第一章综合测试
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
② y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] D
[解析] y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝x＋中，x的系数>0(或<0)，故①④错．
2．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )
[答案] A
[解析] 题图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．故选A.
3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．P1P2 B．P1(1－P2)＋P2(1－P1)
C．1－P1P2 D．1－(1－P1)(1－P2)
[答案] B
[解析] 恰好有1人解决分两种情况：
①甲解决乙没解决：
P′＝P1(1－P2)
②甲没解决乙解决：
P″＝(1－P1)P2
∴恰好有1人解决这个问题的概率P＝P′＋P″＝P1(1－P2)＋P2(1－P1)
4．(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题：
①将A、B、C三种个体按3?1?2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体为9个，则样本容量为30；
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；
③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；
④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y＝1－2x，则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；
⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.
其中真命题为( )
A．①②④ B．②④⑤
C．②③④ D．③④⑤
[答案] B
[解析] ①样本容量为9÷＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③乙＝＝7，s＝[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s>s，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为＝0.4，⑤是真命题．
5．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程y＝x＋必过( )
A．(2,2)点 B．(1.5,0)点
C．(1,2)点 D．(1.5,4)点
[答案] D
[解析] 计算得＝1.5，＝4，由于回归直线一定过(，)点，所以必过(1.5,4)点．
6．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为( )
p(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
p(K2>k)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
A.25% B．75%
C．2.5% D．97.5%
[答案] D
[解析] 查表可得K2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x和y有关系”．
7．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝×＝.
8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均收入的百分比约为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
[答案] A
[解析] 当＝7.675时，x＝≈9.262，所以≈0.829，故选A.
9．(2014·云南景洪市一中期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝，得
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确的结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
[答案] C
10．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；
③已知直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数，得到的直线＝bx＋才是回归直线，
∴①不对；②正确；
将x＝25代入＝0.50x－0.81，得＝11.69，
∴③正确；④正确，故选D.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．某镇居民2009～2013年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份
2009
2010
2011
2012
2013
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．(填“正”或“负”)
[答案] 13 正
[解析] 找中位数时，将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数，由统计资料可以看出，年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者正相关．
12．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠
不冷漠
总计
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
总计
88
80
168
则在犯错误的概率不超过________的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系．
[答案] 0.001
[解析] 可计算K2的观测值k＝11.377>10.828.
13．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为________．
[答案] ＝－3.2x＋40
[解析] iyi＝392，＝10，＝8，(xi－)2＝2.5，代入公式，得＝－3.2，所以，＝－＝40，故回归直线方程为＝－3.2x＋40.
14．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________.
[答案]
[解析] 由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
15．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
杯数
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．(已知回归系数b＝，a＝－b)
[答案] 70
[解析] 根据表格中的数据可求得＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝×(24＋34＋38＋64)＝40.
∴a＝－b＝40－(－2)×10＝60，∴＝－2x＋60，当x＝－5时，＝－2×(－5)＋60＝70.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？
[答案]
[解析] 设从甲袋中任取1个球，事件A：“取得白球”，由此事件：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B：“取得白球”，由此事件：“取得红球”，则P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.
因为A与B相互独立，与相互独立，
所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为
P(AB＋ )＝P(AB)＋P( )＝P(A)P(B)＋P()·P()＝×＋×＝.
17．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：
产量x(千件)
生产费用(千元)
40
150
42
140
48
160
55
170
65
150
79
162
88
185
100
165
120
190
140
185
(1)计算x与y的相关系数；
(2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验；
(3)设回归方程为＝x＋，求回归系数．
[答案] (1)0.808 (2)有线性相关关系 (3)＝0.398 ＝134.8
[解析] (1)根据数据可得：
＝77.7，＝165.7，x＝70 903，y＝277 119，
xiyi＝132 938，所以r＝0.808，
即x与y之间的相关系数r≈0.808；
(2)因为r>0.75，所以可认为x与y之间具有线性相关关系；
(3)＝0.398，＝134.8.
