北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》5 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题
1．（2023·天津市）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·南开模拟）方程的根是，，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．26
3．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
4．（2023·乐山）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．（2023·三台模拟）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为（ ）
A．11 B．-1 C．11或-1 D．11或-1或1
6．（2023·新会模拟）已知、是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·鄞州期中）已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根，且x1+x2=3，x1·x2=1则a，b的值分别是（ ）
A．a=-3，b=1 B．a=3，b=1
C．a=，b=-1 D．a=，b=1
8．（2021·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
二、填空题
9．（2023·随州）已知一元二次方程x2-3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2-x1x2的值等于 ．
10．（2023·宜昌）已知、是方程的两根，则代数式的值为 ．
11．（2023·眉山）已知方程的根为，则的值为 ．
12．（2023·遂宁）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
13．（2022·巴中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
14．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
三、解答题
15．（2023·澄城模拟）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，求的值．
16．（2023·凤县模拟）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
17．（2023八下·安庆期中）已知方程的两根为，求的值．
18．（2022九上·宝鸡月考）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．
19．（2023·南充）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
20．（2023·宜城模拟）已知关于x的一元二次方程x2－4x+m+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的所有整数值的和．
21．（2023八下·北仑期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．（2022·四川）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程x2- 2x -24 =0的根是x1，x2，
∴x1，x2 =-24，x1+x2 = 2，
则原式
=x1x2 -(x1+x2 )=-24-2 =-26。
故答案选：C。
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值。
3．【答案】B
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴=，
∴原式=-=-，位于②段.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵关于x的一元二次方程两根为，
∴x1+x2=8，x1x2=m，
∵，
∴，
∴m=12，
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到x1+x2=8，x1x2=m，进而结合题意即可得到，从而即可求解。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：k1=-1，k2=11，
故答案为：C.
【分析】利用根与系数的关系可得，，再结合，可得，再求出k的值即可。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵、是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A .
【分析】先利用根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根， x1+x2=3，x1·x2=1
∴-2a=3，b=1，
解之：.
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.
9．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=3，x1x2=1，
∴x1+x2-x1x2=3-1=2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2==3，x1x2==1，然后代入计算即可.
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：x1、x2为2x2-3x+1=0的两个根，由根于系数的关系得x1+x2=，x1x2=，
∴
故答案为：1.
【分析】利用根于系数的关系求出x1+x2、x1x2的值，再代入求解即可.
11．【答案】6
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，再运用多项式乘多项式结合题意即可求解。
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=3，ab=1，
∴，
故答案为：2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=3，ab=1，进而即可求解。
13．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案为：-4.
【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2 -α-(α+β)=4可得k的值.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
15．【答案】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-4，将待求式变形为mn(m+n)，然后代入进行计算.
16．【答案】解：设AB= ，AC=
∵x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴ ＝2k+3， ＝k2+3k+2．
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴ ＝52，
∵
∴
整理得k2+3k-10＝0，
解得：k1＝-5，k2＝2．
又∵AB+AC＞0，
∴2k+3＞0，
∴k＝2．
∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2， 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.
17．【答案】解：∵方程的两个根是，
∴，，
∴
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 ，， 再代入计算求解即可。
18．【答案】解：∵方程的两个实数根分别为，，
∴+=-3，=k-2，
∵，
∴，
∴，
解得k=3，
当k=3时，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；
即k的值是3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-3，x1x2=k-2，结合(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-1可得k的值，然后将k的值代入方程中并求出判别式的值，确定出方程根的情况，据此解答.
19．【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。
20．【答案】（1）解：根据题意得Δ＝（-4）2-4（m+1）≥0，
解得m≤3
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝m+1.
∵ ，即 .
∴m+1-4+1≥-1，解得m≥1，
∵m≤3，
∴1≤m≤3．
∴m的整数值为1，2和3，它们的和=1+2+3=6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝m+1，由(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1≥-1可求出m的范围，结合（1）的结论可得m的范围，据此可得m的整数值，然后求和即可.
21．【答案】（1）解：为等腰三角形，理由如下：
把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
（2）解：为等腰三角形，理由如下：
根据题意得，即，所以为直角三角形；
（3）解：为等边三角形，
，
方程化为，即，解得，．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程，可得到关于a，b，c的关系式，可推出a=b，据此可得到△ABC的形状.
（2）利用方程有两个相等的实数根可知b2-4ac=0，可得到关于a，b，c的关系式，据此可得到△ABC的形状.
（3）利用等边三角形的性质可证得a=b=c≠0，据此可将方程转化为x2+x=0，再利用因式分解法求出方程的解.
22．【答案】（1）；
（2）解：∵m+n=，mn＝-，
∴.
（3）解：由题意得：s、t是 一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根 ，
∴s+t=，st=-，
.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：(1) x1＋x2＝；x1x2＝，
故答案为：；.
【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
(2)根据根与系数的关系先求出m+n和mn的值，然后将原式变形，再代值计算，即可解答；
(3)根据根与系数的关系先求出s+t和st的值，然后将原式进行变形，再代值计算即可.
