第四章 §1 第1课时
一、选择题
1．复数(1＋)i的虚部是( )
A．1 B．
C．0 D．1＋
[答案] D
[解析] 不要受a＋bi形式的影响，该复数中a＝0，b＝1＋.
2．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．A＝B
C．A∩(?SB)＝? D．(?SA)∪(?SB)＝C
[答案] D
[解析] ?SA＝{虚数}，?SB包括实数和除去纯虚数以外的虚数．
3．(2014·白鹭洲中学期中)复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为( )
A．0或－1 B．0
C．1 D．－1
[答案] D
[解析] ∵z为纯虚数，∴∴m＝－1，故选D.
4．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
[答案] A
[解析] 依题意得，
解得，故选A.
5．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当a＝b＝0时复数为0是实数，故B不正确．由(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则 ，解得a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a＝b是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．
6．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是( )
A．① B．②
C．③ D．④
[答案] D
[解析] 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．
在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，①错误；
在③中，若x＝－1，(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故③错误；
两个虚数不能比较大小，故②错误，④正确．
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝________，y＝________
[答案] x＝，y＝1
[解析] 由复数相等可知
∴.
8．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
[答案] －1
[解析] 可以A∩B＝{3}来寻找解题突破口，按题意a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3，
∴，解得a＝－1.
9．若复数z＝(m2－5m＋6)＋(m－3)i是实数，则实数m＝________.
[答案] 3
[解析] 由题意，得m－3＝0，∴m＝3.
三、解答题
10．复数z＝＋(m2＋2m－8)i(m∈R)，当m为何值时，z为：(1)实数、(2)虚数、(3)纯虚数．
[答案] (1)－4 (2)m<－4或－4
[解析] (1)由题意知，，∴m＝－4.
(2)由题意，得，
即，∴m≥3或m≤－1且m≠－4.
故当m≥3或m≤－1且m≠－4时，z为虚数．
(3)由题意得，
∴，∴m＝－1或3.
一、选择题
11．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(0∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
[答案] D
[解析] 由复数相等的定义可知，
∴cosθ＝，sinθ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
12．以2i－的实部为虚部，以i＋2i2的虚部为实部的新复数是( )
A．2－2i B．2＋i
C．－＋i D．－i
[答案] D
[解析] 2i－的实部为－，i＋2i2＝i－2＝－2＋i的虚部为，所以新复数为－i.
13．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则
( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
[答案] C
[解析] 解法一：(验证排除)a＝－1时，复数为i，是纯虚数，∴a≠－1，排除A，D；a＝2时，复数为实数0，
∴a＝2，排除B，故选C.
解法二：(直接法)若复数不是纯虚数，则有
，或a2－a－2≠0，
解得a≠－1.
二、填空题
14．若cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数，则θ＝________.
[答案] 2kπ＋(k∈Z)．
[解析] 由cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数，知
，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
15．若复数cos2θ＋i(1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，则θ的值是________ .
[答案] θ＝kπ－(k∈Z)
[解析] 由于复数cos2θ＋i(1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，故其实部为零，虚部不为零，即，
由cos2θ＝0可得cos2θ－sin2θ＝0，即tan2θ＝1.
∴tanθ＝±1，而1－tanθ≠0，∴tanθ＝－1.
∴θ＝kπ－(k∈Z)．
三、解答题
16．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[答案] (1)6 (2)a<－1或－1b (3)不存在
[解析] (1)当z为实数时，
则，∴，
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有
，
∴，
∴a≠±1且a≠6.
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有，
∴，∴不存在实数a使z为纯虚数．
17．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[答案] 3
[解析] 由题意，得，
∴，
∴当m＝3时，原不等式成立．
18．已知：复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，其中x∈R.求证：复数z不可能是纯虚数．
[解析] 假设复数z是纯虚数，
则有
由①得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.
当x＝－1时，log2(x－3)无意义；
当x＝4时，log2(x－3)＝0，这与log2(x－3)≠0矛盾，故假设不成立，所以复数z不可能是纯虚数．
课件30张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 选修1-2 数系的扩充与复数的引入第四章§1 数系的扩充和复数的概念第四章第1课时 数系的扩充和复数的概念1．在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用．
2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示．
3．理解复数相等的充要条件．
重点：1.复数的概念与复数的代数形式．
2．复数的分类．
难点：复数的概念及分类，复数相等．思维导航
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有解呢？数系的扩充与复数的概念 新知导学
1．对于方程x2＋2x＋3＝0，由于Δ＝－8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数i，使得i2＝－1，则此方程的解可写成x1＝__________，x2＝__________.
