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北师大版数学九年级上册同步练习——第三章《 概率的进一步认识》2. 用频率估计概率
一、选择题
1．（2023·广西壮族自治模拟）某市为了解初中生体质健康水平，在全市进行了初中生体质健康的随机抽测结果如下表
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.89 0.9 0.93 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
根据抽离结果．下列对该市初中生体质健康合格的概率的估计最合理的是（ ）
A．0.9 B．0.905 C．0.903 D．0.92
2．（2023·澄城模拟）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚均匀硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上
C．从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
3．（2023·德城模拟）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
4．（2023·惠水模拟）在一不透明的箱子里放有个除颜色外其他完全相同的球，其中只有4个白球，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到白球的频率稳定在0.25，则大约是（ ）
A．15 B．16 C．12 D．8
5．（2023·锦江模拟）一个不透明的箱子里共装有m个球，其中红球5个，这些球除颜色不同外其余都相同.每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．1 B．5 C．20 D．25
6．（2020·盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下.
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
7．（2019·阜新）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．（2022九上·杭州月考）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
二、填空题
9．一个不透明的袋子里装有白球、黄球共32个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中白球的个数最有可能是 个.
10．（2023·扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
11．某人随意投掷一枚均匀的骰子，六个面分别写有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为．若投掷的次数足够多，则的值会稳定在 ．
12．（2023·武侯模拟）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 ．
13．（2023·杭州模拟）在一个盒子中装有若干乒乓球，小明为了探究盒子中所装乒乓球的数量，他先从盒子中取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为个，并在这些乒乓球上做了记号“”，然后将它们放回盒子中，充分摇匀；接下来，他又从这个盒子中再次取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为个，其中带有记号“”的乒乓球有个，小明根据实验所得的数据，，，可估计出盒子中乒乓球的数量有 个
三、解答题
14．（2023九上·武功期末）在一个不透明的盒子中装有白色、黑色棋子共60个，这些棋子除颜色外其他完全相同，茜茜每次将棋子搅拌均匀后，任意摸出一个，记下颜色再放回盒子中，通过大量重复试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在25%，请你估计盒子中黑色棋子的个数．
15．（2022·澄城模拟）一个不透明的袋子中，装有1个红球，1个绿球，n个白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后，从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回；搅匀后，再从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，…，经过大量重复该试验，发现摸到绿球的频率值稳定于0.2，求n的值．
16．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个．
17．（2023·西安模拟）如图，在一个游戏活动节目中，需要设计一个可以自由转动的转盘，转盘被分成两个标有数字的扇形区域．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字．（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）
下表是进行试验时，转动转盘记录的一些数据：
转动转盘的次数（m） 150 200 400 600
落在“1”区域的次数（n） 52 67 133 200
落在“1”区域的频率（）
（1）根据上表数据，估计标有数字“1”的扇形区域的圆心角度数为 ．（该圆心角度数为的倍数）
（2）转动转盘两次，用画树状图或列表法求出这两次转出的数字之和等于3的概率．
18．（2023八下·徐州月考）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；(精确到0.01)
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
19．（2022九上·济南期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m
摸到黑球的频率
（1）填空：a= ；当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 (精确到0.1)；
（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着累计抽测学生数的增大，体质健康合格的学生数与n的比值逐渐稳定于0.92， 所以对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是0.92.
故答案为：D.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得答案.
2．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： A：抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的概率为，不符合这一结果，故A错误；
B：掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上的概率为，不符合这一结果，故B错误；
C：从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为=0.4，符合这一结果，故C正确；
D：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为=0.25，不符合这一结果，故D错误.
故答案为：C.
【分析】首先根据概率公式分别求出各个选项中事件对应的概率，然后进行判断.
3．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】分别求出各事件的概率，与统计图所表示的频率进行比较可得答案。
4．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据频率估计概率的知识可得：摸到白球的概率为0.25，然后利用概率公式进行计算.
5．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（个），
所以可以估算出m的值为25，
故答案为：D.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，故 摸到红球的概率是0.2，进而利用袋中红色小球的个数除以摸到红色小球的概率，即可求出袋中小球的个数.