18．(本题满分12分)(2014·安徽文，17)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
[答案] (1)90位 (2)0.75 (3)有把握
[解析] (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
综合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．”
19．(本题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：
播放天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
点击观看的累计人次
51
134
213
235
262
294
330
378
457
533
(1)画出散点图；
(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？
(3)求线性回归方程；
(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？
[答案] (1)图略 (2)有线性相关关系，求线性回归方程有意义 (3)＝30.8＋46.9x (4)547
[解析] (1)散点图如下图所示：
(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yi
51
134
213
235
262
294
330
378
457
533
xiyi
51
268
639
940
1 310
1 764
2 310
3 024
4 113
5 330
＝5.5，＝288.7，
＝385，＝1 020 953，iyi＝19 749
利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，
r＝
＝
≈0.984.
这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，自然求线性回归方程有实际意义．
(3)b＝＝≈46.9，
a＝－b≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.
(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.
20．(本题满分13分)(2014·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2＝
P(K2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
[答案] (1)表略 不相关 (2)
[解析] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝
＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为
Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}
其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，
事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.
[点评] 本题考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，解决这类题目的关键是对题意准确理解．
21．(本题满分14分)(2014·济南模拟) 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：
月收入
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收人族”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
已知：K2＝，
当K2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.
非高收入族
高收入族
总计
赞成
不赞成
总计
(2)现从月收入在[55,65)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率．
[答案] (1)表略 有90%的把握 (2)
[解析] (1)
非高收入族
高收入族
总计
赞成
25
3
28
不赞成
15
7
22
总计
40
10
50
K2＝≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；
(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为有利事件数，因此所求概率P＝.
第二章综合测试
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下图是函数性质的知识结构图，在处应填入( )
A．图像变换 B．对称性
C．奇偶性 D．解析式
[答案] C
[解析] 函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性，而对称性是由研究奇偶性得到的．
2．下列结构图中各要素之间表示逻辑先后关系的是( )
A.→→
C.→→→
[答案] A
[解析] 结构图A表示的是逻辑先后关系．
3．如下图所示，某电脑由以下设备与主机相连，则外存储器是指( )
A．显示器 B．打印机
C．游戏杆 D．磁盘驱动器、磁带机
[答案] D
[解析] 由题图可知，选D.
4．根据二分法原理求解方程x2－2＝0得到的程序框图可称为( )
A．工序流程图 B．程序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
[答案] B
[解析] 根据二分法原理求解方程x2－2＝0的过程既不是工业生产的流程，也不是知识结构或组织结构，所以排除A、C、D，答案为B.
5．9颗珍珠中有一颗是假的，且真珍珠一样重，假珍珠比真珍珠要轻．如果用一架天平至少要称( )次，就一定可以找出这颗假珍珠．( )
A．5 B．4
C．2 D．6
[答案] C
[解析] 这是工序最优化设计问题，将9颗珍珠分三堆，将其中两堆分别放置天平两端，如果平衡，则假珍珠在剩下一堆里；如果不平衡则假珍珠在轻的一端；再把含假珍珠的一堆中取出两颗珍珠放在天平两端，同上可找出假珍珠，故只需称两次就能找出假珍珠．
6．如图是高中课程结构图：
生物所属课程是( )
A．技术 B．人文与社会
C．艺术 D．科学
[答案] D
[解析] 根据课程结构图可知，生物所属课程是科学．
7．(2014·海南省六校联盟联考)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 由程序框图可知，S＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
8.某公司要在某一规划区域内筹建工厂，拆迁与工程设计可同时进行，如果工程设计分为土建设计与设备采购两个部分，两者可同时进行；拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设，厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装调试，最后才能进行试生产．上述过程的工序流程图如图．则设备采购，厂房建设，土建设计，设备安装与图中①②③④处正确的对应次序应为( )
A．①②③④ B．①④②③
C．②③①④ D．①③②④
[答案] D
[解析] 因为设备采购来后才能进入安装调试环节，拆迁在厂房建设之前，在土建设计之后，设备安装在厂房建设之后，故正确的工序流程图如图，故选D.
9．(2014·安阳月考)已知M是ex＋e－x的最小值，N＝ ，则下图所示程序框图输出的S为( )
A．2 B．1
C. D．0
[答案] A
[解析] ∵ex＋e－x≥2＝2，∴M＝2，N＝＝tan45°＝1，所以M>N，又框图的功能是求M、N中的较大值，故输出的值为2.
