第一章 1.1 第1课时
一、选择题
1．(2013·临沂高二检测)在表达式中，Δx的值不可能( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
[答案] C
[解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选C.
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[答案] D
3．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为( )
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
[答案] D
4．函数y＝在x＝1到x＝2之间的平均变化率为( )
A．－1 B．－
C．－2 D．2
[答案] B
5．函数f(x)＝2x＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )
A. B．－
C．2 D．－2
[答案] C
[解析] ＝＝＝2.
6．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则为( )
A．Δx＋＋2 B．Δx－－1
C．Δx＋2 D．Δx－＋2
[答案] C
[解析] ＝＝Δx＋2.
7．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度是( )
A．2Δt＋4 B．－2Δt＋4
C．2Δt－4 D．－2Δt－4
[答案] D
[解析] ＝＝－2Δt－4.
8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
[答案] B
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4.故选B.
二、填空题
9．一物体运动方程是s＝2t2，则从2s到(2＋Δt)s这段时间内位移的增量Δs为________．
[答案] 8Δt＋2(Δt)2
[解析] Δs＝2(2＋Δt)2－2(22)
＝2[4＋4Δt＋(Δt)2]－8
＝8Δt＋2(Δt)2.
10．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．
[答案] 8
[解析] ＝＝8.
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.
[答案] (Δx)2＋6Δx＋12
[解析] ＝＝(Δx)2＋6Δx＋12.
12．函数y＝在x＝1附近，当Δx＝时平均变化率为________．
[答案] －2
[解析] ＝＝＝－2.
三、解答题
13．求函数f(x)＝x2＋3在[3,3＋Δx]内的平均变化率．
[解析] ＝
＝
＝
＝Δx＋6.
一、选择题
1．函数y＝f(x)，当自变量从x0到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．在[x0，x1]上的变化率
[答案] A
2．已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
3．函数y＝－x2、y＝、y＝2x＋1、y＝在x＝1附近(Δx很小时)，平均变化率最大的一个是( )
A．y＝－x2 B．y＝
C．y＝2x＋1 D．y＝
[答案] C
[解析] y＝－x2在x＝1附近的平均变化率为k1＝－(2＋Δx)；y＝在x＝1附近的平均变化率为k2＝－；y＝2x＋1在x＝1附近的平均变化率为k3＝2；y＝在x＝1附近的平均变化率为k4＝；当Δx很小时，k1<0，k2<0,0
4．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
A．v0 B．
C. D．
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.
二、填空题
5．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．
[答案] －
[解析] ＝＝－＝－.
6．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．
[答案] 2π＋πΔr
[解析] ＝＝2π＋π·Δr.
7．函数y＝cosx在x∈时的变化率为________；在x∈时的变化率为________．
[答案] －
[解析] 当x∈时，＝＝；
当x∈时，＝
＝＝－.
因此，y＝cosx在区间和区间上的平均变化率分别是和－.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：
(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．
[解析] (1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝－2.
(2)函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为
＝＝－2.
9．过曲线f(x)＝x3上两点P(2,8)和Q(2＋Δx,8＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
[解析] ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝(2＋Δx)3－8＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，
∴割线PQ的斜率
k＝＝＝Δx2＋6Δx＋12.
设Δx＝0.1时割线的斜率为k1，
则k1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.
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第1课时 函数的平均变化率第一章你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？
你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？1．知识与技能
了解函数的平均变化率，会求函数的平均变化率．
2．过程与方法
通过例题的学习和体会，掌握用定义求平均变化率的方法．
3．情感态度与价值观
感受平均变化率在刻画现实问题中的作用，为后续学习打好基础.本节重点：函数在某一小区间的平均变化率．
本节难点：用定义求函数的平均变化率.平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝_____________________.称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
[说明] 解答过程中，要正确地运用公式，利用分子有理化来简化．从结果可以得到，当Δx取不同的值时，函数的平均变化率也不同．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．[答案] D第一章 1.1 第2课时
一、选择题
1．某质点的运动方程是s＝t－(2t－1)2，则在t＝1s时的瞬时速度为( )
A．－1 B．－3
C．7 D．13
[答案] B
[解析] ∵
＝
＝－3－4Δt，
∴f′(1)＝ ＝ (－3－4Δt)＝－3.
2．设函数f(x)＝ax＋2，若f′(1)＝3，则a＝( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[答案] C
[解析] f′(1)＝
＝ ＝a＝3.
3．设函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
[答案] C
[解析] 原式＝ ＝f′(1)．故选C.
4．已知物体做自由落体运动的方程为s(t)＝gt2，若Δt→0时，无限趋近于9.8m/s，则正确的说法是( )
A．9.8m/s是物体在0～1s这段时间内的速度
B．9.8m/s是物体在1s～(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速度
D．9.8m/s是物体从1s～(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
[答案] C
[解析] 由瞬时速度的定义可知选C，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念．
5．函数f(x)在x0处可导，则 ( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
[答案] B
[解析] 由导数的定义可知选B.
6．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2s时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．1 B．
C. D．
[答案] C
[解析] Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，＝＋Δt，
则s′|t＝2＝ ＝.故选C.
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[答案] A
[解析] f′(1)＝ ＝a＝a＝2.故选A.
8．若f′(x0)＝2，则 等于( )
A．－1 B．－2
C．1 D．
[答案] A
[解析]
＝－·
＝－f′(x0)＝－1.故选A.
二、填空题
9．函数y＝5x2＋6在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为________．
[答案] 20＋5Δx
[解析] ∵Δy＝5(2＋Δx)2＋6－5×22－6＝20Δx＋5Δx2，∴平均变化率为＝20＋5Δx.
10．物体自由落体的运动方程是s＝gt2(g＝9.8m/s2)，则物体在t＝3s这一时刻的速度为____________．
[答案] 29.4m/s
[解析] 平均速度＝(6＋Δt)．
当Δt→0时，v＝×6＝29.4(m/s)．
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
＝________.
＝________.
[答案] －11 －
[解析]
＝－ ＝－f′(x0)＝－11；
＝－
＝－f′(x0)＝－.
三、解答题
12．已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[解析] (1)因为＝
＝＝2＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2＋Δx无限趋近于2，所以f(x)在x＝1处的导数等于2.
(2)因为＝
＝＝2a＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，
所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.
一、选择题
1．(2014·枣阳一中，襄州一中，宜城一中，曾都一中期中联考)在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则瞬时速度为0m/s的时刻是( )
A.s B．s
C.s D．s
[答案] A
[解析] h′(t)＝－9.8t＋6.5，由h′(t)＝0得t＝，故选A.
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 的值为( )
A．f′(x0) B．2f′(x0)
C．－2f′(x0) D．0
[答案] B
[解析]
＝2
＝2 ＝2f′(x0)．
3．一物体作直线运动，其运动方程为s(t)＝－3t2＋t，则该物体的初速度为( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
[答案] D
[解析] ∵Δs＝－3(0＋Δt)2＋(0＋Δt)－(－3×02＋0)
＝－3(Δt)2＋Δt.＝－3Δt＋1.
∴ ＝ (－3Δt＋1)＝1.
4．(2013·北师大附中期中)已知f ′(x0)＝a，则 的值为( )
A．－2a B．2a
C．a D．－a
[答案] B
[解析] ∵f ′(x0)＝ ＝a，
∴
＝
＝ ＋
＝＋＝2a，故选B.
二、填空题
5．已知函数y＝x3，当x＝2时， ＝________.
[答案] 12
[解析] ＝
＝
＝[(Δx)2＋6Δx＋12]＝12.
6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
[答案] 0
[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋－1－＝Δx－1＋＝，
∴＝，
∴y′|x＝1＝ ＝0.
7．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
[答案] 1
[解析]
＝
＝
＝ (7Δt＋14t0－13)
＝14t0－13
令14t0－13＝1，
∴t0＝1.
三、解答题
8．已知一物体的运动方程是s＝求此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．
[解析] 当t＝1时，Δs＝3(Δt＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt2＋6Δt，
∴＝3Δt＋6，∴ ＝6，
即当t＝1时的瞬时速度为6.
当t＝4时，Δs＝29＋3(Δt＋4－3)2－29－3(4－3)2
＝3Δt2＋6Δt，
∴＝3Δt＋6，
∴ ＝6，
即当t＝4时的瞬时速度为6.
9．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋5＝g′(x0)的x0值．
[解析] 由导数的定义可知
f′(x0)＝＝＝2x0，
g′(x0)＝ ＝3x，
因为f′(x0)＋5＝g′(x0)，所以2x0＋5＝3x，
即3x－2x0－5＝0
解得：x0＝－1或x0＝.
课件42张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.1 导 数
第2课时 瞬时变化率与导数第一章导数来源于生活，又服务于生活．现实生活中的瞬时速度、膨胀率、增长率等都体现了导数的思想．很多实际问题的计算都离不开导数．几何中曲线的切线，曲线图形的面积的计算都和导数有关.1．知识与技能
知道函数的瞬时变化率的概念，理解导数的概念，能利用导数的定义求导数．
2．过程与方法
经历由实例抽象出导数概念的过程，体会由特殊到一般的思维方法，通过例题的学习，掌握用定义求导数的方法．3．情感态度与价值观
经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，感受导数在实际问题中的应用，初步认识导数的应用价值，树立学好数学的信心.本节重点：导数的定义．
本节难点：用导数的定义求函数的导数．
3．导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内__________________，则称f(x)在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数f(x)的导函数，简称为导数．每一点x都是可导的
[说明] 应注意区分平均速度与瞬时速度的概念．瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt一段时间内的平均速度当Δt→0时的极限，即运动方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
[分析] 在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择相对应的形式．利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的式子恒等变形转化为导数定义的结构形式．[说明] 概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题．不能准确分析和把握所给极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因，解决这类问题的关键就是恒等变形，使问题转化.