6．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：样本中身高不低于170cm的频率 ，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68.
故答案为：C.
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解.
7．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，
袋子中红球的个数约为：20× =6，
故答案为：D.
【分析】用袋中小球的总数量乘以从袋中随机的摸出一个小球是红球的频率即可算出答案.
8．【答案】D
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在左右，因此，
A.通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项A不符合题意；
B.大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于，这种说法是正确的，因此选项B不符合题意；
C.连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C不符合题意；
D.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据概率的意义可判断A；根据频率估计概率的知识可判断B；根据随机事件的概念可判断C、D.
9．【答案】24
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】
【分析】
10．【答案】0.93
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中的发芽率可知，当实验次数逐渐增多，发芽率越来越稳定在0.93左右，
∴ 这种绿豆发芽的概率的估计值为0.93.
故答案为：0.93
【分析】利用表中数据可知当实验次数逐渐增多，发芽率越来越稳定在0.93左右，即可求解.
11．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为，若投掷的次数足够多，则的值会稳定在．
故答案为：．
【分析】根据在相同的条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近解题即可．
12．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设这个区域内白色部分的总面积约为xcm2，由题意，
得 ，
解得x=2.7cm2.
故答案为：2.7cm2.
【分析】设这个区域内白色部分的总面积约为xcm2，根据几何概率的意义，用白色部分的面积比上整个二维码的面积=点落在区域内白色部分的频率，列出方程，求解即可.
13．【答案】100
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵所取乒乓球的数量为n个，带有记号“”的有p个，
∴带有记号“”的乒乓球的频率为，
∴乒乓球的总数为m÷==100（个）.
故答案为：100.
【分析】由题意可得带有记号“”的乒乓球的频率为，根据总数=取的数量÷频率可得总数=m÷，然后化简，再将m、n、p的值代入计算即可.
14．【答案】解：∵摸到黑色棋子的频率稳定在25%，
∴摸到黑色棋子的概率为25%，
∴ 盒子中黑色棋子的个数为：60×25%=15（个），
答：估计盒子中黑色棋子有15个.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得 摸到黑色棋子的概率是25％，进而利用盒子中棋子的总个数乘以摸到黑色棋子的概率即可得出答案.
15．【答案】解：根据题意可知摸到绿球的概率为0.2，
根据概率公式可得：，
解得：．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】根据绿球的个数÷球的总数=摸到绿球的概率列出关于n的方程，求解即可.
16．【答案】（1）0.6
（2）30
（3）10；10
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）观察表格中数据得： 当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6.
（2）袋子中有黑球的个数为：50×0.6=30个；
故答案为：30.
（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50% ，只要使黑球和白球的个数相同即可，
∴ 可以在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个；
故答案为：10，10.
【分析】（1）观察表格中数据即可得解；
（2）利用（1）中结论，即是利用频率估计概率，再利用球的总个数乘以黑球的概率即得黑球的个数；
（3）只要使黑球和白球的个数相同即可.
17．【答案】（1）120°
（2）解：画树状图：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中和为3的有4种，即这两次转出的数字之和等于3的概率为．
【知识点】几何概率；列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）由表格中数据结合频率估计概率的知识可得：落在“1”区域的概率为，
∴标有数字“1”的扇形区域的圆心角的度数=×360°=120°.
故答案为：120°.
【分析】（1）由表格中数据结合频率估计概率的知识可得：落在“1”区域的概率为，然后利用几何概率公式求解即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及两次转出的数字之和等于3的情况数，然后利用概率公式进行计算.
18．【答案】（1）0.60
（2）0.6；0.4
（3）解：因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有：
白球是只，
黑球是只.
答：估计口袋中白色的球有12只，黑色的球有8只.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
故答案为：0.60；
（2）解：因为当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
【分析】（1）根据表格中的信息可知：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
（2）结合（1）的结论并根据用频率估计概率可求解；
（3）根据频数=概率×样本容量可求解.