10．若下面框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是( )
A．k＝9 B．k≤8
C．k<8 D．k>8
[答案] D
[解析] 运行过程依次为k＝10，S＝1→S＝11，k＝9→S＝20，k＝8→输出S＝20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k>8.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．流程图描述________过程；结构图刻画________结构．
[答案] 动态 系统
12．实数系的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容依次是________，________，________.
[答案] 有理数 整数 零
13. (2014·天津红桥区二模)执行如右图所示的程序框图，其输出的结果是________．
[答案] －
[解析] 程序运行过程依次为：
y＝4，x＝4，y＝×4－1＝1，|y－x|＝3>1→x＝1，y＝×1－1＝－，|y－x|＝>1→x＝－，y＝×(－)－1＝－，|y－x|＝<1，输出y＝－
14．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是________．
[答案] 3
[解析] 由题意知，
当x≤3，A完工需要2天，
当B完工时，需用5天，而D完工需用4天，
所以完成这套工程需用9天，合题意．
当x>3时，A，B完工后，工序C还需用x－3天，D完工还需4天，所以完成这套工程共需5＋(x－3)＋4＝6＋x>6＋3＝9天，不合题意．
所以完成工序C需要的天数x最大是3.
15．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________.
[答案] i≤6？ a1＋a2＋…＋a6
[解析] 因为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所以图中判断框应填i≤6？，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．若有得票多者，则被选为班长；若票数相同，则由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．
[分析] 按照工序流程图的画法进行作图即可．
[解析]
17．(本题满分12分)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．
[分析] 题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体．
[解析] 程序框图如图所示：
18．(本题满分12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．
[解析]
19．(本题满分12分)某行政大楼的二楼是大会议厅；三楼是教育类，从左至右分别是成人教育办公室、特殊教育办公室、小学教育办公室、中学教育办公室、主任办公室；四楼是计生类，从左至右分别是办证室、外来务工人员登记室、主任办公室；五楼是安全类，从左至右分别是消防办公室、安检办公室、主任办公室；六楼是行政类，从左至右分别是局长办公室、四个副局长办公室、接待室．请根据上述资料，绘制一个平面图．
[解析] 从下往上分别为一楼、二楼、三楼、四楼、五楼、六楼，因此，得结构图如图所示．
20．(本题满分13分)求使1＋2＋3＋…＋n>2 014成立的最小自然数n的值，请设计流程图．
[解析] 如下图．
21．(本题满分14分)高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间内申请查分：
(1)本人填写《查分登记表》，交县(区)招办申请查分县(区)招办呈交市招办，再报省招办；
(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知，有误则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；
(3)市招办接通知，再由县(区)招办通知考生．
画出该事件的流程图．
[解析] 如图所示：
第三章综合测试
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．不是以上错误
[答案] C
[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.
2．定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：( )
(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于
A．n B．n+1
C．n－1 D．n2
[答案] A
[解析] 令an＝n*1，则由(ii)得，an＋1＝an＋1，由(i)得，a1＝1，
∴{an}是首项a1＝1，公差为1的等差数列，∴an＝n，即n*1＝n，故选A.
3．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的(1)，(2)，(3)，(4)，则图中，a，b对应的运算是( )
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
[答案] B
[解析] 根据题意可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应圆．故选B.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝，
a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×，
∴a3＝.
a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×，
∴a4＝.
由此猜想an＝.
5．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，则第100项为( )
A．10 B．14
C．13 D．100
[答案] B
[解析] 设n∈N*，则数字n共有n个，
所以≤100即n(n＋1)≤200，
又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.
6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值为( )
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a、b、c
[答案] A
[解析] 令n＝1,2,3，得，
所以a＝，b＝c＝.
7．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2015(x)等于( )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
[答案] D
[解析] 由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以归纳出：
f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以f2015(x)＝f3(x)＝－cosx.
8．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a
②“x＝y”的反面是“x>y或x③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”，其中正确的叙述有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] ①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
9．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )
A．一定大于零 B．一定等于零
C．一定小于零 D．正负都有可能
[答案] A
[解析] f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
10．(2014·福建文，12)在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L－距离”定义为||P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L－距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是( )
[答案] A
[解析] 设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a.
