北师大版数学九年级上册同步练习——第三章《 概率的进一步认识》综合练习
一、选择题
1．（2023九下·南昌期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率；
B．任意写一个整数，它能被2整除的概率；
C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D．暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
B、任意写一个整数，它能被2整除的概率的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2的概率是，符合题意；
D、暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一个球是白球的概率，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由统计图可知：试验结果在0.17附近波动，即其概率P=0.17，分别计算各选项的概率，即可判断.
2．（2023八上·内江期末）某渔民为估计池塘里鱼的总数，先随机打捞20条鱼给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的鱼完全混合于鱼群后，第二次打捞80条，发现其中2条鱼有标志，从而估计该池塘有鱼（ ）
A．1000条 B．800条 C．600条 D．400条
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设该池塘有鱼x条，
第二次打捞80条，发现其中2条鱼有标志，则第二次打捞发现有标志的鱼的概率为，
则，解得，
经检验：是方程的解，
即该池塘有鱼800条.
故答案为：B.
【分析】设该池塘有鱼x条，由捕捞80条鱼，发现其中2条有标记，说明有标记的占到，进而根据用样本估计总体的思想，结合有标记的共有20条，即可列出方程，求解即可．
3．（2022九上·长兴月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.85 C．0.82 D．0.84
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是0.82.
故答案为：C
【分析】利用表中数据，随着实验次数的增加，可知这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率逐渐趋于稳定，可得答案.
4．（2023·武汉模拟）1个不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和3个白球，从中摸出1个球不放回，再摸出1个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中两次都摸出白球的情况数为6，
∴两次都摸出白球的概率为.
故答案为：.
【分析】画出树状图，然后找出总情况数以及两次都摸出白球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
5．（2023·从化模拟）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关、、中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】由题意可得：
由树状图可知：有6种等可能的情况数，能让两个小灯泡同时发光的情况有2种，
∴P（两个小灯泡同时发光）=.
故答案为：C.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
6．（2023·深圳模拟）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，
∴该小孩为女孩的概率为：，
故答案为：C.
【分析】先画树状图，再求出共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，最后求概率即可。
7．（2023·武昌模拟）有三把不同的锁和四把钥匙，其中三把钥匙分别能打开三把锁，第四把钥匙不能打开这三把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：设三把锁分别为A，B，C，相应的钥匙分别为a，b，c，第四把钥匙为d，
画出树状图如下：
由图可知：共有12种等可能情况，一次打开锁的情况数有3种，
所以一次打开锁的概率是.
故答案为：B.
【分析】列举出所有情况，看任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的情况数占总情况数的多少即可.
8．（2023·贺州模拟）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可得：共有8种等可能的结果，其中3只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数为3，
∴3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率为.
故答案为：C.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及3只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数，然后利用概率公式进行计算.
二、填空题
9．（2023八下·锡山期中）在一个不透明的布袋中装有红色、蓝色、白色玻璃球共60个，除颜色外其他安全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有 个．
【答案】9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：红色球的频率稳定在0.15左右，所以红色球的个数可能是：
60×0.15=9（个）
故答案为：9
【分析】根据频率估算概率的知识可得摸到红色球的概率约为0.15，然后根据概率公式进行计算.
10．（2023·深圳模拟）一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球共20个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表：
摸球次数
摸到红球的频数
摸到红球的频率
估计袋中红球的个数是 ．
【答案】5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.25附近，
∴“摸到红球”的概率的估计值是0.25，
即袋中红球的个数是：20 x0.25 =5(个)，
故答案为：5.
【分析】先求出“摸到红球”的概率的估计值是0.25，再求解即可。
11．（2023·邢台模拟）在一个不透明的口袋中装有12个白球，16个黄球，24个红球，28个绿球，除颜色不同外其余都相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到某种颜色的球的频率稳定在0.3左右，则小明做试验时所摸到的球的颜色是 ．
【答案】红色
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：共有个球，
∵白球的概率为：，
黄球的概率为：，
红球的概率为：，
绿球的概率为：，
∴小明做实验时所摸到的球的颜色是红色，
故答案为：红色．
【分析】根据题意分别求出白球、黄球、红球和绿球的概率，再判断即可。
12．（2023九下·江岸月考）某班准备在甲、乙、丙、丁四位同学中选出两名同学代表班级参加学校举行的“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，则乙同学不被选中的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出表格如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
共有12种情况，其中乙不被选中的情况数为6种，
∴乙不被选中的概率为.
故答案为：.
【分析】列出表格，找出总情况数以及乙不被选中的情况数，然后利用概率公式进行计算.
13．（2023·谷城模拟）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出表格如下：
1 2 3 4
1 ( 1，1） ( 1，2） ( 1，3） ( 1，4）
2 ( 2 ，1） ( 2，2） ( 2，3） ( 2，4）
3 ( 3 ，1) ( 3，2） ( 3，3） ( 3，4）
4 ( 4，1） ( 4，2） ( 4，3） ( 4 ，4）
由表格可得：共有16种情况，其中第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数为8，
∴第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为.
故答案为：.
