，故①正确；
②∵一元二次方程ax2+bx+c=k，最多有两个解，故②错误；
③∵方程（x+2）（x-3）=0的解为x1=-2，x2=3，
将x=-2代入ax2+bx+c+2=0得4a-2b+c+2=0，
∴4a-2b+c=-2，故③正确.
故答案为：①③.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可对①进行判断；根据一元二次方程的对称性对②进行判断；根据一元二次方程解的定义对③进行判断.
12．（2023八下·鄞州期中）若方程x2+2x-3=0的解为x1=1，x2=-3，则方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是
【答案】x1=-1．x2=-3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 方程x2+2x-3=0的解为x1=1，x2=-3， 方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，
∴2x+3=1，2x+3=-3，
解之：x1=-1．x2=-3
故答案为：x1=-1．x2=-3
【分析】将2x+3看着整体，利用方程x2+2x-3=0的解可得到2x+3=1，2x+3=-3，然后求出x的值.
13．（2023八下·瑞安期中）方程的解是 .
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴或，
解得：，.
【分析】观察已知的方程，可提公因式x将原方程化为两个一元一次方程，解方程可求解.
14．（2023八下·鹿城月考）一元二次方程的解是
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+2）=0，
∴x-3=0或x+2=0，
解得x1=3，x2=-2.
故答案为：x1=3，x2=-2.
【分析】根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，可将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
三、解答题
15．（2023八下·滨江期中）下面是小明解一元二次方程的过程：
解：原方程可化为，……第一步
方程两边同除以得，，……第二步
系数化为1得
小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程
【答案】解：不正确，错误出现在第二步，
当时，丢掉根，
正确解法为：
原方程可化为，，
移项得，，
分解因式得，，
∴，或，
∴原方程的解为，，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】不正确，错误出现在第二步，出错的原因是当x-5=0时，方程丢掉了根x=5；将方程的右边提取负号变形为2x（x-5）=-3（x-5），然后将方程的右边整体移到方程的左边，进而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程求出x的值，即可得出原方程的根.
16．（2022九上·道县期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
（ 1 ）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）；
（ 2 ）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）．
综上所述：原方程的解是，．任务：请参照上述方法解方程：．
【答案】解：分两种情况讨论：
（1）当时，原方程可化为
解得：，（舍去）；
（2）当时，原方程可化为
解得：，（舍去）；
∴综上所述，原方程的根是，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】参考题干阅读材料提供的方法分当x≥0时与 x＜0时两种情况，分别化简绝对值，进而根据因式分解法求出分别求出方程的解，再检验即可得出答案.
17．（2021九上·长子期末）解方程：3x＋6＝（x＋2）2
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
18．（2022九上·自贡期末）解方程：.
【答案】解：
∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将“y+2”看成一个整体，将方程右边的2移到方程的左边，发现方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可.
19．（2021·龙沙模拟）解方程：（2x﹣1）2＝3x2+6．
【答案】解：
化简得：
因式分解得：
所以， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
20．（2021九上·兰州期末）解方程：
【答案】解：方程整理得：
，
分解因式得：
，
可得 或 ，
解得： ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先对右边的式子因式分解，然后移至等号左边，发现含有公因式(2x+1)，提取公因式可得(3x-2)(2x+1)=0，据此求解.
21．（2020九上·合肥期末）用适当的方法解下列方程：
【答案】解：
移项，得 ，即
因式分解得
于是得 或
解得
故原方程的解为 ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，再利用因式分解法解方程即可．
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》4 用因式分解法求解一元二次方程
一、选择题
1．（2023·广东模拟）一元二次方程x2-4x=12的根是（ ）
A．x1=2，x2=-6 B．x1=-2，x2=6
C．x1=-2，x2=-6 D．x1=2，x2=6
2．（2023·临安模拟）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023八下·莱西期中）方程的根是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．0或-1
4．（2023八下·瓯海期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（ ）
A．5和 B． C．5 D．-5和
5．（2023·泉州模拟）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九下·沭阳月考）方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·福州模拟）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2023九上·凤翔期末）关于x的方程的一个根是4，那么m的值是（ ）
A．-3或4 B．或7 C．3或4 D．3或7
二、填空题
9．（2023·相城模拟）关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是 ．
10．（2023八下·缙云期中）方程的解为
11．（2023八下·缙云期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ．
12．（2023八下·鄞州期中）若方程x2+2x-3=0的解为x1=1，x2=-3，则方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是
13．（2023八下·瑞安期中）方程的解是 .
14．（2023八下·鹿城月考）一元二次方程的解是
三、解答题
15．（2023八下·滨江期中）下面是小明解一元二次方程的过程：
解：原方程可化为，……第一步
方程两边同除以得，，……第二步
系数化为1得
小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程
16．（2022九上·道县期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
（ 1 ）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）；
（ 2 ）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）．
综上所述：原方程的解是，．任务：请参照上述方法解方程：．
17．（2021九上·长子期末）解方程：3x＋6＝（x＋2）2
18．（2022九上·自贡期末）解方程：.