当y>0时，y＝，
当y≤0时，y＝
∴图像应为A.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________”，这个类比命题是________命题(填“真”或“假”)．
[答案] 夹在两个平行平面间的平行线段相等；真
[解析] 类比推理要找两类事物的类似特征，平面几何中的线，可类比立体几何中的面．故可类比得出真命题“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．
12．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
[答案]
[解析] 由已知可归纳如下：f1(x)＝，
f2(x)＝，f3(x)＝，
f4(x)＝，…，
fn(x)＝.
13．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c?a＝b”；
④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上类比得到的结论正确的是________．
[答案] ①②
[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．
14．(2014·东北四校联考)根据下面一组等式
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，
…
可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝________.
[答案] n4
[解析] 根据所给等式组，不难看出：S1＝1＝14；
S1＋S3＝1＋15＝16＝24；
S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34，
S1＋S3＋S5＋S7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，
由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
15．若定义在区间D上函数f(x)对于D上的几个值x1，x2，…，xn总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f称函数f(x)为D上的凸函数，现已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．
[答案]
[解析] ∵[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]
≤f，(大前提)
∵f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，(小前提)
∴f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f，(结论)
即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，
∴sinA＋sinB＋sinC的最大值是.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)已知a、b、c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
[解析] 解法一：(分析法)
要证＋＋>3，
只需证明＋－1＋＋－1＋＋－1>3，
即证＋＋＋＋＋>6.
而事实上，由a、b、c是全不相等的正实数，
得＋>2，＋>2，＋>2.
从而＋＋＋＋＋>6.
故＋＋>3得证．
解法二：(综合法)
∵a、b、c全不相等，
∴与，与，与全不相等．
∴＋>2，＋>2，＋>2.
三式相加得＋＋＋＋＋>6，
∴(＋－1)＋(＋－1)＋(＋－1)>3，
即＋＋>3.
17．(本题满分12分)设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
[答案] 证明略
[解析] f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝，同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
一般性结论：若x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，
f(x1)＋f(x2)＝＋
＝
＝
＝
＝
＝.
18．(本题满分12分)在某两个正数x、y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列，若插入两个数b、c，使x，b，c，y成等比数列，求证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
[解析] 由已知条件得x，y得
2a＝＋，且有a>0>b>0，c>0.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥，
只要证a＋1≥，
也就是证2a≥b＋c.
而2a＝＋，只需证＋≥b＋c，
即证b3＋c3≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，
即证(b－c)2≥0.
∵上式显然成立，∴(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
19．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos＝，
2cos＝，
2cos＝，
……
[答案] 证明略，一般性结论为2cos＝
[解析] 2cos＝2·＝，
2cos＝2
＝2·＝，
2cos＝2
＝2＝
…
归纳得出，2cos＝.
20．(本题满分13分)数列{an}的前n项和Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)数列{an}中是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
[答案] (1)an＝3·2n－3 (2)不存在，证明略
[解析] (1)a1＝S1＝2a1－3，则a1＝3.
由?an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3?an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴{an＋3}为等比数列，首项为a1＋3＝6，公比为2.
∴an＋3＝6·2n－1，即an＝3·2n－3.
(2)假设数列{an}中存在三项ar，as，at(r∴只能是ar＋at＝2at，即3(2r－1)＋3(2t－1)
＝6(2s－1)．
∴2r＋2t＝2s＋1.∴1＋2t－r＝2s＋1－r.(*)
∵r∴数列{an}中不存在可以构成等差数列的三项．
21．(本题满分14分)(2014·哈六中期中)已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)>x3－x.
[解析] (1)f ′(x)＝(x－1)(ex－1)，
当x＜0或x＞1时，f ′(x)＞0，当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，
∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－e.
(2)设g(x)＝f(x)－x3＋x，则g′(x)＝(x－1)(ex－－)，
令u(x)＝ex－－，则u′(x)＝ex－，
当x≥1时，u′(x)＝ex－>0，u(x)在[1，＋∞)上单调递增，u(x)≥u(1)＝e－2>0，
所以g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1，＋∞)上单调递增．
g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，
所以f(x)>x3－x.