2．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝________.
全体复数构成的集合叫做__________．
3．复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的________与________．－1复数集实部虚部
牛刀小试
1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．
[答案] 1或－3新知导学
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?___________.
5．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是_____________，a＝0是z为纯虚数的_____________条件．复数的相等与复数的分类 a＝c且b＝da＝0且b＝0必要不充分牛刀小试
2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( )
A．－1 B．1
C．±1 D．不存在
[答案] C
[解析] (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1.3．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________．
[答案] －34．实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？复数的概念与分类 [方法规律总结] 1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的．
2．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．(2014·江西临川十中期中)若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为( )
A．－1 B．4
C．－1或4 D．不存在
[答案] B复数相等的条件
[方法规律总结] 熟练掌握复数的概念，复数表示各类数的条件，复数相等的条件，是正确解答这类问题的先决条件，也是学好本章的关键．已知复数(3x＋2y)＋(x＋y)i＝4＋i(x，y∈R)，则x－y＝________.
[答案] 3
[错解] 两个复数不能比较大小，故①正确；
设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R)
∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确．
若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，
所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确．
综上可知：①②③都正确，故选D.
[辨析] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．
[正解] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；
设z1＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c、d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.
当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A.
第四章 §1 第2课时
一、选择题
1．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
[答案] D
[解析] ∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0.
2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
[答案] A
[解析] 依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A.
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
[答案] C
[解析] 由题意知a2－2a＝0，
解得a＝0或2.
4．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模||等于( )
A. B．2
C．4 D．
[答案] D
[解析] 由于OABC是平行四边形，故＝，
因此||＝||＝|3－2i|＝，故选D.
5．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是( )
A．－C．x>－ D．x<－或x>2
[答案] A
[解析] 由条件知，(x－1)2＋(2x－1)2<10，
∴5x2－6x－8<0，∴－6．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应的点在第二象限，故选B.
二、填空题
7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
[答案] (1,2)
[解析] 由已知，得，
解得18．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，则|z|＝______________.
[答案] 2
[解析] 认真审题，把握“z＜0”，说明“z是实数且小于0”，然后具体求解．因为z＜0，则z∈R，所以虚部k2－5k＋6＝0解得k＝2或k＝3.当k＝3时，z＝0，不合题意，故舍去，∴z＝－2，∴|z|＝2.
9．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________.
[答案] 12
[解析] 由条件知，
∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
三、解答题
10．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
由题意得，
解得m＜或m＞，
即实数m的取值范围是m＜或m＞.
一、选择题
11．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[答案] B
[解析] 所求复数的模为
＝＝，
∵π＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，
∴＝－2cos.
12．已知0A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
[答案] C
[解析] 由已知，得|z|＝.
由0∴1∴|z|＝∈(1，)．
故选C.
13．若A、B是锐角△ABC的两内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋(sinB－cosA)i在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵A、B是锐角△ABC的两内角，∴A＋B＞①
由①得 A＞－B，
∵A、B为锐角△ABC的内角，
∴A∈(0，)，(－B)∈(0，)，
又在(0，)，正弦函数单调递增，
∴sinA＞sin(－B)，
即sinA＞cosB，
∴cosB－sinA＜0.
又由①可得 B＞－A，
同理可得sinB＞sin(－A)，
即sinB＞cosA，
∴sinB－cosA＞0.
即z对应的点在第二象限．
二、填空题
14．设复平面内点A、B对应复数分别为1＋i,2－i，O为坐标原点，向量O＝A，则点c在第________象限．
[答案] 四
[解析] 由条件知A(1,1)，B(2，－1)，
∴A＝(1，－2)，∴O＝(1，－2)，又O为坐标原点，
∴点C在第四象限．
15．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若O＝x O＋y O(x、y∈R)，则x＋y的值是________．
[答案] 5
[解析] 由复数的几何意义可知，
O＝x＋y，即
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得
，解得.
∴x＋y＝5.
16．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．
[答案]
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝.