(1)Δt趋近于0，是指时间间隔Δt越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为零；
(2)Δx，Δy在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数．2．深刻理解“函数在一点x0处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系．
(1)函数在一点x0处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．第一章 1.1 第3课时
一、选择题
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义知，f(x)在(x0，f(x0))处切线的斜率k＝f′(x0)＝0.
∴切线与x轴平行或重合．
2．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D．
[答案] D
[解析] f′(x)＝ ＝
＝
＝ (2x0＋Δx)
＝2x0.
∵切线倾斜角为.
∴函数在切点x0处的导数值为1.
令2x0＝1，x0＝，∴y＝.
3．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A．－4 B．0
C．4 D．不存在
[答案] B
[解析] y′|x＝0＝ ＝ (－2Δx)＝0.故选B.
4．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
[答案] B
[解析] ∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝ ＝ ＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B.
5．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故选B.
6．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
[答案] C
[解析] 根据导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线斜率为该点的导数，因此C正确．故选C.
7．(2014·三峡名校联盟联考)曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x
[答案] B
[解析] ∵＝＝2x＋Δx，
∴ ＝2x，∴y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
8．(2013·安阳中学期末)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B．
C．－ D．－1
[答案] A
[解析] ∵y′|x＝1＝
＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
二、填空题
9．自由落体运动方程是s(t)＝gt2，物体在t＝2这一时刻的速度是____________．
[答案] 2g
[解析] ＝＝g·Δt＋gt.
＝＝ ＝gt.
∴ 当t＝2时，速度为2g.
10．已知曲线y＝x3＋，则过点P(2,4)的切线方程是________．
[答案] y－4x＋4＝0
[解析] ∵y′＝x2，点P(2,4)在曲线上，
∴过点P(2,4)的切线的斜率为4.
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即y－4x＋4＝0.
11．抛物线y＝x2在点P处的切线平行于直线y＝4x－5，则点P的坐标为________．
[答案] (2,4)
[解析] ＝ ＝2x，
令2x＝4，∴x＝2，即在点(2,4)处的切线平行于直线y＝4x－5.
三、解答题
12．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线的方程．
[解析] 由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝在点(－2，－1)处的导数．
而f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为
y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
一、选择题
1．已知曲线y＝2ax2＋1过点(，3)，则该曲线在该点的切线方程是( )
A．y＝－4x－1 B．y＝4x－1
C．y＝4x＋8 D．y＝4x或y＝4x－4
[答案] B
[解析] 由3＝2a()2＋1得a＝1或a＝－1(舍)．
又y′|x＝1＝4，所以切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.故选B.
2．(2014·广州六中高二检测)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．3 B．－3
C．9 D．15
[答案] C
[解析] y′＝
＝
＝ (3x2＋3x·Δx＋Δx2)
＝3x2.
∴曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线的斜率k＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9.
令x＝0，得y＝9，故选C.
3．曲线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a＝( )
A. B．
C. D．1
[答案] B
[解析] y′＝
＝ ＝ (2ax＋aΔx)＝2ax
设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，
∴x0＝.
∵切点在直线y＝x上，∴y0＝
代入y＝ax2＋1得＝＋1
∴a＝.故选B.
4．曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标是( )
A．(1,0) B．(－1，－4)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(0,1)或(4,1)
[答案] C
[解析] 设P0(x0，y0)，
则f′(x0)＝ ＝3x＋1＝4，
所以x0＝±1.因此P0(1,0)或(－1，－4)．故选C.
二、填空题
5．曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
[答案]
[解析] ∵y′＝
＝ (2x＋Δx＋3)＝2x－3，
令y′＝0，得x＝，
代入曲线方程y＝x2－3x得y＝－.
6．曲线f(x)＝x3在点A处的切线的斜率为3，则该曲线在点A处的切线方程为____________．
[答案] 3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0
[解析] 设点A(x0，x)，
则k＝f′(x0)＝
＝ (3x＋3x0·Δx＋Δx2)＝3x＝3.
∴x0＝±1.
∴切点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，
∴所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.
7．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．
[答案] 2x－y＋4＝0
[解析]
∵y′＝
＝ (6x＋3Δx－4)＝6x－4，
∴y′|x＝1＝2.所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
三、解答题
8．(2014·广东省开侨中学月考)已知函数f(x)＝的图象上一点A(4，f(4))，O为坐标原点，点B为曲线段OA上一动点，求△OAB的面积的最大值．
[解析] 由f(x)＝，得f(4)＝2，∴A(4,2)，
∴直线OA的斜率为.
如图，将直线OA平移至直线l，使得直线l与f(x)＝的图象相切于点B，此时△OAB的面积有最大值．
设B(x0，y0)，则直线l的斜率f ′(x0)＝，
又f ′(x0)＝
＝ ＝，
∴＝，解得x0＝1，而y0＝＝1，即B(1,1)．
点B到直线OA：y＝x的距离d＝＝，
|OA|＝＝2，
∴△OAB的面积的最大值为|OA|·d＝×2×＝1.
9．已知曲线y＝x2－1与y＝x3＋1在x0点的切线互相垂直，求x0的值．
[解析] 函数y＝x2－1在x0处的导数为：
y′|x＝x0＝
＝
＝2x0.
函数y＝x3＋1在x0处的导数为：
y′|x＝x0＝
＝
＝3x，
∵两曲线在x0处的切线互相垂直，显然两切线的斜率都存在，
∴2x0·3x＝－1，
解得x0＝－.
课件30张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.1 导 数
第3课时 导数的几何意义第一章下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题.1．知识与技能
理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．
2．过程与方法
经历导数几何意义的学习过程，感受极限思想，体会用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法，体会用导数的几何意义分析图象上点的变化情况的方法．
3．情感态度与价值观
通过本节的学习，体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力.本节重点：导数的几何意义及曲线的切线方程．
本节难点：求曲线在某点处的切线方程.1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的_________，即k＝f′(x0)．函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为_____________________．
2．导数的物理意义
物体的运动方程s＝s(t)在t＝t0处的导数，就是物体在t0时刻的______________．斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)瞬时速度[说明] 求函数f(x)图象上点P处的切线方程的步骤：先求出函数在点(x0，y0)处的导数f′(x0)(即过点P的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切．
(1)求切点的坐标；
(2)求a的值．[说明] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所示．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( )
A．2 B．4
C．6＋6Δx2 D．6
[答案] D[说明] 深刻理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线的方法.[辨析] 应先判断点是否在曲线上，点不在曲线上误认为在曲线上而产生错解．第一章 1.2 第1课时
一、选择题
1．f(x)＝0的导数为( )
A．0 B．1
C．不存在 D．不确定
[答案] A
[解析] 常数函数的导数为0.
2．y＝的导数为( )
A.x－ B．x
C．x－ D．－x－
[答案] D
[解析] y′＝(x－)′＝－·x－.
∴选D.
3．y＝在点A(1,2)处的切线方程为( )
A．2x＋y－4＝0 B．2x－y＋2＝0
C．2x＋y＋4＝0 D．2x－y－2＝0
[答案] A
[解析] ∵f′(x)＝－，f′(1)＝－2，
∴由点斜式直线方程得y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.
4．(2014·北京东城区联考)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( )
A．1 B．－
C. D．
[答案] C
[解析] ∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
5．(2014·潍坊三县高二期末测试)函数y＝cosex的导数是( )
A．cosex B．sinex
C．－exsinex D．－ex
[答案] C
[解析] y′＝(cosex)1＝－sinex·(ex)′＝－exsinex，故选C.
6．直线y＝x5的斜率等于5的切线的方程为( )
A．5x－y＋4＝0
B．x－y－4＝0
C．x－y＋4＝0或x－y－4＝0
D．5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0
[答案] D
[解析] ∵y′|x＝x0＝5x＝5，
∴x0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．
又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0.故选D.
7．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] ∵s′|t＝4＝t－|t＝4＝ .故选B.
8．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x－1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.
二、填空题
9．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________．
[答案] 3
[解析] ∵y′＝n·xn－1，y′|x＝2＝n·2n－1＝12.∴n＝3.
10．y＝的导数为________．
[答案] －－
11．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
[答案] (2,1)
[解析] ∵y＝4x－2，∴y′＝－8x－3，
∴－8x－3＝－1，
∴x3＝8，
∴x＝2，
∴P点坐标为(2,1)．
三、解答题
12．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[解析] (1)设y＝f(x)＝x3＋，则y′＝x2，
∴k＝f′(2)＝4，
∴所求切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设切点A，
则切线方程为y－＝x(x－x0)．
又切线过点P(2,4)，
∴4－＝x(2－x0)，
即x－3x＋4＝0，
∴x0＝－1或x0＝2，
∴切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
[答案] B
[解析] 设切点为(x0，x)，∵f′(x)＝3x2，
∴k＝f′(x0)＝3x，即3x＝1，
∴x0＝±，
即在点和点处有斜率为1的切线，故选B.
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
[答案] B
[解析] 本题考查函数知识、求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2，
要善于观察，故选B.
3．若对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4－1
[答案] B
[解析] 由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入四个选项中验证，B正确，故选B.
4．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x，曲线y＝3－x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，∴3x·(－x0)＝－1，∴x0＝，故选D.
二、填空题
5．函数y＝x2过点(2,1)的切线方程为________．
[答案] (4＋2)x－y－7－4＝0或(4－2)x－y－7＋4＝0.
[解析] y′＝2x，设切点P(x0，y0)，则y0＝x.
切线斜率为2x0＝，
∴x－4x0＋1＝0，∴x0＝2±，
∴斜率k＝2x0＝4±2，
∴切线方程为y－1＝(4±2)(x－2)．
6．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．
[答案] 4x－4y－1＝0
[解析] y＝x2的导数为y′＝2x，设切点M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0.
