安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.1.1 集合的含义与表示（第1课时）教案 新人教版必修1
1．教学任务分析
（1）了解集合的含义
①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
②知道常用数集及其专用记号；
③了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；
④会用集合语言表示有关数学对象。
（2）会用适当的方法表示集合
能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用。因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象、进行自然语言与集合语言间的转换练习。
（3）培养学生抽象概括的能力
通过实例抽象概括集合的共同特征，从而引出集合的概念是本节课的重要任务之一。因此教学时，不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象归纳能力的培养。
2．教学重点、难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择。
3．教学基本流程
4．教学情境设计
问 题 问题设计意图 师生活动
（1）你能举出一些集合的例子吗？ 结合学生已有知识经验，启发学生思考，激发学生学习兴趣. 师：引导学生回忆、举例，对学生活动进行评价.生：回忆，举例，交流．
（2）从教科书中的8个例子，你能概括出它们具有的共同特征吗？ 为了解集合的含义做铺垫，培养概括能力． 师：引导学生阅读教科书上的8个例子并进行思考、概括；生：阅读教科书上的8个例子，尝试概括8个例子的共同特征，并发表自己的意见；师生共同概括8个例子的特征，得出结论.
（3）给出集合的含义．
（4）你能说说集合中元素的特点吗？ 引导学生明确集合元素的确定性、互异性，培养归纳概括能力. 师：引导学生阅读教科书中的相关内容，注 ( http: / / www.21cnjy.com )意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己概括集合中元素的特点；让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并要求说明理由．生：阅读教科书，思考教师提出的问题，发表自己的看法．
（5）元素与集合的关系应当如何描述？ 明确元素与集合的关系. 师：引导学生阅读教科书中的相关内容；可提出类似于“高一（1）班里所有学生组成集合A，a是班里的成员，b是高一（2）班的同学，a、b与A分别有什么关系？”引导学生思考．生：阅读教科书，思考问题，发表自己的看法．
（6）你知道常用数集的记号吗？ 使学生回忆数集的扩充过程，认识常用数集的记号. 师：引导学生回忆数集扩充过程，阅读教科书第3页表格中的内容．生：回忆数集扩充过程，阅读教科书，认识常用数集记号，完成教科书第6页练习第1题，习题1.1A组第1题.
（7）你能用列举法表示例1中的集合吗？ 使学生学习用列举法表示集合，并发现集合元素的“无序性”. 师：先让学生自己尝试用列举法表示集合，再引导学生归纳列举法的特点．生：阅读教科书，尝试用列举法表示例1中的集合，并思考列举法的特点．完成习题1.1A组第3题．
（8）你从教科书第4页的“思考”中想到了什么？ 使学生体会用描述法表示集合的必要性，会用描述法表示集合. 师：提出教科书中的思考题，引导学生思考、 ( http: / / www.21cnjy.com )讨论用列举法表示相应集合的困难，激发学生学习描述法的积极性；引导学生阅读教科书中描述法的相关内容，归纳描述法的特点．生：思考不能用列举法表示有关集合的理由，与同 ( http: / / www.21cnjy.com )学讨论交流；阅读教科书，思考描述法的特点，与同学交流阅读教科书的体会，说出自己对描述法特点的认识．完成例2，交流应当如何根据问题选择适当的集合表示法．讨论两种表示法各自的特点、适用对象等．
（9）通过学习，你现在能解决教科书第6页练习与习题1.1中的哪些问题？ 反馈学生掌握集合概念的情况，巩固所学知识. 第6页练习第2题，习题1.1A组第2题.生：独立思考，解决问题．师：让学生先讲述解答情况，再作出评价学生，给出正确解答.
（10）小结：为什么要学习集合？选择集合的表示法时应注意些什么？ 归纳整理本节课所学知识. 师：引导学生思考、概括．生：思考、整理、表述概括的结果．教师应当关注学生是否认识到用集合语言表示有关数学对象的必要性，有关知识是否落实，是否认识了两种表示法的特点．
（11）课后作业解决下列问题：习题1.1A组第4题； 结合本节课所学内容，举几个集合实例，比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点、适用的对象.