第四章综合测试
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于( )
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
[答案] D
[解析] 设x＝it(t∈R且t≠0)，
于是2ti－1＋i＝y－(3－y)i，
∴－1＋(2t＋1)i＝y－(3－y)i，
∴，∴.
∴x＋y＝－1－i.
2．若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x、y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由已知得，∴.
∴z1＝－3－i，故选C.
3．(2014·太原五中月考)若复数z满足：iz＝3＋4i，则|z|＝( )
A．1 B．2
C. D．5
[答案] D
[解析] 因为z＝＝－(3＋4i)i＝4－3i
所以|z|＝＝5.
4．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案] D
[解析] z2＝(1－2i－1)＝－i，z50＝(－i)25＝－i，z100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i.
5．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为，虚部为，由，得，此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
6．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] ∵in＝k∈Z，∴i＋i2＋i3＋…＋i2013＝503×(i＋i2＋i3＋i4)＋i2013＝503×0＋i＝i，
∴z＝＝＝，在复平面内的对应点(，)在第一象限．
7．若复数z＝(a∈R)，且z是纯虚数，则|a＋2i|等于( )
A. B．2
C．2 D．40
[答案] B
[解析] z＝＝＝＝，
当z为纯虚数时，，得a＝6，
∴a＋2i＝6＋2i，
∴|a＋2i|＝2.
8．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] ∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴，
∴2θ＝2kπ＋π (k∈Z)，
∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．
9．(2013·陕西理)设z1、z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
[答案] D
[解析] 本题考查复数相等，共轭复数．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a、b、c、d∈R，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，∴a＝c，b＝d，所以1＝2，故A项正确．若z1＝2，则a＝c，b＝－d，所以1＝z2，故B项正确．若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z11＝z2·2，故C项正确．z＝a2－b2＋2abi，z＝c2－d2＋2cdi，在a2＋b2＝c2＋d2的条件下，不能得出a2－b2＝c2－d2,2ab＝2cd，故D项错误．
10．(2014·广东文，10)对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1、z2、z3，有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1]( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ∵w1]．
∴①左边＝(z1＋z2)3，右边＝z1＋z2＝(z1＋z2)，左边＝右边，正确．
②左边＝z1()＝z1(＋)，右边＝z1＋z1＝z1(＋)，左边＝右边，正确．
③左边＝(z1)，右边＝z1(z2)＝z1(z3)，左边≠右边，不正确．
④左边＝z1，右边＝z2，左边≠右边，不正确，选B.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．已知a、b∈R，且a－1＋2ai＝4＋bi，则b＝________.
[答案] 10
[解析] 由已知得，得.
12．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
[答案]
[解析] ＝＝
＝＝＋i，
∵为纯虚数，∴，∴a＝.
13．若复数m(3＋i)－(2＋i)的对应点在复平面内位于第四象限，则实数m的取值范围是________．
[答案] m<1
[解析] ∵m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应眯(3m－2，m－1)位于第四象限，∴∴14．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
[答案] 4＋2i
[解析] ∵(z1－2)(1＋i)＝1－( )
，∴z1＝2－i.
设z1＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∴z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
15．对于n个复数z1、z2、…、zn，如果存在n个不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得k1z1＋k2z2＋…＋knzn＝0，就称z1、z2、…、zn线性相关．若要说明复数z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，那么可取{k1，k2，k3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)
[答案] {1,2，}或{2,4,3}等
[解析] 由k1z1＋k2z2＋k3z3＝0得k1(1＋2i)＋k2(1－i)＋k3(－2)＝0，
即(k1＋k2－2k3)＋(2k1－k2)i＝0.
∴
∴k1?k2?k3＝1?2?.
故填{1,2，}或{2,4,3}等．
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
[答案] (1)1或2 (2)m≠1且m≠2 (3)－
[解析] z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由，得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
17．(本题满分12分)已知复数z满足z－i()＝1＋3i，求z.
[答案] －1或－1＋3i
[解析] 将方程两边化成a＋bi的形式，根据复数相等的充要条件来解．
设z＝x＋yi(x、y∈R)，则z·＝x2＋y2，
3z＝3x＋3yi
＝3x－3yi
∴x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i，
由复数相等得，
解得，或.