三、解答题
17．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？
[解析] a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)．
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
18．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
[解析] 解法一：|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此，满足条件的点Z的集合是以原点O为原点，以5为半径的圆．
解法二：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.
∵|3＋4i|＝5，
∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 选修1-2 数系的扩充与复数的引入第四章§1 数系的扩充和复数的概念第四章第2课时 复数的几何意义1．能知道复平面、实轴、虚轴等概念．
2．能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．
3．能知道复数模的概念，会求复数的模．重点：1.理解并掌握复数的几何意义，并能适当应用．
2．复数的模．
难点：复数的几何意义．
思维导航
1．我们已知复数的代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)，给出一组a、b的值就对应一个复数，任意一个复数也都有一组a、b的值，这与平面直角坐标系中的点，平面向量与有序实数对的对应类似，那么复数能否与平面上的点对应？复数的几何意义是什么？复平面与复数的几何意义 新知导学
1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__________实轴，y轴叫做__________虚轴，实轴上的点都表示实数，除了__________原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的__________实部和__________虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__________一一对应关系．
(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是__________(a，b)，不是(a，bi)．
(3)复数与复平面内_____________以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系．Z(a，b) 牛刀小试
1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
[答案] B
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
2．(2013·福建文)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
3．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R
[答案] D
[解析] 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．思维导航
2．复数与复平面内的点、平面向量有着天然的联系，复平面内的点Z到原点的距离等于以原点为起点，以Z为终点的向量的模，那么这个模对于点Z对应的复数z有无特别意义？复数的模
4．复数模的几何意义
复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的________．
由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的________．距离距离
牛刀小试
4．(2014·武汉市调研)复数z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
5．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.
[答案] ±15－8i6已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面上对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是______________．复数的几何意义
[方法规律总结] 1.复数的几何意义包含两种：
(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标．
(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识．
2．有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D[分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.复数模的计算[方法规律总结] 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小．设复数z1＝x＋2i(x∈R)，z2＝2－yi(y∈R)，若z1＝z2，则|z1|＝________.[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①已知复数及其模的范围；
②求复数虚部的取值范围．
解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解．综合应用
[方法规律总结] 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．设复数z满足|z－2＋i|＝1，则|z|的最大值为________．
[错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D.
[辨析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义是“点Z到坐标原点的距离”导致错误.
[正解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A.第四章 §2 第1课时
一、选择题
1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
[答案] D
[解析] ∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)
＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，
∴，∴，
∴a＋bi＝－2－i.
2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，在第三象限．
3．(2014·浙江台州中学期中)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( )
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] z是纯虚数??x＝1，故选A.
4．在复平面内，点A对应的复数为2＋3i，向量对应的复数为－1＋2i，则向量对应的复数为( )
A．1＋5i B．3＋i
C．－3－i D．1＋i
[答案] B
[解析] 向量对应的复数即为A点对应的复数，
又因为＝－，
而(2＋3i)－(－1＋2i)＝3＋i，
故对应的复数为3＋i，故选B.
5．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )
A．－＋i B．－i
C．－－i D．－＋i
[答案] D
[解析] 设z＝x＋yi(x、y∈R)，
则x＋yi＋＝2＋i，
因此有，解得，
故z＝＋i，故选D.
[点评] ∵|z|∈R，z＝2－|z|＋i，
∴z的虚部为1，因此可设z＝a＋i(a∈R)，由此得a＋i＋＝2＋i解出a.
6．复数z＝sin1 000°－icos1 000°在复平面内所对应的点Z位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] z＝sin(－80°)－icos(－80°)
＝－sin80°－icos80°，
∴－sin80°<0，－cos80°<0，
∴点Z在第三象限．故应选C.
二、填空题
7．(2014·揭阳一中期中)已知向量和向量对应的复数分别为3＋4i和2－i，则向量对应的复数为________．
[答案] －1－5i
[解析] ∵＝－，∴对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.
8．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
[答案] －1
[解析] z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴，解得a＝－1.
9．在复平面内，O是原点，O、、A对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么B对应的复数为________．
[答案] 4－4i
[解析] B＝O－O
＝O－(O＋A)
＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)
＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i
＝4－4i.
