用推理方法研究四边形教学案[下学期]

初三数学教案
课题：27.3用推理方法研究四边形① 课型：新授 第6课时
一．教学目标：
1． 知识与技能：1.掌握平行四边形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形； 2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算
2过程与方法：1.掌握证明的一般步骤； 2.会运用公理、定理、定义通过逻辑推理来证明以前通过实验操作得到的几何命题
3．情感态度与价值观：培养学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
二．重点难点：理解并掌握平行四边形的定义、判定定理和性质定理；及其应用
三．教学模式：教师指导下的尝试学习，当堂训练。
四．学法建议：从已经经过探索得到的有关平行四边形的一些结论入手，引导、启发学生通过逻辑推理加以证明，同时巩固证明过程的书写训练．
五．教学过程：
（一）预习尝试，发现问题。
预习创新教育P52并完成学案，检查学生是否掌握用逻辑推理加以证明
（二）反馈尝试，交流讲评：
回顾已经学过的判定平行四边形的方法？当时是通过观察、操作、分析得出的结论，下面我们可以用逻辑推理的方法来加以证明：第1个判定方法是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．为了证明这个命题，先将文字语言转化为几何语言．
已知：如图所示，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形（明确 平行四边形判定定理的证明，渗透转化的数学思想）
互动：
师：如果一个四边形是平行四边形，那么它具有怎样的性质？
生：（教师引导学生回忆）
师：可以用类似的辅助线利用全等三角形去证明这些性质．阅读课本第46页平行四边形性质定理1的证明过程．
生：（教师指导学生自学）
师：在证明性质定理1的过程中，得到了△ABC≌△CDA，除了可以得出AB=CD，AD=BC之外，还可以得到关于角的什么性质？如果再连结BD，又能得到关于对角线的什么性质？
生：（教师引导学生分析证明）
师：同样，平行四边形三条性质定理分别从边、角、对角线几方面概括出平行四边形的特点，为我们今后证明线段相等、角相等又提供了新的依据，不必再通过全等三角形来过渡，简化了证明过程．
明确 平行四边形性质定理的证明．
（三）尝试探究，激励思维：例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上点，且AE=CF．
求证：BF∥DE．
师：BF、DE是四边形BEDF的一组对边，结果能证出四边形BEDF是平行四边形，那么有BF∥DE．所以命题转化成了证明BEDF是平行四边形．考虑到条件中ABCD及AE=CF，选择哪一条判定定理最为简单呢？
生：通过BE∥DF且BE=DF．
师：好．写出证明过程．
生：（教师指导证明格式）
⑵尝试练习：（1）判断题
①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形． （∨）
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．（×）
③对角线相等的四边形是平行四边形． （×）
④平行四边形的对角线相等且互相平分． （×）
⑤一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形．（∨）
（2）填空题
①平行四边形的周长为40cm，那么它的两邻边之和是 20cm ，每条对角线最长不能大于或等于 20cm ．
②已知ABCD的三个角∠A：∠B：∠C=7：2：7，则第四个角∠D的度数是 40°．
③一个四边形四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd），则此四边形是 平行四边形．
⑶尝试探究：链接一：请你帮小明设计一种裁平行四边形玻璃的方法．
链接二：请你举出三种平行四边形在生活与生产实践中应用的实例，考虑它们分别是利用了平行四边形的什么性质？
巩固见“当堂训练”
（五）课后整合，拓展延伸：
（六）．板书设计：
(七)．教后感：
初三数学学案
课题：27.3用推理方法研究四边形① 课型：新授 第6课时
学习目标：能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算
一、预习创新P52并自我尝试：
（1）判断题
①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形． （ ）
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．（ ）
③对角线相等的四边形是平行四边形． （ ）
④平行四边形的对角线相等且互相平分． （ ）
⑤一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形． （ ）
（2）填空题
①平行四边形的周长为40cm，那么它的两邻边之和是 ，每条对角线最长不能大于或等于 ．
②已知ABCD的三个角∠A：∠B：∠C=7：2：7，则第四个角∠D的度数是 ．
③一个四边形四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd），则此四边形是 
（3）如图所示，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，证明：四边形AFCE是平行四边形．
（4）如图所示，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连结AF、CE．求证：四边形AECF是平行四边形．
初三数学当堂训练
1、平行四边形ABCD的周长为24，BC=2AB，则CD= ，DA= 。
2、平行四边形ABCD中，∠A∶∠B=2∶3，则∠C= ，∠D= 。
3、平行四边形周长为20，若被两条对角线分成的四个三角形中相邻两个小三角形周长和为25，则对角线长之和为 。
4在平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AD=9，AB=7，OF=3，则四边形ABEF的周长为 。
5、平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF= 。
6、平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，高AF=4，则高AE= 。
7、已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：（1）AB∥CD； （2）OA=OC；（3）AB=CD； （4）∠BAD=∠DCB； （5）AD∥BC。从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示： ）
8、如图，ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF.求证：BF∥DE.?
