第三章 3.1 3.1.1
一、选择题
1．下列现象中，是随机现象的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若a为实数，则|a＋1|≥0；
③发射一颗炮弹，命中目标．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 当a为实数时，|a＋1|≥0恒成立，是必然现象，其余2个均为随机现象．
2．下列现象是随机现象的有( )
A．若a、b、c都是实数，则a·(b·c)＝(a·b)·c
B．没有空气和水，人也可以生存下去
C．小张明天能钓到鱼
D．在Rt△ABC中，若∠A为90°，则BC2＝AC2＋AB2
[答案] C
[解析] A、B、D为必然现象，故选C.
3．下列现象中，随机现象的个数为( )
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8m；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] ①③是随机现象，②④是不可能发生的现象，故选B.
4．判断下列现象哪个是随机现象( )
A．地球围绕太阳转
B．一般水沸腾的温度是100摄氏度
C．某路段一小时内发生交通事故的次数
D．一天有24小时
[答案] C
[解析] A、B、D均为必然现象．
5．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从口袋中任意摸出一个球，得到白球”这个现象是( )
A．必然现象 B．随机现象
C．不可能事件 D．不能确定是哪种现象
[答案] B
[解析] 从口袋中任意摸出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故选B.
6．下列现象中，是随机现象的是( )
①从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中任取3个，3个都是次品；
②同一门大炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
④跳水运动员吴敏霞在2012年伦敦奥运会上夺得冠军．
A．②③④ B．①③
C．①②③ D．②③
[答案] D
[解析] ①是不可能发生的现象，④是必然现象，②③是随机现象．
二、填空题
7．①“从自然数中任取两数，其中一个是偶数”，这是________现象；
②“从自然数中任取连续两数，乘积是偶数”，这是________现象；
③“从自然数中任取两数，差为”，这是________现象．
[答案] ①随机 ②必然 ③不可能
[解析] ①是随机现象，②是必然现象，③是不可能现象
8．一天中，从北京开往沈阳的7列列车全都正点到达，该试验现象中，一次试验是指________，共有________次试验.
[答案] 一列列车从北京到达沈阳 七
[解析] 一列列车从北京到达沈阳就是一次试验，共有七次试验．
三、解答题
9．判断下列现象是必然现象还是随机现象．
(1)在20个同类产品中，有18个正品、2个次品 ，从中任意抽3个，则至少有一个是正品；
(2)方程x2＋2＝0无实数根；
(3)同一门炮向同一目标发射100发炮弹，其中50%的炮弹击中目标．
[解析] (1)由于20个产品中只有2个次品，所以任取3个产品至少有一个正品，故(1)是必然现象．
(2)∵x2＋2>0恒成立，故(2)是必然现象．
(3)同一门炮向同一目标发射炮弹，有可能击中，有可能击不中，不一定恰有50%的炮弹击中，故(3)是随机现象．
一、选择题
1．下列现象是必然现象的是( )
A．一天内进入超市的顾客数
B．一顾客在超市中购买的商品数
C．一棵麦穗上长着的麦粒数
D．CCTV1明天19：00播放《新闻联播》
[答案] D
[解析] 选项D是必然现象．
2．下列事件中，随机现象的个数为( )
(1)方程ax＋b＝0有一个实数根；
(2)2013年5月15日，去美国旅游的人数为1万；
(3)在常温下，锡块熔化；
(4)若a>b，那么ac>bc.
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] (1)(2)(4)是随机现象，(3)是不可能现象．
3．“抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，它落地时向上的数字是2”是( )
A．不可能现象 B．必然现象
C．随机现象 D．无法确定
[答案] C
[解析] 抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，它落地时向上的数字可能是1,2,3,4,5,6，故选C.
4．下列现象中，是随机现象的是( )
①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任摸4个，全部都是黄球；
④下周六是晴天．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[答案] D
[解析] ①为必然现象，③是不可能现象，②④是随机现象．
二、填空题
5．给出下列现象：
①明天进行的某场足球赛的比分为3?1；
②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；
③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；
④射击一次，命中靶心；
⑤当x是实数时，x2＋4x＋4<0.
其中，必然现象有________，不可能现象有________，随机现象有________．
[答案] ③ ⑤ ①②④
[解析] ③是必然现象，⑤是不可能现象，①②④是随机现象.
6．在6个同类产品中，有4个正品，2个次品，从中任意抽出3个检验，那么，以下三种结果：
①抽到3个正品；
②抽到2个正品1个次品；
③抽到1个正品2个次品．
其中是随机现象的是________．
[答案] ①②③
[解析] 抽取的3个产品中，可能都是正品，也可能2个正品，1个次品，还可能1个正品，2个次品．
三、解答题
7．写出下列试验的条件和结果：
(1)一个口袋中有2个红球，3个白球，从中任取一球，得到红球；
(2)掷一枚骰子，出现2点．
[解析] (1)条件：一个口袋中有2个红球，3个白球，从中任取一球．
结果：得到红球．
(2)条件：掷一枚骰子．
结果：出现2点．
8．判断以下现象是否为随机现象．
(1)某路口单位时间内通过“红旗”牌轿车的车辆数；
(2)n边形的内角和为(n－2)·180°；
(3)某同学竞选学生会主席的成功性；
(4)一名篮球运动员每场比赛所得的分数．
[解析] (1)、(3)、(4)是随机现象，(2)不是随机现象．
9．下列现象中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？
(1)一天中，从北京飞往上海的3次航班，全部正点到达；
(2)抛8次质地均匀的硬币，硬币落地时有5次正面向上．
[解析] (1)一飞机从北京飞往上海，就是一次试验，共有3次试验．
(2)抛一次硬币，就是一次试验，共有8次试验．
课件37张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小．比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%(或1)，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生．但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间(或者说．和1之间)．在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析．3.1 事件与概率第三章3.1.1 随机现象(1)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
(2)在常温常压下，石墨能变成金刚石；
(3)掷一枚硬币，正面向上；
(4)某地12月12日下雨；
(5)凸n(n≥3)边形的内角和为(n－2)·180°；
(6)函数y＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是增函数.
以上现象中哪几个是确定会发生的？哪几个是确定不会发生的．1．必然现象与随机现象
(1)必然现象
在一定条件下____________________的现象．如“导体通电时发热”，“把一石块抛向空中，它会掉到地面上来”，“地球每天都在绕太阳转动”都为必然现象．
注意：必然现象具有确定性，它在一定条件下，肯定发生．必然发生某种结果 (2)随机现象
当在相同的条件下多次观察同一现象，每一次观察到的结果____________，事先很难预料哪一种结果会出现．
如：“若此时此地是晴天，过24小时以后，天气的气象情况”；“某射击运动员每一次射击命中的环数”都是随机现象．
注意：随机现象：①在相同条件下观察同一现象．
②多次观察．
③每次观察的结果不一定相同，但无法预料下一次的观察结果是什么．不一定相同 2．试验及试验的结果
为了探索随机现象的规律性，需要对随机现象进行观察，我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为______．把观察结果或实验结果称为____________．
如：掷一枚硬币，就是一次试验；试验的结果为“正面朝上”或者“反面朝上”．
注意：随机试验(一次试验)是随机现象；对“试验”一词要作广义的理解．例如：掷一枚骰子、打一次靶、进行一次天气预报、参加一次考试、做一次化学实验等，都是一次试验． 试验 试验的结果
3．如何判断必然现象和随机现象
判断是必然现象还是随机现象的关键是看在一定的条件下，现象的结果是否可以预知．若在一定的条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象(必然现象)；若一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预知的，无法事先确定的，这类现象称为随机现象．1．以下现象是随机现象的是( )
A．过了冬天就是春天
B．物体只在重力作用下自由下落
C．不共线的三点能确定一个平面
D．下一届奥运会中国获得30枚金牌
[答案] D
[解析] A、B、C均是必然现象，D是随机现象．
2．以下现象是必然现象的有( )
①如果a、b∈R，那么a＋b＝b＋a；
②平面四边形ABCD的内角和为360°；
③某人购买福利彩票1注，恰好中奖；
④从树上打下果子落到地上．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 实数的加法满足交换律，故①的结果必然发生．平面上任一四边形的内角和均为360°，故②是必然现象．购买一注福利彩票，可能中奖也可能不中奖，故③是随机现象．从树上打下来的果子受重力作用必会落到地上，故④是必然现象．
3．以下现象是随机现象的是( )
A．标准大气压下，水加热到100℃沸腾
B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为a、b的矩形，其面积为a·b
D．实系数一元一次方程必有一实根
[答案] B
[解析] A、C、D为必然现象，B为随机现象．
4．下面给出了四种现象：①若x∈R，则x2<0；②没有水分，黄瓜种子发芽；③某地4月8日下大雨；④若平面α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n.其中是必然现象的是________． (将你认为正确的都填上)
[答案] ④
[解析] ①是不可能发生的现象；②是随机现象；③是随机现象；④是立体几何中的常用结论．[答案] ③6．指出下列哪些现象是随机现象．
(1)新生婴儿是男孩；
(2)某人射击一次，中靶；
(3)从一副牌中抽到红桃K；
(4)种了一粒种子发芽；
(5)导体通电时发热；
(6)从含5件次品的100件产品中抽出3件全部是正品；
(7)投掷一颗骰子，出现6点；
(8)在珠穆朗玛峰上，水加热到100℃沸腾．
[解析] 随机现象有(1)、(2)、(3)、(4)、(6)、(7)，必然现象有(5)，不可能现象为(8)．随机现象的理解
[解析] ①是必然现象．早晨太阳一定从东方升起；
②是随机现象．连续抛掷一枚硬币两次，正面情况可以是(上，上)，(上，下)，(下，上)，(下，下)，事先很难预料哪一种结果会出现；
③是必然现象．异性电荷一定相互吸引，∴选B.
[答案] B
[点评] 在一定条件下，必然有某种结果发生的现象为必然现象，而随机现象则事先很难预料会出现哪种结果．判断下列现象是必然现象还是随机现象：
(1)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色；
(2)在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出3个检验的结果；
(3)在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出3个且至少有一个正品的结果；
(4)三角形的内角和是180°.
[解析] (1)随机现象．(2)随机现象．(3)必然现象．(4)必然现象.试验与试验结果 [解析]
[点评] 1.学生可能写出不同的答案，从而体会随机现象试验的结果不一定相同，事先很难预料的特点．
2．试验：观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验．
试验结果：在试验中的观察结果或实验结果称为试验结果．指出下列试验的结果
(1)从1,2,3,4,5这五个数中不重复地任取两数；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取两个元素构成的集合A的子集．
[解析] (1)结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)(3,4)，(3,5)，(4,5)．
(2)结果：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}.随机现象与必然现象的区别 [解析] (1)因为袋子中装的十个球是完全相同的，所以任意取出一个，肯定是白球，所以是必然现象；(2)袋子中的十个球虽然形状相同，但颜色不相同，所以取出的球有可能是白球，有可能是黑球，也有可能是红球，所以取出一个白球是一种随机现象．
[点评] 随机现象和必然现象在自然界和社会生活中经常遇到，区别这两者的关键是在一定条件下这种现象是否必然发生，如果事先很难预料现象的发生与否，这种现象就是随机现象．判断下列现象是随机现象还是必然现象：
(1)某电话交换台在单位时间内收到用户呼唤的次数；
(2)检查流水线上一件产品是合格品还是不合格品．
[解析] (1)是随机现象．在单位时间内收到的呼唤次数可以是0次、1次，也可以是2次、3次……但是在这个时间之前，我们无法预料是哪一种结果，即无法预料在该单位时间内收到的呼唤次数是多少，因而这是一种随机现象．
(2)是随机现象．每次试验即检查一件产品有两种可能的结果，即合格和不合格，但在检查之前，我们无法预料是哪一种结果，因而这是一种随机现象．[错解] (1)结果：(正，正)，(正，反)，(反，反)．
(2)结果：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环．
[辨析] (1)中的结果错写为3个，导致此种错误的原因是没有分清结果(正，反)和结果(反，正)是两个不同的试验结果．
[正解] (1)结果：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
(2)结果：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环．
[解析] ①是必然现象，②③④是随机现象．
[答案] D
[点评] 判断是必然现象还是随机现象关键是看给定条件下的结果是否一定发生，若一定发生，则为必然现象，若不确定，则其为随机现象．即随机现象事先难以预料，而必然现象事先就能知道结果. 第三章 3.1 3.1.2
一、选择题
1．一个家庭有两个小孩，则基本事件空间Ω是( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
[答案] C
[解析] 两个小孩有大、小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件，故选C.