∵PQ的斜率k＝＝1，又切线平行于PQ，
∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1.∴x0＝.
∴切点M.
∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
7．(2014·枣阳一中、襄州一中、宜城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．
[答案] 4
[解析] y′＝，切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0得，y＝，
令y＝0得，x＝－a，
由题意知··a＝2，∴a＝4.
三、解答题
8．若曲线y＝ex在x＝1处的切线与直线2x＋my＋1＝0垂直，求m的值．
[解析] ∵y′＝ex，∴曲线y＝ex在x＝1处的切线的斜率k＝e.
∴切线方程为y－e＝e(x－1)，
即ex－y＝0.由题意，得
2e－m＝0，∴m＝2e.
9．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
[解析] ∵过抛物线上一点的切线且与直线x－y－2＝0平行的直线与x－y－2＝0的距离最短．
y′＝2x，令2x＝1
∴x＝代入y＝x2得y＝，
∴切点为，则切线方程为y－＝x－，
即x－y－＝0.
∴x－y－＝0与x－y－2＝0的距离为
＝，
∴即为所求的最短距离．
课件31张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.2 导数的运算
第1课时 常数函数与幂函数的导数第一章凡事皆有规律，导数也不例外，导数应用很广泛，可是用定义求导却比较复杂．本节将学习基本初等函数的导数公式，熟记基本初等函数的导数公式，可以让我们在解决导数问题时得心应手.本节重点：幂函数求导数的方法．
本节难点：幂函数导数的应用.012x3x2axa－1 [答案] B
[分析] 首先求得曲线在切点处的导数，即切线的斜率，再根据条件确定斜率的值，最后利用点斜式方程写出切线方程．
[说明] 根据导数的几何意义求曲线的切线方程是本节的典型问题，一类为点在曲线上，另一类为点不在曲线上，注意不同类型问题的不同思路与解法的掌握．[错解] B1．函数y＝f(x)＝C的导数为y′＝0，y′＝0的几何意义为函数y＝C图象上每一点处的切线斜率都为0.若y＝C表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
2．函数y＝f(x)＝x的导数为y′＝1.y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线的斜率都为1，若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数y＝x2的导数为y′＝2x.y′＝2x表示函数y＝x2图象上点(x，y)处的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y′＝2x表明：当x<0时，随着x的增加，函数y＝x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，函数y＝x2增加得越来越快．若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为当某物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.
4．我们用导数的定义求得这些常用函数的导数及推导出的幂函数的求导公式，在以后的求导运算中，可以直接应用，不必再用定义去求导数． 第一章 1.2 第2课时
一、选择题
1．若f(x)＝cos，则f′(x)为( )
A．－sin B．sin
C．0 D．－cos
[答案] C
2．函数f(x)＝xa，a∈Q，若f′(－1)＝－4，则a的值为( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
[答案] A
3．给出下列命题：
①y＝ln2，则y′＝
②y＝，则y′|x＝3＝－
③y＝2x，则y′＝2x·ln2
④y＝log2x，则y′＝
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 由求导公式知②③④正确．
4．(2014·山师附中高二期中)设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝处的导数f ′()＝( )
A. B．－
C．0 D．
[答案] A
[解析] ∵f ′(x)＝cosx＋sinx，
∴f ′()＝cos＋sin＝，故选A.
5．设函数f(x)＝cosx则′等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．以上均不正确
[答案] A
[解析] ∵f＝cos＝0，
∴′＝0′＝0，故选A.
6．设函数f(x)＝sinx，则f′(0)等于( )
A．1 B．－1
C．0 D．以上均不正确
[答案] A
[解析] ∵f′(x)＝(sinx)′＝cosx，
∴f′(0)＝cos0＝1.故选A.
7．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是( )
A．1 B．0
C．2 D.
[答案] D
[解析] ∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.
8．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为( )
A. B．－ C. D．－
[答案] C
[解析] ∵y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，
又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，
∴＝e，k＝.
二、填空题
9．函数f(x)＝sinx在x＝处的切线方程为________．
[答案] x－2y＋－＝0
10．y＝在点A处的切线方程为________．
[答案] 3x＋16y－8＝0
[解析] ∵′＝－3x－4，
∴y＝在点A处的切线的斜率为－.
∴切线方程为y－＝－(x－2)，
即3x＋16y－8＝0.
11．曲线y＝lnx与x轴交点处的切线方程是____________________________．
[答案] y＝x－1
[解析] ∵曲线y＝lnx与x轴的交点为(1,0)
∴y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，
所求切线方程为：y＝x－1.
三、解答题
12．(1)y＝ex在点A(0,1)处的切线方程；
(2)y＝lnx在点A(1,0)处的切线方程．
[解析] (1)∵(ex)′＝ex，
∴y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.
∴切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
(2)∵(lnx)′＝，
∴y＝lnx在点A(1,0)处的切线的斜率为1.
∴切线方程为y＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.
一、选择题
1．物体运动的图象(时间x，位移y)如图所示，则其导函数图象为( )
[答案] D
[解析] 由图象可知，物体在OA，AB，BC三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA，直线AB的斜率为正且kOA>kAB，直线BC的斜率为负，故选D.
2．(2014·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝ex
C．y＝lnx D．y＝cosx－
[答案] D
[解析] 由y＝sinx得y′＝cosx为偶函数，故A错；又y＝ex时，y′＝ex为非奇非偶函数，∴B错；C中y＝lnx的定义域x>0，∴C错；D中y＝cosx－时，y′＝－sinx为奇函数，∴选D.
3．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2010(x)的值是( )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
[答案] B
[解析] 依题意：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，
f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，
按以上规律可知：f2010(x)＝f2(x)＝－sinx，故选B.
4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
[答案] B
[解析] y′＝，设切点为(m，n)，
则切线斜率为＝1，
即m＋a＝1，n＝ln(m＋a)＝ln1＝0.
又(m，n)在直线y＝x＋1上，
∴m＝－1，从而a＝2.故选B.
二、填空题
5．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．
[答案] (1，e) y＝ex
[解析] 设切点为(x0，ex0)，又y′＝(ex)′＝ex，
∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝ex0，
∴切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．
又切线过原点，
∴－ex0＝－x0·ex0，即(x0－1)·ex0＝0，
∴x0＝1，
∴切点为(1，e)，斜率为e，
∴切线方程为y＝ex.
6．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a＝________.
[答案] 2
[解析] y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为
k1＝y′|x＝a＝|x＝a＝.
已知直线斜率k2＝－2ln2.
∵两直线垂直，∴k1k2＝＝－1，∴a＝2.
7．(2014·杭州质检)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f ′(x)>0的解集为________．
[答案] (2，＋∞)
[解析] 由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝2·＝2·，f ′(x)>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
三、解答题
8．设点P是y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．
[解析] 根据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝ex上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．
令P(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，
∴由题意得ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最短距离为.
9．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] 由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
k1＝y′|x＝x0＝cosx0，
k2＝y′|x＝x0＝－sinx0.
若使两条切线互相垂直，必须
cosx0·(－sinx0)＝－1，
即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
课件30张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.2 导数的运算
第2课时 导数公式表及数学软件的应用第一章1．知识与技能
能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数．
2．过程与方法
通过本节的学习掌握导数公式求导数的方法．
3．情感态度与价值观
通过使用数学软件求导数的过程，体会算法思维，进一步感受数学的应用价值．本节重点：应用导数公式表求导数．
本节难点：导数公式的应用.基本初等函数的导数公式：
(1)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝_______；
(2)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝__________；
(3)若f(x)＝ax，则f′(x)＝__________ (a＞0)；
(4)若f(x)＝ex，则f′(x)＝______；
(5)若f(x)＝logax，则f′(x)＝________ (a＞0，且a≠1)；
(6)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝____.cosx －sinx axlna ex [分析] 利用基本初等函数的导数公式求解．
[说明] 熟记基本初等函数的求导公式，是计算导数的关键．特别注意各求导公式的结构特征，弄清(ex)′与(ax)′，(lnx)′与(logax)′的差异，防止混淆．对于不具备基本初等函数特征的函数，应先变形，后求导．[说明] 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：①先求函数的导函数；②把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
[说明] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．[错解] A
[辨析] 当α为常数时，sinα也是常数．所以(sinα)′＝0.
[正解] C1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．
2．将xa的求导公式与ax的求导公式对比记忆，两公式最易混淆；将ax的求导公式与logax的求导公式强化记忆，此两公式最难记；将sinx的求导公式与cosx的求导公式对比记忆，注意正负号．第一章 1.2 第3课时
一、选择题
1．函数f(x)＝a4＋5a2x2－x6的导数为( )
A．4a3＋10ax2－x6 B．4a3＋10a2x－6x5
C．10a2x－6x5 D．以上都不对
[答案] C
[解析] f′(x)＝(a4)′＋(5a2x2)′－(x6)′＝－6x5＋10a2x.
2．函数y＝2sinxcosx的导数为( )
A．y′＝cosx B．y′＝2cos2x
C．y′＝2(sin2x－cos2x) D．y′＝－sin2x
[答案] B
[解析] y′＝(2sinxcosx)′＝2(sinx)′·cosx
＋2sinx(cosx)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
3．下列求导运算正确的是( )
A．(x＋)′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x D．(x2cosx)′＝－2xsinx
[答案] B
[解析] 根据对数函数的求导法则可知B正确．
4．(2014·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝lnx＋1，∴f ′(1)＝1，
又f(1)＝0，∴在x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
5．函数y＝(x－a)(x－b)的导数是( )
A．ab B．－a(x－b)
C．－b(x－a) D．2x－a－b
[答案] D
[解析] 解法1：y′＝(x－a)′(x－b)＋(x－a)(x－b)′＝x－b＋x－a＝2x－a－b.