5．几点说明
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3安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案 新人教版必修1
【教学目标】
1.了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；
2. 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；
3. 掌握常用数集及其记法；
4.了解集合的表示方法；
5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
【导入新课】
一、实例引入：
军训前学校通知：8月20日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感 ( http: / / www.21cnjy.com )兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.
二、问题情境引入：我们高一（一）班一共52人，其中班长张三，现有以下问题：
⑴ 52人组成的班集体能否组成一个整体？
⑵ 张三和52人所组成的班集体是什么关系
⑶ 假设李四是相邻班的学生，问他与高一·一班是什么关系？
新授课阶段
（一）集合的有关概念
集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们
能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集.[
思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
大于3小于11的偶数；
我国的小河流；
非负奇数；
方程的解；
某校2012级新生；
血压很高的人；
著名的数学家；
平面直角坐标系内所有第三象限的点；
全班成绩好的学生.
对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题.
( http: / / www.21cnjy.com ) (二) 元素与集合的关系
1. （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A；
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：aA，
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，， 4A，等等.
2．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
3．常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R.
例1 若集合A为所以大于1 二小于3的实数组成的集合，则下面说法正确的为（ ）
A． Ｂ. C. D.
解析：根据元素与集合的关系可得，答案C.
答案： C
例2用“∈”或“”符号填空：
（1）8 N； （2）0 N；
（3）-3 Z； （4） Q；
（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A.
答案：
例3 判断下列各句的说法是否正确：
(1) 所有在N中的元素都在N*中 ( )
(2) 所有在N中的元素都在Z中 ( )
(3) 所有不在N*中的数都不在Z中 ( )
(4) 所有不在Q中的实数都在R中 ( )
(5) 由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0 ( )
(6) 不在N中的数不能使方程4x＝8成立 ( )
答案： ×，√，×，√，×，√
例 4 已知集合P的元素为, 若且-1P，求实数m的值
解：根据，得若 此时不满足题意；若解得
此时或（舍），综上 符合条件的 .
点评：本题综合运用集合的定义和元素与集合的关系解题，注意集合的性质的运用.
（三）集合的表示方法
我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法.
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…
说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.
2．各个元素之间要用逗号隔开；
3．元素不能重复；
4．集合中的元素可以数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为.
例5 用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合. (2){y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集. (4){20以内的质数}.
(5){（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}. (6){大于0小于3的整数}
(7){x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
(8){（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2－4＝（x－2）（x＋2），故符合题意的集合为{x－2，x＋2}.
(2)y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4.
故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}.
(3)由x2＋6x＋9＝0得 x1＝x2＝－3，∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.
(4){20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
(5)因x∈Z , y∈Z ，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1.
那么{(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z ,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.
(6){大于0小于3的整数}＝{1，2}.
(7)因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}.
(8)当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6.
那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内.
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
一般格式：
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；
说明：
1．课本P5最后一段话；
2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如 ( http: / / www.21cnjy.com ){(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z.
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.
例6 用描述法表示下列集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集. (2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解. (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
(6)方程组的解的集合. (7){1，3，5，7，…}.
(8)x轴上所有点的集合. (9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.
解：(1){（x，y）｜2x＋y＝5}.
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10，x∈Z}.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x，y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x，y）｜xy＜0}.
(6)方程组的解的集合用描述法表示为{（x，y）｜}.
(7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}.
(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为{（x，y）｜x∈R，y＝0}.
(9)非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k，k∈N}.
(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k，k∈Z}.
（3）文恩图法：集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：
画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：
表示任意一个集合A
EMBED MSPhotoEd.3
EMBED MSPhotoEd.3
边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
例7设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B ( http: / / www.21cnjy.com )＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.
解：因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成.
即a是偶数，b是奇数 设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z ,n∈Z）
则a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋bA，a＋b∈B.
又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1.