2．下列事件中，必然事件是( )
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
[答案] D
[解析] 一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D.
3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
[答案] C
[解析] 25件产品中，有2件次品，从中任取3件产品，3件都是次品是不可能发生的，故选C.
4．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要任意选报其中的2个，则基本事件的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 基本事件有{数学，计算机}，{数学，航空模型}，{计算机，航空模型}，共3个，故选C.
5．同时投掷两颗大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] D
[解析] 由题意知事件A包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个基本事件．掷两枚骰子，共有36种不同结果，本题事件A所包含的要使x＋y<5，x，y∈N＋，只有答案中6个基本事件，解决这类问题要不重不漏地写出，要求较高，请同学们尽快熟悉这种列举方法；注意不重不漏的关键是要抓住分类讨论这条主线(如当x＝1时y可以取1,2,3；x＝2时y可取1,2；当x＝3时，y只能取1)，问题就迎刃而解．故选D.
6．先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
[答案] A
[解析] “至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向下，2分向上”、“1分、2分都向上”三个基本事件，故选A.
二、填空题
7．从1,2,3，…30中任意选一个数，这个试验的基本事件空间为________，“它是偶数”这一事件包含的基本事件个数为________．
[答案] Ω＝{1,2,3，…，30} 15
[解析] 这个试验的基本事件空间为Ω＝{1,2,3，…，30}，是偶数的事件有2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30，共15个．
8．在200件产品中，有192件是一级品，8件是二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于9，
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
[答案] ④ ② ①③
[解析] 因为在200件产品中，有192件一级品，选出9件，可能都是一级品，也可能不全是，故①③是随机事件；因为只有8件二级品，所以选出9件，全部是二级品是不可能事件；不是一级品的件数小于9是必然事件．
三、解答题
9．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出基本事件空间；
(2)写出事件“甲赢”；
(3)写出事件“平局”．
[解析] (1){(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
一、选择题
1．下列事件中，随机事件是( )
A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间
B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间
C．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间
D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间
[答案] C
[解析] A为必然事件，B、D为不可能事件．
2．同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为所得点数之和为8，则事件A包含的基本事件总数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] C
[解析] 事件A包含的是本事件为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)共5个．
3．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
[答案] B
[解析] “正面朝上恰好有5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件．
4．下面事件：①某项体育比赛出现平局；②抛掷一枚硬币，出现反面；③全球变暖会导致海平面上升；④一个三角形的三边长分别为1、2、3；其中是不可能事件的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
[答案] D
[解析] 三角形的三边必须满足两边之和大于第三边．
二、填空题
5．下列事件：
(1)射击运动员杜丽在某次射击训练中射中10环；
(2)太阳从东方升起；
(3)高一(1)班有三位同学的生日在同一天；
(4)一个三角形较长的边对的角小，较短的边对的角大；
(5)从若干把外形相同的不同钥匙中随意抽出一把，恰好打开门锁.
其中是随机事件的是________(填序号)．
[答案] (1)(3)(5)
[解析] (2)是必然事件，(4)是不可能事件，(1)(3)(5)是随机事件.
6．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的基本事件的个数是____________．
[答案] 6
[解析] “三面旗帜的颜色与号码均不相同”的基本事件有(1红，2黄，3蓝)，(1红，2蓝，3黄)，(1黄，2红，3蓝)，(1黄，2蓝，3红)，(1蓝，2黄，3红)，(1蓝，2红，3黄)，共6个．
三、解答题
7．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？
[解析] (1)这个试验的基本事件空间为
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)由(1)知这个试验的基本事件总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
8．一个盒子中装有4个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,5，从中任取两球．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件．
[解析] (1)记i＝“取出的球的标号为i”，则这个试验的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5)}．
(2)由(1)知，基本事件的总数是6.
(3)“取出的两球上的数字之和是6”包含1个基本事件：(1,5)．
9．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验基本事件的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件．
[解析] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)由(1)知，这个试验的基本事件的总数是6.
(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2,0)，(2,1)}．
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章3.1 事件与概率第三章3.1.2 事件与基本事件空间同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)，你知道这个试验有多少种不同的结果吗？1．不可能事件、必然事件、随机事件一定会发生 始终不会发生 事件 可能发生 也可能不发生 A，B，C，…
2.基本事件、基本事件空间
(1)基本事件
试验中不能______的最简单的，且其他事件可以用________________的随机事件称为基本事件．
(2)基本事件空间
①定义：所有基本事件构成的______称为基本事件空间．
②表示：基本事件空间常用大写希腊字母_____表示．再分 它们来描绘 集合 Ω 1．下列事件中是不可能事件的是( )
A．三聚氰胺可有效提高婴幼儿奶粉的品质
B．金融危机影响汽车工业的发展
C．夏季的某一天，北京的气温超过33度
D．立春过后，某地下起了大雪
[答案] A
[解析] B、C、D是随机事件，只有A为不可能事件．2．从12件产品(其中10件正品，2件次品)中任意抽取3件产品，则下列事件中是必然事件的是( )
A．3件产品都是正品
B．3件产品中至少有1件是次品
C．3件产品都是次品
D．3件产品中至少有1件是正品
[答案] D
[解析] A、B为随机事件，C为不可能事件，只有D为必然事件．
3．有下列事件：①掷一枚硬币，出现反面； ②实数的绝对值不小于零；③若a>b，则b
A．② B．①
C．③ D．②③
[答案] B
[解析] 掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，故①是随机事件，②③是必然事件．
4．一个盒子中装有8个完全相同的球，分别标上号码1,2,3，…，8，从中任取一个球，写出基本事件空间______________________．
[答案] Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8}
[解析] 记取得球的标号为i，则Ω＝{1,2,3，…，8}．
5．从1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这3个数字之和大于6”这一事件是________事件(填“必然”、“随机”或“不可能”)．
[答案] 随机
[解析] ∵1＋2＋3＝6,1＋2＋4>6，…，∴“这3个数字之和大于6”这一事件为随机事件．
6．袋中装有红、白、黄、黑除颜色外大小相同的四个小球，分别写出以下试验的基本事件空间Ω：
(1)从中任取一球；
(2)从中任取两球．
[解析] (1)Ω＝{红，白，黄，黑}．
(2)Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．随机事件的概念 [解析] ①是随机事件，某地1月6日可能下雪，也可能不下雪；
②是随机事件，函数y＝ax(a>1且a≠0)在a>1时为增函数，在0③是不可能事件，任意实数a，总有|a|≥0，故|a|<0不可能发生；
④是必然事件，当a，b∈R时，ab＝ba恒成立；
⑤是随机事件．
[答案] ④ ③ ①②⑤
[点评] 解此类判断题，主要在于明确三种事件的概念，尤其应注意事件是指在一定条件下所出现的某种结果，是对应于某个条件而言的．
试判断下列事件是随机事件、必然事件，还是不可能事件．
(1)我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭；
(2)某出租车司机驾车通过10个交通路口都将遇到绿灯；
(3)一个电影院某天的上座率超过50%；
(4)抛一石块，下落；
(5)一个正六面体的六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6，将此正六面体抛掷两次，朝上面的数字之和大于12.
[解析] 本题主要考查随机事件、必然事件、不可能事件的概念．必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的是在一定条件下的随机现象．解决此类问题的关键是根据题意明确条件，正确判断在此条件下事先能否断定出现某种结果．
由题意知，(4)是必然事件，(5)是不可能事件，(1)、(2)、(3)是随机事件.基本事件与基本事件空间 [解析] 列表表示所有的基本事件．
由上图可直观地看出，“所得两球的号数和为6”包含以下5个基本事件：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．
[点评] 利用图形的直观性，简单明了．投掷一颗骰子，观察掷出的点数．记A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{5,6}，把A、B、C看成数的集合，解释下列表达式对应事件的意义．
(1)A∩C，A∪C；
(2)B∩C，B∪C.
[解析] (1)A∩C＝{5}，表示“掷出点数为5”；A∪C＝{1,3,5,6}表示“掷出点数为奇数或6”．
(2)B∩C＝{6}，表示“掷出点数为6”；B∪C＝{2,4,5,6}表示“掷出点数为偶数或5”.基本事件、基本事件空间概念的理解
[解析] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
(2)“点数之和不大于7”这一事件，包含21个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(6,1)．
(3)“点数和等于3的倍数”，即点数和为3,6,9,12的情形，共有12个基本事件：(1,2)，(1,5)，(2,1)(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)．写出下列随机试验的基本事件空间及表示下列事件的基本事件的集合．
(1)一个口袋中有同样大小的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取一球，①得白球；②得黑球．
(2)一个口袋中有相同大小的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，至少包含一个白球．
[解析] (1)把白球编号为白1，白2，把黑球编号为黑1，黑2，黑3，把红球编号为红1，红2，红3，红4.
则任取一球所有可能结果组成集合
Ω＝{白1，白2，黑1，黑2，黑3，红1，红2，红3，红4}
①事件“得白球”的集合A＝{白1，白2}包含两个基本事件．
②事件“得黑球”的集合B＝{黑1，黑2，黑3}包含3个基本事件．
(2)同(1)可知基本事件空间Ω＝{(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白1，红1)，(白1，红2)，(白1，红3)，(白1，红4)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(白2，红1)，(白2，红2)，(白2，红3)，(白2，红4)，(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑1，红3)，(黑1，红4)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑2，红3)，(黑2，红4)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(黑3，红3)，(黑3，红4)，(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，红4)，(红2，红3)，(红2，红4)，(红3，红4)}共36个基本事件．
记“至少有一个白球”为事件A，则事件A＝{(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(白1，红1)，(白1，红2)，(白1，红3)，(白1，红4)，(白2，红1)，(白2，红2)，(白2，红3)，(白2，红4)}共15个基本事件．[错解] D
[辨析] 错误的原因是把题意理解成所有可能的坐标轴上的点，连同(0,0)计算在内，没有看清从A中选取不相同的两个数．
[正解] C[解析] 列举如下：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．[解析] 设5只球的编号为：a、b、c、d、e，其中a、b、c为白球，d、e为黑球．列表如下：由于每次取2只球，每次所取2只球不相同，而摸出(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．
而“2只球都是白球”包括(a，b)、(b，c)、(c，a)，共3个基本事件. [解析] 将2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4.于是4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果用树形图表示，如图所示．共24个基本事件．第三章 3.1 3.1.3
一、选择题
1．每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3道题选择结果正确”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
[答案] B
[解析] 3道题选择结果可能都正确，也可能都错误，还可能仅1道题正确，或仅2道题正确．
2．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是( )
A．概率为 B．频率为
C．概率接近 D．每抽10台电视机，必有1台次品
[答案] B
[解析] 概率是一个客观存在的常数，不随试验的变化而变化，不能得出概率接近的结论. 而由频率的概念可知，选项B正确．
3．成语“千载难逢”意思是说某事( )
A．一千年中只能发生一次 B．一千年中一次也不能发生
C．发生的概率很小 D．为不可能事件，根本不会发生
[答案] C
[解析] 根据概率的意义可知选项A、B、D都不正确．
4．给出下列三个命题，其中正确命题的个数为( )
①设有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] A
[解析] 频率是事件发生的次数m与试验次数n的比值；当n很大时，可以将事件发生的频率作为事件发生的概率的近似值，故选A.