三、解答题
10．已知平行四边形ABCD中，A与A对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求A对应的复数；
(2)求D对应的复数；
(3)求△APB的面积．
[答案] (1)－2＋2i (2)5 (3)
[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A，D对应的复数，先求出向量P、P对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB的面积．
[解析] (1)由于ABCD是平行四边形，所以A＝A＋A，于是A＝A－A，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即A对应的复数是－2＋2i.
(2)由于D＝A－A，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即D对应的复数是5.
(3)由于P＝C＝－A＝，
P＝D＝，
于是P·P＝－，
而＝，＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，
故S△APB＝sin∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
[点评] (1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．
(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能．
一、选择题
11．实数x、y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
[答案] A
[解析] ∵(1＋i)x＋(1－i)y＝2，
∴，解得.
∴xy＝1.
12．若复数x满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
[答案] B
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
13．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－，1]
C．[－，7] D． [，1]
[答案] C
[解析] ∵z1＝z2，∴
∴λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－，
∵sinθ∈[－1,1]，∴λ∈[－，7]．
二、填空题
14．已知k∈R，且关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则实数k的值为________．
[答案] ±
[分析] 方程的实根必然适合方程，设x＝x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．
[解析] 设方程的实数根为x0，则x＋(k＋2i)x0＋2＋ki＝0，
∴
将(2)代入(1)消去k得：－x＋2＝0，∴x0＝±，
当x0＝时，k＝－2，当x0＝－时，k＝2，
综上知，k＝±2.
15．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3＋(b＋2)i(a、b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.
[答案] 3
[解析] z1－z2＝[a＋(a＋1)i]－[－3＋(b＋2)i]
＝(a＋3b)＋(a＋1－b－2)i＝4，
∴，
解得，∴a＋b＝3.
三、解答题
16．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.
[答案] z1＝5－9i y2＝－8－7i
[解析] z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又因为z＝13－2i，且x，y∈R，
所以，解得.
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
17．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C、D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
[解析] (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cosB，
∴cosB＝＝＝.
∴sinB＝.
∴S＝||||sinB＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大 · 选修1-2 数系的扩充与复数的引入第四章§2 复数的四则运算第四章第1课时 复数的加法与减法掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．
了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．重点：复数的加、减运算．
难点：复数运算的几何意义．
思维导航
1．实数有四则运算，扩展到复数集后，还可以进行四则运算吗？怎样规定复数的运算才能与原有实数的运算法则相一致？
复数代数形式的加法运算及其几何意义
新知导学
1．复数加法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝_______________.(a＋c)＋(b＋d)i
思维导航
2．实数的加法满足交换律、结合律，上述规定的复数加法运算满足交换律、结合律吗？
3．我们已知复数与复平面内的点，平面向量具有一一对应的关系，那么复数加法的几何意义是什么？(a＋c)＋(b＋d)i (a＋c)＋(b＋d)i
牛刀小试
1．若z1＝3＋2i，z2＝－4＋i，则z1＋z2＝________，z1－z2＝________.
[答案] －1＋3i 7＋i[答案] 8思维导航
4．在实数范围内，减法是加法的逆运算，为了使在复数范围内，原实数运算性质、法则依然有效，应怎样规定复数的减法运算？其几何意义是什么？ 复数代数形式减运算及其几何意义(a－c)＋(b－d)i (a－c)＋(b－d)i
4．对复数加减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为_______运用于几何之中．
5．从类比的观点看，复数加减法运算法则相当于多项式加减运算中的____________．工具合并同类项[答案] D
4．设|z|＝5，则z＋4i>0，则z＝________.
[答案] 3－4i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)
∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25，
∵y＋4i＝x＋(y＋4)i∈R，∴y＝－4，
∴x＝±3，∴z＋4i＝±3，
又z＋4i>0，∴z＋4i＝3.
∴z＝3－4i.
5．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.[分析] 多个复数相加减同两个复数相加减一样，只需将各复数的实部、虚部分别相加减．复数代数形式的加减运算[方法规律总结] 复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．计算：
(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________；
(2)3－(4－5i)＝________；
(3)(－2＋i)－(－3＋2i)＝________.
