第三章 §1
一、选择题
1．下列说法中一定正确的是( )
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一粒骰子掷一次得到“2点”的概率是，则掷6次一定会出现一次“2点”
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
[答案] D
[解析] A错误，会有“三投都不中”的情况发生；B错误，可能6次都不出现“2点”；C错误，概率是预测值，而该随机事件不一定会出现．
2．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
[答案] C
[解析] 频率是n次试验中，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，随着试验次数的增多，频率会越来越接近概率．
3．给出下列四个命题：
①集合{x||x|<0}为空集是必然事件；
②y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0是随机事件；
③若loga(x－1)>0，则x>1是必然事件；
④对顶角不相等是不可能事件．
其中正确命题的个数是( )
A．4 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ∵|x|≥0恒成立，∴①正确；
奇函数y＝f(x)只有在x＝0有意义时才有f(0)＝0，
∴②正确；
由loga(x－1)>0知，当a>1时，x－1>1即x>2；
当0
∴③错误，应是随机事件；
对顶角相等是必然事件，∴④正确．
4．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率为f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
[答案] D
[解析] 对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率，但并不是试验次数越多，所得频率就一定更接近于概率值.
5．给出下列三个命题，其中正确命题有( )
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] A
[解析] 由频率与概率的定义知三个结论都不对．
6.右图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相同，四位同学各自发表了下述见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；
乙：只要指针连续转六次， 一定会有一次停在6号扇形；
丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大．
其中，你认为正确的见解有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 丙正确．指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率均为.
二、填空题
7．任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97，据此下列说法正确的是________．
(1)任取一个标准班，A发生的可能性是97%；
(2)任取一个标准班，A发生的概率大概是0.97；
(3)任意取定10000个标准班，其中有9700个班A发生；
(4)随着抽取的班数n不断增大，A发生的频率逐渐稳定到0.97，且在它附近摆动．
[答案] (1)(4)
[解析] 由概率的定义可知(1)、(4)正确．
8．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表：
投篮次数
8
10
15
20
30
40
50
进球次数
6
8
12
17
25
32
38
据此估计这位运动员投篮一次，进球的概率为________．
[答案] 0.8
[解析] 由表中数据可知，随着投篮次数的增加，进球的频率稳定在0.8附近，所以估计这位运动员投篮一次，进球的概率是0.8.
三、解答题
9．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
[解析] (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，
用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，
其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率为＝，
用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
一、选择题
1．一个口袋中有12个红球，x个白球，每次任取一球(不放回)，若第10次取到红球的概率为，则x等于( )
A．8 B．7
C．6 D．5
[答案] B
[解析] 由概率的意义知，每次取到红球的概率都等于，∴＝，∴x＝7.
2．下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率均约为，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为，则摸5张奖券，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是
[答案] D
[解析] 抽奖无先后，每人抽到的概率相等．
二、填空题
3．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70)2个，并且样本在[30,40)之内的频率为0.2，则x等于________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10,50)的概率约为________．
[答案] 4 0.7
[解析] ∵样本总数为20个，
∴x＝20－16＝4；
所求概率约为P＝＝0.7.
4．一个总体分为A、B两层，其个体数之比为4∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为________．
[答案] 40
[解析] 先求B层个体数．
设B层有n个个体，则＝，解得n＝8.
8÷＝40.
所以总体中的个体数为40.
三、解答题
5．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下表所示：
抽取台数
50
100
200
300
500
1000
优等品数
40
92
192
285
478
954
(1)计算表中每次抽样检测的优等品的频率；
(2)该厂生产的电视机优等品的概率约为多少？
[解析] (1)结合频率公式fn(A)＝及题意可计算出优等品的频率依次为0.8,0.92,0.96,0.95，0.956，0.954；
(2)由(1)知，计算出的优等品的频率虽然各不相同，但却都在常数0.95附近摆动，且随着抽取台数的增加，摆动的幅度越来越小，因此，该厂生产的电视机优等品的概率约为0.95.
6．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
(1)计算表中进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
[解析] 由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为＝，＝，＝，，，＝.
(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员进球的概率为.
7．检查某工厂生产的灯泡，其结果如下：
抽出产品数n
次品数m
次品频率
5
0
10
3
60
7
150
19
600
52
900
100
1 200
125
1 800
178
2 400
248
(1)计算次品频率；
(2)利用所学知识对表中数据作简要的数学分析．
[解析] (1)根据频率计算公式，计算出次品出现的频率，如下表：
抽出产品数n
次品数m
次品频率
5
0
0
10
3
0.3
60
7
0.117
150
19
0.127
600
52
0.087
900
100
0.111
1 200
125
0.104
1 800
178
0.099
2 400
248
0.103
(2)从上表中的数字可看出，抽到次品数的多少具有偶然性，但随着抽样的大量进行，抽取的件数逐渐增多，则可发现次品率稳定在0.1附近．由此可估计该厂产品的次品率约为0.1.
课件50张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修3 概 率第三章§1 随机事件的概率第三章我们都知道成语“杞人忧天”的故事，传说古代齐国有一个人总是担心天会塌下来，于是整天吃不好饭、睡不好觉，后来有人用这个成语来比喻总是为没有必要的事而担忧的人．你可曾想过：“明天太阳是否真的一定能够升起？”事实上，我们没有必要为明天太阳是否升起而“杞人忧天”．那么如何来确定呢？1．频率与概率
(1)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在_________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________．这时这个常数叫作_________________，记作_____．
(2)频率反映了一个事件出现的___________，但频率是________，而概率是__________的值，因此，人们用概率反映____________________________．某个常数 稳定性 随机事件A的概率 P(A) 频繁程度 随机的 一个确定 随机事件发生的可能性的大小
(3)在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此我们常常通过做大量的___________，用随机事件发生的________作为它的概率的估计值．
2．生活中的概率
概率和日常生活有着密切的联系，对于生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的________与________．重复试验 频率 判断 决策
[特别提示]
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生. 1．下列说法中，正确的个数是( )
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件的概率；
③频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值；
④在条件不变的情况下，随机事件的概率不变．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 频率是概率的一个近似，对于一个具体事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近事件的概率．因而②说法错误，①③④说法正确．故选C.
2．有下列现象：
①早晨太阳从东方升起．
②连续抛掷一枚硬币两次，两次都出现正面向上．
③异性电荷相互吸引．
④在标准大气压下，水在0℃结冰．
其中是随机现象的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 依据随机现象的特点判断：当在相同条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现. 因此②是随机现象．①、③、④是必然现象．
3．下列结论错误的有( )
①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生；
②如果一件事发生的机会达到99.999%，那么它就必然发生；
③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生；
④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] 一件事发生的机会只有十万分之一，说明概率很小，但是也有可能发生，故①错误；一件事发生的机会达到99.999%，说明概率很大，但是也有可能不发生，故②错误；如果一件事不是不可能发生的，那么这件事是随机事件或必然事件，故③错误；如果一件事不是必然发生的，那么这件事是随机事件或不可能事件，故④错误．故选D.
4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．
[答案] 500
[解析] 随机事件A发生的频率为0.02，若事件A出现10次，则可能进行试验的次数为10÷0.02＝500.[答案] 70%随机事件的有关概念
[思路分析] 必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的是在一定条件下的随机现象．解决此类问题的关键是根据题意明确条件，正确判断在此条件下事先能否判定出现某种结果．
[规范解答] ①随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪.