5．下列结论正确的是( )
A．事件A的概率为P(A)，则必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
[答案] C
[解析] A不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券中奖率为50%，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确，故选C.
6．有以下一些说法：
①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是；
②买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖；
③乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；
④昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错误的．
其中说法正确的是( )
A．①③ B．②③
C．①②③ D．①②③④
[答案] A
[解析] 根据概率的意义逐一判断可知①③正确，②④不正确．
二、填空题
7．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70)2个，并且样本在[30,40)之间的频率为0.2.则x等于________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10,50)的频率约为________．
[答案] 4 0.7
[解析] 样本总数为20个，∴x＝20－16＝4，∴P＝＝0.7.
8．样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为______，数据落在[2,10)内的概率约为________．
[答案] 64 0.4
[解析] 由于在[6,10)范围内，频率/组距＝0.08，所以频率＝0.08×组距＝0.32，而频数＝频率×样本容量，所以频数＝0.32×200＝64.同样，在[2,6)范围内的概率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.
三、解答题
9．某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
被调查人数n
1 001
1 000
1 004
1 003
1 000
满意人数m
999
998
1 002
1 002
1 000
满意频率
(1)计算表中的各个频率；
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)约是多少？
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意情况．
[解析] (1)表中各个频率依次是0.998,0.998，0.998，0.999,1.
(2)由第(1)问的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对某教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998.”
用百分数表示就是P(A)＝99.8%.
(3)由(1)、(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高，且呈上升趋势．
一、选择题
1．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是( )
A．3个都是正品 B．3个都是次品
C．3个中至少有一个是正品 D．3个中至少有一个是次品
[答案] C
[解析] 16个同类产品中，只有2个次品，抽取3个产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为1，∴选C.
2．下列说法中，不正确的是( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数为4
[答案] B
[解析] 某人射击10次，击中靶心7次，则他击中靶心的频率为0.7，故选项B错误．
3．设某厂生产的某产品的次品率为2%，估算该厂生产8 000件产品中合格品的件数可能为( )
A．160 B．7 840
C．7 998 D．7 800
[答案] B
[解析] 次品率为2%，则8 000件产品中可能有160件次品，所以合格品可能为8 000－160＝7 840(件)．
4．一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为( )
A． B．
C． D．1
[答案] D
[解析] 这是一个必然事件，其概率为1.
二、填空题
5．一个口袋装有白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为，则估计这100个球内，有白球____________个．
[答案] 75
[解析] 白球个数为100×＝75(个)
6．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏________．(“公平”或“不公平”)
[答案] 公平
[解析] 向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”、“反正”、“正反”、“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是，因此游戏是公平的．
三、解答题
7．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
127
121
击中飞碟的频率
(1)将各次击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
[解析] 利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．
(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792，0.820,0.820，0.793，0.794,0.807；
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
8．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率．
[解析] (1)记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，则由题意可知，A为不可能事件，所以P(A)＝0.
(2)记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，则由题意，得P(B)＝＝＝0.2.
(3)记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，则由题意可知，C为必然事件，P(C)＝1.
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章3.1 事件与概率第三章3.1.3 频率与概率天气预报中常说，某地的降水概率是百分之几，你知道降水概率是什么意思吗？概率 P(A) 0≤P(A)≤1 P(A)＝1 P(A)＝0 频率 近似值 数量 1．下列说法正确的是( )
A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
[答案] B
[解析] 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故选B.2．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
[答案] D
[解析] “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”．故选D.3．(2014·湖南文，3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3，则( )
A．p1＝p2C．p1＝p3[答案] D
[解析] 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.[答案] ①④⑤
[解析] 根据频率与概率的定义及关系可知①④⑤正确．[解析] 这种想法显然是错误的，通过具体试验验证便知．用概率的知识来理解，就是：尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面朝上的概率都是0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，只有通过大量实验，会发现正面向上的频率随实验次数的增加越来越稳定在0.5附近，即与0.5的差越来越小．概率的意义 解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
[解析] (1)说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说，100件该厂的产品中大约有90件是合格品．
(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖.频率与概率的关系及求法
[解析] (1)男婴出生频率从左到右依次为0.519,0.517, 0.517,0.517.
(2)由于以上的频率在常数0.517附近摆动，故这一地区男婴出生的概率约为0.517.概率的求法
[点评] 由本例看出：不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件，但它们可以看作是随机事件的两个极端情况．用这种既对立又统一的观点去看待它们，有利于认识它们的内在联系．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
如果校长随机地问这个班的一名学生，下面事件发生的概率是多少？
(1)认为作业多；
(2)喜欢电脑游戏并认为作业不多．概率在实际中的应用
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．
[解析] 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．
用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)得“90分以上”记为事件A，则P(A)＝0.067.
(2)得“60分～69分”记为事件B，则P(B)＝0.140.
(3)得“60分以上”记为事件C，则
P(C)＝0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分，然后作了统计，下表是统计结果．
贫困地区：发达地区：
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；
(3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．
(2)随着测试人数的增加，贫困地区和发达地区得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，故概率分别为0.5和0.55.
(3)经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别．
[错解] 任取一只箱子，拿出一条毛巾，如果是红色毛巾，由极大似然法可知，此箱子中是两条红色毛巾，此箱子如果标签是一红一白，则标着两红的是两白，另一箱是一白一红，如果标签是两白，则标签是两红的箱子里是一红一白，另一箱中是两白；如果取出的是白色毛巾，则此箱中是两白，此箱标签如果是一红一白，则标签为两白的是两条红色毛巾，另一箱中是一红一白，此箱标签如果是两红，则标签为两白的是一红一白，另一箱中是两条红色毛巾．
[辨析] 此解法推理的主要失误在极大似然法的运用错误，拿出一条红毛巾可能箱内是两红，也可能一红一白，本题的解答核心应抓住“每只箱子上的标签都是错的．”
[正解] 先从标着红白的箱子里取毛巾，如果从这只箱子里取出的毛巾是白色的，则这个箱子里两条毛巾都是白色的．这样就可以判断，标签上标着两白的箱子装了两条红毛巾，另一只箱子里的毛巾就是一红一白；如果从这只箱子里取出的毛巾是红色的，则这个箱子里装了两条红色毛巾，这样就可以判断，标签上标着两红的箱子装了两条白毛巾，另一只箱子里的毛巾就是一条红色一条白色．
(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上；
(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；
(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数．
[解析] (1)第三章 3.1 3.1.4
一、选择题
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
[答案] C
[解析] 由互斥事件的定义可知，甲、乙不能同时得此红牌．由对立事件的定义可知，甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”的事件可能不发生．故选C.
2．1人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
[答案] C
[解析] “至少有1次中靶”包括两种情况：①有1次中靶；②有2次中靶．其对立事件为“2次都不中靶”．
3．一个战士在一次射击中，命中环数大于8，大于5，小于4，小于6这四个事件中，互斥事件有( )
A．2对 B．4对
C．6对 D．3对
[答案] B
[解析] 按照互斥事件的定义，两个事件不可能同时发生，所以命中环数大于8与命中环数小于4是互斥事件；命中环数大于8与命中环数小于6是互斥事件；命中环数大于5与命中环数小于4是互斥事件．命中环数大于5与命中环数小于6也是互斥事件，故选B.
4．若把一副扑克牌中的4个K随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人得到1张扑克牌，则事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到梅花K”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但非对立事件 D．以上都不对
[答案] D
[解析] 由题意，对一次试验(即分一次牌)，有可能“甲分到红桃K”和“乙分到梅花K”同时发生．
5．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量大于4.8g，不大于4.85g的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.02 D．0.68
[答案] B
[解析] 记事件A＝“质量不大于4.85g”，事件B＝“质量小于4.8g”，事件C＝“质量不小于4.8g，不大于4.85g”，则A＝B∪C，且B、C互斥，所以P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)，由此可得P(C)＝P(A)－P(B)＝(1－0.32)－0.3＝0.38.
6．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中为互斥事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
[答案] C
[解析] 所取两个数可能都是奇数，也可能都是偶数，还可能一个奇数一个偶数，故只有③中两个事件互斥．
二、填空题
7．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲胜的概率为________，甲不输的概率为________．
[答案]
[解析] “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－(＋)＝，“甲不输”是“乙胜”的对立事件，所以甲不输的概率为1－＝.
8．如果事件A和B是互斥事件，且事件A∪B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件B的对立事件的概率为________．
[答案] 0.8
[解析] 根据题意有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝4P(B)＝0.8，∴P(B)＝0.2，则事件B的对立事件的概率为1－0.2＝0.8.
三、解答题
9．(2014·陕西文，19)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
[解析] (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24.
由频率估计概率得P(C)＝0.24.
一、选择题
1．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件．
①恰有1件次品和恰有2件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少有1件次品和全是正品．
以上事件中互斥事件的组数是( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
[答案] B
[解析] ①④中的两事件互斥，②③中的两事件不互斥．
2．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，将这个玩具抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点(指向上的一面的点数是奇数)，事件B表示向上的一面的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
[答案] D
[解析] 事件A与事件B可以同时发生，故排除选项A、B；事件B与事件C是对立事件，故排除选项C，应选D.
3．某家庭电话，有人时打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 电话在响前四声内被接的概率为P＝＋＋＋＝.
4．(2013·陕西文，5)对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
[答案] D
[解析] 由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
二、填空题
5．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是____________．
[答案] 0.3
[解析] P＝1－0.42－0.28＝0.3.
6．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为____________．
[答案]
[解析] 设事件A为“甲夺得冠军”，事件B为“乙夺得冠军”，则P(A)＝，P(B)＝，因为事件A和事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝
三、解答题
7．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；
(4)B与C；(5)C与E.
[解析] (1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B发生时事件D也可能发生，故B与D不互斥．
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”；事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么报也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．
8．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率．
[解析] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49.
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理．
设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等是彼此互斥事件，∴P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
∴不够7环的概率为0.03.