故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋bC
综上a＋bA，a＋b∈B，a＋bC.
课堂小结
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.
3. 集合的常用表示方法，包括列举法、描述法.
作业
1．习题1.1，第1- 2题；
2．预习集合的表示方法.
拓展提升
1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A； (2)所有绝对值小于8的整数的集合B.
2.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝图象上所有的点
3.下列条件能形成集合的是（ ）
A.充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程
4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
5.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件
6.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
7.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，.
参考答案
1. 分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.
解：(1)A＝{绝对值等于8的数} 其元素为：－8，8
(2)B＝{绝对值小于8的整数}
其元素为：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7.
2. 解：综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.
3 解：综观该题的四个选择支，A、B、C的对象不确定，惟有D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.
4. 解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设[
若k≠0，则方程为一元二次方程.
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞时,kx2－3x＋2＝0无解.
此时A中无任何元素，即A＝也符合条件
综上所述 k＝0或k≥
评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二 ( http: / / www.21cnjy.com )次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.
5. 解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足关系式
即 也就是
即x≠－1，0，3满足条件.
6. 解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，那么、是方程两根
即有 eq \b\lc\{(\a\al(＋＝－,·＝)) 得 那么 a＝－6，c＝－1
7.解：因x＝a＋b，a∈Z ,b∈Z
则当a＝b＝0时，x＝0
又＝＋1＝1＋
当a＝b＝1时，x＝1＋
又＝＋
当a＝，b＝1时，a＋b＝＋
而此时Z，故有：A，
故0∈A，∈A，A.
8.解：若x是整数，则有x＋x＝15，x＝与x是整数相矛盾，若x不是整数，则x必在两个连续整数之间
设n＜x＜n＋1
则有n＋（n＋1）＝15，2n＝14，n＝7 即7＜x＜8 ∴x∈（7，8）
表示{3，9，27}
表示{4，6，10}
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8安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.1.1 集合的含义与表示（第2课时）教案 新人教版必修1
学习目标：（1）掌握集合的表示方法.
（2）能选择自然语言、集合语言描述不同的问题.
学习重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合.
学习方法：采用实例归纳、自主探究、合作交流等方法.学习中通过列举例子，让学生自主探索一些常见集合的特征性质.
教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 1．回忆集合的概念2．集合中元素有那些性质？ 教师提问，学生回答 通过复习回顾，为引入集合表示方法作铺垫.
新课学习概念形成及深化 集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又 ( http: / / www.21cnjy.com )呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…}（3）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.2、特征性质描述法：在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以表示如下：{x∈I| p(x) } 例如，不等式的解集可以表示为：或，所有直角三角形的集合可以表示为：注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）注意区别：实数集，{实数集}. 教师给出概念，学生讨论. 加深学生对列举法、特征性质描述法的理解
应用举例 例1 用列举法表示下列集合：小于5的正奇数组成的集合；能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合； ( http: / / www.21cnjy.com )例2 用描述法表示下列集合：由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;到定点距离等于定长的点的集合;抛物线y=x2上的点;(4)抛物线y=x2上点的横坐标; (5)抛物线y=x2上点的纵坐标; 学生独立思考、讨论、交流后，展示结论，教师给予积极评价. 巩固所学知识，家生学生对列举法及特征性质描述法的理解和掌握.
当堂[检测 1. {(x,y) ∣x+y=6，x、y∈N}用列举法表示为 .2.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集 (1){x∣x为不大于20的质数}; (2){100以下的,9与12的公倍数}; (3){(x,y) ∣x+y=5,xy=6};3.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集 (1){3,5,7,9}; (2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),…4．教材第7页练习A、B5．习题1-1A：1， 学生独立完成. 进一步巩固所学知识.
归纳总结 1、本节课学习了集合的表示方法（列举法、描述法）2、通过回顾本届的学习过程，请同学体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的. 师生共同完成小结. 梳理知识体系，培养学生的概括归纳能力.
布置作业 课后练习题的第1,2题
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