②随机事件，函数y＝ax当a>1时在定义域上是增函数，当0③必然事件，实数的绝对值非负．
④不可能事件，在标准大气压下，水在0℃结冰.
⑤必然事件，若a、b∈R，则ab＝ba恒成立．
[答案] ③⑤ ④ ①②
[规律总结] 准确理解各类事件的定义，能够根据定义和生活常识，分析一些简单的综合问题．下列事件中，随机事件的个数为( )
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①③是随机事件；②④是不可能事件．频率与概率的联系与区别
[规范解答] 本题考查概率和频率之间的联系与区别，随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它虽然不是一个固定的数值，会在某一个常数附近摆动，但是随着试验次数的增加，这种摆动幅度越来越小，也即逐渐接近概率．
[答案] ①③
[规律总结] 频率与概率的区别与联系：
区别：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映了随机事件发生的可能性的大小．
联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，事件“正面朝上”出现了6次，则事件“正面朝上”的( )
A．概率为0.6 B．频率为0.6
C．频率为6 D．概率接近0.6
[答案] B
[解析] 由频率的计算公式知选B.用频率估算概率 [思路分析] 解答本题可先分析两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率，然后根据频率的稳定值估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率，进而分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别.
[规范解答] (1)贫困地区：
[规律总结] 频率本身是随机变量，当n很大时，频率总在一个稳定值附近，这个稳定值就是概率，因此，我们常通过这个稳定值来求概率．
[解析] (1)优等品出现的频率依次为0.900，0.920，0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，优等品出现的频率在0.95附近摆动，所以任抽一个乒乓球检测，结果为优等品的概率估计为0.95.[思路分析] 某射击选手击中靶心的概率为0.9，这只是说明他每次射击击中靶心的可能性的大小．而射击10次，击中的次数有可能小于9次，有可能等于9次，也有可能大于9次．
[规范解答] 从概率的统计定义来看，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中靶心9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为0.9n，其中n为射击次数，而且n越大，击中靶心的次数就越接近于0.9n.概率的意义
[规律总结] 本题中击中靶心的概率为0.9，这个值是经过大量的重复试验得出的一个统计值，但对于单独的一次或多次试验而言，该事件很有可能不发生或发生的可能性与大量试验得到的值相差很大，因而不能将概率值当作是必然发生的值来理解．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，则有90人会治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会治愈
C．说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
[答案] C
[解析] 概率是指一个事件发生的可能性的大小．治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说是治愈的可能性较大，故选C.用概率解释公平性
(1)你认为这个游戏公平吗？为什么？
(2)如果他们约定只用转盘转动两次做这个游戏(即如果两次指针对准的字母相同则小明获胜；如果不同，则小刚获胜)，你认为这样公平吗？
(3)请在此题基础上，设计一个对双方公平的游戏．
[思路分析] 游戏是否公平，关键要看每次试验两人获胜的机会是否相等．相等，则公平；不相等，则不公平．
[规律总结] (1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的．也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．
(2)要使不公平的游戏变成公平的游戏，可有两种方法：一是修改游戏规则，使每次游戏两人获胜的机会均等；二是修改游戏工具，即选择或设计使每次游戏两人获胜的机会均等的工具．有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢．
(1)这个游戏是否公平？请说明理由．
(2)如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏．
(2)游戏规则一：若出现两个相同面，则甲赢；若出现一正一反(一反一正)，则乙赢；
游戏规则二：若出现两个正面，则甲赢；若出现两个反面，则乙赢；若出现一正一反，则甲、乙都不赢，[错解] (1)是指抽出100个灯泡，能亮1000小时以上的灯泡有85个；(2)是指明天一定下雨；(3)是指参加45场比赛，其中有22场获胜．
[辨析] 没有正确理解概率的概念，混淆概率和频率．
[规律总结] 概率可以看作频率在理论上的期望值，而随机事件的频率可以看作是其概率的随机表现，随机事件的概率是固有的，客观存在的，可以在相同条件下通过大量重复试验予以识别和检验，而不能以一次或少数次的试验结果作判断．第三章 §2 2.1、2
一、选择题
1．下列对古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本事件出现的可能性相等；
④基本事件总数为n，若随机事件A包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
[答案] B
[解析] ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的定义及计算公式可知①③④正确．
2．下列试验是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，4球颜色除外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机投一点，该点落在圆面内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为：命中10环，命中9环，……命中0环
[答案] B
[解析] 对于A，发芽与不发芽概率不同；对于B，摸到白球与黑球的概率相同，均为；对于C，基本事件有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．因而选B.
3．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育两胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 事件“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本事件，即(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故两胎均为女孩的概率是.
4．从装有大小相同的3个红球和2个白球的口袋内任取1个球，取到白球的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 任取1球，有5种取法，取到1个白球有两种可能，所以取到白球的概率为.
5．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( )
A. B．
C. D．1
[答案] C
[解析] 列举基本事件，从甲、乙、丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，共3种；甲被选中的可能结果是(甲、乙)，(甲、丙)，共2种．所以P(“甲被选中”)＝.
6．(2014·陕西文，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 本题考查了古典概型．
“任取2个点”的所有情况有10种．而“距离小于正方形边长”的情况有4种(OA，OB，OC，OD)，
所求概率为＝.正确找出事件空间是关键．
二、填空题
7．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现有10个人依次摸出1个球，设第一个摸出的1个球是黑球的概率为P1，第十个人摸出黑球的概率是P10，则P1与P10的关系是________．
[答案] P10＝P1
[解析] 第一个人摸出黑球的概率为，第10个人摸出黑球的概率也是，所以P10＝P1.
8．先后从分别标有数字1,2,3,4的4个大小，形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率等于________．
[答案]
[解析] 基本事件总数为以下16种情况：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10种，
所以所求概率为＝.
三、解答题
9．某班数学兴趣小组有男生三名，分别记为a1、a2、a3，女生两名，分别记为b1、b2，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛．
(1)写出这种选法的基本事件空间；
(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率；
(3)求参赛学生中至少有一名男生的概率．
[解析] (1)从3名男生和2名女生中任选2名学生去参加校数学竞赛，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)(a3，b2)，(b1，b2)}．Ω由10个基本事件组成．
(2)用A表示“恰有一名参赛学生是男生”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}．
事件A由6个基本事件组成，故P(A)＝＝0.6.
(3)用B表示“至少有一名参赛学生是男生”这一事件，则B＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，事件B由9个基本事件组成，故P(B)＝＝0.9.
一、选择题
1．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 总事件数为8个，分别为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出现1次正面朝上”的事件为事件A，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，正)3个．所以，所求事件的概率为.
2．欲寄出两封信，现有两个邮箱供选择，则两封信都投到一个邮箱的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 可记两封信为1、2，两个邮箱为甲、乙，则寄出两封信，有两个邮箱供选择，有以下几种结果：
1放在甲中，而2放在乙中；2放在甲中，而1放在乙中，1、2均放在甲中；1、2均放在乙中．由上可知，两封信都投到一个邮箱的结果数为2.所以，两封信都投到一个邮箱的概率为.