【分析】画出表格，然后找出总情况数以及第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数，再利用概率公式进行计算.
14．（2023·深圳模拟）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，
大寒用D表示，画树状图如下：
由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，
故答案为：.
【分析】先画树状图，再求出一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，最后求概率即可。
三、解答题
15．（2023·吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【答案】解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】先画出树状图或列表，进而得到所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
16．（2023·昆明模拟） 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】解：所有可能的结果如下：
乙甲 1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】先列表，进而得到共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果，进而根据等可能事件的概率即可求解。
17．（2021九上·兴平期中）在一个不透明的袋中装有材质、大小完全相同的红球和黑球共100个，小明每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球的个数．
【答案】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，
∴摸到红球的概率为0.85，
假设袋中有个红球，
∴，
解得：，
∴估计袋中红球有85个．
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得摸到红球的概率为0.85，假设袋中有x个红球，估计红球的个数÷球的总数=摸到红球的概率列出关于x的方程，求解即可.
18．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
【答案】（1）解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为；
（2）解：列表如下，
共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出所有可能结果即可求解；
（2）先根据题意列表，进而得到共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，然后根据等可能事件的概率即可求解。
19．（2023·荆州）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
组别 身高分组 人数
A 155≤x＜160 3
B 160≤x＜165 2
C 165≤x＜170 m
D 170≤x＜175 5
E 175≤x＜180 4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 人，表中的 ，扇形统计图中α的度数是 ；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【答案】（1）20；6；54°
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种
P（抽中两名女志愿者）=.
【知识点】统计表；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由扇形统计图可得A、B、D、E所占的比例之和为1-30%=70%，
由条形统计图可得A、B、D、E的人数之和为3+2+5+4=14，
∴这次被调查身高的志愿者有14÷70%=20人，m=20-14=6，
扇形统计图中α的度数为3÷20×360°=54°.
故答案为：20、6.
【分析】（1）由条形统计图以及扇形统计图可得A、B、D、E所占的比例之和以及人数之和，利用人数除以所占的比例可得总人数，进而可得m的值，利用A的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占扇形圆心角的度数；
（2）画出树状图，找出总情况数以及抽中两名女志愿者的情况数，然后利用概率公式进行计算.
20．（2023·福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）解：他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）由题意可得：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，其中摸到红球只有1种情况，然后利用概率公式进行计算；
（2）记往袋中加入的球为“新”，利用列表法列举出摸得的两球所有可能的结果，然后分加入的是红球、黄球，找出两球颜色相同的结果数，利用概率公式求出对应的概率，然后进行比较即可判断.
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第三章《 概率的进一步认识》综合练习
一、选择题
1．（2023九下·南昌期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率；
B．任意写一个整数，它能被2整除的概率；
C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D．暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率
2．（2023八上·内江期末）某渔民为估计池塘里鱼的总数，先随机打捞20条鱼给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的鱼完全混合于鱼群后，第二次打捞80条，发现其中2条鱼有标志，从而估计该池塘有鱼（ ）
A．1000条 B．800条 C．600条 D．400条
3．（2022九上·长兴月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.85 C．0.82 D．0.84
4．（2023·武汉模拟）1个不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和3个白球，从中摸出1个球不放回，再摸出1个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·从化模拟）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关、、中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·深圳模拟）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·武昌模拟）有三把不同的锁和四把钥匙，其中三把钥匙分别能打开三把锁，第四把钥匙不能打开这三把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·贺州模拟）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·锡山期中）在一个不透明的布袋中装有红色、蓝色、白色玻璃球共60个，除颜色外其他安全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有 个．
10．（2023·深圳模拟）一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球共20个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表：
摸球次数
摸到红球的频数
摸到红球的频率
估计袋中红球的个数是 ．
11．（2023·邢台模拟）在一个不透明的口袋中装有12个白球，16个黄球，24个红球，28个绿球，除颜色不同外其余都相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到某种颜色的球的频率稳定在0.3左右，则小明做试验时所摸到的球的颜色是 ．
12．（2023九下·江岸月考）某班准备在甲、乙、丙、丁四位同学中选出两名同学代表班级参加学校举行的“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，则乙同学不被选中的概率是 .
13．（2023·谷城模拟）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是 .
14．（2023·深圳模拟）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
三、解答题
15．（2023·吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
16．（2023·昆明模拟） 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
17．（2021九上·兴平期中）在一个不透明的袋中装有材质、大小完全相同的红球和黑球共100个，小明每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球的个数．
18．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
19．（2023·荆州）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
组别 身高分组 人数
A 155≤x＜160 3
B 160≤x＜165 2
C 165≤x＜170 m
D 170≤x＜175 5
E 175≤x＜180 4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 人，表中的 ，扇形统计图中α的度数是 ；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
20．（2023·福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
B、任意写一个整数，它能被2整除的概率的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2的概率是，符合题意；
D、暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一个球是白球的概率，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由统计图可知：试验结果在0.17附近波动，即其概率P=0.17，分别计算各选项的概率，即可判断.