[答案] (1)6＋i (2)－1＋5i (3)1－i
[解析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋[5＋(－4)]i＝6＋i；
(2)3－(4－5i)＝(3－4)＋[0－(－5)]i＝－1＋5i；
(3)(－2＋i)－(－3＋2i)＝[－2－(－3)]＋(1－2)i＝1－i.复数加、减法运算的几何意义
[方法规律总结] 1.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与复数的模有关的问题可将复数与复平面内以原点为起点的向量加以转化，利用几何意义给予几何解释，数形结合解决．
2．若几何图形的变换可以坐标化，可利用向量、点与复数的关系转化为数的运算处理．
例如关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点分别是一个正方形的三个顶点A、B、C，如图所示，则这个正方形ABCD的第四个顶点D对应的复数为________．[答案] 2－i
方法二：设正方形的第四个顶点D对应的复数为z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵点A与点C关于原点对称，∴原点O为正方形的中心．
∴点O也是B与D点连线段的中点．于是得(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，
∴x＝2，y＝－1.∴点D对应的复数为2－i.综合应用
[方法规律总结] 1.复数加减法可用平面向量来解决，同样可以实施三角形法则和平行四边形法则．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z1|.[解题思路探究] 第一步，审题．
一审条件，挖掘题目信息，由x∈[0,2π)，复数z1的对应点位于第一象限且在直线y＝x的左上方可求得x的取值范围；由z1与z2的代数形式及复数加法运算法则可求出z1＋z2.
二审结论，明确解题方向，求|z1＋z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．
第二步，建立联系，确定解题步骤．
由条件与结论之间的关系，确定本题解题步骤：先求x的取值范围，再将|z1＋z2|表达为x的三角函数，然后化为一角一函形式，利用三角函数的值域求|z1＋z2|的取值范围．
第三步，规范解答．[辨析] 四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有?ABCD一种情况，应该还有?ABDC和?ACBD两种情况．如图所示．
[正解] 用错解可求D对应的复数为1－7i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图①中点D对应的复数为3＋7i，
图②中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.第四章 §2 第2课时
一、选择题
1．(2014·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] ∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．(2013·新课标Ⅱ文)||＝( )
A．2 B．2
C. D．1
[答案] C
[解析] ∵＝1－i，∴||＝|1－i|＝，故选C.
3．(2014·河北衡水中学二调)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．
4．(2014·开滦三中期中)若复数是纯虚数，则实数a的值为( )
A．2 B．－
C. D．－
[答案] A
[解析] ∵＝
＝是纯虚数，∴a＝2.
5．设z1＝，z2＝(1＋i)(1－i)，z＝z1＋z2，则＝( )
A．3－i B．＋i
C.－i D．＋i
[答案] D
[解析] z1＝＝
＝－i
z1＝(1＋i)(1－i)＝2
z＝z1＋z2＝－i
∴z＝＋i.
6．(2014·唐山市一模)设(2＋i)＝3＋4i，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
[答案] D
解法1：＝＝2＋i，∴z＝2－i，故选D.
解法2：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(2＋i)(a－bi)＝3＋4i
∴∴
∴z＝2－i.
二、填空题
7．(2013·天津理)已知a、b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
[答案] 1＋2i
[解析] 由(a＋i)(1＋i)＝bi得，a＋(1＋a)i－1＝bi，
∴，∴b＝2，a＝1，∴a＋bi＝1＋2i.
8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.
[答案] 2＋i
[解析] (1＋2i)·＝4＋3i，
＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
9．如果复数z＝(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝________
[答案] －
[解析] z＝＝
＝，
∴2－2b＝b＋4，∴b＝－.
三、解答题
10．计算：
(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)；
(2).
[答案] (1)＋i (2)－2－2i
[解析] (1)(－＋i)(2－i)(3＋i)
＝(－＋i)(7－i)＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
一、选择题
11．(2014·郑州市质检)若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为( )
A. B．i
C．1 D．i
[答案] A
[解析] 解法1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(2－i)(a＋bi)＝5，
∴(2a＋b)＋(2b－a)i＝.
由复数相等的条件知
∴∴z的虚部为.
解法2：将两边同乘以2＋i得，5z＝(2＋i)，
∴z＝＋i，
∴z的虚部为.
解法3：z＝＝＝＋i，∴z的虚部为.
12．(2014·鱼台一中高二期中)已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[答案] A
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，
∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选A.
13．(2014·石家庄质检)设z＝1＋i(i上虚数单位)，则＋z2等于( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
[答案] C
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
14．(2014·长安一中质检)设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝( )
A．6z B．6z2
C．6 D．－6z
[答案] C
[解析] z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6.