课件52张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章3.1 事件与概率第三章3.1.4 概率的加法公式第二次世界大战中，英美盟军因为运输队在大西洋上常常受到德国潜艇的袭击而焦头烂额．为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家．数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇近似于一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律．一定数量的船(如100艘)编队规模越小，编次就越多(如每次20艘，就要有5个编次)；编次越多，与敌人相遇的概率就越大．美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了，盟军舰队遭到袭击的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．一、事件的关系与运算
1．互斥事件
不可能同时发生的两个事件叫______________(或称为______________)．
2．并(和)事件
若事件A和事件B中_____有一个发生，则C发生；若C发生，则A、B中_____有一个发生，称事件C为A与B的并(或和)．
一般地，由事件A和B______有一个发生所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)．互斥事件 互不相容事件 至少 至少 至少 (1)与集合定义类似，并事件可如图表示．
(2)事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件，即A∪B＝B∪A.(3)并事件包含三种情形：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A、B同时发生．
(4)推广：如果事件A1、A2、…、An中的任何两个都互斥，就称事件A1、A2、…、An彼此互斥，从集合角度看，n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．
如在一次投掷骰子的实验中，若
C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；
C4＝{出现4点或出现5点}；C5＝{出现6点}；
则事件C1，C2，C3，C4，C5彼此互斥．3．对立事件
不可能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件．
(1)事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．
(2)对立事件是针对两个事件来说的，一般地，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两个事件是互斥事件，却未必是对立事件．
(3)对立事件是一种特殊的互斥事件，若A与B是对立事件，则A与B互斥且A∪B为必然事件．1－P(A)
二、概率的几条基本性质
1．概率P(A)的取值范围
由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0和1之间，从而任何事件的概率在0到1之间，即0≤P(A)≤1.
(1)必然事件B一定发生，则P(B)＝1.
(2)不可能事件C一定不发生，因此P(C)＝0.P(A)＋P(B) (1)用频率可以估计概率，因此概率应具有频率的性质．
(2)加法公式的前提条件是：事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
如掷骰子试验中，“出现偶数点”，“出现2点”分别记为事件A、B，则A、B不互斥，P(A∪B)≠P(A)＋P(B)．
(3)如果事件A1、A2、…、An彼此互斥，那么
P(A1∪A2∪…∪An)＝________________________.
即彼此互斥的事件并的概率等于它们的概率的和．
(4)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解成一些较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
3．对立事件的概率公式
若事件A与B互为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)＝1，又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴P(A)＝1－P(B)．
(1)公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．
(2)当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式使用间接法求概率．[答案] B2．下列说法正确的是( )
A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件并不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
[答案] D
[解析] 由互斥事件及对立事件的定义知选D.3．从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列事件中，互斥事件的个数是( )
①至少有1个白球与都是白球；
②至少有1个白球与至少有1个红球；
③恰有1个白球与恰有2个红球；
④至少有1个白球与都是红球．
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①②中两个事件可以同时发生，③④中两个事件不可能同时发生，故③④中两个事件为互斥事件，∴选C.4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
[答案] 0.10
[解析] 射手命中圆面Ⅰ为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，不中靶为事件D，则A、B、C互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为
P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
5．甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，则乙获胜的概率为________，甲不输的概率为________．
[答案] 20% 80%
[解析] 设事件“甲胜”，“乙胜”，“甲乙和棋”分别为A、B、C，则P(A)＝30%，P(C)＝50%，
∴甲不输的概率为：P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝80%，
P(B)＝1－P(A∪C)＝1－80%＝20%.
6．在某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)[14,18)(m)．
[解析] 记河流年最高水位在“[8,10)”为事件A，“[10,12)”为事件B，“[12,14)”为事件C，“[14,16)”为事件D，“[16,18)”为事件E，则A、B、C、D、E为互斥事件，由互斥事件的概率的加法公式，得
(1)最高水位在[10,16)的概率为
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)最高水位在[8,12)的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)最高水位在[14,18]的概率为
P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.互斥事件的概念
[解析] (1)若“两次出现正面”发生，则“只有一次出现正面”不发生，反之亦然，即事件A与B不可能同时发生，∴A、B互斥．
(2)某人射击一次中靶不一定击中9环，但击中9环一定中靶，即B发生则A一定发生，∴A、B不互斥．
(3)事件A发生，则事件B一定不发生，故A、B互斥．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有一名男生与两名全是男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
[解析] 判别两个事件是否互斥，就是考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“两名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当两名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“两名全是男生”发生时“至少有一名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．
(4)由于选出的是“一名男生一名女生”时“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
[点评] 两个互斥事件是否对立要依据试验条件．本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件.对立事件的概念
[解析] 对立事件的含义是：两个事件在一次试验中有且仅有一个发生，类比集合．可用Venn图揭示事件之间的关系．
(1)根据题意作出Venn图．
从图(1)中可以看到：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事件．从一堆产品(其中正品与次品的件数都大于2)中任取2件，下列每对事件是对立事件的是( )
A．恰好有2件正品与恰好有2件次品
B．至少有1件正品与至少有1件次品
C．至少1件次品与全是正品
D．至少1件正品与全是正品
[答案] C
[解析] A中的两个事件是互斥事件，但不对立；B中两个事件不互斥；D中两个事件不互斥，C中两个事件互斥且对立.互斥事件与对立事件的概率 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：
(1)小明在数学考试中取得80分以上；
(2)小明考试及格．[解析] 小明的成绩在80分以上可以看做是互斥事件“80～89分”、“90分以上”的并事件，小明考试及格可看做是“60～69分”、“70～79分”、“80～89分”、“90分以上”这几个彼此互斥的事件的并事件，又可看做是“不及格”的对立事件．
分别记小明的成绩在“90分以上”、在“80～89分”、在“70～79分”、在“60～69分”为事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)解法一：小明考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
解法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是P(A)＝1－0.07＝0.93.
∴小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率是0.69，考试及格的概率是0.93.[辨析] 错误的原因为误认为事件A与事件B互斥．[分析] 求“至多”、“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事件包含哪些事件，再利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式解决．
[解析] 记在窗口等候的人数是0、1、2分别为事件A、B、C，则A、B、C彼此互斥．
(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)“至少2人排队等候”的对立事件是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，
故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.第三章 3.2 第1课时
一、选择题
1．从甲、乙、丙 三人中任选两人作为代表去开会，甲未被选中的概率为( )
A． B．
C． D．1
[答案] B
[解析] 所有的基本事件为：甲、乙，甲、丙，乙、丙，即基本事件共有三个，甲被选中的事件有两个，故P＝.∴甲未被选中的概率为.
2．下列概率模型中，有几个是古典概型( )
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从1～10中任意取出一个整数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投一点P，求P刚好与点A重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] 第1个概率模型不是古典概型．因为从区间[1,10]内任意取出一个数有无数个对象被取，即试验中所有可能出现的基本事件有无限个．
第2个概率模型是古典概型．在试验中所有可能出现的结果只有10个，而且每一个数被抽到的可能性相等．
第3个概率模型不是古典概型，向正方形内投点，可能结果有无穷多个．
第4个概率模型不是古典概型．因为硬币残旧且不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
3．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐蓬，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐蓬也是等可能的，只要帐蓬如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨机会为
C．淋雨机会为 D．淋雨机会为
[答案] D
[解析] 由题设知，基本事件空间Ω＝{(下雨，运到)，(下雨，运不到)，(不下雨，运到)，(不下雨，运不到)}，事件“淋雨”中只有一个基本事件(下雨，运不到)，∴概率为.
4．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，所得情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种，b>a的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，∴所求的概率为＝.
5．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第1、2、3册的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 基本事件空间为Ω＝{(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}共6个基本事件．而事件A＝“各册从左到右，或从右到左恰好为第1、2、3册”中含有两个基本事件(1,2,3)和(3,2,1)，各基本事件是等可能的．∴P(A)＝＝.
6．乘客在某电车站等待26路或16路电车，在该站停靠的有16、22、26、31四路电车，若各路电车先停靠的概率相等，则乘客期待的电车首先停靠的概率等于( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 每一辆车先到的概率都等于，所以乘客期待的电车首先停靠的概率为＋＝，故选A.
二、填空题
7．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是________．
[答案]
[解析] 记3只白球分别为A、B、C,1只黑球为m，若从中随机摸出两只球有AB，AC，Am，BC，Bm，Cm6种结果，其中颜色不同的结果为Am，Bm，Cm3种结果，故所求概率为＝.
8．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为____________．
[答案]
[解析] 由题意知，基本事件空间Ω＝{12,13,14,23,24,34}，记“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”为事件A，∴A＝{12,14,23,34}，∴P(A)＝＝.
三、解答题
9．(2013·江西文，18)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
[解析] (1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为p1＝；
因为去唱歌的概率为p2＝，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－＝.
一、选择题
1．(2013·安徽文，5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.
2．把3枚硬币一起掷出，出现2枚正面朝上、1枚反面朝上的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 该试验的基本事件空间为{(正，正，反)，(正，正，正)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，且每一个基本事件发生的可能性相等．而“两正一反”包含了其中3个基本事件，所以概率为，故选B.
3．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 以5根木棒中取3根有10种取法，而构成三角形只能有3种，3,5,7；5,7,9；3,7,9，∴P＝.
4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2xy＝1的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 骰子朝上的面的点数x、y构成的有序数对(x，y)共有36个，满足log2xy＝1，即2x＝y的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故所求概率P＝＝.
二、填空题
5．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是________．
[答案]
[解析] 在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆；12个(在12条棱上，每条棱上一个)，两面涂漆；6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆，1个(中心)各面都不涂漆，∴所求概率为＝.
6．一个员工需在一周内值班两天，其中恰有一天是星期六的概率为____________．
[答案]
[解析] 基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)(5,7)，(6,7)}，恰有一天是星期六含6个基本事件，概率P＝＝，选B.
三、解答题
7．口袋中有红、白、黑3个颜色各不相同但形状大小一样的小球，现从中有放回的取两次，求下列事件的概率：
(1)取出的球全是红球的概率；
(2)取出的球中至少有一个是红球的概率；
(3)取出的球是同一颜色的概率；
(4)取出的球颜色不相同的概率．
[解析] 设红球编号为1，白球编号为2，黑球编号为3，有放回地连续抽取两次，所有可能的结果如下：
第一次抽取第二次抽取
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
试验的所有结果有9种，并且这9种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
(1)用A表示“取出的球全是红球”，由上表可以看出，A只有(1,1)一种结果，因此P(A)＝.
(2)用B表示“取出的球至少有一个是红球”，由上表可以看出，只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)五种情况，所以其概率为P(B)＝.
(3)用C表示“取出的球颜色相同”，由上表可以看出，C有(1,1)，(2,2)，(3,3)三种情况，所以其概率为P(C)＝＝.
(4)用D表示“取出的球颜色不同”，由上表可以看出，D 有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)故
P(D)＝.
8．两个盒内分别盛着写有0,1,2,3,4,5六个数字的六张卡片，若从每盒中各取一张，求所取两数之和等于6的概率．现有甲、乙两人分别给出一种解法．
甲的解法：因为两数之和可有0,1,2，…，10共11种不同的结果，所以所求概率为.
乙的解法：从每盒中各取一张卡片，共有36种取法，其中和为6的情况共有5种：(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，因此所求概率为.
试问哪一种解法正确，为什么？
[解析] 乙的解法正确．因为从每个盒中任取一张卡片，都有6种不同的取法，且取到各张卡片的可能性均相等，所以从两盒中各任取一张卡片的不同的可能结果共有36种，其中和数为6的情况正是乙所列5种情况．所以乙的解法正确．
而甲的解法中，两数之和可能出现11种不同结果，其可能性并不均等，所以甲的解法是错误的．
9．某校举行运动会，高二·一班有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？
[解析] 由于男生从4人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男生为A，B，C，D，女生为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选择的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男生中选取的是男生A，从女生中选取的是女生1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”，为事件E.
结果女男
1
2
3
A
(A,1)
(A,2)
(A,3)
B
(B,1)
(B,2)
(B,3)
C
(C,1)
(C,2)
(C,3)
D
(D,1)
(D,2)
(D,3)
由上表可知，可能的结果总数是12个．设该国家一级运动员的编号1，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝＝.