二、填空题
3．先后抛掷两粒均匀的骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2xy＝1的概率为________．
[答案]
[解析] 要使log2xy＝1，必须满足2x＝y，即其中一粒骰子向上的点数是另一粒骰子向上点数的2倍，抛掷两粒均匀的骰子，共有36种等可能结果，其中构成倍数关系的点数是1与2、2与4、3与6共三种不同情况，故所求概率为P＝＝.
4．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．
[答案] 0.2
[解析] “从中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6)、(2.5,2.7)、(2.5,2.8)、(2.5，2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9)，共10种等可能出现的结果，又“它们的长度恰好相差0.3m”包括：(2.5,2.8)、(2.6,2.9)2种可能结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为0.2.
三、解答题
5．(2014·天津文，15)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
[分析] 列举出从6个不同元素中选出2个的所有可能结果，找出事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”对应的基本事件，由古典概型的概率公式求解．
[解析] (1)从6名同学中随机选出2人，共有{(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}共15种．
(2)M含基本事件为{(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)}共6种，
∴P(M)＝＝.
6．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
(2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．
[解析] 设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用(x，y)表示抽取结果，则所有可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．
(1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6种．
故所求概率P＝＝.
答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为.
(2)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5种．
故所求概率为P＝.
答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为.
7.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
[解析] 读懂题意，研究是否为古典概型，列出所有可能情况，找到事件A包含的可能情况，所有可能的情况共有27个，如图所示，据图可得结论．
(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的可能情况有1×3＝3个，故P(A)＝＝.
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的可能情况有2×3＝6个，故P(B)＝＝.
课件52张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修3 概 率第三章§2 古典概型第三章2.1 古典概型的特征和概率计算公式
2.2 建立概率模型齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现各出上等、中等、下等三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上(含两场)即为获胜．如齐王知道田忌的马的出场顺序，他获胜的概率是多大？如田忌知道齐王的马的出场顺序，他能获胜吗？如双方均不知对方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？1．古典概型
(1)定义：如果一个试验满足如下两个特征：
①有限性：试验的所有可能结果只有________个，每次试验只出现________________；
②等可能性：每一个试验结果出现的____________．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．有限 其中的一个结果 可能性相同
(2)计算公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个__________组成．如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为：P(A)＝________.基本事件
2．建立概率模型
(1)一般来说，在建立概率模型时，把什么看成一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是________，并且它们的发生是________的，那么这种概率模型就是古典概型．有限的 等可能
(2)对于同一个随机试验，可以根据需要，建立满足我们要求的__________．
(3)我们从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数________，问题的解决就变得越简单．
概率模型 越少 1．下列事件属于古典概型的是( )
A．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为基本事件
B．篮球运动员投篮，观察他是否投中
C．测量某天12时教室内的温度
D．一先一后抛掷两枚硬币，观察正反面出现的情况
[答案] D
2．一个家庭有两个小孩，则基本事件空间Ω是( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
[答案] C
[解析] 由于两个小孩有先后出生之分，应有4种结果，故选C.[答案] A4．将一粒骰子抛掷一次，得到奇数的概率是________．5．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：口袋内4个球是有区别的，摸出其中任意两个球都是一种结果，然后把各种情况一一列举出来．基本事件的个数判断
[规范解答] (1)共有6种不同结果，分别为{黑1，黑2}、{黑1，黑3}、{黑2，黑3}、{白，黑1}、{白，黑2}、{白，黑3}．
(2)从上面所有结果可看出摸出2个黑球的结果有3种．
[规律总结] 基本事件数的探求方法：①列举法，此法适合于较简单的试验．②树形图法：树形图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求． 袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)写出该试验的基本事件及基本事件总数；
(2)写出“取出的三球是二红一黑”这一事件包含的基本事件．
[解析] (1)由题意所有可能的基本事件有：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．共有8个基本事件．
(2)“取出的三球是二红一黑”这一事件包括(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)共3个基本事件. 古典概型的判断 [思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球．②每球有一个区别于其他球的编号，现从中摸一球．解答本题可先确立概率模型以及它是由哪些基本事件所构成，然后再判断该模型是否满足古典概型的特点，进而确定是否为古典概型．
[规范解答] (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号．故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
[规律总结] 针对这个类型的题目，首先看这个概率模型是由哪些基本事件所构成的，然后再研究这些基本事件的个数是否有限，出现的可能性是否相等．另外需注意的是基本事件的选择不同，结果可能有所不同．一个袋子中装有12个大小相同的球，其中4个黑球，8个白球，从中随机取一个球，求这个球是黑球的概率．这样的问题可以用古典概型来处理吗？给出你的理由．
[解析] 可以．
根据古典概型的两个基本特征；
(1)可能摸出的球的结果只有12个，即12个球中的任意一个；
(2)每个球被摸到的可能性是相同的．所以可以用古典概型来处理.古典概型的概率求法
[规律总结] (1)列举法可以使我们明确基本事件的构成，该法适合于基本事件的个数比较少的情况．
(2)列举时要按规律进行，通常采用分类方法列举，这样可以避免重复或遗漏．把一粒骰子抛6次，设正面出现的点数为x.
(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件)．
(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答)．
①x的取值为2的倍数(记为事件A)；
②x的取值大于3(记为事件B)；
③x的取值不超过2(记为事件C)；
④x的取值是质数(记为事件D)．
(3)判断上述事件是否为古典概型，并求出其概率．[思路分析] 可以用列表法列出所有可能的结果，再用古典概型概率计算公式求解．[规范解答] 把两枚骰子分别记为A，B，则点数和的可能的情况如下表所示：(3)先后抛掷两枚骰子的点数情况如下表所示：[规律总结] 在求概率时，通常把全体基本事件用列表或直角坐标系中的点表示，以方便我们更直接、更准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式求相应的概率．甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次．
(1)若两次数字之差的绝对值为0,1或2，则甲胜，否则乙胜；
(2)若两次数字之和是2的倍数，则甲胜，而若两次数字之和是3的倍数或5的倍数，则乙胜．分别求出两个游戏中甲、乙获胜的概率． [思路分析] 读懂题意，研究是否为古典概型，列出所有可能情况．[规范解答] 甲同学的胜负情况画树状图如下：[规律总结] 画出树状图，用列举法表示等可能的有限个试验结果，可以直观地理解题意，寻找解题思路．
[辨析] 错误的原因是重复计算了试验所在结果总数．其实，从5台中任取2台，按顺序(x，y)记录结果，x有5种可能，y有4种可能，但(x，y)和(y，x)是相同的，所以试验的所有结果应是5×4÷2＝10(种)．[规律总结] 在应用概率计算公式时，m，n求法应注意，要做到不重不漏，分类恰当，最有效方法是列举法．第三章 §2 2.3
一、选择题
1．如果事件A与B是互斥事件，则( )
A．A＋B是必然事件 B.与一定互斥
C.与一定不互斥 D.＋是必然事件
[答案] D
[解析] 特例检验：在掷一粒骰子的试验中，“上面出现点数1”与“上面出现点数2”分别记作A与B，则A与B是互斥而不对立的事件，A＋B不是必然事件，与也不互斥，∴A、B选项错误，＋是必然事件，还可举例验证C不正确．
2．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
[答案] C
[解析] 可根据互斥和对立事件的定义分析事件，③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有3个事件：“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件．
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为( )
A．0.99 B．0.98
C．0.97 D．0.96
[答案] D
[解析] 设“抽得正品”为事件A，则P(A)＝1－0.03－0.01＝0.96.