解法2：∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴y′＝(x2)′－[(a＋b)x]′＋(ab)′＝2x－a－b，故选D.
6．函数f(x)＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，则x0是( )
A．a B．±a C．－a D．a2
[答案] B
[解析] 解法1：f′(x)＝′
＝＝，
∴f′(x0)＝＝0，得：x0＝±a.
解法2：∵f′(x)＝′＝′＝1－，
∴f′(x0)＝1－＝0，即x＝a2，∴x0＝±a.
故选B.
7．下列函数在x＝0处没有切线的是( )
A．y＝3x2＋cosx B．y＝xsinx
C．y＝＋2x D．y＝
[答案] C
[解析] ∵函数y＝＋2x在x＝0处不可导，
∴函数y＝＋2x在x＝0处没有切线．故选C.
8．(2014·济南市高二下学期期末测试)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝ax B．f(x)＝logax
C．f(x)＝xex D．f(x)＝xlnx
[答案] D
[解析] 若f(x)＝ax，则f′(x)＝(ax)′＝axlna，x∈R，不满足题意，排除A；若f(x)＝logax，则f′(x)＝(a>0，a≠1)，x≠0，不满足题意，排除B；若f(x)＝xex，则f′(x)＝ex＋xex，x∈R，不满足题意，排除C，故选D.
二、填空题
9．函数y＝2x3－3x2＋4x－1的导数为____________．
[答案] 6x2－6x＋4
[解析] y′＝(2x3)′－(3x2)′＋(4x)′＝6x2－6x＋4.
10．(2014·江西文，11)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
[答案] (e，e)
[解析] 本题主要考查求导公式及导数的几何意义，∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋1，设P(x0，y0)，∵P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，∴y|x＝x0＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，将x0＝e代入y＝x·lnx得y0＝e，∴P点坐标为(e，e)，解答本题的关键在于掌握曲线在某点处的切线斜率为此点处的导数值．
11．曲线y＝sin3x在点P处切线的斜率为________．
[答案] －3
[解析] 设u＝3x，则y＝sinu，
∴y′x＝cosu·(3x)′＝3cosu＝3cos3x
∴所求斜率k＝3·cos＝3cosπ＝－3.
三、解答题
12．求下列函数的导数．
(1)y＝3x－lgx；
(2)y＝(x2＋1)(x＋1)；
(3)y＝；
(4)y＝－sinx＋ex.
[解析] (1)y′＝(3x)′－(lgx)′＝3x·ln3－.
(2)y＝(x2＋1)(x＋1)＝x3＋x2＋x＋1，
∴y′＝3x2＋2x＋1.
(3)y′＝′
＝
＝＝.
(4)y′＝(－sinx)′＋(ex)′＝－cosx＋ex.
一、选择题
1．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
[答案] A
[解析] 由f′(x)＝－＝得x＝3.故选A.
2．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为( )
A. B．π2
C．2π2 D．(2＋π)2
[答案] A
[解析] 曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为.故选A.
3．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．
令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.
∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.
4．(2013·全国大纲文，10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝( )
A．9 B．6
C．－9 D．－6
[答案] D
[解析] y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8，
∴a＝－6.
二、填空题
5．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.
[答案]
[解析] ∵f′(x)＝[log3(x－1)]′
＝(x－1)′＝，
∴f′(2)＝.
6．(2012·新课标全国文)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．
[答案] 4x－y－3＝0
[解析] 本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法．y′＝3lnx＋4，故y′|x＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，化为一般式方程为4x－y－3＝0.在求过某一点的切线方程时，先通过求导得出切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程，注意最后应将方程化为一般式．
7．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
[答案] 2－1
[解析] y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为2－1.
三、解答题
8．设y＝8sin3x，求曲线在点P处的切线方程．
[解析] ∵y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点P处的切线的斜率
k＝y′|x＝＝24sin2·cos＝3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3，即6x－2y－π＋2＝0.
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
[解析] ∵y＝ax2＋bx＋c过(1,1)点，
∴a＋b＋c＝1 ①
∵y′＝2ax＋b，y′|x＝2＝4a＋b，
∴4a＋b＝1 ②
又曲线过(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1 ③
解由①②③组成的方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.
课件37张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.2 导数的运算
第3课时 导数的四则运算法则第一章其实，导数和实数一样可以进行四则运算，我们可以通过导数的加减乘除来计算由基本初等函数通过加减乘除构成的函数，这样我们就避免了使用导数的定义求复杂函数的导数，使运算变得简单.1．知识与技能
能利用导数的四则运算法则和导数公式，求简单函数的导数．通过例题，理解复合函数的求导法则．
2．过程与方法
通过本节的学习，掌握运用导数的四则运算法则和用基本初等函数的导数公式求导数的方法．
3．情感态度与价值观
通过用导数定义证明函数和的求导法则的过程，学会一些变形技巧，提高逻辑推理论证能力，进一步体会数学的应用价值，提高学习数学的兴趣.本节重点：导数公式和导数的运算法则及其应用．
本节难点：导数公式和运算法则的应用．f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x) y′u·u′x [解析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′
＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋(6)′
＝4x3－6x－5.
(2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝3x2＋12x＋11.
解法2：∵y＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
[说明] (1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性．
(2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．
[解析] (1)y′＝4x3－9x2＋4x－4.
(2)y′＝x′cosx＋x(cosx)′＝cosx－xsinx.
(3)y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋2sinx(cosx)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.[说明] 1.复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x(其中y′x表示y对x的导数)．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
2．求复合函数的导数需处理好以下环节：
(1)中间变量的选择应是基本函数结构；
(2)关键是正确分析函数的复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
[解析] 令g(x)＝(x＋1)(x＋2)·…·(x＋n)，
∴f(x)＝xg(x)．
两边求导f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
∴f′(0)＝g(0)＋0·g′(0)＝g(0)＝1×2×3·…·n＝n！，即f′(0)＝n！.
[说明] 灵活应用导数乘法的运算法则．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
(2)由f′(x)为一次函数知，f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.将f(x)、f′(x)代入方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.
要使方程对任意x都成立，则需要a＝b，b＝2c，c＝1.解得a＝2，b＝2，c＝1.
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.[辨析] (1)直接利用公式求导比较困难．
(2)忽视变形的应用．第一章 1.3 第1课时
一、选择题
1．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )
A．(－∞，－1]和[0,1]
B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1]
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案] A
[解析] y′＝4x3－4x，
令y′＝0，则4x3－4x＝0，
解x＝0或x＝±1，
列表如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
＋
－
＋
y
?
?
?
?
故单调减区间为(－∞，－1]和[0,1]．
2．函数f(x)＝2x－sinx( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[答案] A
[解析] f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．故选A.
3．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
[答案] C
[解析] f′(x)＝lnx＋1，当0当0.
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 当x∈(－∞，0)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0.故选D.
5．三次函数y＝f(x)＝ax3＋x在x∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( )
A．a>0 B．a<0
C．a<1 D．a<
[答案] A
[解析] 由题意可知f′(x)≥0恒成立，即3ax2＋1≥0恒成立，显然B，C，D都不能使3ax2＋1≥0恒成立，故选A.
6．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，
∵f(a)≥0，∴f(x)>f(a)≥0.故选A.
7．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.和
B.和
C.和
D.和
[答案] A
[解析] y′＝xcosx，当－πcosx<0，∴y′＝xcosx>0，
当00，∴y′＝xcosx>0.故选A.
8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f ′(x)满足f ′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2014)>e2014f(0)
B．f(2)e2014f(0)
C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2014)[答案] C
[解析] ∵函数F(x)＝的导数
F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)同理可得f(2014)二、填空题
9．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
[答案] (－1,11)
[解析] 本题主要考查求导公式和单调区间．
f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
由(x－11)(x＋1)<0得－1∴f(x)的单调减区间为(－1,11)．
10．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为________．
[答案] a≥1
[解析] 由f(x)>1得ax－lnx－1>0，即a>在(1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝，g′(x)＝－.
∵x>1，∴g′(x)<0，∴g(x)单调递减．
所以g(x)11．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
[答案] [3，＋∞)
[解析] y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，
即a≥x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
三、解答题
12．确定下列函数的单调区间．
(1)y＝x－x3；
(2)y＝x3－9x2＋24x.
[解析] (1)y′＝1－3x2＝－3，
由y′>0得－由y′<0得x<－或x>.
∴增区间为；
减区间为，.
(2)y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，
由y′>0得x<2或x>4；
由y′<0得2∴增区间是(－∞，2)，(4，＋∞)；
减区间是(2,4).
一、选择题
1．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上( )
A．至少有三个实数根
B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根
D．无实根
[答案] C
[解析] ∵f′(x)＝－3x2－1<0，
∴f(x)在区间[m，n]上是减函数，又f(m)·f(n)<0，故方程f(x)＝0在区间[m，n]上有且只有一个实数根．故选C.
2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
[答案] D
[解析] 函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B，故选D.
3．(2014·天门市调研)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f ′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f ′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)
[答案] B
[解析] 令g(x)＝，则
g′(x)＝＝<0，
所以g(x)在R上是减函数，又y＝f(x)－1为奇函数，所以f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，g(0)＝1，所以原不等式可化为g(x)＝<1＝g(0)，所以x>0，故选B.
4．(2014·郑州一中期中)函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2013，对任意x∈R，都有f ′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2009的解集为( )
A．(－2,2) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，＋∞)
[答案] C
[解析] 令F(x)＝f(x)－x2－2009，则F′(x)＝f ′(x)－2x<0，∴F(x)在R上为减函数，
又F(－2)＝f(－2)－4－2009＝2013－2013＝0，
∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，
∴不等式f(x)>x2＋2009的解集为(－∞，－2)．
二、填空题
5．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．
[答案]
[解析] f′(x)＝3x2＋2x＋m，依题意可知f(x)在R上只能单调递增，所以Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
6．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，0]
[解析] ∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f ′(x)＝3x2－2ax－3，
又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，
f ′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
7．(2014·郑州网校期中联考)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
[答案] b≤－1
[解析] f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.