9、如图所示，分别以△ABC的边AB、CA、BC为边各作等边三角形ABD，ACE，BCF，使D、E、F与A在BC的同侧，问：四边形AEFD的形状是什么？请给出猜想，并予以证明．
（2）一组对边相等，一组对角平行的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明．
初三数学教案
课题：27.3用推理方法研究四边形② 课型：新授 第7课时
一．教学目标：
1知识与技能：1.掌握矩形、菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是矩行、菱形； 2.能运用矩形，菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
2． 过程与方法：经历探索矩形、菱形有关性质与判定条件的过程，
3． 情感态度与价值观：在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯
二．重点难点：能运用矩形，菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算
三．教学模式：教师指导下的尝试学习，当堂训练。
四．学法建议：在直观操作活动中经历探索矩形菱形有关性质与判定条件的过程五．教学过程：
（一）预习尝试，发现问题。
预习创新教育P55完成学案，检查学生是否能用逻辑推理进行有关证明和计算
（二）反馈尝试，交流讲评：
教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上．拉动一对不相邻的顶点A、C，立即改变平行四边形的形状．
学生思考如下问题：
(1)无论∠1如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？
(2)随着∠1的变化，两条对角线长度有没有变化？
(3)当∠1为什么角时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形？菱形？这时两条对角线长度有没有关系？
探究归纳：
我们知道矩形、菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．检查学生预习定理的证明并归纳：
1.矩形的性质：
(1)矩形具有平行四边形的一切性质； (2)矩形的四个内角都是直角；
(3)矩形的对角线相等且互相平分． 2.矩形的判定：
(1)有三个角是直角的四边形是矩形； (2)有一个内角是直角的平行四边形是矩形； (3)两条对角线相等的平行四边形是矩形
2、.菱形的性质：
(1)菱形具有平行四边形的一切性质； (2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2.菱形的判定：
(1)四条边相等的四边形是菱形； (2)有一组邻边相等平行四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（三）尝试探究，激励思维：
⑴例题赏析：例1 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
本题的关键在于证明四边形AEBC是一个矩形．
证明　延长CD到E，使DE＝CD，连结BE、AE．
因为CD是斜边AB上的中线，所以AD＝BD．又因为CD＝DE，所以四边形BCAE为平行四边形．又因为∠ACB＝90°，所以平行四边形BCAE为矩行．
所以CE＝AB．
即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
以后把这条作为直角三角行的性质定理．
⑶尝试探究：在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形
巩固见“当堂训练”
（五）课后整合，拓展延伸：
（六）．板书设计：
(七)．教后感：
初三数学学案
课题：27.3用推理方法研究四边形② 课型：新授 第7课时
学习目的：.能运用矩形，菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算
一预习创新P55并完成归纳：
1. 矩形对角线相交成的锐角为60°短边等于5cm ，则对角线的长为 cm.