4．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则为( )
A．“至多2件次品” B．“至多2件正品”
C．“至少2件正品” D．“至多1件次品”
[答案] D
[解析] 至少2件次品与至多1件次品不能同时发生，且必有一个发生．
5．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
[答案] B
[解析] 设身高低于160 cm为事件M，身高在[160,175] cm为事件N，身高超过175 cm为事件Q，则事件M、N、Q两两互斥，且M＋N与Q是对立事件，则该同学的身高超过175 cm的概率为P(Q)＝1－P(M＋N)＝1－P(M)－P(N)＝1－0.2－0.5＝0.3.
6．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为( )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
[答案] C
[解析] 由题意知P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8， ①
P(A)＝3P(B)， ②
解①②组成的方程组知P(A)＝0.6.
二、填空题
7．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶．假设此人射击一次，则他中靶的概率大约是________．
[答案] 0.9
[解析] P＝＋＋＝＝0.9.
8．掷一粒骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．
[答案]
[解析] 表示“大于或等于5的点数出现”．
∵A与互斥，
∴P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
三、解答题
9．一个箱子内有9张票，其号数分别为1、2、…、9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？
[分析] 从9张票中任取2张，要弄清楚取法种数为×9×8＝36，“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”，用对立事件的性质求解非常简单．
[解析] 从9张票中任取2张，有
(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；
(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；
(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；
…
(7,8)，(7,9)；
(8,9)，共计36种取法．
记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．
∴P(C)＝＝，由对立事件的性质得
P(B)＝1－P(C)＝1－＝.
一、选择题
1．甲袋中有大小相同的4只白球、2只黑球，乙袋中有大小相同的6只白球、5只黑球，现从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 基本事件总数有6×11＝66，而两球颜色相同包括两种情况：两白或两黑，其包含的基本事件有4×6＋2×5＝34(个)，故两球颜色相同的概率P＝＝.
2．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．③
[答案] D
[解析] 从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”，由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有1只白球”包含“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”三种情况，故是对立事件．
二、填空题
3．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．
[答案]
[解析] 记“没有5点或6点”的事件为A，则P(A)＝，“至少有一个5点或6点”的事件为B.由已知A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
4．一枚五分硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”．写出一个事件A、B、C的概率P(A)、P(B)、P(C)之间的正确关系式__________．
[答案] P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
[解析] 一枚五分硬币连掷三次包含的基本事件有(反，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(正，正，正)共8种，事件A＋B＋C刚好包含这8种情况，且它们两两互斥，故P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
三、解答题
5．在某一时期，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位
低于10m
10～12m
12～14m
14～16m
不低于16m
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流该处的年最高水位在下列范围内的概率．
(1)10～16m；(2)低于12m；(3)不低于14m.
[解析] 分别设年最高水位低于10m，在10～12m，在12～14m，在14～16m，不低于16m为事件A，B，C，D，E.因为这五个事件是彼此互斥的，所以
(1)年最高水位在10～16m的概率是：
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)年最高水位低于12m的概率是：
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)年最高水位不低于14m的概率是：
P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
6．某射手射击一次，中靶的概率为0.95.记事件A为“射击一次中靶”，求：
(1)的概率是多少？
(2)若事件B(环数大于5)的概率是0.75，那么事件C(环数小于6)的概率是多少？事件D(环数大于0且小于6)的概率是多少？
[解析] (1)P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)由题意知，事件B即为“环数为6,7,8,9,10环”
而事件C为“环数为0,1,2,3,4,5环”，
事件D为“环数为1,2,3,4,5环”．
可见B与C是对立事件，而C＝D＋.
因此P(C)＝P()＝1－P(B)＝1－0.75＝0.25.
又P(C)＝P(D)＋P()，
所以P(D)＝P(C)－P()＝0.25－0.05＝0.20.
7．(2014·四川文，16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解析] (1)由题意，(a，b，c)所有的可能为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，
(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，
(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
课件49张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修3 概 率第三章§2 古典概型第三章2.3 互斥事件“鱼与熊掌不可兼得”新解：解说一：鱼和熊掌同时放在锅里炖，鱼先熟熊掌后熟，如果要鱼那熊掌就不能吃，如果要熊掌那鱼就过火了，故“二者不可兼得”．解说二：熊要吃鱼，要保护鱼就要饿死熊，保护熊就要吃掉鱼，故“二者不可兼得”．在生活中我们常常会遇到这样的两个事情，它们不能同时发生，你是取“鱼”，还是取“熊掌”？1．互斥事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下______________的两个事件A与B称作互斥事件．
2．事件A与B的和
给定事件A，B，我们规定事件A＋B是一个事件，事件A＋B发生是指________________________．对于三个或三个以上事件，结论同样成立．不能同时发生事件A和B至少有一个发生 3．互斥事件的概率加法公式
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有P(A＋B)＝____________.对于三个或三个以上事件，上式结论同样成立，即如果事件A1，A2，A3，…，An是互斥事件，则有P(A1＋A2＋A3＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋…＋P(An)． P(A)＋P(B) 同时发生 必有一个发生[特别提示]
互斥事件与对立事件的异同
不同点是：
1．由定义，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件；
2．对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件可以是两个事件，也可以推广到n(n∈N＋)个事件；
3．在一次试验中，互斥的两个事件可能都不发生，但是对立的两个事件必然有一个发生．
相同点是：这两种类型的事件都不可能同时发生．
利用集合的观点来判断
设事件A与B它们所含的结果组成的集合分别是A、B，①若事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；②若事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.1．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
[答案] C
[解析] “至少有一次中靶”即为“一次中靶或两次中靶”，据互斥事件是不能同时发生的这一定义知，应选C.
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
[答案] D
[解析] 甲不输棋包含甲获胜或甲、乙二人下成和棋，则甲、乙二人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个黑球与都是黑球
B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．恰有1个黑球与恰有2个黑球
D．至少有1个黑球与都是红球
[答案] C
[解析] “从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球”这一事件共包含3个基本事件，关系如图所示. 显然恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立．
4．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]克的概率为0.5，那么重量小于等于300克的概率为________．
[答案] 0.7
[解析] 重量小于等于300克包含两种情况，重量小于200克和重量在[200,300]克两种情况，所以重量小于等于300克的概率为0.2＋0.5＝0.7.