三、解答题
8．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，
∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1. ①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f ′(1)＝8，
又f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5. ②
解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f ′(x)＝3x2＋8x－3，
令f ′(x)>0，可得x<－3或x>；
令f ′(x)<0，可得－3∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(，＋∞)，单调减区间为(－3，)．
9．(2013·全国大纲文，21)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
[解析] (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，
f ′(x)＝3x2－6x＋3.
令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f ′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0得a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，
f ′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3(x2－x＋1)＝3(x－)(x－2)>0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是[－，＋∞)．
课件34张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.3 导数的应用
第1课时 利用导数判断函数的单调性第一章研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性．
那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？1．知识与技能
借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
2．过程与方法
通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法．
3．情感态度与价值观
通过实例探究函数的单调性与导数关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.本节重点：利用导数研究函数的单调性．
本节难点：利用导数求函数的单调区间.1．一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在这个区间内____________；如果____________，那么函数f(x)在这个区间内单调递减．
2．一般地，如果一个函数在某一范围内的______________________，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就较“平缓”．单调递增f′(x)<0导数的绝对值较大
[说明] 利用导数求函数的单调区间时，要注意以下问题：(1)在解不等式f′(x)>0或f′(x)<0时，不能忽略了函数的定义域；(2)当给定函数含有字母参数时，要用分类讨论的方法求解；(3)当单调区间不止一个时，要分开写，不可写成并集的形式．求下列函数的单调区间
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝3x2－2lnx.
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，
解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
[说明] 单调性的应用非常广泛，这种题型需同学们了解，关键在于函数的构造以及思维方法，过程若正确，结论则不难得出．已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．1．利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)如果恒有f′(x)>0，则函数f(x)在(a，b)内为增函数；
(2)如果恒有f′(x)<0，则函数f(x)在(a，b)内为减函数；
(3)如果恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在(a，b)内为常函数；
值得指出的是：若函数f(x)在(a，b)内f′(x)≥0[或f′(x)≤0](其中有限个点f′(x)＝0)，则函数f(x)在(a，b)内仍是增函数(或减函数)．
2．利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)确定f(x)的单调区间．
3．利用导数判断函数单调性时需注意的几个问题
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．(3)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件，但不是必要条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x＝0时，f′(x)＝0.
(4)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．第一章 1.3 第2课时
一、选择题
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
[答案] C
[解析] 由极大值的定义可知C正确．
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
[答案] C
[解析] f′(x)的图象有4个零点，且全为变号零点，所以f(x)有4个极值点，且f′(x)的函数值由正变负为极大值点，由负变正为极小值点，故选C.
3．函数f(x)＝x＋的极值情况是( )
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
[答案] D
[解析] f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，
函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减，
∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.故选D.
4．(2013·北师大附中高二期中)函数y＝x4－x3的极值点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.
当x变化时，y′、y的变化情况如下表
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
?
无极值
?
极小值
?
故选B.
5．函数y＝f(x)＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] A
[解析] y′＝3x2－3，令y′＝0，得3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1，
当x<－1时，y′>0；当－1当x>1时，y′>0，
∴函数在x＝－1处取得极大值，m＝f(－1)＝2；
函数在x＝1处取得极小值，n＝f(1)＝－2.
∴m＋n＝2＋(－2)＝0.
6．函数y＝f(x)＝(x2－1)3＋1在x＝－1处( )
A．有极大值 B．有极小值
C．无极值 D．无法判断极值情况
[答案] C
[解析] f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x－1)2·(x＋1)2虽有f′(－1)＝0，但f′(x)在x＝－1的左右不变号，∴函数f(x)在x＝－1处没有极值．故选C.
7．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4 个
[答案] B
[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，
令f′(x)<0，得08．(2013·辽宁实验中学期中)函数f(x)＝－(aA．f(a)＝f(b)
B．f(a)C．f(a)>f(b)
D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定
[答案] C
[解析] f ′(x)＝()′＝
＝.
当x<1时，f ′(x)<0，∴f(x)为减函数，
∵af(b)．
9．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为( )
A．最大值为13，最小值为
B．最大值为1，最小值为4
C．最大值为13，最小值为1
D．最大值为－1，最小值为－7
[答案] A
[解析] 由y′＝2x－1＝0，得x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1，∴f(x)在[－3,0]上的最大值为13，最小值为.故选A.
二、填空题
10．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝2处有极大值，则常数m的值为____________．
[答案] 6
[解析] ∵f(x)＝x(x－m)2＝x3－2mx2＋m2x，
∴f′(x)＝3x2－4mx＋m2，由题意得，f′(2)＝0，
∴m＝6或2，
当m＝2时，函数f(x)在x＝2处取极小值，故m＝6.
11．函数y＝x－2在[0,4]上的最大值是__________，最小值是____________．
[答案] 0 －1
[解析] y′＝1－，令y′＝0，得x＝1，
f(0)＝0，f(1)＝－1，f(4)＝0，
∴函数y＝x－2的最大值为0，最小值为－1.
12．(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．
[答案] [－1,1]
[解析] f ′(x)＝1＋acosx，由条件知f ′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a>0时，
∵－≤cosx恒成立，∴－≤－1，∴a≤1，∴0三、解答题
13．求下列函数的极值．
(1)y＝x2－7x＋6；(2)y＝x3－27x.
[分析] 求函数极值需求f′(x)＝0的解及f′(x)>0和f′(x)<0的范围．
[解析] (1)y′＝(x2－7x＋6)′＝2x－7.
令y′＝0，解得x＝.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
x
y′
－
0
＋
y
?
极小值－
?
当x＝时，y有极小值，且y极小值＝－.
(2)y′＝(x3－27x)′＝3x2－27＝3(x＋3)(x－3)．
令y′＝0，解得x1＝－3，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,3)
3
(3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
?
极大值54
?
极小值－54
?
∴当x＝－3时，y有极大值，且y极大值＝54.当x＝3时，y有极小值，且y极小值＝－54.
一、选择题
1．(2013·聊城市莘县实验高中高二下学期模块测试)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极值点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内有三个极值点．故选C.
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
[答案] D
[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因为f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a2－4×3×(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，解得a>6或a<－3.故选D.
3．函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和，则( )
A．a－2b＝0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
[答案] D
[解析] y′＝3ax2＋2bx，由题设知0和是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.故选D.
4．(2014·山东省德州市期中)已知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] f ′(x)＝2exsinx，令f ′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f(x)单调递增，当(2k－1)π∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2013π)，∴0<(2k＋1)π<2013π，∴0≤k<1006，k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2011π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2011π＝＝，故选B.
二、填空题
5．若函数y＝2x3－3x2＋a的极大值是6，则a＝________.
[答案] 6
[解析] y′＝6x2－6x＝6x(x－1)，易知函数f(x)在x＝0处取得极大值6，即f(0)＝6，∴a＝6.
6．函数f(x)＝sinx＋cosx ，x∈的最大、最小值分别是________．
[答案] ，－1
[解析] f′(x)＝cosx－sinx＝0，
∴tanx＝1，∵x∈，∴x＝，
当－0，
∴x＝是函数f(x)的极大值点．
∵f＝－1，f＝1，f＝.
∴f(x)的最大值为，最小值为－1.
7．已知f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
[答案] (0,1)
[解析] ∵f′(x)＝3x2－3b＝3(x2－b)．
因为函数f(x)在(0,1)内有极小值，
故方程3(x2－b)＝0在(0,1)内有解，所以0<<1，即0三、解答题
8．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
[解析] (1)f ′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f ′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．
令f ′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f ′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
9．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax.
(1)当a＝－3时，求函数y＝f(x)的极值点；
(2)当a＝－4时，求方程f(x)＋x2＝0在(1，＋∞)上的根的个数．
[解析] (1)f(x)＝lnx＋x2－3x，f ′(x)＝＋2x－3，
令f ′(x)＝0，则x＝1或x＝，
由f ′(x)>0得01，
∴f(x)在(0，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减，
∴f(x)的极大值点x＝，极小值点x＝1.
(2)当a＝－4时，f(x)＋x2＝0，即lnx＋2x2－4x＝0，
设g(x)＝lnx＋2x2－4x，则
g′(x)＝＋4x－4＝≥0，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上有唯一实数根．
课件53张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.3 导数的应用
第2课时 利用导数研究函数的极值第一章苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．
那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？1．知识与技能
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
2．过程与方法
通过本节的学习，掌握用导数求函数的极大值、极小值和闭区间上的最大值、最小值的方法．
3．情感态度与价值观
通过本节的学习，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，通过对函数的极值与最值的类比，体验知识间的联系，逐步提高科学地分析、解决问题的能力.本节重点：函数极值的概念与求法、函数在闭区间上最值的概念与求法．
本节难点：函数极值的求法、函数最值的求法.1．已知函数y＝f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有_____________，则称函数f(x)在点x0处取极大值．记作y极大＝f(x0)．并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果在x0附近的所有点都有____________，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)．并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为_________．极大值点与极小值点统称为_____________．f(x)f(x0)极值极值点
2．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在______________________取得．极值点或区间端点当x＝－2时，y有极小值，并且y极小值＝f(－2)＝－10；
而当x＝2时，y有极大值，并且y极大值＝f(2)＝22.
[说明] 一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是：
(1)求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)．
解方程x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此，当x＝－1时，f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，f(x)有极小值，且f(3)＝－22.[解析] f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0时，[说明] 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a，b，c的值．
∴a＝－3，b＝－9.
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.
