安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案 新人教版必修1
文档属性
| 名称 | 安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案 新人教版必修1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 119.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-02 08:07:49 | ||
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文档简介
安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案 新人教版必修1
【考点透视】
1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2．了解空集和全集的意义.
3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关 ( http: / / www.21cnjy.com )概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1． 正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．
点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组
从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P B．Q C． D．不知道
思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．
解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．
例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q
( http: / / www.21cnjy.com )例4若，则= （ ）
A．{3} B．{1} C． D．{－1}
思路启迪：
解：应选D．
点评：解此类题应先确定已知集合．
题型2．集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例5. 若A={2，4, 3－22－＋7},B={1, ＋1, 2－2＋2,－ (2－3－8), 3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________．
解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．
当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．
当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故=2为所求．
例6. 已知集合A={,＋b, ＋2b}，B={,c, c2}．若A=B，则c的值是______．
思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，
=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，
∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．
例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值为______．
思路启迪：由A∪B=A而推出B有四种可能，进而求出的值．
解： ∵ A∪B=A，
∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=，则令△<0得∈；
若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；
若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
综上的值为2或3．
点评：本题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．
题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问 ( http: / / www.21cnjy.com )题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
例8.设集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．
解：任设∈A，则=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，
∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ ∈B,故． ①
又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故 ②
由①、②知A=B．
点评：这里说明∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．
例9若A、B、C为三个集合，，则一定有（ ）
A . B . C . D .
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
解：由知，，故选A.
例10．设集合,则满足的集合B的个数是（ ）
A . 1 B .3 C .4 D . 8
[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.
解：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.
例11． 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（错误！未找到引用源。）若，求；
（错误！未找到引用源。）若，求正数的取值范围．
思路启迪：先解不等式求得集合和．
解：（错误！未找到引用源。）由，得．
（错误！未找到引用源。）．
由，得，又，所以，
即的取值范围是．
题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
例12. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x－2=0}且A∪B=A，则实数组成的集合C是________．
解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，=2，当x=2时，=1．
这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
例13．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
思路启迪：先确定已知集合A和B．
解：
故实数的取值范围是．
例14. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．
思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
解：由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，
或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4．
点评：此题容易发生的错误是由A∩=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．
例15.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．
解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3．
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．
应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2．
由①、②得：p≤3．
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
题型5．要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象，解题 ( http: / / www.21cnjy.com )时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例16.设全集U={x|0思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．
解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．
例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．
解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，
B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示，
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．
A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．
例18.设A={x|－21}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．
解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，
显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1－2}，且A∩B={x|1根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋x＋b=0的两根，
∴ =－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．
点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．
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【考点透视】
1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2．了解空集和全集的意义.
3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关 ( http: / / www.21cnjy.com )概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1． 正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．
点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组
从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P B．Q C． D．不知道
思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．
解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．
例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q
( http: / / www.21cnjy.com )例4若，则= （ ）
A．{3} B．{1} C． D．{－1}
思路启迪：
解：应选D．
点评：解此类题应先确定已知集合．
题型2．集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例5. 若A={2，4, 3－22－＋7},B={1, ＋1, 2－2＋2,－ (2－3－8), 3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________．
解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．
当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．
当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故=2为所求．
例6. 已知集合A={,＋b, ＋2b}，B={,c, c2}．若A=B，则c的值是______．
思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，
=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，
∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．
例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值为______．
思路启迪：由A∪B=A而推出B有四种可能，进而求出的值．
解： ∵ A∪B=A，
∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=，则令△<0得∈；
若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；
若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
综上的值为2或3．
点评：本题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．
题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问 ( http: / / www.21cnjy.com )题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
例8.设集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．
解：任设∈A，则=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，
∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ ∈B,故． ①
又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故 ②
由①、②知A=B．
点评：这里说明∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．
例9若A、B、C为三个集合，，则一定有（ ）
A . B . C . D .
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
解：由知，，故选A.
例10．设集合,则满足的集合B的个数是（ ）
A . 1 B .3 C .4 D . 8
[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.
解：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.
例11． 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（错误！未找到引用源。）若，求；
（错误！未找到引用源。）若，求正数的取值范围．
思路启迪：先解不等式求得集合和．
解：（错误！未找到引用源。）由，得．
（错误！未找到引用源。）．
由，得，又，所以，
即的取值范围是．
题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
例12. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x－2=0}且A∪B=A，则实数组成的集合C是________．
解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，=2，当x=2时，=1．
这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
例13．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
思路启迪：先确定已知集合A和B．
解：
故实数的取值范围是．
例14. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．
思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
解：由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，
或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4
点评：此题容易发生的错误是由A∩=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．
例15.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．
解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3．
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．
应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2．
由①、②得：p≤3．
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
题型5．要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象，解题 ( http: / / www.21cnjy.com )时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例16.设全集U={x|0
解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．
例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．
解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，
B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示，
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．
A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0
例18.设A={x|－2
解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，
显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1
∴ =－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．
点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．
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