19．【答案】（1）0.65；0.6
（2）解：列表如下：
黑 白 白 白
黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，
所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1），当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近，
故答案为：；
【分析】（1）利用频率估算概率的计算方法求解即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
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北师大版数学九年级上册同步练习——第三章《 概率的进一步认识》2. 用频率估计概率
一、选择题
1．（2023·广西壮族自治模拟）某市为了解初中生体质健康水平，在全市进行了初中生体质健康的随机抽测结果如下表
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.89 0.9 0.93 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
根据抽离结果．下列对该市初中生体质健康合格的概率的估计最合理的是（ ）
A．0.9 B．0.905 C．0.903 D．0.92
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着累计抽测学生数的增大，体质健康合格的学生数与n的比值逐渐稳定于0.92， 所以对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是0.92.
故答案为：D.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得答案.
2．（2023·澄城模拟）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚均匀硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上
C．从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： A：抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的概率为，不符合这一结果，故A错误；
B：掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上的概率为，不符合这一结果，故B错误；
C：从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为=0.4，符合这一结果，故C正确；
D：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为=0.25，不符合这一结果，故D错误.
故答案为：C.
【分析】首先根据概率公式分别求出各个选项中事件对应的概率，然后进行判断.
3．（2023·德城模拟）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】分别求出各事件的概率，与统计图所表示的频率进行比较可得答案。
4．（2023·惠水模拟）在一不透明的箱子里放有个除颜色外其他完全相同的球，其中只有4个白球，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到白球的频率稳定在0.25，则大约是（ ）
A．15 B．16 C．12 D．8
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据频率估计概率的知识可得：摸到白球的概率为0.25，然后利用概率公式进行计算.
5．（2023·锦江模拟）一个不透明的箱子里共装有m个球，其中红球5个，这些球除颜色不同外其余都相同.每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．1 B．5 C．20 D．25
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（个），
所以可以估算出m的值为25，
故答案为：D.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，故 摸到红球的概率是0.2，进而利用袋中红色小球的个数除以摸到红色小球的概率，即可求出袋中小球的个数.
6．（2020·盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下.
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：样本中身高不低于170cm的频率 ，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68.
故答案为：C.
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解.
7．（2019·阜新）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，
袋子中红球的个数约为：20× =6，
故答案为：D.
【分析】用袋中小球的总数量乘以从袋中随机的摸出一个小球是红球的频率即可算出答案.
8．（2022九上·杭州月考）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
【答案】D
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在左右，因此，
A.通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项A不符合题意；
B.大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于，这种说法是正确的，因此选项B不符合题意；
C.连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C不符合题意；
D.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据概率的意义可判断A；根据频率估计概率的知识可判断B；根据随机事件的概念可判断C、D.
二、填空题
9．一个不透明的袋子里装有白球、黄球共32个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中白球的个数最有可能是 个.
【答案】24
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】
【分析】
10．（2023·扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
【答案】0.93
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中的发芽率可知，当实验次数逐渐增多，发芽率越来越稳定在0.93左右，
∴ 这种绿豆发芽的概率的估计值为0.93.
故答案为：0.93
【分析】利用表中数据可知当实验次数逐渐增多，发芽率越来越稳定在0.93左右，即可求解.
11．某人随意投掷一枚均匀的骰子，六个面分别写有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为．若投掷的次数足够多，则的值会稳定在 ．
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为，若投掷的次数足够多，则的值会稳定在．
故答案为：．
【分析】根据在相同的条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近解题即可．
12．（2023·武侯模拟）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 ．
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设这个区域内白色部分的总面积约为xcm2，由题意，
得 ，
解得x=2.7cm2.
故答案为：2.7cm2.
【分析】设这个区域内白色部分的总面积约为xcm2，根据几何概率的意义，用白色部分的面积比上整个二维码的面积=点落在区域内白色部分的频率，列出方程，求解即可.
13．（2023·杭州模拟）在一个盒子中装有若干乒乓球，小明为了探究盒子中所装乒乓球的数量，他先从盒子中取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为个，并在这些乒乓球上做了记号“”，然后将它们放回盒子中，充分摇匀；接下来，他又从这个盒子中再次取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为个，其中带有记号“”的乒乓球有个，小明根据实验所得的数据，，，可估计出盒子中乒乓球的数量有 个
【答案】100
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵所取乒乓球的数量为n个，带有记号“”的有p个，
∴带有记号“”的乒乓球的频率为，
∴乒乓球的总数为m÷==100（个）.