∵f(－1)＝7，∴c＝2，
极小值f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.
∴极小值为－25，a＝－3，b＝－9，c＝2.[解析] 显然a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况见下表：
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，
f(－1)>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，－16a＋3＝－29，
即a＝2.(2)当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，
f(2)>f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，
即a＝－2.
综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
[说明] 本题综合运用求极值、最值的方法确定参数a、b，注意对a的讨论和最大、最小值的确定．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
[分析] 解答本题首先由x＝1，x＝2是f′(x)＝0的两根，求出a，b的值；再求出f(x)在[0,3]上的最大值，f(x)f(x)max.从而解出c的值．(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)又当x＝1或x＝2时，f′(x)＝0，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
可知y＝f(x)在x∈[0,3]上的最大值为f(3)＝9＋8c，
∴9＋8c9.
所以c的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
[说明] (1)不等式恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决有关不等式恒成立问题，通常转化为最值问题来解：
c≥f(x)恒成立?c≥f(x)max；
c≤f(x)恒成立?c≤f(x)min.
(2)高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决．例5中(2)改为“若对任意的x∈[0,3]都有f(x)≥c2成立，求c的取值范围”，如何解答？
[解析] 由例题可知f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)≥c2成立，只需f(x)在x∈[0,3]上的最小值大于c2即可．
又当x＝1或x＝2时，f′(x)＝0，[辨析] 根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧函数的单调性．
[正解] 由错解得当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数，
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.
1．根据极值的定义，取得极值的点称为极值点，极值点是指自变量的值，极值指的是函数值，要注意以下几点：
(1)极值是一个局部概念．由定义知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小；(2)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)；
(3)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
2．函数极值的判定：
设函数f(x)在x0处连续，判别f(x0)是极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(3)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值；(4)如果f′(x)在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．例如函数f(x)＝x3(如图)，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，这就是说，f′(x)＝0的根不一定是函数的极值点．3．求解步骤：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的全部实根；
(3)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．
注意：导数为0的点不一定是极值点，对于可导函数，导数为0的点是为极值点的必要不充分条件．4．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，此性质从以下两个方面加以说明：5．极值与最值的区别与联系：
(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是函数在整个定义域上的情况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较．
(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性．
(3)函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个，而极大值或极小值可能多于一个，也可能没有，如常数函数无极大值，也无极小值．6．求f(x)在区间[a，b]内的最大值和最小值的步骤：
第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点；
第2步：计算函数f(x)在区间[a，b]内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
说明：①求函数的最值与求函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可．
②可利用函数的单调性求f(x)在区间上的最值，若f(x)在[a，b]上单调增加，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上单调减少，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．7．极值点与导数为0的点的关系：
(1)导数为0的点不一定是极值点．
如函数f(x)＝x3在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．
对于可导函数，极值点的导数必为0.
因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件．
(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点．
如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＝－1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，当x＝0时f(x)＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．第一章 1.3 第3课时
一、选择题
1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N＋)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年可使其营运年平均利润最大( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] C
[解析] 年平均利润
f(x)＝＝－x－＋12(x∈N＋)，
又f′(x)＝－1＋，
令f′(x)＝0，解得x＝5.
又极值唯一，故选C.
2．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
[答案] C
[解析] 如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ×2×5cosθ＝50sinθcosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.故选C.
3．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B．
C. D．2
[答案] C
[解析] 设底面边长为x，侧棱长为l，
则V＝x2·sin60°·l，∴l＝.
∴S表＝2S底＋3S侧＝x2sin60°＋3xl＝x2＋.
令S′表＝x－＝0，
则x3＝4V，即x＝.
又当x∈(0，)时，S′表<0；
x∈(，V)时，S′表>0.
∴当x＝时，表面积最小．故选C.
4．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为( )
A．6cm B．8cm
C．10cm D．12cm
[答案] B
[解析] 设截去的正方形的边长为xcm，则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48－2x)cm，高为xcm，体积V(x)＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋482x.
其中0令V′(x)＝0，则x2－32x＋192＝0，∴x1＝8，x2＝24(舍去)．
在(0,24)中V(x)只有一个极值点，所以当正方形边长为8cm时，铁盒容积最大．故选B.
5．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B．
C．－1 D．－8
[答案] C
[解析] ∵f′(x)＝x2－2x(0≤x≤5)，
∴原油温度的瞬时变化率为：x2－2x，其最小值为－1.
6．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为( )
A.R B．R
C.R D．R
[答案] A
[解析] 作轴截面如图，设圆柱高为2h，
则底面半径为，圆柱体体积为V＝π·(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.
令V′＝0得2πR2－6πh2＝0，∴h＝R.
即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．故选A.
7．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为( )
A．32m2 B．14m2
C．16m2 D．18m2
[答案] C
[解析] 设矩形的长为x米，则宽为8－x，矩形面积为S＝x(8－x)(x>0)，
令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此时S最大＝42＝16.故选C.
8．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
[答案] C
[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9，x∈(0,9)，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
二、填空题
9．面积为S的一切矩形中，其周长最小的是________．
[答案] 以为边长的正方形
[解析] 设矩形的长为x，则宽为，
其周长l＝2x＋(0令l′＝0得x＝，
当00，
∴当x＝时，l取极小值，这个极小值就是最小值．故面积为S的一切矩形中，其周长最小的是以为边长的正方形．
10．把长60cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．
[答案] 15 15
[解析] 设矩形的长为xcm，则宽为＝(30－x)cm(0矩形的面积S＝x·(30－x)＝30x－x2，
S′＝30－2x＝2(15－x)，令S′＝0得x＝15，
当00，当15∴当x＝15时，S取极大值，这个极大值就是最大值，故当矩形长为15cm，宽为15cm时面积最大．
11．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
[答案] 115
[解析] 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，(30≤x≤200)
S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
三、解答题
12．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．
[解析] (1)由条件可得
解得a＝－，b＝1，
则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．
(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，
则T′(x)＝＋－＝－，
令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，
当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，
∴当x＝50时，T(x)取最大值．
T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(万元)．
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.
一、选择题
1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．200
C．250 D．300
[答案] D
[解析] 由题意，总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝
.
P′＝.
令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．故选D.
2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D．πr2
[答案] A
[解析] 如图所示，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.
∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ，
∴S′＝4πr(cos2θ－sin2θ)＝0，
∴θ＝，即当θ＝，R＝时，S侧最大，且最大值为2πr2.
故选A.
3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3?4，那么容器容积最大时，高为( )
A．0.5m B．1m
C．0.8m D．1.5m
[答案] A
[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3xm,4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.
4．某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32 16 B．30 15
C．40 20 D．36 18
[答案] A
[解析] 要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x m，则长为 m，因此新墙总长为L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－，
令L′＝0得x＝±16，又x>0，∴x＝16，则当x＝16时，Lmin＝64，∴长为＝32(m)．故选A.
二、填空题
5．货车欲以xkm/h的速度行驶去130km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是[50,100]，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是升/小时，司机的工资是14元/小时，则最经济的车速是________，这次行车的总费用最低是________．
[答案] 18km/h 26元
[解析] 行车的总费用
y＝×2＋×14
＝＋x，y′＝－
令y′＝0，解得x＝18∈[50,100]．
∴当x＝18(km/h)时，总费用最低，且ymin＝26(元)．
6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
[答案] 3
[解析] 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，
∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，
∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π，
∴S′(R)＝2πR－＝0，
∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．
7．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．
[答案]
[解析] 设∠OBC＝θ，
则0<θ<.
OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，
∴S△ABC＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ.
S′(θ)＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝0
∴cos2θ＝sinθ，∴θ＝，即当θ＝时，△ABC的面积最大，此时高为OA＋OD＝R＋＝.
三、解答题
8．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝＋4(x－6)2，其中2(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)
[解析] (1)因为x＝4时，y＝21，
代入关系式y＝＋4(x－6)2，得＋16＝21，
解得m＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)＝(x－2)[＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2从而f ′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2令f ′(x)＝0，得x＝，且在(0，)上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以x＝是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．
9．(2014·山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝x3－x＋8(0(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油多少升？
(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？
[解析] (1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时，
要耗油(×643－×64＋8)×＝11.95(升)．
(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，
(x3－x＋8)×＝22.5，
∴a＝，
设h(x)＝x2＋－，
则当h(x)最小时，a取最大值，
h′(x)＝x－＝，
令h′(x)＝0?x＝80，
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，当x∈(80,120)时，h′(x)>0，
故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数，当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数，
∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为
∴a＝＝200.
答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．
课件40张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.3 导数的应用
第3课时 导数的实际应用第一章低碳生活(low-carbon life)可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活．低碳生活节能环保，势在必行．现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长．
如何使汽油的使用效率最高？1．知识与技能
能利用导数解决实际问题中的最优化问题．
2．过程与方法
通过利用导数解决实际问题，学会将实际问题转化为数学问题的方法，掌握利用导数求解实际问题中的最值问题的方法．
3．情感态度与价值观
通过本节的学习，进一步体会数学是从实践中来，又将应用于实践中去，体验数学的应用价值，从而提高学习数学的兴趣，坚定学好数学的信心.本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.利用导数求实际问题的最值的一般步骤：
(1)找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．
(2)____________________________________.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的值的大小，最大(小)者为最大(小)值．求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0
[说明] 解决费用最省问题，也是导数的一个重要应用．解决这类问题，首先要选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，然后将费用表示为自变量的函数，再利用导数求最值，使问题得到解决．已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．又10综上得0故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．
[说明] 本题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力．[分析] 考查函数的性质和导数的运算及利用导数研究函数性质的能力和解决实际应用问题的能力．
1．解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．2．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．
3．值得注意的是应用问题中多数为单峰函数问题，即函数的极值点只有一个，也就是问题中要求的最值只有一个，要么是最大值，要么是最小值．
4．求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去．第一章 1.4 第1课时
一、选择题
1．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大小S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系不确定
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 只有①正确．故选A.
