【优化方案】2015年高考数学 第一章 第1课时 集合的概念与运算知能演练轻松闯关 新人教A版
[基础达标]
1.(2013·高考山东卷)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩?UB=( )
A.{3} B.{4}
C.{3,4} D.?
解析:选A.∵U={1,2,3,4},?U(A∪B)={4},
∴A∪B={1,2,3}.
又∵B={1,2},∴{3}?A?{1,2,3}.
又?UB={3,4},∴A∩?UB={3}.
2.(2014·安徽合肥市质量检测)已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|x2-x-2<0},且R为实数集,则下列结论正确的是( )
A.A∪B=R B.A∩B≠?
C.A?(?RB) D.A?(?RB)
解析:选C.集合A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1<x<2},所以A?(?RB).
3.已知集合A={1,10,},B={y|y=lg x,x∈A},则A∩B=( )
A.{} B.{10}
C.{1} D.?
解析:选C.∵B={y|y=lg x,x∈A}={y|y=lg 1,y=lg 10,y=lg }={0,1,-1},∴A∩B={1}.
4.(2014·湖北省八校联考)已知M={a||a|≥2},A={a|(a-2)(a2-3)=0,a∈M},则集合A的子集共有( )
A.1个 B.2个
C.4个 D.8个
解析:选B.|a|≥2?a≥2或a≤-2.又a∈M,(a-2)(a2-3)=0?a=2或a=±(舍),即A中只有一个元素2,故A的子集只有2个.
5.(2014·湖北武汉市武昌区考试)已知全集U=R,集合A={x|lg(x+1)≤0},B={x|3x≤1},则?U(A∩B)=( )
A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,-1]∪(0,+∞) D.(-1,+∞)
解析:选C.lg(x+1)≤0?0<x+1≤1?-1<x≤0,3x≤1?x≤0,则A∩B=(-1,0],?U(A∩B)=(-∞,-1]∪(0,+∞).
6.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1?A,则实数a的取值范围是________.
解析:∵1?{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,∴a≤1.
答案:(-∞,1]
7.已知U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(?UA)=?,则m=________.
解析:A={-1,2},B=?时,m=0;B={-1}时,m=1;B={2}时,m=-.
答案:0,1,-
8.(2012·高考天津卷)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
解析:A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1},
由A∩B=(-1,n)可知m<1,
则B={x|m<x<2},画出数轴,可得m=-1,n=1.
答案:-1 1
9.集合A={x|-2<x<-1或x>1},集合B={x|a≤x<b},A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x<3},求实数a,b的值.
解:∵A∩B={x|1<x<3},∴b=3.
又A∪B={x|x>-2},
∴-2<a≤-1.
又A∩B={x|1<x<3},
∴-1≤a<1,
∴a=-1.
10.设集合A={x|x2-8x+15=0},集合B={x|ax-1=0}.
(1)若a=,试判定集合A与B的关系;
(2)若B?A,求实数a组成的集合C.
解:由x2-8x+15=0,得x=3或x=5.
∴A={3,5}.
(1)当a=时,由x-1=0,得x=5.
∴B={5},∴BA.
(2)∵A={3,5}且B?A,
∴若B=?,则方程ax-1=0无解,有a=0.
若B≠?,则a≠0,
由方程ax-1=0,得x=,
∴=3或=5,即a=或a=,
∴C=.
[能力提升]
1.(2014·河南洛阳市考试)已知集合A={x|≤0,x∈N},B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:选D.由≤0得0<x≤2,因此A={1,2};由≤2得0≤x≤4,因此B={0,1,2,3,4},满足条件A?C?B的集合C的个数是23=8.
2.(2014·河南省三市高三第二次调研)设U为全集,对集合X,Y,定义运算“*”,X*Y=?U(X∩Y).对于任意集合X,Y,Z,则(X*Y)*Z=( )
A.(X∪Y)∩?UZ B.(X∩Y)∪?UZ
C.(?UX∪?UY)∩Z D.(?UX∩?UY)∪Z
解析:选B.依题意得(X*Y)=?U(X∩Y)=(?UX)∪(?UY),(X*Y)*Z=?U[(X*Y)∩Z]=?U[?U(X∩Y)∩Z]={?U[?U(X∩Y)]}∪?UZ=(X∩Y)∪?UZ.
3.已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A=,则?UA=________.
解析:因为A=,
当n=0时,x=-2;n=1时不合题意;
n=2时,x=2;n=3时,x=1;
n≥4时,x?Z;n=-1时,x=-1;
n≤-2时,x?Z.
故A={-2,2,1,-1},
又U={-2,-1,0,1,2},所以?UA={0}.
答案:{0}
4.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:
①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;
③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.
其中正确结论的序号是________.
解析:①中,-4+(-2)=-6?A,所以不正确;
②中设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;
③令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=k,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.
答案:②
5.(2014·河北衡水模拟)设全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}.
(1)求(?IM)∩N;
(2)记集合A=(?IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3},
N={x|x2+x-6=0}={-3,2},
∴?IM={x|x∈R且x≠-3},
∴(?IM)∩N={2}.
(2)A=(?IM)∩N={2},
∵A∪B=A,∴B?A,
∴B=?或B={2},
当B=?时,a-1>5-a,得a>3;
当B={2}时,,解得a=3,
综上所述,所求a的取值范围为{a|a≥3}.
6.(选做题)已知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)·(x-3a)<0}.
(1)若A?B,求a的取值范围;
(2)若A∩B=?,求a的取值范围;
(3)若A∩B={x|3<x<4},求a的取值范围.
解:∵A={x|x2-6x+8<0},∴A={x|2<x<4}.
(1)若A?B,
当a=0时,B=?,显然不成立;
当a>0时,B={x|a<x<3a},
应满足?≤a≤2;
当a<0时,B={x|3a<x<a},
应满足此时不等式组无解,
∴当A?B时,a的取值范围是[,2].
(2)∵要满足A∩B=?,
当a=0时,B=?满足条件;
当a>0时,B={x|a<x<3a},a≥4或3a≤2.
∴0<a≤或a≥4;
当a<0时,B={x|3a<x<a}.
∴a<0时成立,
综上所述,a的取值范围是(-∞,]∪[4,+∞).
(3)要满足A∩B={x|3<x<4},显然a=3.