∴z＝－1或z＝－1＋3i.
18．(本题满分12分)设a、b为共轭复数，且(a＋b)2－3abi＝4－6i，求a和b.
[答案] a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i；
a＝1－i，b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i.
[解析] ∵a、b为共轭复数，∴设a＝x＋yi(x、y∈R)
则b＝x－yi，
由(a＋b)2－3abi＝4－6i，得
(2x)2－3(x2＋y2)i＝4－6i，
即，
∴， ∴.
∴a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i；
a＝1－i，b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i.
19．(本题满分12分)设是z的共轭复数，若存在复数z满足·z＋2i·＝3＋ai，求实数a的取值范围．
[答案] －4≤a≤4
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi代入·z＋2i·＝3＋ai.得x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai，所以消去x得y2＋2y＋－3＝0，Δ＝16－a2≥0，所以－4≤a≤4，所以当－4≤a≤4时，存在复数z，使·z＋2i ＝3＋ai成立．
20．(本题满分13分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c∈R)．
(1)求b、c的值；
(2)试证明1－i也是方程的根．
[答案] (1)b＝－2，c＝2 (2)略
[解析] (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴，解得.
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立
∴1－i也是方程的根．
21．(本题满分14分)设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
[答案] (1)－1[解析] (1)由已知，得
解①得－1故不等式组的解集为{x|－1因此m的取值范围是{x|－1(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
整理得log2(1＋m)(3－m)＝1.
从而(1＋m)(3－m)＝2，即m2－2m－1＝0，
解得m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0.
故m＝1±.
选修系列——综合测试
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·银川一中第一次月考)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
[答案] A
[解析] 逆命题把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A.
2．在如下图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是( )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(2)(4) D．(2)(3)
[答案] D
[解析] (1)为函数关系，(4)关系很不明显．
3．(2014·广州一测)已知i是虚数单位，则等于( )
A．i B．－i
C.－i D．－i
[答案] D
[解析] ＝＝＝＝－i，故答案选D.
4．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4、b5、b7、b8的一个不等关系是( )
A．b4＋b8>b5＋b7 B．b4＋b8C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b7[答案] A
[解析] 在等差数列{an}中，
由于4＋6＝3＋7时有a4·a6>a3·a7，
所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，
所以应有b4＋b8>b5＋b7，选A.
5．(2014·唐山二模)若命题“?x0∈R ，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2,6] B．[－6,2]
C．(2,6) D．(－6，－2)
[答案] A
[解析] 因命题“?x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，故其否命题“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0恒成立”为真命题，因为二次函数图像开口向上，所以Δ＝m2－4(2m－3)≤0，∴m∈[2,6]．
6．(2014·杭州质检)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程＝0.67x＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
A.75 B．62
C．68 D．81
[答案] C
[解析] 设表中模糊看不清的数据为m，由表中数据得：＝30，＝，因为由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9，将＝30，＝代入回归直线方程，得m＝68，故选C.
7．(2013·辽宁大连24中高二期末)f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式f(x)·g(x)<0的解集为( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
[答案] A
[解析] 令h(x)＝f(x)·g(x)，h(－x)＝f(－x)·g(－x)，
∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
∴h(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，
∴函数h(x)为奇函数，
又∵h(－2)＝f(－2)·g(－2)＝0，∴h(2)＝0.
又h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0在x<0时恒成立，∴函数h(x)在(－∞，0)上是减函数．
又∵h(x)为奇函数，∴h(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴不等式f(x)·g(x)<0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．
8. (2014·北京西城区期末)执行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )
A．3 B．6
C．7 D．10
[答案] D
[解析] 由框图可知该循环结构框图的作用是求数列的和，到n＝4时结束循环，所以S＝0＋1＋2＋3＋4＝10.故选D.
9．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是( )
A．12，－15 B．5，－15
C．5，－4 D．－4，－15
[答案] B
[解析] y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)·(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，
∴x＝－1舍去．
列表如下：
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
5
?
极小值－15
?
－4
由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B.