5．袋内装有大小相同的红球、白球和黑球各若干个，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.6，则摸出白球的概率是________．
[答案] 0.1
[解析] 设摸出红球为事件A，摸出黑球为事件B，摸出白球为事件C，则事件A、B、C两两互斥，且事件C与A＋B对立，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.3－0.6＝0.1.“互斥事件”与“对立事件”的区别和联系
[思路分析] 解答本题可先判断每一组的两个事件能否同时发生，进而再判断是否必有一个发生，然后再下结论．
[规范解答] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件．所以不是对立事件．
(2)不是互斥事件，从而也不是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生．
(3)不是互斥事件，从而也不是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
(4)是互斥事件，也是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件．
[规律总结] 判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生，若不同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．下列给出的每对事件，是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由．
从40张扑克牌(红心、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任意抽取1张．
(1)“抽出红心”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”
[分析] 根据互斥事件和对立事件的定义，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指在一次试验中不可能同时发生并且一定有一个发生的两个事件．
[解析] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红心”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能“抽出方块”或者“抽出梅花”，因此二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件.互斥事件的概率计算 [思路分析] 由题意知从袋中取球得到黑球、黄球和绿球的事件是互斥事件，因此摸到两种或两种以上球的概率可以用互斥事件的概率加法公式，本题中是已知的概率，求各自的概率，我们只需建立方程，便可求出．
[规律总结] (1)公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A＋B”的意义．[分析] (1)抛掷骰子，事件“出现3点”和“出现6点”是彼此互斥的，可运用概率的加法公式求解. (2)本题是求A＋B的概率，而A与B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．对立事件的概率的计算 [思路分析] “该生属于不止1个社团”分为属于2个社团，3个社团两种情况，若直接求解，则较为复杂，可考虑利用其对立事件求解．
[规律总结] (1)求复杂事件的概率通常有两种方法：
一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率．
(2)涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解．2014年8月1日贵诚购物中心举行“庆祝建军节回报顾客”的超低价购物有礼活动，某人对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下：
求：(1)至多30人排队的概率；
(2)至少31人排队的概率．
[解析] (1)记“0～10人排队”为事件A，“11～20人排队”为事件B，“21～30人排队”为事件C，A，B，C三个事件彼此互斥，故所求概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)记“至少31人排队”为事件D，由(1)知“少于31人排队”为A＋B＋C，那么事件D与事件A＋B＋C互为对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B＋C)＝1－P(A)－P(B)－P(C)＝1－0.1－0.16－0.3＝0.44.互斥事件与对立事件的应用
[规律总结] 概率加法公式只适用于互斥事件的概率问题，因此，在应用此公式前必须先判断它们是否互斥，以免导致解题错误．在解决概率问题时，要注意灵活使用对立事件的概率公式进行求解，以提高解题速度．一个盒中装有除颜色外完全相同的12个球，其中有5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[错解] A
[辨析] 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
[正解] 事件“甲穿黄衣”与“乙穿黄衣”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，也有可能两个都不发生，它们为互斥但不对立事件，所以应选C.
[规律总结] 正确理解并掌握互斥事件，对立事件的概念，掌握两者间的区别联系，是解决此类问题的关键．第三章 §3
一、选择题
1．如图，在地面上放置一个塑料圆盘，吉克将一粒玻璃球丢到该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是( )
A. B．
C. D．1
[答案] A
[解析] 玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机的，也是等可能的，并且在该圆盘的任何位置是无限多种，因此该问题是几何概型．由于A区域占整个圆形区域面积的，所以玻璃球落入A区的概率为.
2．在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是( )
A．0.001 B．0.002
C．0.004 D．0.005
[答案] C
[解析] P＝＝0.004.
3．在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25cm2与49cm2之间为事件A，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10cm，则P(A)＝＝.
4．在5万km2的某海域里有表面积达40km2的大陆架储藏着石油．若在这海域里随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] P＝＝.
5.将一个长与宽不等的矩形沿对角线分成四个区域(如右图)，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动．对该指针在各区域停留的可能性下列说法正确的是( )
A．一样大 B．蓝白区域大
C．红黄区域大 D．由指针转动圈数决定
[答案] B
[解析] 由题意可知这是一个几何概型问题，因为指针自由转动时，指向哪个区域是等可能的，但由于矩形的长与宽不等，显然蓝白相对的角度比红黄相对的角度大些，据几何概型概率公式，可知指针落在蓝白区域的概率要大于指针落在红黄区域的概率．
6．在区间[－1,1]上随机地任取两个数x、y，则满足x2＋y2<的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 由于在区间[－1,1]上任取两数x，y有无限种不同的结果，且每种结果出现的机率是均等的，因此，本题为几何概型．
由条件知－1≤x≤1，－1≤y≤1，∴点(x，y)落在边长为2的正方形内部及边界上，即Ω＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，∴μΩ＝4.记事件A＝“x2＋y2<”，则μA＝，∴P(A)＝＝，故选A.
二、填空题
7．(2014·福建文，13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
[答案] 0.18
[解析] 由几何概型的概率可知，所求概率P＝＝＝0.18，∵S正＝1×1＝1，∴S阴＝0.18×1＝0.18.
8．甲、乙两位同学玩掷飞镖的游戏，他们分别用如图中(1)、(2)所示的两个靶子，甲用的等边三角形的靶子被其三条角平分线分割成A、B、C三部分；乙用的圆形的靶子被互相垂直的直径和半径也分割成A、B、C三部分．在三角形靶子中，飞镖随机地落在区域A、B、C中的概率分别是________；在圆形靶子中，飞镖没有落在区域C中的概率是________．
[答案] 、、
[解析] 由等边三角形的性质知三条角平分线将等边三角形分成面积相等的三部分，则P(落在区域A中)＝，P(落在区域B中)＝，P(落在区域C中)＝；而在圆形靶子中，区域C的面积是圆面积的，则P(没有落在区域C中)＝1－＝.
三、解答题
9．已知单位正方形ABCD，在正方形内(包括边界)任取一点M，求：
(1)△AMB面积大于等于的概率；
(2)AM的长度不小于1的概率．
[解析] (1)如图，取BC、AD的中点E、F，连接EF，当M在CEFD内运动时，△ABM的面积大于等于，由几何概型定义得P＝＝.
(2)如图，以AB为半径作圆弧，M在阴影部分时，AM的长度大于等于1，由几何概率的意义知P＝＝1－×π×12＝1－.
一、选择题
1.如图，已知O(0,0)，A(30,0)，B(30,30)，C(0,30)，E(12,0)，F(30,18)，P(18,30)，Q(0,12)，在正方形OABC内任意取一点，则该点在区域OEFBPQ内的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 依题意可得正方形OABC的面积为900，区域OEFBPQ的面积为900－2××182＝576.记“该点在区域OEFBPQ内”为事件A，所以P(A)＝＝.
2．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]使f(x0)≤0的概率是( )
A．1 B．
C. D．
[答案] C
[解析] 任取一点x0∈[－5,5]的结果有无限多个，属于几何概型．画出函数f(x)的图像(图略)，由图像得当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0.设“使f(x0)≤0”为事件A，则事件A构成的区域长度是2－(－1)＝3，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P(A)＝.故选C.
二、填空题
3．在直角坐标系xOy中，设集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，在区域Ω内任取一点P(x，y)，则满足x＋y≤1的概率等于________．
[答案]
[解析] 集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的平面区域是边长为1的正方形及其内部的点，如图所示，其面积为1，点P所表示的平面区域为等腰直角三角形及其内部的点，其直角边长为1，面积为，则满足x＋y≤1的概率为P＝.
4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________.
[答案]
[解析] 如图，
点B可落在优弧上，其弧长为2，由几何概型知概率为.
三、解答题
5．(1)向面积为6的△ABC内任投一点P，求△PBC的面积小于2的概率．
(2)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，求△PBC的面积大于的概率．
[解析] (1)取△ABC边BC上的高AE的三等分点M，过点M作BC的平行线，当点P落在图中阴影部分时，△PBC的面积小于2，故概率为＝.
(2)据题意基本事件空间可用线段AB的长度来度量，事件“△PBC的面积大于”可用距离A长为AB的线段的长度来度量，故其概率为＝.