课件42张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章3.2 古典概型第三章第1课时 古典概型(一)我们一次向上抛掷红、黄、绿三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？1．古典概型的概念
同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：
(1)________：在一次试验中，可能出现的结果只有________，即只有________不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是________．有限性 有限个 有限个 均等的2．概率的古典定义
在基本事件总数为n的古典概型中，
(1)每个基本事件发生的概率为______；[答案] C
2．(2014·湖北文，5)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
A．p1C．p1[答案] C[解析] 本题考查简单的概率运算．
在表格中表示出两枚骰子向上的点数的所有可能情况如下：
[答案] B4．(2014·全国新课标Ⅰ文，13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．5．(2014·广东文，12)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．等可能事件的概率 掷一颗骰子，观察掷出的点数．
(1)求掷得奇数点的概率；
(2)求掷得点数不大于4的概率．[解析] 首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A：取出的两球都是白球的总数；事件B：取出的两球一个是白球，而另一个是红球的总数，便可套用公式解决之．古典概型的概率 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
[解析] (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．
[辨析] 错解把“甲、乙两人依次各抽一题”理解为“甲、乙共抽取两道题”，前者与顺序有关，后者与顺序无关，两者是不同的．[解析] 本题中的基本事件较多，为了清楚地列举出所有可能的基本事件，可画图列举如下：[解析] 画出树形图如下图．
每个基本事件为(x，y，z)，其中x，y，z分别取红、黄、白，故基本事件个数为3×3×3＝27.第三章 3.2 第2课时
一、选择题
1．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )
A．P(A)>P(B) B．P(A)C．P(A)＝P(B) D．P(A)与P(B)大小不确定
[答案] C
[解析] 横坐标为0与纵坐标为0的可能性是一样的，故选C.
2．已知集合A＝{－1,0,1}，点P坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A，记点P落在第一象限为事件M，则P(M)＝( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 所有可能的点是(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共9个，其中在第一象限的有1个，因此P(M)＝.
3．若第1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠在一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车，假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 汽车到站共有5种不同情况，恰好是这位乘客所需乘的汽车有2种，故所示概率P＝.
4．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 从盒中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件，所以，所求概率为P(A)＝＝.
5．在6瓶饮料中，有两瓶已过了保质期．从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 从6瓶饮料中任取2瓶，共有15种取法，取到的全是已过保质期的饮料只有一种取法，∴P＝.
6．已知f(x)＝3x－2(x＝1,2,3,4,5)的值构成集合A，g(x)＝2x－1(x＝1,2,3,4,5)的值构成集合B，任取x∈A∪B，则x∈A∩B的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 根据条件可得A＝{1,4,7,10,13}，B＝{1,2,4,8,16}，
于是A∪B＝{1,2,4,7,8,10,13,16}，A∩B＝{1,4}．
故任取x∈A∪B，则x∈A∩B的概率是＝.
二、填空题
7．一栋楼房有6个单元(每单元住两户)，李明和王强都住在此楼内，他们住在此楼的同一单元的概率是____________．
[答案] 1/6
[解析] 基本事件数为6，基本事件总数为36，故李明和王强强住在此楼同一单元的概率是.
8．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是____．
[答案]
[解析] 本题考查了概率中的古典概型，由图可知两点间的距离为的是中心和四个顶点组成的4条线段，从A、B、C、D、O这五点中随机取两点，共10条线段，故概率为＝，概率问题一定要弄明白概率模型．
三、解答题
9．(2014·四川文，16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解析] (1)由题意，(a，b，c)所有的可能为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
一、选择题
1．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 从袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10种，取出的小球标注数字和为3的事件为(1,2)．取出的小球标注数字和为6的事件为(1,5)或(2,4)，∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P＝＝.故选A.
2．有大小相同的五个球，上面标有1,2,3,4,5，现从中任取两球，则这两球的序号不相邻的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 从五个小球中任取两球的基本事件共有10种．其中序号相邻的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种，所求概率P＝1－＝＝.
3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a、b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a、b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，又依题意得基本事件的总数有36种，因此他们“心有灵犀”的概率为＝，故选D.
4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块，如果婴儿能够排成“20 12 伦敦”或者“伦敦 20 12”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块挨着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 3块字块的排法为“20 12 伦敦”，“20 伦敦 12”，“12 20 伦敦”，“12 伦敦 20”，“伦敦 20 12”，“伦敦 12 20”，共6种，婴儿能得到奖励的情况有2种，故所求概率P＝＝.
二、填空题
5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为P点的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是____________．
[答案]
[解析] P点坐标共有36个，落在圆x2＋y2＝16内的点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个，故所求概率P＝＝.
6．在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________．
[答案]
[解析] 如图所示，则从这五点中任取三点的全部结果为：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个．
而事件M“任取三点构不成三角形”只有ACE，BCD 2个，故构成三角形的概率P()＝1－P(M)＝1－＝.
三、解答题
7．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
(1)求x、y；
(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
[解析] (1)由题意可得，＝＝，∴x＝1，y＝3.
(2)记从高校B抽取的2人为b1、b2，从高校C抽取的3人为c1、c2、c3，则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．
设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)、(c1，c3)、(c2，c3)，共3种，
因此P(X)＝.
故选中的2人都来自高校C的概率为.
8．(2013·山东文，17)某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高(单位：m)及体重指标(单位：kg/m2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80m的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78m以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70m以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
[解析] (1)从身高低于1.80m的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78m以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．
因此选到的2人身高都在1.78m以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70m以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1＝.
课件42张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章3.2 古典概型第三章第2课时 古典概型(二)习题课古代“五行”学说认为“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为多少？基本事件的概率
一般地，对于古典概型，如果试验的n个基本事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两__________的，则由________________________公式得互斥 互斥事件的概率加法 [答案] C[答案] B[答案] D4．(2013·全国新课标Ⅱ文，13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
[答案] 0.25．(2014·浙江文，14)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．6．一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率．有放回取样与无放回取样的联系与区别 (1)从含有两件正品a、b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)将(1)中条件“取出后不放回”改为“每次取出后放回”其余不变，再求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．古典概型与解析几何的结合
[解析] 点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．若点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5)，则
当n＝2时，点P只能是(1,1)；
当n＝3时，点P可能是(1,2)，(2,1)；
当n＝4时，点P可能是(1,3)，(2,2)；
当n＝5时，点P只能是(2,3)．
故事件C3、C4的概率最大，所以n可取3或4.连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)得到的点数分别记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b2)＝4 相切的概率为________．古典概型与统计的结合 (2014·重庆文，17)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；
(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．[辨析] 应该考虑A信投入各个信箱的概率，而误解考虑成了4封信投入某一信箱的概率．[解析] 设事件A为“方程x2＋bx＋c＝0有实根”，则
A＝{(b，c)|b2－4c≥0，b，c＝1,2，…，6}．而(b，c)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，第三章 3.2 第2课时
一、选择题
1．某小组有5名同学，其中男生3名，现选举2名代表，至少有一名女生当选的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 记3名男生分别为A1，A2，A3,2名女生分别为B1，B2，从5名同学中任选2名的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共10种，至少有1名女生当选的情况有7种，故所求概率P＝.
2．下列命题中是错误命题的个数为( )
①对立事件一定是互斥事件；
②A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 互斥不一定对立，对立必互斥①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴②错误；
事件A、B、C两两互斥，则有P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，但A∪B∪C不一定是必然事件，例如基本事件空间是由两两互斥的事件A、B、C、D组成且事件D与A∪B∪C为对立事件，P(D)≠0时，③不对．
3．某单位电话总机室内有两部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.9 B．0.7
C．0.6 D．0.5
[答案] B
[解析] 至少有一部电话打入的概率是0.4＋0.5－0.2＝0.7.
4．某环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30，0.25，则该射手射击一次不命中环靶的概率为( )
A．0.1 B．0.65
C．0.70 D．0.75
[答案] A
[解析] 该射手射击一次不命中环靶的概率是1－0.35－0.30－0.25＝0.1.
5．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 将骰子(均匀的)连掷三次共有6×6×6＝216(种)可能结果，点数依次成等差数列的情况有(6,5,4)，(6,4,2)，(5,4,3)，(5,3,1)，(4,3,2)，(3,2,1)，(1,3,5)，(1,2,3)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，(4,4,4)，(5,5,5)，(6,6,6)，共18种可能情况，所以所求概率为＝.
6．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，基本事件为12,13,21,23,31,32共6个．其中大于21的有23,31,32共3个，∴所求概率为＝.
二、填空题
7．从甲口袋中摸出一白球的概率为，从乙口袋中摸出一白球的概率为，从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为，则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为________．
[答案]
[解析] “至少有一个白球”是事件A＝“从甲口袋中摸出的是白球”和B＝“从乙口袋中摸出的是白球”的并事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
8．甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，两人击中目标的概率都是0.8，两人都未击中的概率为0.04，则目标被两人同时击中的概率为________．
[答案] 0.64
[解析] 目标被击中即甲击中或乙击中，P(甲)＝0.8，P(乙)＝0.8，
∴P(甲或乙)＝P(甲)＋P(乙)－P(甲且乙)＝1－0.04＝0.96，∴P(甲且乙)＝0.64.
三、解答题
9．100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长度、重量都合格的有85个．现从中任取一产品，记A为：“产品长度合格”，B为：“产品重量合格”，求产品的长度、重量至少有一项合格的概率．
[解析] P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.而A∪B为：“产品的长度、重量至少有一项合格”
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝0.98.
一、选择题
1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝{出现的点数是1,2}，事件B＝{出现的点数是2,3,4}，则事件{出现的点数是2}可以记为( )
A．A∪B B．A∩B
C．A?B D．A＝B
[答案] B
[解析] A∪B＝{出现的点数是1,2,3,4}，A∩B＝{出现的点数是2}，故选B.
2．对于任意事件M和N，有( )
A．P(M∪N)＝P(M)＋P(N) B．P(M∪N)>P(M)＋P(N)
C．P(M∪N)[答案] D
[解析] 本题主要考查对概率加法公式的理解．当M和N是互斥事件时，P(M∪N)＝P(M)＋P(N)；当M和N不是互斥事件时，P(M∪N)二、填空题
3．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100，计算下列事件的概率．
(1)任取其中1张，这张卡片上写的是偶数的概率为________；
(2)任取其中1张，这张卡片上写的数是5的倍数的概率为________；
(3)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数且是5的倍数的概率为________；
(4)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数或是5的倍数的概率为________．
[答案] (1) (2) (3) (4)
[解析] 从100张卡片中任取一张，共有100种取法．
(1)其中偶数有50个，故取得偶数的概率为.
(2)其中是5的倍数的有20个，故是5的倍数的概率是＝.
(3)既是偶数又是5的倍数的有10个，故既是偶数又是5的倍数的概率为.
(4)记事件A为“取出偶数”，事件B为“取出的数是5的倍数”，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为________．
[答案] 0.96
[解析] 本题主要考查对立事件的概率．记“抽出的产品为正品”为事件A，“抽出的产品为乙级品”为事件B，“抽出的产品为丙级品”为事件C，则事件A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
三、解答题
5．从1,2,3，…，10中任选一个数，求下列事件的概率：
(1)它是偶数；
(2)它能被3整除；
(3)它是偶数且能被3整除的数；
(4)它是偶数或能被3整除．
[解析] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4，…，10}，总基本事件个数m＝10.
(1)设“是偶数”为事件A，即A＝{2,4,6,8,10}，
∴P(A)＝＝.
(2)设“能被3整除”为事件B，即B＝{3,6,9}，
∴P(B)＝.
(3)设“是偶数且能被3整除”为事件C，即C＝{6}，
∴P(C)＝.