2．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为( )
A．[0，e2] B．[0,2]
C．[1,2] D．[0,1]
[答案] B
[解析] 解方程组可得.所以积分区间为[0,2]．故选B.
3.1dx的值为( )
A．0 B．1
C. D．2
[答案] B
[解析] 由定积分的几何意义可得1dx是由x＝0，x＝1，y＝0和y＝1围成的矩形的面积．
4．计算f(x)＝x2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：
①在0到1之间插入n－1个分点，将区间[0,1]n等分，过每个分点作x轴的垂线，将曲边三角形分成n个小曲边梯形(或三角形)，这n个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；
②当n很大时，f(x)在区间上的值可以用f近似代替；
③当n很大时，f(x)在区间上的值可以用f近似代替；
④当n很大时，用f与f代替f(x)在上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 用f与f近似代替f(x)在区间上的值得到的积分和是不相等的，但当n→∞时其积分和的极限值相等，都等于f(x)在[0,1]上的定积分．故选C.
5．下列积分值等于1的积分是( )
A.xdx B．(x＋1)dx
C.1dx D．dx
[答案] C
[解析] 1dx的几何意义是由直线x＝0，x＝1, y＝0和y＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.
6．设f(x)在[a，b]上连续，将[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则f(x)dx是( )
A.(ξi) B．(ξi)·
C.(ξi)·ξi D．(ξi)·(ξi＋1－ξi)
[答案] B
[解析] 由定积分的定义可知B正确．
7．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为( )
A. B．
C. D．1
[答案] A
8．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则 f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
[答案] D
[解析] 对于A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确，对于B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确，C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．故选D.
二、填空题
9. ·写成定积分是________．
[答案] xdx
10．已知f(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝________.
[答案] 15
11．定积分3dx的几何意义是________．
[答案] 由直线x＝2，x＝4，y＝0和y＝3所围成的矩形的面积
三、解答题
12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．
[解析] 由曲线所围成的区域图形
一、选择题
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，可以用________近似代替．( )
A．f B．f
C．f D．f(0)
[答案] C
2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点函数值f(ξi)(ξ∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
[答案] C
3．设连续函数f(x)>0，则当aA．一定为正
B．一定为负
C．当0D．以上结论都不对
[答案] A
[解析] ∵f(x)>0，
∴曲边梯形在x轴上方，
∴f(x)dx>0.故选A.
4．(2014·太原模拟)已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
[答案] D
[解析] 作出函数f(x)＝2x－2的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，
∵(2x－2)dx＝8，且(2x－2)dx＝－1，∴t>1，
∴S△AEF＝|AE||EF|＝×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.
二、填空题
5．正弦曲线y＝sinx在[0,2π]上的一段曲线与x轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．
[答案] ∫|sinx|dx
6．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于________．
[答案] 36
7．已知[f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则f(x)dx等于________．
[答案] 8
三、解答题
8．利用定积分的几何意义求：
(1) dx；(2)dx.
[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，
∴有－2dx＝＝2π.
(2)∵被积函数为y＝，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．
∴dx＝π·12＝π.
9．求x3dx的值．
[解析] (1)分割
0＜＜＜…＜＜＝1.
(2)求和
3·＋3·＋…＋3·.
＝3·＝3＝·2
＝.
(3)取极限
＝ 2＝.
∴x3dx＝.
课件41张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.4 定积分与微积分基本定理
第1课时 曲边梯形面积与定积分第一章大自然是懂数学的．你看，在我们生活的大自然中，各种植物的叶子千差万别，但它们具有相同的特点：叶子的边缘都是曲线形状，好似两条曲线相交而成．同样，花卉的花瓣也是曲线形状的．
那么，怎样计算这种由
曲线围成的图形的面积呢？1．知识与技能
通过求曲边梯形的面积、变力做功，了解定积分的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分．
2．过程与方法
通过求曲边梯形的面积，体会定积分的基本思想及使用方法．
3．情感态度与价值观
通过求曲边梯形的面积，进一步感受极限的思想.本节重点：定积分的定义与性质．
本节难点：定积分定义的理解.1．一般函数定积分的定义
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图)．用分点a＝x0[说明] 本题为变力做功问题，与解决曲边梯形面积方式是一样的，都要对某一函数实行相同结构的数学运算．
[说明] 当被积函数f(x)表示比较熟悉的图形时，常常可用定积分的几何意义计算定积分，从而简化了运算，是数形结合思想的又一体现． [错解] D
[正解] A1．曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，下图是一个特殊的曲边梯形，它是一个曲边三角形．
要求一个曲边梯形的面积，不能用已有的面积公式计算，为了计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积．说明：(1)在定积分的定义中，Δxi(i＝0,1,2，…，n－1)的长度不一定相等，f(ξi)中的ξi是第i个区间中任一点．通过例子的求解过程可知，在实际处理问题时，往往是等分区间，即Δxi都相等，同时ξi是子区间的端点．
(2)定积分是一种“和”的极限，在定积分定义中，含着分割、近似替代、求和、取极限这种解决问题的思想．
(3)定积分的值仅与被积函数f(x)和积分区间[a，b]有关，与积分变量用什么字母表示无关．第一章 1.4 第2课时
一、选择题
1．(2014·陕西理，3)定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
[答案] C
[解析] 本题考查定积分的计算、微积分基本定理．
(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝1＋e－1＝e.
2．下列各式中，正确的是( )
A.f′(x)dx＝f′(b)－f′(a)
B.f′(x)dx＝f′(a)－f′(b)
C.f′(x)dx＝f(b)－f(a)
D.f′(x)dx＝f(a)－f(b)
[答案] C
[解析] 要分清被积函数和原函数．
3．已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为( )
A.g B．g
C.g D．2g
[答案] C
[解析] 物体下落的距离s＝gtdt＝gt2＝g.故选C.
4．(2013·华池一中高二期中)2xdx等于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
[答案] D
[解析] 2xdx＝x2|＝3.
5．(2013·景德镇市高二质检)若曲线y＝与直线x＝a、y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则正实数a为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 由题意知，dx＝a2，
∵(x)′＝x，∴dx＝x|＝a，
∴a＝a2，∴a＝.
6．曲线y＝cosx 与坐标轴所围图形的面积是( )
A．4 B．2
C. D．3
[答案] D
[解析] 由y＝cosx图象的对称性可知，
y＝cosx与坐标轴所围面积是3cosxdx＝＝3.故选D.
7．如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D．
[答案] C
[解析] (3－x2－2x)dx＝
＝.故选C.
8.|x2－4|dx＝( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] |x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝＋＝ .故选C.
二、填空题
9．
[答案] (e－1)
[解析]
10．如图，阴影部分面积用定积分表示为________．
[答案] (f(x)－g(x))dx
11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
[答案]
[解析] 长方形的面积为S1＝3，S阴＝3x2dx＝x3＝1，则P＝＝.
三、解答题
12．求下列定积分．
(1)dx；(2)x3dx；(3) exdx.
[解析] (1)因为(lnx)′＝，所以dx＝lnx
＝ln2－ln1＝ln2.
(2)∵′＝x3，∴x3dx＝x4＝.
(3)∵(ex)′＝ex，∴exdx＝ex＝e－.
一、选择题
1．(2014·江西理，8)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
[答案] B
[解析] 本题考查定积分的求法．
根据题设条件可得f(x)dx＝－|＝－.
2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
3．设f(x)＝，则f(x)dx等于( )
A. B．
C. D．不存在
[答案] C
[解析] f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx，取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，
则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x，
∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝－0＋2×2－×22－＝.故选C.
4．(2013·江西理，6)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1C．S2[答案] B
[解析] S1＝x2dx＝|＝.
S2＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2.
S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
∵e>2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B.
二、填空题
5. (x2＋sinx)dx＝________.
[答案]
[解析] 本题考查了定积分的知识，由于 (x2＋sinx)dx＝＝－cos1－(－－cos1)＝，定积分在高考题中题目较为简单，要熟练记住一些函数的导数与积分式．
6．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(，5)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．
[答案]
[解析] 本题考查待定系数法与定积分的计算．
设直线为y＝kx＋b，代入点B的坐标，∴y＝10x.
代入B，C两点的坐标，则，
∴k＝－10，b＝10.
∴y＝ ，
∴f(x)＝ .
定积分的几何意义即曲边梯形的面积．
7．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a、b、c大小关系是________．
[答案] c[解析] a＝x2dx＝x3＝；
b＝x3dx＝x4＝4；
c＝sinxdx＝－cosx＝1－cos2＜2.∴c＜a＜b.
三、解答题
8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min内所行驶的路程．
[解析] 由速度—时间曲线易知，
v(t)＝
由变速直线运动的路程表达式可得
取H(t)＝，F(t)＝30t，G(t)＝－t2＋90t，
则H′(t)＝3t，F′(t)＝30，G′(t)＝－1.5t＋90.
从而s＝∫3tdt＋30dt＋(－1.5t＋90)dt
＝H(10)－H(0)＋F(40)－F(10)＋G(60)－G(40)
＝1350(m)．
答：该汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.
9．(1)已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；
(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
[解析] (1)因为′＝2ax2－a2x，
所以(2ax2－a2x)dx＝
＝a－a2.
所以f(a)＝a－a2＝－＋
＝－2＋.
所以当a＝时，f(a)有最大值 .
(2)∵f(－1)＝2，f′(0)＝0，
∴ ①
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则F′(x)＝ax2＋bx＋c.
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2 ②
解①②得a＝6，b＝0，c＝－4.