6．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
[解析] 记A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如右图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则小等边三角形的边长为4－2＝2，由几何概型的概率公式得
P(A)＝＝.
7．如图所示，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为·S，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，求落入M中的点的数目．
[解析] 记“点落入M中”为事件A，则有P(A)＝＝，
所以向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，落入M中的点的数目为：
10 000×＝25 00.
也可由S′＝·S直接代入，即S′＝1，S＝4，n＝10 000，
所以m＝＝＝2 500.
答：落入M中的点的数目为2 500.
课件42张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修3 概 率第三章§3 模拟方法——概率的应用第三章向一个圆面内随机地投一粒黄豆，如果该粒黄豆落在圆内任意一点都是等可能的，那么这个试验是古典概型吗？因为试验的所有可能结果是圆面内的所有点，试验的所有结果是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，但是这个试验不是古典概型．本节课我们来研究此类试验的特征及其概率．1．模拟方法
虽然可以通过做大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但是，人工进行试验费时、费力，并且有时是不可能实现的．因此，我们常常借助_________来估计某些随机事件发生的概率，用_________可以在短时间内完成大量的重复试验．对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值．模拟方法在实际中有很多应用．模拟方法 模拟方法 形状 位置 有限区域 体积之比 长度之比 1．几何概型与古典概型的区别是( )
A．几何概型的基本事件是等可能的
B．几何概型的基本事件的个数是有限的
C．几何概型的基本事件的个数是无限的
D．几何概型的基本事件不是等可能的
[答案] C
[解析] 几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个．[答案] B3．下列概率模型中是几何概型的有( )
①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内任投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] B[解析] ①不是几何概型，虽然[－10,10]有无限多个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，且被投到的概率相等，故满足无限性和等可能性．[答案] 205．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是__________、__________、__________. (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯[思路分析] 从每一个位置上剪断绳子是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点，基本事件有无限多个且是等可能的，事件发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关，符合几何概型的条件．长度模型的几何概型
[规律总结] 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形边上爬行，某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为________．[思路分析] 射线OC随机地落在∠AOB内部，故∠AOB为所有试验结果构成的区域，作∠BOE＝∠AOD＝30°，当射线OC落在∠DOE内部时，∠AOC和∠BOC都不小于30°，故∠DOE为构成事件的区域；这显然是一个与角度有关的几何概型．角度的几何概型 如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．[思路分析] 利用平面直角坐标系化归为平面点集求解．面积模型的几何概型 现向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．[思路分析] 由于高个不抗风型种子所在位置是随机的，所以取得这粒种子的概率只与所取出的种子的体积有关，这符合几何概型条件． 体积模型的几何概型 [规律总结] 如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确地找出基本事件所占的总体积及事件A所分布的体积．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有带麦锈病的种子的概率是多少？[辨析] 错在把等可能性理解为弦的中点H在直径PQ上均匀分布，没有弄清题意．
[规律总结] 计算几何概型问题的概率，就要先计算基本事件总体与事件A所包含的基本事件对应的区域的几何度量(如长度、面积、体积等)，这往往是分析与理解的困难所在．此外对几何概型问题中的等可能性的理解也特别重要．第三章基础知识测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛掷一只骰子，落地时向上的点数是5的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 掷一次骰子相当于做一次试验，因为骰子是均匀的，它有6个面，每个面朝上的机会是均等的，故出现5点的可能性是.
2．下列结论正确的是( )
A．事件A的概率P(A)必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
[答案] C
[解析] A，B明显不对，C中，380÷500＝76%，正确．D中，购买此券10张，可能一张也不中奖．
3．两根电线杆相距100 m，若电线遭受雷击，且雷击点距电线标10 m之内时，电线杆上的输电设备将受损，则电线遭受雷击时设备受损的概率为( )
A．0.1 B．0.2
C．0.05 D．0.5
[答案] B
[解析] 概率P＝＝0.2.
4．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 这是一个与长度有关的几何概型．所求的概率P＝＝.
5．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到卡片是7的倍数的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 令1≤7k≤100(k∈Z)，则≤k≤14，所以k＝1,2，…，14.即在1～100中共有14个7的倍数，故所求概率P＝.
6．某产品的设计长度为20 cm，规定误差不超过0.5 cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] P＝＝.
7．(2014·辽宁文，6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 总面积2×1＝2.
半圆面积×π×12＝.∴p＝＝.
8．将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是( )
A. B．
C. D．1
[答案] C
[解析] 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种可能的结果，至少出现一次正面向上包含了3个基本事件，故所求概率为.
9．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
[答案] B
[解析] 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为＝＝0.25.
10．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 本题考查几何概型问题．
由题意如图
知点C在C1C2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm2, ∴P＝＝.
注意几何概型用长度刻画．
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.4和0.35，那么黑球共有________个．
[答案] 25
[解析] 可求得摸出黑球的概率为1－0.4－0.35＝0.25，袋中共有100个球，所以黑球有25个．
12.如图所示，在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b.向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．
[答案]
[解析] S矩形＝ab，S梯形＝(a＋a)·b＝ab，
故所投的点落在梯形内部的概率为＝＝.
13．(2014·广东文，12)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．
[答案]
[解析] 本题考查古典概型．
基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)(c，e)，(d，e)共10个，含a的有4个，故概率为＝.写全基本事件个数是解决问题的关键．
14．设集合P＝{－2，－1,0,1,2}，x∈P且y∈P，则点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部的概率为________．
[答案]
[解析] 以(x，y)为基本事件，用列表法或坐标法可知满足x∈P且y∈P的基本事件有25个，且每个基本事件发生的可能性都相等．点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部，则x，y∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足x∈{－1,1,0}且y∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部的概率为.
15．有5根木棍，它们的长度分别是3,4,6,7,9，从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是________．
[答案]
[解析] 从长度为3,4,6,7,9的5根木棍中任取3根，基本事件总数为10，其中事件“不能构成三角形”用A表示，有长度为3,4,7；3,4,9；3,6,9的三种情况，所以P(A)＝，故P()＝1－P(A)＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环的次数m
8
17
47
87
182
452
击中10环的频率
(1)计算表中击中10环的各个频率；
(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？
[解析] (1)填表如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环的次数m
8
17
47
87
182
452
击中10环的频率
0.8
0.85
0.94
0.87
0.91
0.904
(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.
17．(本小题满分12分)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，观察向上的点数，问：
(1)共有多少种不同的结果？
(2)所得点数之和是3的概率是多少？
(3)所得点数之和是3的倍数的概率是多少？
[解析] (1)先后抛掷两枚骰子，第一枚骰子出现6种结果，对其每一种结果，第二枚又有6种可能结果，于是一共有6×6＝36(种)不同的结果．
(2)所得点数之和为3记为事件A，共有两种结果：“第一枚点数为1，第二枚点数为2”和“第一枚点数为2，第二枚点数为1”，故所求概率为
P(A)＝＝.
(3)第一次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第二次抛掷时都可以有两种结果，使两次向上的点数和为3的倍数(例如第一次向上的点数为4，则当第二次向上的点数为2或5时，两次的点数之和都为3的倍数)，于是共有6×2＝12(种)不同的结果．
因为抛掷两枚骰子得到的36种结果是等可能出现的，记“向上的点数之和是3的倍数”为事件B，则事件B的结果有12种，故所求的概率为P(B)＝＝.