二、填空题
15．(2012·湖北文，12)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
[答案] 3
[解析] ＝＝＋i＝a＋bi，
即，解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.
16．若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，对应点在直线y＝x上，则z＝________.
[答案] －3＋4i
[分析] 利用对应点在直线y＝x上可设出z或，再利用|z|＝5可列方程求解，最后由z的对应点在第二象限决定取舍．
[解析] 设＝3t＋4ti(t∈R)，
则z＝3t－4ti，
∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，
∴t2＝1，
∵z的对应点在第二象限，∴t<0，
∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.
三、解答题
17．(2013·重庆南开中学高二期中)已知＝1－ni，(m、n∈R，i是虚数单位)，求m、n的值．
[答案] m＝1 n＝2
[解析] ∵＝1－ni，
∴＝1－ni，
∴m－mi＝2－2ni，
∴，∴.
18．已知z是虚数，且z＋是实数，求证：是纯虚数．
[分析] 将z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)代入z＋，分别化为代数形式．
[解析] 设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
由已知得z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝(x＋)＋(y－)i.
∵z＋是实数，∴y－＝0，即x2＋y2＝1，且x≠±1，
∴＝
＝＝
＝－i.
∵y≠0，x≠－1，
∴是纯虚数．
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 选修1-2 数系的扩充与复数的引入第四章§2 复数的四则运算第四章第2课时 复数的乘法与除法掌握复数代数形式的乘法和除法运算．
理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
理解共轭复数的概念．
重点：复数的乘除运算及共轭复数的概念．
难点：复数的除法运算．思维导航
1．两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘、除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法可否像多项式乘法那样进行呢？复数代数形式的乘法
新知导学
1．复数的乘法、乘方
复数的乘法与多项式的乘法是类似的，运算过程中把____看作一个字母，但必须在所得的结果中把i2换成_______，并且把实部与虚部分别_______．
设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__________________ (a、b、c、d∈R)．i－1合并(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律
对于任意z1、z2、z3∈C，有
在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．
正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．须特别注意：|z|2≠z2(z为虚数)z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3i
－1
－i
1
牛刀小试
1．(2014·新课标Ⅱ理，2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
[答案] A
[解析] ∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A.
2设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
[答案] D
[分析] 利用复数乘法法则得到代数形式，进而由复数的分类解决．
[点评] 解决本题的关键是将(a＋i)2i化简为－2a＋(a2－1)i后，利用虚部为零，实部大于零两个条件列方程组求解即可． 共轭复数 相等 互为相反数相等实数虚数实轴
4．若x＋2－yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________________，实数y＝________.
[答案] 1 －1思维导航
2．由共轭复数的定义和复数乘法的运算知，一个虚数与其共轭复数的乘积是一个实数．
在实数运算中，当分母是无理式时，我们进行过分母有理化的运算，那么在复数除法运算中，可不可以定义除法是乘法的逆运算，然后进行分母实数化(即乘以分母的共轭复数)呢？ 复数的除法 分母实数化 必要不充分 [答案] D[答案] A[答案] i －i[解析] 本题考查了复数的乘法运算．
(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i，选C.
[答案] C复数的乘法与乘方
[方法规律总结] 1.复数的乘法运算可将i看作字母按多项式乘法的运算法则进行，最后将i2＝－1代入合并“同类项”即可．(2014·山东文，1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
[答案] A
[解析] 本题考查复数的相等的充要条件及复数的乘法运算．
∵a＋i＝2－bi，a，b∈R，∴a＝2，b＝－1.