10．(2013·广东深圳高二期中)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[答案] D
[解析] 观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得，偶函数的导函数为奇函数，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)的导函数g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，故选D.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．(2014·浙江五校联考)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)是f(x)的导函数，若f′(α)＝2f(α)，则tan2α＝__________________.
[答案] －
[解析] ∵f′(x)＝cosx＋sinx，由f′(α)＝2f(α)得
cosα＋sinα＝2sinα－2cosα，故tanα＝3，
∴tan2α＝＝＝－.
12．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为________．
[答案] ＋＋＝1
[解析] 由类比推理可知，方程为＋＋＝1.
13．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a8＝________.
[答案] 512
[解析] 由a1，a2，a3，a4的形式可归纳，
∵1＋2＋…＋7＝28，
∴a8的首项应为第29个正奇数，
即2×29－1＝57，
∴a8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71＝512.
14．(2013·武汉市部分重点中学高二期中)若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处取得极值，则a＝________，b＝________.
[答案] － －
[解析] y′＝＋2bx＋1，
由题意得，
解得a＝－，b＝－.
15．(2014·绍兴月考)若双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5?3两段，则此双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] 根据题意，作图如下，抛物线y2＝2bx的焦点F(，0)，双曲线－＝1(a>b>0)的焦点F1(－c，0)，F2(c,0)，则|F1F|＝＋c，|F2F|＝c－，故＝＝，解得：c＝2b，所以e＝＝＝＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)(2013·山东临沂市重点中学高二期末)已知命题p：方程＋＝1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，又p或q为真，?q为真，求实数m的取值范围．
[答案] m≥3
[解析] p：，∴m>2.
故p：m>2.
q：△＝16(m－2)2－16<0，
即m2－4m＋3<0，
∴1故q：1又∵p∨q为真，?q为真，
∴p真q假，
即，
∴m≥3.
17．(本题满分12分)过抛物线y＝ax2(a>0)的顶点O作两条相互垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点．
[解析] 证明：设P(x1，ax)，Q(x2，ax)，则直线PQ的斜率为kPQ＝a(x1＋x2)，
∴其方程为y－ax＝a(x1＋x2)(x－x1)，
即y－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0，
∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ＝－1?a2x1·x2＝－1.
∴y－＝a(x1＋x2)(x－0)．
∴PQ恒过定点.
18．(本题满分12分)用分析法证明：若a>0，则－≥a＋－2.
[解析] 要证－≥a＋－2，
只需证＋2≥a＋＋.
∵a>0，∴两边均大于0.
∴只需证2≥2.
只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋4＋2，
只需证≥，
只需证a2＋≥，
只需证a2＋≥2，而这显然是成立的．
∴原不等式成立．
19．(本题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
[答案] (1)41 (2)f(n)＝2n2－2n＋1 (3)－
[解析] (1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
……
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n?f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝(－)，
∴＋＋＋…＋
＝1＋·(1－＋－＋－＋…＋－)
＝1＋(1－)＝－.
20．(本题满分13分)(2013·河南安阳市第二中学期末)已知椭圆C短轴的一个端点为(0,1)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线y＝x＋2交椭圆于A、B两点，求线段AB的长．
[答案] (1)＋y2＝1 (2)
[解析] (1)由题意可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵b＝1，＝，
∴a2＝9，b2＝1.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由，得10x2＋36x＋27＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝.
∴线段AB的长为.
21．(本题满分12分)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x∈[0,2]时，若|f(x)|≤2恒成立，求a的取值范围．
[答案] 增区间[－∞，－)和(1，＋∞)，减区间(－，1)
(2)[－1,0]
[解析] (1)对函数f(x)求导数，
得f ′(x)＝3x2－2x－1.
令f ′(x)>0，解得x>1或x<－；
令f ′(x)<0，解得－所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(1，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)在(0,1)上是递减的，在(1,2)上是递增的，
所以，f(x)在[0,2]上的最小值为f(1)＝－1＋a；
由f(0)＝a，f(2)＝2＋a，知f(0)所以，f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)＝2＋a.
因为，当x∈[0,2]时，
|f(x)|≤2?－2≤f(x)≤2
?，解得－1≤a≤0，
即a的取值范围是[－1,0]．