故答案为：100.
【分析】由题意可得带有记号“”的乒乓球的频率为，根据总数=取的数量÷频率可得总数=m÷，然后化简，再将m、n、p的值代入计算即可.
三、解答题
14．（2023九上·武功期末）在一个不透明的盒子中装有白色、黑色棋子共60个，这些棋子除颜色外其他完全相同，茜茜每次将棋子搅拌均匀后，任意摸出一个，记下颜色再放回盒子中，通过大量重复试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在25%，请你估计盒子中黑色棋子的个数．
【答案】解：∵摸到黑色棋子的频率稳定在25%，
∴摸到黑色棋子的概率为25%，
∴ 盒子中黑色棋子的个数为：60×25%=15（个），
答：估计盒子中黑色棋子有15个.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得 摸到黑色棋子的概率是25％，进而利用盒子中棋子的总个数乘以摸到黑色棋子的概率即可得出答案.
15．（2022·澄城模拟）一个不透明的袋子中，装有1个红球，1个绿球，n个白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后，从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回；搅匀后，再从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，…，经过大量重复该试验，发现摸到绿球的频率值稳定于0.2，求n的值．
【答案】解：根据题意可知摸到绿球的概率为0.2，
根据概率公式可得：，
解得：．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】根据绿球的个数÷球的总数=摸到绿球的概率列出关于n的方程，求解即可.
16．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个．
【答案】（1）0.6
（2）30
（3）10；10
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）观察表格中数据得： 当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6.
（2）袋子中有黑球的个数为：50×0.6=30个；
故答案为：30.
（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50% ，只要使黑球和白球的个数相同即可，
∴ 可以在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个；
故答案为：10，10.
【分析】（1）观察表格中数据即可得解；
（2）利用（1）中结论，即是利用频率估计概率，再利用球的总个数乘以黑球的概率即得黑球的个数；
（3）只要使黑球和白球的个数相同即可.
17．（2023·西安模拟）如图，在一个游戏活动节目中，需要设计一个可以自由转动的转盘，转盘被分成两个标有数字的扇形区域．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字．（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）
下表是进行试验时，转动转盘记录的一些数据：
转动转盘的次数（m） 150 200 400 600
落在“1”区域的次数（n） 52 67 133 200
落在“1”区域的频率（）
（1）根据上表数据，估计标有数字“1”的扇形区域的圆心角度数为 ．（该圆心角度数为的倍数）
（2）转动转盘两次，用画树状图或列表法求出这两次转出的数字之和等于3的概率．
【答案】（1）120°
（2）解：画树状图：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中和为3的有4种，即这两次转出的数字之和等于3的概率为．
【知识点】几何概率；列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）由表格中数据结合频率估计概率的知识可得：落在“1”区域的概率为，
∴标有数字“1”的扇形区域的圆心角的度数=×360°=120°.
故答案为：120°.
【分析】（1）由表格中数据结合频率估计概率的知识可得：落在“1”区域的概率为，然后利用几何概率公式求解即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及两次转出的数字之和等于3的情况数，然后利用概率公式进行计算.
18．（2023八下·徐州月考）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；(精确到0.01)
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.60
（2）0.6；0.4
（3）解：因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有：
白球是只，
黑球是只.
答：估计口袋中白色的球有12只，黑色的球有8只.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
故答案为：0.60；
（2）解：因为当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
【分析】（1）根据表格中的信息可知：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
（2）结合（1）的结论并根据用频率估计概率可求解；
（3）根据频数=概率×样本容量可求解.
19．（2022九上·济南期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m
摸到黑球的频率
（1）填空：a= ；当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 (精确到0.1)；
（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．
【答案】（1）0.65；0.6
（2）解：列表如下：
黑 白 白 白
黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，
所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1），当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近，
故答案为：；
【分析】（1）利用频率估算概率的计算方法求解即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
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