19．（2021·龙沙模拟）解方程：（2x﹣1）2＝3x2+6．
20．（2021九上·兰州期末）解方程：
21．（2020九上·合肥期末）用适当的方法解下列方程：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x2-4x=12得，x2-4x-12=0，
因式分解得，（x+2）（x-6）=0，
∴x+2=0，或x-6=0
∴x1=-2，x2=6
故答案为：B
【分析】先移项，把方程变成一般式，再利用十字相乘方法分解因式，可得结果；也可以用配方法、公式法得到方程的解。
2．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程转化为（x-2）2-2x（x-2）=0，
∴（x-2）（x-2-2x）=0
x-2=0或-x-2=0，
解之：x1=2，x2=-2.
故答案为：B
【分析】观察方程特点：方程两边含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴或，
解得：或 ，
故答案为：C．
【分析】将原式变形为，再求解即可。
4．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（2x+1）＝5（2x+1），
∴x（2x+1）-5（2x+1）＝0，
∴（x-5）（2x+1）＝0，
∴x1＝5，x2＝-.
故答案为：A.
【分析】首先将右边的式子移至左边，然后分解因式可得(x-5)(2x+1)=0，据此求解.
5．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项，
提取公因式，，整理得，，
∴，
故答案为：D.
【分析】首先移项，然后分解因式可得x[(x-3)-1]=0，据此求解.
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
或，
，
故答案为：C.
【分析】根据方程可得x=0或x-1=0，求解即可.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
∴，.
故答案为：C.
【分析】由方程可得x-1=0或x+2=0，求解可得x的值.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根是4，
∴，
即，
即
解得，
故答案为：B.
【分析】根据方程根的概念，将x=4代入方程中可得关于m的方程，求解可得m的值.
9．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+(a+4)x+3a+3=0，
∴(x+3)(x+a+1)=0，
∴x+3=0或x+a+1=0，
∴x=-3或x=-a-1.
∵方程有一个大于-2的非正数根，
∴-2<-a-1≤0，
∴-1≤a<1.
故答案为：-1≤a<1.
【分析】对方程因式分解可得(x+3)(x+a+1)=0，则x=-3或x=-a-1，由方程有一个大于-2的非正数根可得-2<-a-1≤0，求解即可.
10．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x(x-2)=x-2，
移项，得x(x-2)-（x-2）=0，
∴（x-2）（x-1）=0，
∴x-2=0或 x-1=0，
解得：x1=2，x2=1.
故答案为：x1=2，x2=1.
【分析】将x-2看成一个整体，将方程右边的项移到方程的左边，进而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
11．【答案】①③
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵b2-4ac=0，∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，故①正确；
②∵一元二次方程ax2+bx+c=k，最多有两个解，故②错误；
③∵方程（x+2）（x-3）=0的解为x1=-2，x2=3，
将x=-2代入ax2+bx+c+2=0得4a-2b+c+2=0，
∴4a-2b+c=-2，故③正确.
故答案为：①③.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可对①进行判断；根据一元二次方程的对称性对②进行判断；根据一元二次方程解的定义对③进行判断.
12．【答案】x1=-1．x2=-3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 方程x2+2x-3=0的解为x1=1，x2=-3， 方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，
∴2x+3=1，2x+3=-3，
解之：x1=-1．x2=-3
故答案为：x1=-1．x2=-3
【分析】将2x+3看着整体，利用方程x2+2x-3=0的解可得到2x+3=1，2x+3=-3，然后求出x的值.
13．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴或，
解得：，.
【分析】观察已知的方程，可提公因式x将原方程化为两个一元一次方程，解方程可求解.
14．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+2）=0，
∴x-3=0或x+2=0，
解得x1=3，x2=-2.
故答案为：x1=3，x2=-2.
【分析】根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，可将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
15．【答案】解：不正确，错误出现在第二步，
当时，丢掉根，
正确解法为：
原方程可化为，，
移项得，，
分解因式得，，
∴，或，
∴原方程的解为，，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】不正确，错误出现在第二步，出错的原因是当x-5=0时，方程丢掉了根x=5；将方程的右边提取负号变形为2x（x-5）=-3（x-5），然后将方程的右边整体移到方程的左边，进而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程求出x的值，即可得出原方程的根.
16．【答案】解：分两种情况讨论：
（1）当时，原方程可化为
解得：，（舍去）；
（2）当时，原方程可化为
解得：，（舍去）；
∴综上所述，原方程的根是，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】参考题干阅读材料提供的方法分当x≥0时与 x＜0时两种情况，分别化简绝对值，进而根据因式分解法求出分别求出方程的解，再检验即可得出答案.
17．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
18．【答案】解：
∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将“y+2”看成一个整体，将方程右边的2移到方程的左边，发现方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可.
19．【答案】解：
化简得：
因式分解得：
所以， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
20．【答案】解：方程整理得：
，
分解因式得：
，
可得 或 ，
解得： ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先对右边的式子因式分解，然后移至等号左边，发现含有公因式(2x+1)，提取公因式可得(3x-2)(2x+1)=0，据此求解.
21．【答案】解：
移项，得 ，即
因式分解得
于是得 或
解得
故原方程的解为 ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，再利用因式分解法解方程即可．
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