(4)设“是偶数或能被3整除”为事件D，即D＝A∪B，根据概率的加法公式得
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝P(A)＋P(B)－P(C)
＝＋－＝.
课件36张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章3.2 古典概型第三章第3课时 概率的一般加法公式(选学)高二·一班有60%的同学参加数学竞赛，有50%的同学参加物理竞争，有20%的同学既参加数学竞赛，又参加物理竞赛，求参加数学或物理竞赛的人所占的比例．1．事件的交(或积)
若某事件发生当且仅当____________________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件)，记作A∩B(或AB)．
(1)用集合形式表示，如图．事件A发生且事件B发生
(2)事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A.
例如：在投掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数大于3}，B＝{出现的点数小于5}，则A∩B＝{出现的点数为4}．
2．概率的一般加法公式
设事件A、B是Ω中两个事件，则P(A∪B)＝________________________
如图所示，设事件Ω的基本事件总数为n，事件A、B包含的基本事件的个数分别为m1、m2，事件A∩B包含的基本事件数为m，易知A∪B中包含的基本事件数为m1＋m2－m，P(A)＋P(B)－P(A∩B)． [答案] C
2．已知事件A、B，则下列式子正确的是( )
A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
B．P(A∩B)＝P(A)－P(B)
C．P(A∩B)D．P(A)＋P(B)≥P(A∪B)
[答案] D
[解析] ∵P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)≤P(A)＋P(B)，仅当A∩B＝?时取等号，A、B均错，当A＝B时，C错．
3．某公司所属三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人，如果从该公司职工中随机抽选一人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率．概率的加法公式 (1)甲、乙两人各射击一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率；
(2)加工某一零件共需经过两道工序，各道工序互不影响，次品率为2%和3%，已知同为次品的情况为0.06%，求加工出来的零件的次品率；
(3)甲、乙两人随机地入住A、B、C、D四个房间，求甲、乙至少一人入住第一个房间A的概率．[解析] (1)至少有一人命中，可看成是甲命中和乙命中这两个事件的并事件．
设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
(2)若加工出来的零件为次品，则至少有一道工序产生次品，如设事件A为“第一道工序出现次品”，事件B为“第二道工序出现次品”，则“加工出来的零件是次品”为事件A∪B.所以，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝2%＋3%－0.06%＝4.94%.[点评] 两个事件至少有一个发生时用概率的加法公式求解. 概率的一般加法公式在实际中的应用 两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，两人同时解决的概率是P3，则这个问题解决的概率是( )
A．P1＋P2－P3 B．P1＋P2－P1P2－P3
C．P1＋P2＋P3－P1P2 D．P1P2＋P1＋P2－P3
[答案] A
[解析] 由概率的一般加法公式得这个问题解决的概率为P1＋P2－P3，故选A.
[辨析] 错解一中“含数字5的有6个，含数字6的有6个”纯属凭空想像，没有什么依据；错解二中，事件A与B不是互斥事件，不能应用互斥事件概率加法公式，应该用一般加法公式．
[正解] 解法一：同时抛掷两枚骰子可能结果可列表表示如下：
[点评] 在写出基本事件空间中的基本事件时，若涉及的元素较多且明显具有不同的特征时，要注意分类讨论思想的应用，以避免基本事件发生重复或遗漏．第三章 3.3 3.3.1
一、选择题
1．下面关于几何概型的说法错误的是( )
A．几何概型也是古典概型的一种
B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个
D．几何概型中每个结果的发生具有等可能性
[答案] A
[解析] 几何概型基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有限个，故几何概型不是古典概型，故选A.
2．平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 如图，
要使硬币不与平行直线l1、l4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线l2、l3之间，故所求概率为P＝.
3．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为.故选C.
4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 如下图，在AB边上取点P′，使＝，则P只能在AP′内运动，则所求概率为P＝＝.故选C.
5．在1 000mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率( )
A．0 B．0.002
C．0.004 D．1
[答案] B
[解析] 由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2mL水样中有草履虫”，属于几何概型．
∴P(A)＝＝＝0.002.
6．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 本题考查几何概型．
设AC＝x cm，则BC＝(12－x) cm，∴x(12－x)＝20，解得x＝2或x＝10，故所求概率P＝＝.
二、填空题
7. (2014·福建文，13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
[答案] 0.18
[解析] 由几何概型的概率可知，所求概率P＝＝＝0.18，∴.S阴＝0.18
8．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间 [0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于上的概率是____________．
[答案]
[解析] 由题意，记事件A为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于”．设圆的周长为C，则P(A)＝＝.
三、解答题
9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率．
[解析] 由于是随机投掷飞镖，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示．
记“飞镖落在阴影内”为事件A，则P(A)＝
＝.
一、选择题
1．如图所示，设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 由图可知，符合条件的点应在与点A相对的另一半圆弧BC上，＝.故选B.
2．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 如图所示，当AA′长度等于半径时，A′位于B或C点，此时∠BOC＝120°，则优弧BC＝πR，∴满足条件的概率P＝＝，故选B.
3．已知直线y＝x＋b在y轴上的截距在区间[－2,3]内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 由几何概型的概率公式知，所求概率P＝＝.
4．设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是( )
A．0 B．1
C． D．
[答案] C
[解析] 如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4 cm的正方形)内，其概率为＝，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1－＝，故选C.
二、填空题
5．如图所示，大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形即阴影部分，较短的直角边长为2，向大正方形的投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为____________．
[答案]
[解析] 阴影部分面积为1，故所求概率为.
6．(2014·重庆文，15)某校早上8?00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7?30～7?50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5min到校的概率为________．(用数字作答)
[答案]
[解析] 设小张到校时间是7?30－7?50任意时刻x，小王到校时间是7?30－7?50任意时刻y，则x、y∈[0,20]的任意实数，因为x在该时间段的任何时刻到校是等可能的，故为几何概型事件“小张比小王至少早到5min”为事件A，即y－x≥5，如图所示Ω和事件对应测度为
∴所求概率P(A)＝＝.
三、解答题
7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．
[解析] ∵假设他在0分～60分钟这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．
设事件A＝“等待时间不多于10分钟”，事件A发生是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，所以μA＝60－50＝10，μΩ＝60.所以P(A)＝＝＝.
8．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解析] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为
P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
构成事件A的区域为
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}即如右图的阴影区域所示，
所以所求的概率为P(A)＝＝.
课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章3.3 随机数的含义与应用第三章3.3.1 几何概型射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭，假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？1．几何概型的概念与计算公式
(1)事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子区域A的____________________________成比例，而与A的______________无关，称满足以上条件的概率模型为几何概型．几何度量(长度、面积、体积) 位置与形状 注意：①古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形．
②几何概型的特征：ⅰ)每个试验结果有无限多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；ⅱ)每次试验的各种结果是等可能的，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积”与“试验的基本事件所占总面积(总体积、长度)”之比来表示(体积、长度)．
2．几何概型的特点
(1)________，在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)__________，每个结果的发生具有等可能性．
3．古典概型与几何概型的区别
古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有______个，几何概型要求基本事件有________个．无限性 等可能性 有限 无限多 [答案] B[答案] B
5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析] 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算．与长度有关的几何概型求法
[点评] 我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．与角度有关的几何概型求法 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．与面积有关的几何概型求法 [答案] D
[点评] 问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．[答案] B与体积有关的几何概型求法
[点评] 解决此类实际问题时，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件A和基本事件空间的几何度量，借助几何概率的计算公式求出概率．在100m3沙子中藏有一个玻璃球，取出1m3的沙子，则取出的沙子中含有玻璃球的概率．
[辨析] 虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，尽管点与射线是一一对应的，因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性．[分析] (1)甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是从6点到7点这1小时之间的任一时刻，用0到60分表示晚上6点到7点之间的时间段，则横轴0到60分与纵轴0到60分组成的正方形中任一点(x，y)就表示甲、乙两人分别到达的时间．
(2)由于每个人到达的时间都是随机的，若甲早到，y－x≤30成立，两人可以见面；若乙早到，x－y≤30，两人仍可见面．[点评] 会面问题，是利用数形结合，转化成面积型几何概型的问题解决的，步骤如下：
①将两人到达的时间分别用x、y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)；
②找出会面关系，用式子表示出能够会面的条件；
③在平面直角坐标系里，画出所有可能结果表示的区域，并求面积；
④用阴影表示出能够会面的区域，并求面积；
⑤代入几何概型的概率公式求解．第三章 3.3 3.3.2
一、选择题
1．随机摸拟法产生的区间[0,1]上的实数( )
A．不是等可能的 B．0出现的机会少
C．1出现的机会少 D．是均匀分布的
[答案] D
[解析] 用随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的．
2．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
3．将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需实施的变换为( )
A．a2＝a1*8 B.a2＝a1*8+2
C．a2＝a1*8-2 D.a2＝a1*6
[答案] C
[解析] 将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需进行的变换为a2＝a1[6-(-2)]+(-2)= a1*8-2.
4．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6?2?1?4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] P＝＝.
5．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 记事件“x是负数”为事件A，∵x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，∴UΩ＝6，UA＝4，
∴P(A)＝＝.
6．在集合P＝{m|关于x的方程x2＋mx－m＋＝0至多有一个实根(相等的根只能算一个)}中，任取一个元素x，使得式子lgx有意义的概率是( )
A． B．
C．0 D．1
[答案] A
[解析] Δ＝m2－4≤0，∴－5≤m≤3.
∴集合P＝{x|－5≤x≤3}，对于x∈P，
当0二、填空题
7．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是____________．
[答案]
[解析] 设⊙O的半径为R，则⊙O的面积为πR2，即
μΩ＝πR2.
记事件A为“黄豆落到阴影区域”，
μA＝×2R×R＝R2.
∴由几何概型求概率的公式，得
P(A)＝＝＝.
8．用计算机来模拟所设计的实验，并通过这个试验的结果来确定一些量的方法称为________．
[答案] 计算机随机模拟法或蒙特卡罗法
三、解答题
9．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．
[解析] 如图所示，作矩形，设事件A“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足y＜log3x(即点落在阴影部分)．首先置n＝0，m＝0；
S2：用变换rand( )*3产生0～3之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用函数rand( )产生0～1之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；
S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足y＜log3x.如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1；如果不是，m的值保持不变；
S4：表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如果还要判断试验，则返回步骤S2继续执行；否则，程序结束．
程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．设阴影部分的面积为S，矩形的面积为3.由几可概型计算公式得P(A)＝，所以＝.所以S＝即为阴影部分面积的近似值．
一、选择题
1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 抛掷硬币两次，所发生的情况有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，即(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共4种情况．其中出现的随机数之和为3的情况有2种，故所求概率P＝＝.
2．在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y＝()x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( )
A．[－1,1]，[0,1] B．[－1,1]，[0,2]
C．[0,1]，[0,2] D．[0,1]，[0,1]
[答案] B
[解析] 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数，x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数，y表示所投点的纵坐标．
二、填空题
3．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．
[答案] 9
[解析] 由于每个点落在正方形内每个位置的可能性相同，则＝，所以＝，所以S阴影＝9.