18．(本小题满分12分)某城市为了发展地铁，事先对地铁现状做一份问卷调查，为此，成立了地铁运营发展指挥部，下设A，B，C三个工作组，其分别有组员24人、24人、12人．为搜集意见，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个工作组抽取5名工作人员来完成．
(1)求从三个工作组分别抽取的人数；
(2)问卷调查搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这2名工作人员没有A组工作人员的概率.
[解析] (1)三个工作组的总人数为24＋24＋12＝60，
样本容量与总体中个体数的比为＝，
所以从三个工作组分别抽取的人数为2,2,1.
(2)设A1，A2为从A组抽得的2名工作人员，B1，B2为从B组抽得的工作人员，C1为从C组抽得的工作人员．
若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所有可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有10种，
其中没有A组工作人员的结果有(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有3种，所以所求的概率P＝.
19．(本小题满分12分)设点(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，试求方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数的概率．
[解析] 基本事件总数的区域A的测度为正方形的面积，即A的测度＝62＝36.
由方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，
∴p2＋q2≥1.
∴当点(p，q)落在如右图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，区域B的测度＝S正方形－S⊙O＝36－π，
∴原方程两根都是实数的概率是P＝.
20．(本小题满分13分)设x∈(0,4)，y∈(0,4)．
(1)若x∈N*，y∈N*，以x，y作为矩形的边长，记矩形的面积为S，求S<4的概率；
(2)若x∈R，y∈R，求这两数之差不大于2的概率．
[解析] (1)若x∈N*，y∈N*，则(x，y)所有的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9个，满足S<4的(x，y)所有的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)共5个，故S<4的概率为.
(2)所有结果的区域为Ω＝{(x，y)|0则P(A)＝＝.
21．(本小题满分14分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排1人，每人最多排一天)．
(1)一共有多少种安排方法？
(2)其中甲、乙2人都被安排的概率是多少？
(3)甲、乙两人中至少有1人被安排的概率是多少？
[解析] (1)用“甲乙”表示安排甲担任周六值班任务，安排乙担任周日值班任务，则所有的安排情况如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，共有12种安排方法．
(2)由(1)知在甲、乙、丙、丁4人中安排2人的结果是有限个，属于古典概型．甲、乙2人都被安排的情况包括：甲乙，乙甲，共2种，所以甲、乙2人都被安排(记为事件A)的概率P(A)＝＝.
(3)方法一：“甲、乙2人中至少有1人被安排”与“甲、乙2人都不被安排”这两个事件是对立事件，因为甲、乙2人都不被安排的情况包括：丙丁，丁丙，共2种，则甲、乙两人都不被安排的概率为＝，所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1－＝.
方法二：甲、乙2人中至少有1人被安排的情况包括：甲乙，甲丙、甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共10种，所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝＝.
课件74张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修3概 率第三章章末归纳总结第三章
4．互斥事件
(1)一般地，在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A和B称为互斥事件．
(2)互斥事件的特征：①互斥事件研究的是两个事件之间的关系；②所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的；③两个事件互斥是从试验的结果不能同时发生来确定的．
(3)给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生(推广：事件A1＋A2＋…＋An表示在一次随机试验中，A1，A2，…，An中至少有一个发生)．
(4)互斥事件的概率加法公式：如果事件A与B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(推广：P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An))．说明：G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．解决这类问题的关键是应理清频率与概率的关系，频率是概率的估计值，是随机的，随着试验的不同而变化，而概率是多次的试验中频率的稳定值，是一个常数．不要以一次或少数次试验中的频率来估计概率．随机事件的频率与概率
(3)假如该射手射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都不击中靶心吗？
(4)假如该射手射击了10次，前9次已击中8次，那么第10次一定击中靶心吗？
[规范解答] (1)概率约为0.9.
(2)期望击中次数为300×0.9＝270(次)．
(3)不一定．
(4)不一定．
[规律总结] 本题主要考查频率与概率的关系，它们有着本质的区别，频率随着试验次数的变化而变化，而概率是一个确定的常数，与试验次数无关，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于概率．因此可以通过事件发生的频率去估计概率．某人发现中国人在邮箱名称里喜欢用数字，于是他做了调查，结果如下表：
(1)填写上表中的频率(精确到0.01)；
(2)中国人的邮箱名称里使用数字的概率是多少？
[解析] (1)由频率公式可算出，表格中应填的频率从左到右依次为：0.60、0.60、0.62、0.61、0.59、0.61、0.60、0.60.
(2)由(1)知，计算出的频率虽然不全相同，但都在常数0.6附近摆动，因此，中国人的邮箱名称里使用数字的概率约为0.6. [规范解答] (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示)：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，
(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
因此，共有10个基本事件．基本事件与概率 [规律总结] 对于生活应用题，利用韦恩图进行分类，有助于解题．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．另外在古典概型问题求概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及所求事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏地列举出来．古典概型 (1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；
(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；
(3)在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．[规律总结] 在求概率时，如果应用古典概型求，应首先判断是否符合古典概型的两个特点：等可能性和有限性，另外，摆出所有基本事件是至关重要的．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1,2,3,4，现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；
(2)若第一次随机抽1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率．几何概型的概率公式适用于有无限多个试验结果的情况，且每种结果的出现是等可能的．试验的结果发生在一个确定的区域内，由于在确定范围内的等可能性，所以其概率等于该事件构成的子区域占总区域的比例．依这种比例求解，类似古典概型的思路，即事件A的概率由“构成事件A的基本事件所占的图形面积(长度、体积)”与“试验的全部结果所占的总面积(长度、体积)”之比来表示．几何概型及其应用 [思路分析] 构成三角形要用三边长的度量，设出两边，再表示第三边．[规范解答] 如图所示，设A＝“3段长度能构成三角形”，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y.
则试验的全部结果可构成集合G＝{(x，y)|0[规律总结] 一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量(如本例中的(x，y))来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型．如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是________．互斥事件和对立事件，都是研究怎样从一些简单的事件的概率的计算来推算较复杂事件的概率，应用互斥事件的概率的加法公式解题，备受高考命题者的青睐，应用公式时一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率，下面举例说明．互斥事件、对立事件 [规范解答] (1)对任一个人，其血为A，B，AB，O型血的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知条件得：P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人” 为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，有：
P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
故任找一个人，其血可以输给小明的概率是0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输出B型血的人”为事件A′＋C′，且A′与C′为互斥事件，有：
P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
故任找一个人，其血不能输给小明的概率为0.36.
[规律总结] 本题既可以使用互斥事件的加法公式求解，也可以使用对立事件的公式求解．对于第(2)问也可以这样解答：因为事件“其血型可以输给B型血的人”与事件“其血型不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式为：P(A′＋C′)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
[答案] C
[解析] 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生、另一个不发生，可能两个都不发生. 概率与其他知识的综合应用
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．(2014·东北四市联考)国家统计局发布最新数据显示，2013年11月份全国副省级城市中CPI(消费物价指数)值位于前15位的城市具体情况如下表：(1)求这15个城市CPI值的平均值及众数；[答案] B2．下列四个命题：
①对立事件一定是互斥事件；
②A、B为两个互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④事件A、B满足P(A)＋P(B)＝1，则A、B是对立事件．
其中错误命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C[答案] D[答案] A二、填空题
5．如图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________．6．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是________．
7．从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45g的概率为0.22，质量不小于2.50g的概率为0.20，则质量在2.45～2.50g范围内的概率为________．
[答案] 0.58
[解析] 质量在2.45～2.50g范围内的概率为
1－0.22－0.20＝0.58.三、解答题
8．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 2014年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见表：某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).