课件47张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章1.4 定积分与微积分基本定理
第2课时 微积分基本定理第一章火箭要把运载物发送到预定轨道是极其复杂的过程，至少涉及变力做功问题，有诸如“曲边梯形”面积计算、变速直线运动的位移计算等问题，应如何解决？能否将“曲边梯形”面积的计算转化为“直边梯形”面积的计算，能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题呢？学习了本节知识后，就可以轻易解决这些问题.1．知识与技能
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会求简单的定积分．
2．过程与方法
通过实例，体会用微积分基本定理求定积分的方法．
3．情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间相互转化、对立统一的辩证关系，培养辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.本节重点：微积分基本定理．
本节难点：导数与积分的关系；利用微积分基本定理求函数的定积分.F(b)－F(a) －
[说明] 求解f(x)在区间[a，b]上的定积分，要正确利用定积分的性质，把被积函数分解成简单基本初等函数的导函数的形式，再利用微积分基本定理求解．在比较熟练的情况下，也可根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，直接找出原函数．
[说明] 求平面图形的面积的一般步骤：
(1)画图，并将图形分割成若干曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和．[答案] D设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．
[说明] 利用定积分求参数问题，主要是应用求定积分的基本方法，把参数看成常数进行积分化简，从已知条件中，寻求参数满足的关系式，列方程求解．
1．求曲边多边形的面积的步骤
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，定出积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)写出相应的定积分表达式；
(5)用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分，求出结果．
2．定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.
(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．
(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．
(3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分为0.4．几种典型的平面图形面积的计算
(1)求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．曲线y＝x2－2x在点 处的切线的倾斜角为( )
A．－1 B．45°
C．－45° D．135°
[答案] D
[解析] y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.故选D.
2．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx
[答案] B
[解析] ′＝1－，所以A不正确；
(3x)′＝3xln3，所以C不正确；(x2cosx)′＝2xcosx＋x2·(－sinx)，所以D不正确；(log2x)′＝，所以B对．故选B.
3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为( )
[答案] A
[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.
4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
[答案] D
[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因为f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a2－4×3×(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，解得a>6或a<－3.故选D.
5．(2014·山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 如图所示
由解得或
∴第一象限的交点坐标为(2,8)
由定积分的几何意义得S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.
6．(2014·黄山模拟)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e
C. D．ln2
[答案] B
[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
7．(2013·北师大附中高二期中)函数y＝的导数为( )
A．y′＝ B．y′＝
C．y′＝－ D．y′＝
[答案] D
[解析] y′＝＝.
8．函数f(x)＝x3－2x＋3的图象在x＝1处的切线与圆x2＋y2＝8的位置关系是( )
A．相切 B．相交且过圆心
C．相交但不过圆心 D．相离
[答案] C
[解析] 切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.圆心到直线的距离为＝<2，所以直线与圆相交但不过圆心．故选C.
9．f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为增函数．且又由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.
10．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．4e2
C．2e2 D．e2
[答案] D
[解析] ∵y′＝e，
∴在点(4，e2)处的切线方程为y＝e2x－e2，
令x＝0得y＝－e2，令y＝0得x＝2，
∴围成三角形的面积为e2.故选D.
11．(2014·天门市调研)已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A，B；当00，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.
12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是( )
A．f(sinA)>f(cosB)
B．f(sinA)C．f(sinA)>f(sinB)
D．f(cosA)[答案] A
[解析] 由导函数图象可知，x>0时，f ′(x)>0，即f(x)单调递增，又△ABC为锐角三角形，则A＋B>，即>A>－B>0，故sinA>sin(－B)>0，即sinA>cosB>0，故f(sinA)>f(cosB)，选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程为______________．
[答案] x＋y－2＝0
[解析] 设切点为，则＝－，解得x0＝1，所以切点为(1,1)，斜率为－1，直线方程为x＋y－2＝0.
14．若函数f(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案] a≥0
[解析] f′(x)＝′＝a＋，
由题意得，a＋≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
即a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立．∴a≥0.
15．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－，－)
[解析] f ′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x－1)(x＋2)，
由f(x)的图象经过四个象限知，若a>0，则
此时无解；若a<0，则
∴－16．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为________．
[答案] (－3，－2)
[解析] f ′(x)＝3x2－3，设切点为P(x0，y0)，则切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，∵切线经过点A(1，m)，∴m－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，∴m＝－2x＋3x－3，m′＝－6x＋6x0，∴当01时，此函数单调递减，当x0＝0时，m＝－3，当x0＝1时，m＝－2，∴当－3三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上 的最大值为，求a的值．
[解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)，
f ′(x)＝－＋a，
(1)当a＝1时，f ′(x)＝，∴当x∈(0，)时，f ′(x)>0，当x∈(，2)时，f ′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；
(2)当x∈(0,1]时，f ′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；
(3)证明：对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
[解析] (1)∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，
∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．
∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c，
又当x＝1时，f(x)取得极值－2，
∴即解得
∴f(x)＝x3－3x.
(2)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1，
当－1当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．
因此，f(x)在x＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝2.
(3)由(2)知，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，且f(x)在区间[－1,1]上的最大值为M＝f(－1)＝2.最小值为m＝f(1)＝－2.∴对任意x1、x2∈(－1,1)，
|f(x1)－f(x2)|即对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
19．(本题满分12分)求定积分f(x)dx，其中f(x)＝.
[解析] f(x)dx＝ f(x)dx＋f(x)dx
＝ (sinx－1)dx＋x2dx
＝(－cosx－x)|＋x3|
＝cos1－2＋＝cos1－.
20．(本题满分12分)已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
[解析] 依定义f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上有f′(x)≥0.恒成立．
∵f′(x)≥0?t≥3x2－2x，由于g(x)＝3x2－2x的图象是对称轴为x＝，开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立?t≥g(－1)，即t≥5.
而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，
即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是t≥5.
21．(本题满分12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.
(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值；
(2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．
因f(x)在x＝3处取得极值，
所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.
经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点．
(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0得x1＝a，x2＝1.
当a<0时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数．
当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，从而f(x)在(－∞，0)上为增函数．
综上可知，当a≥0时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
22．(本题满分14分)设函数f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
[解析] (1)f ′(x)＝aex－，
当f ′(x)>0，即x>－lna时，f(x)在(－lna，＋∞)上递增；
当f ′(x)<0，即x<－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．
①当00，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－lna)＝2＋b；
②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a＋＋b.
(2)依题意f ′(2)＝ae2－＝，
解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，
即b＝.
故a＝，b＝.
课件67张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 导数及其应用第一章章末归纳总结第一章
一、导数的概念、求法及其应用
1．导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般地方法．如求曲线的切线方程，函数的单调区间，函数的最值以及有关的实际问题．
2．对于求导数，要熟记公式，掌握规则，灵活运用．3．导数的应用主要体现在以下几个方面：
(1)切线斜率：根据导数的几何意义，函数f(x)在点x0处的导数就是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率．因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数．
(2)求函数的单调性、极值、最值．
(3)利用导数研究实际问题的最值关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较．
二、定积分的求法和应用
1．求定积分
求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数，为避免出错在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证．2．利用定积分求平面图形的面积
将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须确定的是被积函数，积分变量，积分上限、下限．一般步骤为：
(1)画图；
(2)确定要素(找到所属基本型，确定被积函数和积分上、下限)；
(3)转化求值．
要注意当所围成的图形在x轴下方时面积为负，因此，需对其定积分取绝对值．
[说明] 应用指数、对数函数的求导公式，结合导数的四则运算法则及复合函数的求导法则进行解题．求导过程中，可先适当进行化简变形，将对数的真数位置转化为有理函数形式后再求导．当然化简变形时要注意等价性．(2)设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．
[解析] (1)依题意f′(x)＝g′(x)＋2x，又y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，
∴g′(1)＝2，
∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4，
因此，y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，故选A.
[答案] (1)A (2)－1
[说明] 对导数的定义及导数的几何意义，在高考中常以选择题、填空题的形式出现，主要以求切线的斜率、切点坐标为主，应加强理解，灵活解答．[答案] (1)A (2)ln2－1已知函数f(x)＝3x4－4(a＋1)x3＋6ax2－12(a>0)，求函数f(x)的单调递增区间．[解析] f′(x)＝12x3－12(a＋1)x2＋12ax＝12x(x－a)(x－1)．
(1)当00，得01，
所以f(x)在(0，a)和(1，＋∞)上为增函数．
(2)当a＝1时，由f′(x)>0，得x>0，且x≠1，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)当a>1时，由f′(x)>0，得x>a或0f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，
故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，
故f(x)在(－2,2)上为减函数．
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝c－16＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
[说明] 在实际问题中，题目中常出现如“时间最短、利润最大、费用最省、角度最恰当”等问题，求此类问题，可以从给定的数量关系中选取一个适当的变量，建立函数模型，根据目标函数的结构特征，运用导数最值理论或不等式性质去解决，简捷有效．定积分的应用[解析] 先画出草图，如图所示：
[说明] 本题是定积分在物理问题中的应用，分清运动过程中的变化情况，感受定积分的内函数是解题的关键．变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置．[答案] A[答案] D4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
[答案] C
[解析] 本题考查导数的应用，函数的图象．由f(x)在x＝－2处取极小值知f′(－2)＝0且在2的左侧f′(x)<0，而2的右侧f′(x)>0，所以C项适合．函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求．6．设P为曲线c?y＝x2－x＋1上一点，曲线c在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是____________．课件4张PPT。路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 ? 选修2-2 成才之路 · 数学导数及其应用第一章公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物线弓形面积、球的表面积及某些几何体的体积的问题中，就隐含着近代微积分的思想．在我国古代，魏晋时期的杰出数学家刘徽的割圆术和其后的祖冲之关于圆周率的计算中也都体现了微积分中的极限思想.17世纪下半叶，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立创立了微积分，这个伟大的发现具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点．