长春市多校2022-2023学年高二下学期期末考试
（数学）试卷
注意事项：
1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分120分，考试用时120分钟。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知某质点运动的位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为
A. B. C. 2 D.4
2.某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：
该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值y随年份x的变化情况，
模型一：；模型二：，下列说法正确的是
A.变量y与x负相关
B.根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况
C.若选择模型二，的图象一定经过点
D.当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP的值为71，则残差为1
3.函数的减区间为
A. B. C. D.
4.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
设，则等于
A. B. C. D.
5.某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师；则不同的安排情况有
A.300种 B.210种 C.180种 D.150种
6.已知数列，，其中，且，是方程的两个实数根，则等于
A.24 B.32 C.48 D.64
7.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
8.设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.事件A与事件B相互独立
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则
A.常数项为160 B.含项的系数为60
C.第4项的二项式系数为15 D.各项系数的绝对值的和为36
10.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行调查，得到以下数据，则
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂
男生 80 20
女生 70 30
参考公式及数据：①，；
②当时，.
A.从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
B.用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
C.根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85
11.已知数列的首项为4，且满足，则
A. 为等差数列 B. 为递增数列
C. 的前n项和 D. 的前n项和
12.定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有
A函数在上满足阶李普希兹条件
B.若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为e
C.若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解
D.若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.曲线在（1，0）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .
14.某市一次高三模拟考试一共有3.2万名考生参加，他们的总分服从正态分布，若，则总分高于530分的考生人数约为 人.
15.已知数列满足，且，则 .
16.中国象棋是中国棋文化、也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，使用方格状棋盘，每个棋子摆放和活动在交叉点上.其中象位于A处，其移动规则为循着田字的对角线走两格，即下一步可到达的地方为B或D；同理，若象位于D处，下一次可到达的地方为A，C，E或G.已知象从某位置到达下一个位置是随机的，假设象的初始位置是在A处，则走4步后恰好回到A处的概率为 .
四、解答题：本大题共6小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分8分）
已知正项数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：.
18.（本小题满分8分）
甲、乙两支排球队进行排球比赛（不考虑平局），比赛采用“五局三胜”制，先赢得三局的球队获胜，比赛结束.假设每局比赛甲队获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲队以3：1获胜的概率；
（2）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列和数学期望.
19.（本小题满分10分）
如图，在中，，，E是的中点，D在上，，以为折痕把折起，使点A到达点A1的位置，且二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分10分）
为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效应的“倍增式”发展.该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力现得到一组该技术研发投入x（单位：亿元）与收益（单位：亿元）的数据如下表所示：
研发投入x 3 6 8 10 14 17 22 32
受益y 43 52 60 71 74 81 89 98
（1）已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程；
（2）该企业主要生产I、II两类产品，现随机抽取I类产品2件、II类产品1件进行质量检验，已知I类、II类产品独立检验为合格品的概率分别为，，，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率，
（附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计公式分别为，，，，结果保留两位小数.）
21.（本小题满分10分）
已知椭圆的离心率为，是C上一点.
（l）求C的方程.
（2）设A、B分别为椭圆C的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线l，l与C交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.
证明①为定值；②点M在定直线上.
22.（本小题满分10分）
已知有两个极值点，，且.
（1）求a的范围；
（2）当时，证明：.{#{QQABaIQQKIEoggAgogAAIAARhBCEUQwGWQyCEAGOQkhACACIKggOOxBgBAAUAIEoAAIAySRQFAFABBCAA==}#}}#}
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