2．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设该池塘有鱼x条，
第二次打捞80条，发现其中2条鱼有标志，则第二次打捞发现有标志的鱼的概率为，
则，解得，
经检验：是方程的解，
即该池塘有鱼800条.
故答案为：B.
【分析】设该池塘有鱼x条，由捕捞80条鱼，发现其中2条有标记，说明有标记的占到，进而根据用样本估计总体的思想，结合有标记的共有20条，即可列出方程，求解即可．
3．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是0.82.
故答案为：C
【分析】利用表中数据，随着实验次数的增加，可知这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率逐渐趋于稳定，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中两次都摸出白球的情况数为6，
∴两次都摸出白球的概率为.
故答案为：.
【分析】画出树状图，然后找出总情况数以及两次都摸出白球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
5．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】由题意可得：
由树状图可知：有6种等可能的情况数，能让两个小灯泡同时发光的情况有2种，
∴P（两个小灯泡同时发光）=.
故答案为：C.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
6．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，
∴该小孩为女孩的概率为：，
故答案为：C.
【分析】先画树状图，再求出共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，最后求概率即可。
7．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：设三把锁分别为A，B，C，相应的钥匙分别为a，b，c，第四把钥匙为d，
画出树状图如下：
由图可知：共有12种等可能情况，一次打开锁的情况数有3种，
所以一次打开锁的概率是.
故答案为：B.
【分析】列举出所有情况，看任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的情况数占总情况数的多少即可.
8．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可得：共有8种等可能的结果，其中3只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数为3，
∴3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率为.
故答案为：C.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及3只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数，然后利用概率公式进行计算.
9．【答案】9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：红色球的频率稳定在0.15左右，所以红色球的个数可能是：
60×0.15=9（个）
故答案为：9
【分析】根据频率估算概率的知识可得摸到红色球的概率约为0.15，然后根据概率公式进行计算.
10．【答案】5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.25附近，
∴“摸到红球”的概率的估计值是0.25，
即袋中红球的个数是：20 x0.25 =5(个)，
故答案为：5.
【分析】先求出“摸到红球”的概率的估计值是0.25，再求解即可。
11．【答案】红色
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：共有个球，
∵白球的概率为：，
黄球的概率为：，
红球的概率为：，
绿球的概率为：，
∴小明做实验时所摸到的球的颜色是红色，
故答案为：红色．
【分析】根据题意分别求出白球、黄球、红球和绿球的概率，再判断即可。
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出表格如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
共有12种情况，其中乙不被选中的情况数为6种，
∴乙不被选中的概率为.
故答案为：.
【分析】列出表格，找出总情况数以及乙不被选中的情况数，然后利用概率公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出表格如下：
1 2 3 4
1 ( 1，1） ( 1，2） ( 1，3） ( 1，4）
2 ( 2 ，1） ( 2，2） ( 2，3） ( 2，4）
3 ( 3 ，1) ( 3，2） ( 3，3） ( 3，4）
4 ( 4，1） ( 4，2） ( 4，3） ( 4 ，4）
由表格可得：共有16种情况，其中第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数为8，
∴第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为.
故答案为：.
【分析】画出表格，然后找出总情况数以及第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数，再利用概率公式进行计算.
14．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，
大寒用D表示，画树状图如下：
由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，
故答案为：.
【分析】先画树状图，再求出一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，最后求概率即可。
15．【答案】解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】先画出树状图或列表，进而得到所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
16．【答案】解：所有可能的结果如下：
乙甲 1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】先列表，进而得到共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果，进而根据等可能事件的概率即可求解。
17．【答案】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，
∴摸到红球的概率为0.85，
假设袋中有个红球，
∴，
解得：，
∴估计袋中红球有85个．
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得摸到红球的概率为0.85，假设袋中有x个红球，估计红球的个数÷球的总数=摸到红球的概率列出关于x的方程，求解即可.
18．【答案】（1）解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为；
（2）解：列表如下，
共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出所有可能结果即可求解；
（2）先根据题意列表，进而得到共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，然后根据等可能事件的概率即可求解。
19．【答案】（1）20；6；54°
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种
P（抽中两名女志愿者）=.
【知识点】统计表；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由扇形统计图可得A、B、D、E所占的比例之和为1-30%=70%，
由条形统计图可得A、B、D、E的人数之和为3+2+5+4=14，
∴这次被调查身高的志愿者有14÷70%=20人，m=20-14=6，
扇形统计图中α的度数为3÷20×360°=54°.
故答案为：20、6.
【分析】（1）由条形统计图以及扇形统计图可得A、B、D、E所占的比例之和以及人数之和，利用人数除以所占的比例可得总人数，进而可得m的值，利用A的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占扇形圆心角的度数；
（2）画出树状图，找出总情况数以及抽中两名女志愿者的情况数，然后利用概率公式进行计算.
20．【答案】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）解：他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）由题意可得：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，其中摸到红球只有1种情况，然后利用概率公式进行计算；
（2）记往袋中加入的球为“新”，利用列表法列举出摸得的两球所有可能的结果，然后分加入的是红球、黄球，找出两球颜色相同的结果数，利用概率公式求出对应的概率，然后进行比较即可判断.
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