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》5 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题
1．（2023·天津市）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
2．（2023·南开模拟）方程的根是，，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．26
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程x2- 2x -24 =0的根是x1，x2，
∴x1，x2 =-24，x1+x2 = 2，
则原式
=x1x2 -(x1+x2 )=-24-2 =-26。
故答案选：C。
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值。
3．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】B
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴=，
∴原式=-=-，位于②段.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.
4．（2023·乐山）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵关于x的一元二次方程两根为，
∴x1+x2=8，x1x2=m，
∵，
∴，
∴m=12，
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到x1+x2=8，x1x2=m，进而结合题意即可得到，从而即可求解。
5．（2023·三台模拟）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为（ ）
A．11 B．-1 C．11或-1 D．11或-1或1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：k1=-1，k2=11，
故答案为：C.
【分析】利用根与系数的关系可得，，再结合，可得，再求出k的值即可。
6．（2023·新会模拟）已知、是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵、是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A .
【分析】先利用根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。
7．（2023八下·鄞州期中）已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根，且x1+x2=3，x1·x2=1则a，b的值分别是（ ）
A．a=-3，b=1 B．a=3，b=1
C．a=，b=-1 D．a=，b=1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根， x1+x2=3，x1·x2=1
∴-2a=3，b=1，
解之：.
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
8．（2021·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.
二、填空题
9．（2023·随州）已知一元二次方程x2-3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2-x1x2的值等于 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=3，x1x2=1，
∴x1+x2-x1x2=3-1=2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2==3，x1x2==1，然后代入计算即可.
10．（2023·宜昌）已知、是方程的两根，则代数式的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：x1、x2为2x2-3x+1=0的两个根，由根于系数的关系得x1+x2=，x1x2=，
∴
故答案为：1.
【分析】利用根于系数的关系求出x1+x2、x1x2的值，再代入求解即可.
11．（2023·眉山）已知方程的根为，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，再运用多项式乘多项式结合题意即可求解。
12．（2023·遂宁）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=3，ab=1，
∴，
故答案为：2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=3，ab=1，进而即可求解。
13．（2022·巴中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案为：-4.
【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2 -α-(α+β)=4可得k的值.
14．（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【分析】先求出m1=-，m2=，再求出m＞或m＜0，最后求解即可。
三、解答题
15．（2023·澄城模拟）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，求的值．
【答案】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-4，将待求式变形为mn(m+n)，然后代入进行计算.
16．（2023·凤县模拟）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】解：设AB= ，AC=
∵x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴ ＝2k+3， ＝k2+3k+2．
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴ ＝52，
∵
∴
整理得k2+3k-10＝0，
解得：k1＝-5，k2＝2．
又∵AB+AC＞0，
∴2k+3＞0，
∴k＝2．
∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2， 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.
17．（2023八下·安庆期中）已知方程的两根为，求的值．
【答案】解：∵方程的两个根是，
∴，，
∴
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 ，， 再代入计算求解即可。
18．（2022九上·宝鸡月考）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．
【答案】解：∵方程的两个实数根分别为，，
∴+=-3，=k-2，
∵，
∴，
∴，
解得k=3，
当k=3时，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；
即k的值是3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-3，x1x2=k-2，结合(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-1可得k的值，然后将k的值代入方程中并求出判别式的值，确定出方程根的情况，据此解答.
19．（2023·南充）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。
20．（2023·宜城模拟）已知关于x的一元二次方程x2－4x+m+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的所有整数值的和．
【答案】（1）解：根据题意得Δ＝（-4）2-4（m+1）≥0，
解得m≤3
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝m+1.
∵ ，即 .
∴m+1-4+1≥-1，解得m≥1，
∵m≤3，
∴1≤m≤3．
∴m的整数值为1，2和3，它们的和=1+2+3=6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝m+1，由(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1≥-1可求出m的范围，结合（1）的结论可得m的范围，据此可得m的整数值，然后求和即可.
21．（2023八下·北仑期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解：为等腰三角形，理由如下：
把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
（2）解：为等腰三角形，理由如下：
根据题意得，即，所以为直角三角形；
（3）解：为等边三角形，
，
方程化为，即，解得，．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程，可得到关于a，b，c的关系式，可推出a=b，据此可得到△ABC的形状.
（2）利用方程有两个相等的实数根可知b2-4ac=0，可得到关于a，b，c的关系式，据此可得到△ABC的形状.
（3）利用等边三角形的性质可证得a=b=c≠0，据此可将方程转化为x2+x=0，再利用因式分解法求出方程的解.
22．（2022·四川）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵m+n=，mn＝-，
∴.
（3）解：由题意得：s、t是 一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根 ，
∴s+t=，st=-，
.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：(1) x1＋x2＝；x1x2＝，
故答案为：；.
【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
(2)根据根与系数的关系先求出m+n和mn的值，然后将原式变形，再代值计算，即可解答；
(3)根据根与系数的关系先求出s+t和st的值，然后将原式进行变形，再代值计算即可.
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