故(a＋bi)2＝(2－i)2＝4－1－4i＝3－4i.[分析] 复数为纯虚数，须先将复数写成代数形式，因此必须先分母实数化，再化简．复数的除法[答案] C
[方法规律总结] 除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，再按复数的乘法进行运算，最后化简．[答案] A[分析] 通过运算把复数写成a＋bi(a、b∈R的形式)，则其共轭复数为a－bi.共轭复数 [答案] C
[方法规律总结] 1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．
2．注意共轭复数的简单性质的运用．[答案] A[解题思路探究] 第一步，审题．
一审条件，找解题信息．已知z2＝8＋6i，可设z＝a＋bi(a、b∈R)求出a、b，也可看能否整体代入；
二审结论确定解题目标．求此表达式的值，若已知z可代入利用复数的四则运算求解，也可观察表达式的特点，看能否适当变形，将条件代入先化简．
第二步，建立联系确定解题步骤．
考虑到运算简便及待求表达式的特点可先将表达式变形，将条件整体代入初步化简，再设z＝a＋bi(a、b∈R)求出a，b，再代入化简．
第三步，规范解答．[方法规律总结] 1.差异分析的意识
在解题时，要善于分析条件与结论之间的差异，通过差异分析构建二者之间的联系，努力促使二者向统一的方向转化，往往能够使问题获得简捷的解决．
2．化繁为简的意识
对于条件求值问题，何时使用条件，应根据具体的问题而定，但在一般情况下，应该先化简再求值，如本例需要把所求值的代数式先化简，然后再把复数z代入求解，而不是直接代入求解．[答案] D[答案] A课件44张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 选修1-2 数系的扩充与复数的引入第四章章末归纳总结第四章知 识 梳 理本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容．
本章首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等．在第二大节中，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具.
本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利用复数的四则运算，可把复数代数形式a＋bi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题．
另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数．由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用．这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数．有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力．1.复数代数形式z＝a＋bi中，a、b∈R应用复数相等的条件，必须先化成代数形式．
2．复数表示各类数的条件的前提必须是代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)，z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．
3．复数运算的法则，不要死记硬背，加、减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z|2≠z2.
5．复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量．
6．不全为实数的两个复数不能比较大小．
7．复平面的虚轴包括原点．[答案] A[答案] C[答案] B
[解析] ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，
∴由a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
得m3＋1＝0，即m＝－1.熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数题的前提．复数的概念 下列命题中，正确命题的个数是________．
①若x、y∈C则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a、b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数．
[分析] (1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；②是复数比较大小，必须全是实数才可比较；③是在实数条件下x2≥0求得结果，当x为复数时，x2≥0未必成立；(4)要按复数是纯虚数的充要条件判断．
[解析] ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时
x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．
④ 当a＝－1时，a∈R，但(a＋1)i＝0不是纯虚数．
[答案] 0
[点评] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．学习本章必须准确理解复数的概念．
(3)虚数单位i的性质
①i2＝－1.
②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．
例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.复数的运算 [答案] 0复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．复数及其运算的几何意义
A．E B．F
C．G D．H
[分析] 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z在复平面内的对应点为Z(a，b)，据此可由点的坐标写出点对应的复数，也可描出复数在复平面内的对应点．[答案] D[答案] D熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点为起点的向量的模之间的关系，就能迅速求解有关复数模的问题．复数的模 [答案] C只要掌握共轭复数的定义，会进行简单的运算即可，不必在复数的模与其轭复数的性质上下工夫．共轭复数 [答案] D[答案] B课件6张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 选修1-2 数系的扩充与复数的引入第四章从前有个年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一项宝藏．他是这样写的：有一座荒岛，岛上有一株橡树和一株松树，还有一座绞架，从绞架走到橡树，并记下走了多少步，到了橡树向右拐个直角再走那么多步，在这里打个桩，然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数；到了松树向左拐个直角再走那么多步，在这里也打个桩，这两个桩的正中间挖掘，就可找到宝藏，年轻人找到了这座岛，也找到了橡树和松树，但绞架却已糟烂，一点痕迹也看不出了，但年轻人却很快利用复数知识找到了宝藏，好神奇的复数！
●学法探究
1．准确理解和掌握复数的分类标准是学好本章的前提．
2．用类比的方法认识复数，如：将复数系与实数系、复数的几何意义与实数的几何意义作类比；将复数及其代数形式的加减运算与平面向量及其加减运算、几何意义作类比，将复数加减连运算则与代数式中的合并同类项作类比．
3．两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法，深刻体会这一转化思想．
数和形的有机结合，是把复数问题转化成几何问题的重要途径之一，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)既要从整体的角度去认识它，把z看成一个整体，又要从实部和虚部的角度分解成两部分去认识它，这是解复数问题的重要思路之一．
化虚为实，化数为形，分母实数化等转化方法是解复数问题的常用技巧．
4．准确把握复数的代数形式、正确理解复数的四则运算是有效解决复数的分类、与复数的运算相关问题的关键．