(1)分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数，并由此判断哪个小区的空气质量较好一些；
(2)若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率．课件5张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修3概 率第三章古代有个王国世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚在临刑前都要抽一次“生死签”．如果抽到“死”字的签则立即处刑；如果抽到“生”字的签则被认为这是神的旨意应予当场赦免．
一次国王决定处死一个“犯上”的大臣，把“生死签”的两张纸都写成“死”字，由于走漏了消息，执法官宣布抽签的办法后，囚臣抽出一张签纸塞进嘴里，等到执法官反应过来，嚼烂的纸早已吞下，执法官赶忙追问：“你抽到‘死’字签还是‘生’字签？”囚臣说：“看剩下的签是什么字就清楚了．”囚臣巧妙地利用了概率的知识救了自己一命．我们要认真学习概率，正确地利用概率可以很好地服务于我们．第三章综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于概率是1‰的事件，下列说法正确的是( )
A．概率太小，不可能发生
B．1 000次中一定发生1次
C．1 000人中，999人说不发生，1人说发生
D．1 000次中有可能发生1 000次
[答案] D
[解析] 概率是1‰是说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小，故选D.
2．下列事件中，随机事件是( )
A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间
B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间
C．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间
D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间
[答案] C
[解析] 选项A为必然事件，选项B与D为不可能事件，只有C为随机事件．
3．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm，从中任取一根，取到长度超过30 mm的纤维的概率是( )
A. B．
C. D．以上都不对
[答案] B
[解析] 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为.
4．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 不妨设两间空房为A、B，则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为：甲、乙都住A；甲、乙都住B；甲住A，乙住B；甲住B，乙住A共4种情况．其中甲、乙两人各住一间的情形有2种，故所求的概率P＝＝.
5．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条总共有4种情况，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P＝.
6.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 据题意得＝＝?S阴影＝.
7．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是的是( )
A．颜色全相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．无红颜色球
[答案] B
[解析] 共有3×3×3＝27种可能，而颜色全相同有三种可能，其概率为.因此，颜色不全相同的概率为1－＝，故选B.
8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．1－ B．－
C. D．
[答案] A
[解析] 本题考查几何概型的计算方法．
设图中阴影面积为S1，S2，令OA＝R，∴S2－S1＝－π·()2＝0，即S2＝S1，
由图形知，S1＝2(S扇ODC－S△ODC)
＝2[－·()2]＝，
∴P＝＝＝1－，
充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积．
9．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 本题主要考查古典概型概率的求法，关键是求出可能结果的种数．
4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有24＝16种，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－＝.
10．在边长为2的正方形ABCD中，E、F、G、H分别是正方形ABCD四边的中点，将均匀的粒子撒在正方形中，则粒子落在下列四个图中阴影部分区域的概率依次为P1，P2，P3，P4，则关于它们的大小比较正确的是( )
A．P1C．P1＝P4[答案] D
[解析] 正方形ABCD的面积为2×2＝4，对于图1，阴影部分区域的面积为4－4×，所以概率为P1＝；对于图2，阴影部分区域的面积为π，所以概率为P2＝；对于图3，阴影部分区域的面积为4－2×＝3，所以概率为P3＝；对于图4，阴影部分区域的面积为×2×2＝2，所以概率为P4＝，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．
[答案] 0.32
[解析] 白球个数为100×0.23＝23，黑球个数为100－45－23＝32，所以摸出黑球的概率为＝0.32.
12．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________．
[答案]
[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇数”的概率P＝＝，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－＝.
13．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
[答案]
[解析] 本题主要考查几何概型．
∵去看电影的概率P1＝＝；
∴去打篮球的概率P2＝＝.
小波不在家看书的概率P＝＋＝.
14．从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是__________________．
[答案]
[解析] 从4件产品中不放回的任取两件，共有基本事件总数为4×3÷2＝6.取出的两件中恰有一件次品，则另一件为正品包括1×3＝3(种)可能结果，故恰有一件次品的概率为＝.
15.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是________．
[答案]
[解析] 连接AC，则tan∠CAB＝，∠CAB＝，由几何概型的计算公式得P＝＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取两次．求：
(1)两次全是红球的概率；
(2)两次颜色相同的概率；
(3)两次颜色不同的概率．
[解析] 因为是有放回地抽取两次，所以每次取到的球可以都是红球，也可以都是黄球．把第一次取到红球，第二次取到红球简记为(红，红)，其他情况用类似记法，则有放回地抽取2次，所有的基本事件有4个，分别是：
(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)．
(1)两次全是红球的概率是P1＝.
(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥，因此两次颜色相同的概率是P2＝＋＝.
(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件，所以两次颜色不同的概率是P3＝1－＝.
点拨：可用枚举的方法把所有基本事件列举出来，解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事件求解．
17．(本小题满分12分)现从A，B，C，D，E五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会均等．求：
(1)A被选中的概率；
(2)A和B同时被选中的概率；
(3)A或B被选中的概率．
[解析] 基本事件有“ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，CDE，BCD，BCE，BDE，ADE”共10个．
(1)事件A被选中包含6个基本事件，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE.
∴P1＝＝0.6.
(2)事件A和B同时被选中包含3个基本事件，
即ABC，ABD，ABE，
∴P2＝＝0.3.
(3)A、B都不被选中只有事件CDE一种，所以事件A或B被选中包含9个基本事件，
∴P3＝＝0.90.
18．(本小题满分12分)(2014·陕西文，19)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
[分析] (1)当赔付金额为3000,4000元时大于投保金额，利用互斥事件求和．
(2)分别求出样本车主中为新司机人数及赔付金额为4000的车辆车主人数，问题易解．
[解析] (1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24.
由频率估计概率得P(C)＝0.24.
19．(本小题满分12分)将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率是多少？
[解析] 用列举法列举所有可能的情况，如下图所示：
由此可知，所有可能的情况有n＝16种．其中出现两正两反的情况有①②③④⑤⑥共6种，因此出现两正两反的概率是P＝＝.
20．(本小题满分13分)已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．
[分析] 分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解．
[解析] (1)易知基本事件(a，b)共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a－2>0,16－b2>0，Δ≥0，即a>2，－4设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果构成区域为{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，a，b∈N*}，其面积为16.
设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为×π×42＝4π.
故所求的概率为P(B)＝＝.
21．(本小题满分14分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s至18s之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)若成绩大于或等于14 s且小于16 s认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m－n|>1”的概率．
[解析] (1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，
所以该班成绩良好的人数为27.
(2)设事件M：“|m－n|>1”
由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3，
设这3人分别为x，y，z；
成绩在[17,18)的人数为50×0.08×1＝4，
设这4人分别为A，B，C，D.
若m，n∈[13,14)时，则有xy，xz，yz共3种情况；
若m，n∈[17,18]时，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；
若m，n分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m－n|>1.
A
B
C
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
z
zA
zB
zC
zD
共有12种情况．
所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，
则事件“|m－n|>1”所包含的基本事件个数有12种.
所以P(M)＝＝.