4．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为1h与2h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是____________．
[答案]
[解析] 用两个变量代表两船时间，找出两变量的取值和满足的条件，设x、y分别代表第一艘船、第二艘船到达泊位的时间，由题意0≤x≤24,0≤y≤24，y－x≤1，x－y≤2，如图所示阴影部分表示必须有一艘船等待，则概率P＝＝
三、解答题
5．在长为24cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于25cm2与64cm2之间的概率．
[解析] 设事件A＝“正方形的面积介于25cm2与64cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝rand( )；
(2)经过伸缩变换a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．
6．如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形中的概率．
[解析] 产生的随机数在0～1之间，是一维的；而大正方形内所有点的集合为Ω＝{(x，y)|－2＜x＜2，－2＜y＜2}，点为二维数组，矛盾非常尖锐，为此，需要产生两个随机数x，y，且－2＜x＜2，－2＜y＜2.当－1＜x＜1且－1＜y＜1时，认为飞镖落入中央小正方形内．
由几何概型概率计算公式得P＝＝.
用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：
S1 用计数器n记录了多少次投飞镖的试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置n＝0，m＝0；
S2 用函数rand( )*4－2产生两个－2～2的随机数x、y，x表示所投飞票的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变；
S4 表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．
程序结束后飞镖投在小正方形发生的频率作为概率的近似值．
课件34张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章3.3 随机数的含义与应用第三章3.3.2 随机数的含义与应用如图，在长为4、宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆，试用随机模拟法近似计算半圆面积，并估计π值．1．随机数
随机数就是____________________产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的______一样．
2．产生随机数的方法
(1)用函数型计算器产生随机数的方法
每次按________________键都会产生0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是________．在一定范围内随机 机会 相同的
(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生的随机数的方法)
①Scilab中用________函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数．
②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换__________________得到．rand( ) rand( )*(b－a)＋a 1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需进行的变换为( )
A．a＝a1＋8 B．a＝a1*8＋2
C．a＝a1*8-2 D.a＝a1*6
[答案] C
[解析] 将[0,1]内的随机数转化为[a，b]内的随机数需进行的变换为a＝a1*(b-a)+ a.2．天气预报说，在接下去的一个星期里，每天涨潮的概率均为20%，这个星期里恰好有2天涨潮的概率是( )
A．20% B．30%
C．40% D．50%
[答案] A
[解析] 通过设计模拟实验的方法来解决这个问题．利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1,2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为是一周，所以每7个随机数作为一组，例如产生20组随机数：3．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于( )
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
[答案] B
[解析] 用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高，故选B.
4．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的概率．
[解析] 一级品和二级品的数量不相等，所以抽取时得到一级品还是二级品的可能性不同，但是每支笔被取到的可能性相等，我们可以用1～10内的整数随机数x表示抽取圆珠笔．用1～7内的整数随机数x表示一级品，用8～10内的整数随机数x表示二级品．
设事件A＝“取得一级品”
(1)用计算器的随机函数RANDI(1,10)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)产生1到10之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示取得一级品，用8,9,10表示取得二级品；
(2)统计试验总次数N及其中出现1～7之间的数的次数N1；
(3)计算频率fn(A)＝N1/N即为事件A的概率的近似值．[解析] S1 n＝1；
S2 用int(rand( )*6)＋1产生一个[1,6]内的整数随机数x表示学生的座号；
S3 执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n＝n＋1；
S4 如果n≤6，则重复执行S3，否则执行S5；
S5 按座号的大小排列，程序结束．用随机数进行排序
[点评] 此题的排序方法是给每人一个座号，当人数很多时(如安排考场)，我们可以用同样的方法给每名学生一个座号(即考号)，然后按照考号排成一列，分配到考场中去．某校高二全年级共有20个班1200名学生，期末考试时应如何把学生随机地分配到40个考场中去．
[解析] S1 n＝1；
S2 用int(rand()*1200)＋1产生一个[1,1200]内的整数随机数x表示学生的座号；
S3 执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n＝n＋1；
S4 如果n≤1200，则重复执行S3，否则执行S5；
S5 按座号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束.用随机模拟方法估计古典概型的概率操作步骤及方法
[点评] 如果改为投掷三枚(四枚)骰子，则可以把3个(4个)随机数作为一组，统计总组数与满足条件的组数即可．如求投掷三枚时两枚6点一枚1点的概率时只要统计两个6一个1的组数即可．一个口袋中有大小相等的5个白球和3个黑球，从中有放回地取出一球，共取两次，求取出的球都是白球的概率．[解析] 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,6]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,6]上的均匀随机数，其中取得[2,4]内的随机数就表示剪得两段长都不小于2m.这样取得的[2,4]内的随机数个数与[0,6]内个数之比就是事件A发生的频率．用随机模拟方法估算几何概型的概率
[点评] 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．解法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多 少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
[解析] 以圆心为原点，平行于正方形边的直线为坐标轴建立直角坐标系，则大、中、小圆的方程依次为x2＋y2＝36，x2＋y2＝16，x2＋y2＝4，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以用两个随机数一组来表示点的坐标，确定点的位置．
记事件A＝{投中大圆内}，
事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环}，
事件C＝{投中大圆之外}．[错解] C
[辨析] 处理解随机数的意义时，数据统计错误，从而导致错选C.[分析] 由条件可知取得[2,4]内的随机数个数与[0,6]内的随机数个数之比就是事件A发生的频率．
[解析] 记事件A＝{灯与两端的距离都不小于2 m}．
(1)利用计算器或计算机产生一组0～1之间的均匀随机数，a1＝rand()；
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．第三章 3.4
一、选择题
1．从一篮鸡蛋中取1个，如果其重量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，则重量不小于30克的概率是( )
A．0.30 B．0.50
C．0.80 D．0.70
[答案] D
[解析] 由题意得1个鸡蛋其重量不小于30克的概率是1－0.30＝0.70.
2．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner随机化方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的( )
A．3.33% B．53%
C．5% D．26%
[答案] A
[解析] 应用Warner随机化方法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”．其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用兴奋剂的大约占≈3.33%，故选A.
3．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是的是( )
A．颜色全相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．颜色无红色
[答案] B
[解析] 每次任取一个，有放回的抽取3次，所得基本事件总数为27个，颜色全相同的有3个，颜色不全相同的有24个，故颜色不全相同的概率为＝，故选B.
4．4名学生与班主任站成一排照相，班主任站在正中间的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 5人站一排有5个位置，班主任站在任一位置等可能，∴P＝.
5．甲、乙乒乓球队各有运动员三男两女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行混合双打比赛，则两个种子选手都上场的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 每队选一男一女上场，不同的上场结果(即基本事件总数)有3×2×2×3×2＝36种，而两个种子选手都上场的情况有2×3＝6种．∴概率为P＝＝.
6．x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2<0的概率为( )
A． B．
C． D．0
[答案] B
[解析] x2＋x－2<0的解集为(－2,1)，区间的长度为3，区间[－4，4]的长度为8，∴所求概率P＝.
二、填空题
7．在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为________．
[答案] 0.7
[解析] 从5名学生中抽取2人的方法共有10种，“至少有一名男生参加”包括“两名都是男生”和“一名女生一名男生”两种情况，共7个基本事件，故所求概率为＝0.7.
8．口袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为0.75，摸出白球或黑球的概率为0.60，那么口袋中共有白球、红球、黑球各________个．
[答案] 35,40,25
[解析] 黑球个数为100×(1－0.75)＝25个；红球个数100×(1－0.60)＝40个，白球个数100－25－40＝35个．
三、解答题
9．今有长度不等的电阻丝放在一起，已知长度在84～85 mm间的有三条，长度在85～86 mm间的有四条，长度在86～87 mm间的有五条，从中任取一条，求：
(1)长度在84～86 mm间的概率；
(2)长度在85～87 mm间的概率．
[解析] 取到长度在84～85 mm的电阻丝的概率为，取到长度在85～86 mm的电阻丝的概率为，取到长度在86～87 mm的电阻丝的概率为.
(1)P1＝＋＝.
(2)P2＝＋＝.
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四人做相互传递球练习，第一次甲传给其他三人中的一人(假设每个人得到球的概率相同)，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了三次，则第三次球仍传回到甲手中的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 本题可用树形图进行解决，如图所示，共有27种结果，第三次球传回到甲手中的结果有6种．故所求概率为P＝＝.
2．一只蚂蚁在一直角边长为1cm的等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A点不超过1cm的概率为( )
A． B．
C．2－ D．2－
[答案] D
[解析] 如图，E为斜边AC上的点，且AE＝1cm，则蚂蚁应在线段AE及边AB上爬行，所求概率P＝＝2－，故选D.
二、填空题
3．从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，甲被选中的概率是____________．
[答案]
[解析] 从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，所有可能的结果如图所示．
如图知，所有可能的结果有6种，记“甲被选中”为事件A，则A含有3种可能结果．
∴P(A)＝＝.
4．取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．
[答案]
[解析] 记“豆子落入圆内”为事件A，则P(A)＝
＝＝＝.
三、解答题
5．已知直线Ax＋By＋1＝0，若A、B从－3，－1,0,2,7这5个数中选取不同的两个数，求斜率小于0的直线的概率．
[解析] 直线方程变形为y＝－x－(B≠0)，记“斜率小于0”为事件M，其中包含：①A、B同取正值记为事件M1；②A、B同取负值记为事件M2，且M1、M2为互斥事件．事件总个数为5×4＝20.
∴P(M1)＝＝，
P(M2)＝＝.∴由互斥事件概率的加法公式，得P(M)＝＋＝.
6．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否则测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
[解析] 将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，
共有10种．
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P(D)＝.
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3 概率第三章3．4 概率的应用第三章概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇．任何事件的概率是________之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(__________)很少发生，而大概率事件(__________)则经常发生. 0～1 概率接近0 概率接近1 [答案] B[答案] D[答案] B
4．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一球，摸出白球的概率为0.23，那么摸出黑球的概率为________，摸出红球或黑球的概率为________．
[答案] 0.32 0.77
[解析] 白球个数100×0.23＝23个；黑球有100－45－23＝32个，∴摸出黑球概率为0.32，摸出红球或黑球概率P＝1－0.23＝0.77.5．某公共汽车站每隔10 min就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4 min的概率是_______．
6．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．[解析] 这样做体现了公平性，它使得两名运动员先发球的机会是等可能的，用概率的语言描述就是两个运动员取得发球权的概率都是0.5，∴这个规则是公平的．概率的应用 下面给出的游戏规则，哪些是公平的？
(1)抛掷一枚均匀硬币，正面朝上甲胜，反面朝上乙胜；
(2)抛掷两枚均匀硬币，朝上一面相同甲胜，朝上一面一正一反乙胜；
(3)抛掷一枚均匀骰子，出现奇数点甲胜，出现偶数点乙胜；
(4)抛掷一枚均匀骰子，出现小点(1,2,3点)甲胜，出现大点(4,5,6点)乙胜；
(5)抛掷两枚均匀骰子，点数相邻(如4,5点)或相同(如1,1点)甲胜，点数不相邻(如1,3点)乙胜；
(6)口袋中有一红一白两个球，从中摸出一球得红球甲胜，得白球乙胜；
(7)口袋中有两红、两白共4个球取出两球，这两球同色甲胜，不同色乙胜；
(8)口袋中有3个红球，1个白球，摸取两球这两球同色甲胜，不同色乙胜．古典概型及其应用 有2个人在一座11层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，求2个人在不同层离开的概率．
[解析] 解法一：2人中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，即每人都可以从第二层到第十一层的任何一层离开，因此每人有10种离开的方法，所以共有不同的离开方法，即基本事件总数为n＝10×10＝100.几何概型及其应用
[解析] 硬币落下后与格线没有公共点的充要条件是硬币中心与格线的距离都大于半径1，在等边三角形内作三条与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．[辨析] 上述解法是将长度作为几何度量，因而不易寻找基本事件空间与之对应的区域和判断基本事件的等可能性，导致错误．
极大似然法
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．极大似然法是统计中重要的思想方法之一. 课件52张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修3概率第三章章末归纳总结第三章[解析] 射手甲射击一次，中靶是随机事件，他射击10次可以看做是重复做了10次试验，而每次试验的结果都是随机的，所以10次的结果也是随机的，这10次射击可以一次也不中，也可能中一次，二次，…，甚至十次都中．概率的意义
虽然中靶是随机事件，但却具有一定的规律性，概率为0.9，是说在大多数次的试验中，中靶的可能性稳定在0.9，实际上，他10发子弹全中的概率为0.910≈0.349，这是有可能发生的．因此题中认识不正确．
[点评] 对于这类问题我们应反复对照概率的统计定义，弄清频率与概率的关系，深刻领会概率的实质，澄清一些错误认识.[分析] 第(1)问用互斥事件的概率加法公式可简单求解，第(2)问属于“至少”问题，用对立事件的概率公式比较简单．互斥、对立事件的概率 [解析] 记在窗口等候的人数为0、1、2分别为事件A、B、C，则A、B、C彼此互斥．
(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)至少3人排队等候的概率是：1－P(A∪B∪C)＝1－0.56＝0.44.