2、菱形的两条对角线长分别是4cm和6cm ，则这个菱形的面积是 cm2
二预习自测：
1.已知：平行四边形ABCD的四个内角的平分线交于E、F、G、H．
求证：EG＝HF．
2.如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
求证：EB＝ED．
3、如图，在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形
初三数学当堂训练
1、菱形的周长为20cm，相邻内角度数之比为2∶1，则菱形较短的对角线长＿。
2、已知：矩形ABCD中，AB＝2CB，点E中DC上，且AE＝AB，则∠EBC＝＿＿＿
3下列说法错误的是＿＿
A、四个角相等的四边形是矩形 B、四条边相等的四边形是正方形 C、对角线相等的菱形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
4、如图，AD是ΔABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DE∥BA交AC于F．猜想AD与EF是什么关系
5.有一条对角线平分一个内角的平行四边形是否是菱形？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．
6.如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．
初三数学教案
课题：27.3用推理方法研究四边形③ 课型：新授 第8课时
一．教学目标：
1知识与技能：1.掌握正方形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是正方形；
2.能运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算
2过程与方法：经历探索正方形有关性质与判定条件的过程
3情感态度与价值观：在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．体会转化的思想
二．重点难点：
重点：掌握正方形的性质和判定定理
难点：运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算
三．教学模式：教师指导下的尝试学习，当堂训练。
四．学法建议：在直观操作活动中经历探索正方形有关性质与判定条件的过程
五．教学过程：
（一）预习尝试，发现问题。
预习创新教育P58完成学案，检查学生是否掌握用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算
（二）反馈尝试，交流讲评：1.展开活动的衣帽架（如图）．
图(1)的α在不断的地变化过程中．这个图形始终是怎样的图形？
2.展开一边固定对边活动的矩形．
将活动的矩形架的CD边左右移动时，问：图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？
我们已经知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质．
定理　正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
反之，如果一个四边形既是矩形，又是菱形，那么这个四边形一定是正方形．于是可得：
定理：　有一个角是直角的菱形是正方形．
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形
（三）尝试探究，激励思维：例1　求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．
已知：在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是正方形．
分析　要证四边形EFGH是正方形，可先证四边形EFGH是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可先证四边形EFGH是菱形，然后再证有一个角是直角．
证明　因为四边形ABCD是正方形，所以∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD．
因为点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，
所以BE＝BF＝CF＝CG，
∠BEF＝∠BFE＝∠CFG＝∠CGF＝45°，
因此∠EFG＝90°．
同理FGH＝∠GHE＝90°．
所以四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
因为BE＝CF，∠B＝∠C，BF＝CG，
所以△BEF≌△CFG（S.A.S.），
EF＝FG（全等三角形的对应边相等）．
所以四边形EFGH是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）
提问：你能用分析中的第二种方法证明吗？
探索：变式应用　如图，已知点A′B′C′D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
分析 证明方法类同上例，请同学们自己完成．
⑵尝试练习：
⑶尝试探究：
巩固见“当堂训练”
（五）课后整合，拓展延伸：
（六）．板书设计：
(七)．教后感：

初三数学学案
课题：27.3用推理方法研究四边形③ 课型：新授 第8课时
学习目标：能运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算
预习创新教育P58，并尝试练习：
1.如图，在平行四边形ABCD中，∠1＝∠2＝45°．
求证：四边形ABCD是正方形．
（第1题）

2.、尽可能多地说出识别一个四边形为正方形的方法．（说明理由）
3、正方形具有而菱形没有的性质是＿＿＿。
A、对角线互相平分 B、每条对角线平分一组对角 C对角线相等 D、对边相等
4、两条邻边分别是15cm和20cm的平行四边形最大面积是＿＿＿＿cm2。
A、75 B、150 C、200 D、300
5、已知：如图27.3.7，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是正方形．
图27.3.7

变式应用　：如图，已知点A′B′C′D′分别是
正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝
BB′＝CC′＝DD′，求证：四边形A′B′C′D′
是正方形．
初三数学当堂训练
1、正方形的对称轴有＿＿＿条，它的对称中心是＿＿＿。
2、正方形的边长为4cm，则周长为＿＿，面积为＿＿＿。
3、正方形的对角线与一边的夹角为＿＿。
4、E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝＿＿＿
5、以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB＝＿＿＿。
6、一个正方形的对角线长3cm，则它的面积为＿＿＿
7、正方形ABCD中，对角线的长是10cm，点P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和是＿＿＿。
8、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是＿＿。
A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C
C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC
9、如图，以等边△ABC的边AC为边，向外作正方形ACDE，则
①∠BCE=105 ；②∠BAE=150 ；③BE=BD；④∠DBE=30 .
其中 正确结论的个数是（ ）　（A）4 （B）3
（C）2（D）1
10、已知：如图，ABCD是正方形，AC、BD交于O点，E是OB上
任一点连结AE，过D作DF⊥AE，垂足为F，DF交OA于H.?
求证：DH=AE.?
11、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC. 求证：四边形CFDE是正方形.
课题：
例题 1. 2.
练习：
课题：
例题 1. 2.
练习：
课题：
平行四边形判定 平行四边形性质 例
定理1 定理1
定理2 定理2
定理3 定理3
定理4
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