辽源市田家炳高中友好学校2022-2023学年高二下学期期末联考
数学
说明:本试卷共22题,满分150分,其4页.考试时间为120分钟
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码粘贴到条形码区域内
2.选择题必须用2B铅笔填涂:非选择题必须用0.5m黑色中性笔书写,字体工整,笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)
1.已知,且,则等于( )
A.30 B.16 C.36 D.10
2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,如,在不超过20的素数中,随机选取2个不同的数,则这2个数的和是奇数的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知的展开式中的系数为10,则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.若点P为曲线上的动点,点Q为直线上的动点,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
5.已知函数的图象在点处的切线方程为.则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.现要从A,B,C,D,E这5人中选出4人,安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上,如果A不能安排在甲岗位上,则安排的方法有( )
A.56种 B.64种 C.72种 D.96种
7.已知函数,是的导函数,则函数的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游),春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满50元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有3名顾客都领取一件礼品,则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9.下列说法正确的是( )
A.若样本数据的方差为4,则数据的方差为9
B.若随机变量,则
C.若线性相关系数越接近1,则两个变量的线性相关性越弱
D.若事件A,B满足,则有
10.某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试,规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是( )
A.答对0题和答对3题的概率相同,都为 B.答对1题的概率为
C.答对2题的概率为 D.合格的概率为
11.在的展开式中,下列说法正确的是( )
A.不存在常数项 B.二项式系数和为1
C.第4项和第5项二项式系数最大 D.所有项的系数和为128
12.对于函数,下列说法正确的有( )
A.在处取得极大值 B.在处取得最大值
C.有两个不同零点 D.
三、填空题.(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.设随机变量X服从正态分布,若,则________.
14.五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”,中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、微、羽,把这五个音阶排成一列,形成一个的音序,若微、羽两音阶相邻且在宫音阶之后,则可排成不同的音序的种数为___________,(用数字作答).
15.已知在处取得极值,则的最小值为________.
16.设函数(m为实数),若在上单调递减,则实数m的取值范围_________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程求演算步骤.
17.(10分)按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法
(1)甲、乙、丙三人必须当选;
(2)甲必须当选,乙、丙不能当选;
(3)甲、乙、丙三人至多2人当选.
18.(12分)某市春节期间7家超市的广告费用支出(万元)和销售额(万元)数据如下表:
超市 A B C D E F G
广告费支出 1 2 4 6 11 13 19
销售额 19 32 40 44 52 53 54
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)用二次函数回归模型拟合y与x的关系,可得回归方程,经过计算二次函数回归模型和线性回归模型的相关指数分别约为0.92和0.75,请用说明.
选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测A超市广告费用支出3万元时的销售额.
参考数据及公式:
,,,,,
19.(12分)已知函数.
(1)求在点处的切线方程;
(2)求在上的最值.
20.(12分)某调研机构为研究某产品是否受到人们的欢迎,在社会上进行了大量的问卷调查,从中抽取了50份试卷,得到如下结果:
性别 是否喜欢 男 女
是 15 8
否 10 17
(1)估算一下,1000人当中有多少人喜欢该产品
(2)能否有95%的把握认为是否喜欢该产品与性别有关
(3)从表格中男生中利用分层抽样方法抽取5人,进行面对面交谈,从中选出两位参与者进行彩产品的试用,求所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率.
参考公式与数据:
0.10 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
21.(12分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)求甲正确完成两个面试题的概率;
(2)求乙正确完成面试题数的分布列.
22.(12分)已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)函数若方程在上有解,求实数a的取值范围.
辽源市田家炳高中友好学校2022-2023学年高二下学期期末联考
数学考试卷参考答案:
1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.A 9.BD 10.CD 11.AC 12.ABD
13. 14.24 15.8 16.
17.(1)36;(2)126;(3)756﹒
(1)
甲、乙、丙都入选,余下9人中选2人,有种选法;
(2)
甲入选,乙、丙不能当选,则要在余下的9人中选4人,有种选法;
(3)
所有的选法种数为,甲、乙、丙都入选有种选法,故有种选法.
18.
【详解】(1)由参考数据知,,,,
则,
所以,
所以y关于x的线性回归方程是;
(2)因为二次函数回归模型和线性回归模型的相关指数分别约为0.92和0.75,且,
所以二次函数回归模型更合适,
用此模型,当时,,
由此预测A超市广告费支出为3万元时的销售额为33.47万元.
19.(1)
(2),
【分析】(1)求导,得出切线的斜率,确定切点的纵坐标,写出切线方程;
(2)研究函数在区间上单调性,计算在上的极值及和,然后比较可得最值.
【详解】(1),.
,所以切线方程为,即.
(2)
在单调递增;
在单调递减,
时,取极大值也是最大值,
,
.
20.(1)460人
(2)有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关
(3).
【详解】(1)通过表格可得到喜欢该产品的概率为,
故1000人中喜欢该产品的人大概有
(2)由表格可得,
故有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关;
(3)由于,故抽取的5人中有3个人喜欢该产品,有2个人不喜欢该产品.
从中选2人,则所有选择方法为:,共10种不同情形,
其中至少有一个人不喜欢的可能情形为:,共7种,
故所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率.
21.(1);
(2)答案见解析.
【分析】设考生甲正确完成题数为,则取值分别为,,,;乙正确完成题数,取值分别为,,,求出取每个值时的概率,即得分布列.
【详解】(1)设甲正确完成面试的题数为,则的取值范围是.
.
(2)设乙正确完成面试的题数为,则取值范围是.
,,,.
应聘者乙正确完成题数的分布列为
22.(1)增区间为,减区间为;(2).
【解析】(1)求得函数的导数,得到的根,结合导数的符号,即可求得函数的单调区间;
(2)根据题设条件,得到,求得,结合由(1)求得函数的单调性与极值,列出相应的不等式,即可求解.
【详解】(1)由题意,函数的定义域为,且,
令,即,解得,
当时,,此时函数单调递减;
当时,,此时函数单调递增,
所以函数的增区间为,减区间为.
(2),则,
由(1)知,在为增函数,所以,
所以函数在为增函数,,即,
又由方程在有解,只需满足,即,
所以实数a的取值范围为.