[点评] 当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.古典概型
[点评] 这是典型的分房问题，基本事件总数用列举法求得.几何概型 [解析] 设甲、乙到站的时间分别是x、y，则1≤x ≤2,1≤y≤2.试验区域D为点(x，y)所形成的正方形，以16个小方格表示，示意图如图所示．[分析] 要用随机抽样的方法确定样本，就是用计算机或计算器产生19个在学生编号范围内的不同的随机整数作为所得到的含有19个个体的一个样本的学生编号．随机数与随机模拟
[解析] S1 n＝1；
S2 用变换int(rand()*194)＋1产生一个[1,195]内的整数随机数n表示学生编号；
S3 执行S2，再产生一个学生编号，此编号与以前产生的编号重复，再执行S2；否则n＝n＋1；
S4 如果n≤19，则重复执行S3，否则结束程序.[分析] 欲求各事件概率，需用题设条件，设出未知量，列方程求解．函数与方程思想
[解析] 设P(B)＝x，则P(A)＝2P(B)＝2x，P(C)＝P(B)＋0.2＝x＋0.2.又因为A∪B∪C是必然事件，且两两互斥，
故1＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝2x＋x＋(x＋0.2)＝4x＋0.2.
所以，x＝0.2，即P(A)＝0.4，P(B)＝0.2，P(C)＝0.4.[解析] 4枚硬币投掷的结果有：(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,1)，(1,1,1,1)，(1,1,0,0)，(1,1,0,1)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(1,0,1,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(1,1,1,0)共16种．
记“x1＋x2＋x3＋x4≥2”为事件B.
∵x1＋x2＋x3＋x4≥2，分类讨论思想
一、选择题
1．从装有m个红球，n个白球(m、n≥2)的袋中任取2个球，则互为对立事件的是( )
A．至少有1个白球和至多有1个白球
B．至少有1个白球和至少有1个白球
C．恰有1个白球与恰有2个白球
D．至少有1个白球与都是红球
[答案] D
[解析] 取得一红一白时，A中两个事件都发生，故不互斥；取得一红一白时，B中两个事件都发生，故也不互斥；取得两个红球时，C中两个事件都不发生，故不对立；只有D中的两个事件不同时发生又有一个发生，是对立事件．
2．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
这一地区男婴出生的概率约是( )
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
[答案] B
[解析] 由表格可知，男婴出生的频率分别为0.49，0.54，0.50,0.50，故这一地区男婴出生的概率约是0.5.
3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
[答案] A
[解析] 从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．4．如图，矩形长为6，宽为4.在矩形内随机地撒300颗黄豆、数得落在椭圆外的黄豆数为70颗，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积大约为( )
A．6 B．12 C．18 D．20
[答案] C[答案] A[答案] C 7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3
[答案] D
[解析] 本题主要考查互斥事件概率的求解方法．由题意知事件A、B、C互为互斥事件，记事件D＝{抽到的是二等品或三等品}，则P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3，故选D.[答案] C二、填空题
9．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
[答案] 12 00010．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率为________(油滴的大小忽略不计)．
[解析] 设事件A：“不派出医生”；事件B：“派出1名医生”；事件C：“派出2名医生”；事件D：“派出3名医生”；事件E：“派出4名医生”；事件F：“派出5名以上医生”．
∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且P(A)＝0.1，
P(B)＝0.16，P(C)＝0.2，P(D)＝0.3，P(E)＝0.2，
P(F)＝0.04.
∴(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.2＝0.46.
(2)“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.2＋0.3＋0.2＋0.04＝0.74.或1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
12．某外语学校英语班有A1、A2两位同学，日语班有B1、B2、B3、B4四位同学，俄语班有C1、C2两位同学共8人报名奥运会志愿者，现从中选出懂英语、日语、俄语的志愿者各1人，组成一个小组．
(1)写出一切可能的结果组成的基本事件空间并求出B4被选中的概率；
(2)求A1和C1不全被选中的概率．第三章综合测试题
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列事件中，不是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨 刘禹锡 B．下雪不冷化雪冷 民间俗语
C．清明时节雨纷纷 杜牧 D．梅子黄时日日晴 曾纾
[答案] B
[解析] A、C、D为随机事件，B为必然事件．
2．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是( )
A．至多有2只不成对 B．恰有2只不成对
C．4只全部不成对 D．至少有2只不成对
[答案] D
[解析] 从四双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只不成对”，故选D.
3．老师为研究男、女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 因为在分层抽样中，任何个体被抽到的概率均相等，所以某女同学甲被抽到的概率P＝＝.
4．在400 mL自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.005 B．0.004
C．0.001 D．0.002
[答案] A
[解析] 发现大肠杆菌的概率为P＝＝0.005.
5．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为( )
A．0.7 B．0.5
C．0.3 D．0.6
[答案] A
[解析] 任意摸出一球，事件A＝“摸出红球”，事件B＝“摸出黄球”，事件C＝“摸出白球”，则A、B、C两两互斥．
由题设P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4，
P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝0.9，
又P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，
∴P(A)＝0.4＋0.9－1＝0.3，
∴P(B∪C)＝1－P(A)＝1－0.3＝0.7.
6．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为 ( )
A． B．
C． D．无法计算
[答案] B
[解析] 设阴影区域的面积为S，又正方形的面积为4，由几何概型的概率公式知＝，∴S＝.
7．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)，某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] P＝＝＝.
8．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝＝.
9．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}子集的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 集合{a，b，c，d，e}的子集有25＝32个，而集合{a，b，c}的子集有23＝8个，∴P＝＝.
10．一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为( )
A．1－ B．1－
C． D．
[答案] B
[解析] 蚂蚁活动的区域为三角形内部，面积为6，而蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的图形的面积是三角形的面积去掉三个扇形面积，即：以三角形的三个顶点为圆心，以1为半径画弧与三角形的边围成的三个小扇形，由于此图形为三角形，所以这三个扇形可拼成一半圆，面积为，所以蚂蚁距离三角形三个顶点距离可拼成一半圆，面积为，所以蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的圆形的面积是6－，所以某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为＝1－.
11．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回任取两数，两数都是偶数的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 从6个数字中不放回地任取两数，所有可能的结果如图所示．
由图可知，所有可能出现的结果共有15种．记“两数都是偶数”为事件A，则A有3种可能的结果．∴P(A)＝＝.
12．在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 由Δ>0得a>或a<－(舍去)，
∵a>，∴P＝＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．)
13．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没有击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}．其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
[答案] A与B，A与C，C与B，B与D；B与D
[解析] 事件“两次都击中飞机”发生，则A与D都发生．
事件“恰有一次击中飞机”发生，则C与D都发生．
A与B，A与C，B与C，B与D都不可能同时发生，B与D中必有一个发生．
14．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是和，该市足球队夺得全省足球冠军的概率为________．
[答案]
[解析] 某市甲队夺取冠军与乙队夺取冠军是互斥事件，分别记为事件A、B，该市甲、乙两支球队夺取全省足球冠军是事件A∪B发生，根据互斥事件的加法公式得到P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
15．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
[答案]
[解析] 如图，这是一个长度的几何概型题，所求概率P＝＝.
16．甲、乙两射手在同样条件下击中目标的概率分别为0.6与 0.7，则至少有一人击中目标的概率为________．
[答案] 0.88
[解析] 由概率的一般加法公式得P＝0.6＋0.7－0.6×0.7＝0.88.
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分12分)某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
[解析] 两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球中任选两个共有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)六种不同的方法．
(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：(0,3)，(1,2)，故P(A)＝＝.
(2)中奖的概率为P(B)＝＝.
18．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y.
(1)求事件“x＋y<4”的概率；
(2)求事件“|x－y|＝3”的概率．
[解析] 设(x，y)表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，……，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．
(1)用A表示事件“x＋y<4”，则A包括：(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件．
∴P(A)＝＝，所以事件“x＋y<4”的概率为.
(2)用B表示事件“|x－y|＝3”，则B包括：(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,1)，(5,2)，(6,3)，共6个基本事件．
∴P(B)＝＝，所以事件“|x－y|＝3”的概率为.
19．(本题满分12分)某种日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某市场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，指针所指区域的数字为购买商品的件数，每人只能参加一次这个活动.
(1)某顾客自己参加活动，求购买到不少于5件该种产品的概率；
(2)甲、乙两位顾客参加活动，求购买该种产品件数之和为10的概率.
[解析] (1)设“购买不少于5件该种产品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)设“甲、乙两位顾客参加活动，购买该产品数之和为10”为事件B，甲、乙购买产品数的情况共有12×12＝144(种)，
则事件B包含(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，共9种情况，故P(B)＝＝.
20．(本题满分12分)已知定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－2bx＋3.
(1)如果a是集合{1,2,3,4}中的任一元素，b是集合{0,2,3}中的任一元素，试求函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率；
(2)如果a是从区间[1,4]上任取的一个数，b是从区间[0,3]上任取的一个数，试求函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率．
[解析] (1)由题意知基本事件有(1,0)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,2)，(3,3)，(4,0)，(4,2)，(4,3)共12个，要使函数在[1，＋∞)上单调递增，只需对称轴x＝≤1，即a≥b，满足条件的基本事件有9个，故所求概率为P＝＝0.75.
(2)这是一个几何概型，如右图，
所求概率P＝＝.
21．(本题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
[解析] 本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决简单的实际问题的能力．
(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为＝，所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B1)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．
随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
22．(本题满分14分)袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：
(1)3只全是红球的概率；
(2)3只颜色全相同的概率；
(3)3只颜色不全相同的概率；
(4)3只颜色全不相同的概率．
[解析] (1)记“3只全是红球”为事件A.从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，则基本事件总数为27.其中事件A的基本事件数为1，故事件A的概率为P(A)＝.
(2)“3只颜色全相同”包含这样三个基本事件：“3只全是红球”(设为事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)，且它们之间是或者关系，故“3只颜色全相同”这个事件可记为A∪B∪C，由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．又由于红、黄、白球个数一样，故不难得到
P(B)＝P(C)＝P(A)＝，
故P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
(3)3只颜色不全相同的情况较多，如有两只球同色而与另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D，则事件为“3只颜色全相同”，显然事件D与是对立事件．
∴P(D)＝1－P()＝1－＝.
(4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故“3次抽到红、黄、白各一只”包含6个基本事件，故3只颜色全不相同的概率为＝.
