8．3再探实际问题与二元一次方程组（二）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型
重点：
引导学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题
难点：
寻找等量关系
教学过程：
一．导读例题
1．看一看：课本114页探究2
2．问题：①“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：1.5”是什么意思？
②“甲、乙两种作物的总产量比为3：4”是什么意思？
③本题中有哪些等量关系？
3．提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？
若甲种作物单位产量是a，则乙种作物单位产量是1.5a。
解这个方程组得
答：这两个长方形，是过长方形ABCD土地的长边上离A约106米处把这块地分为两个长方形，较大一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物。
思考：这块地还可以怎样分？
二．练习
1．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入奖金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
问题：
① 题中有几个已知量？
② 题中求什么？
③分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、则(51-x-y)种公顷蔬菜
根据题意列方程得：
解这个方程得：
那么种蔬菜的面积为51-15-20=16
答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16种公顷蔬菜
2．木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？
3． 一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
三．作业
课本P．116．48.2消元(十实际问题与二元一次方程组)
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
学会分析实际问题，会利用二元一次方程组解决实际问题。
重点：
分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题。
难点：
分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组。
教学过程：
一．提出问题,引发讨论
七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表).
进球数n 0 1 2 3 4 5
投进球的人数 1 2 7 ● ● 2
同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗
二．师生互动,共同探究
你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢
引导学生思考、讨论、交流、列出二元一次方程组：
设投进3个球的是个人，投进4个球的是个人
根据题意得
解之得
三．导读例题,解释疑难
1.例题讲解(见课本P109)
分析:如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦_______公顷.
解:设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种工作方式中的相等关系,得方程组
去括号,得
②-①,得11x=4.4
解这个方程,得x=0.4
把x=0.4代入①,得y=0.2
这个方程组的解是
答:1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.
2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
3.做一做
为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克
分析:如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4克1号电池和5节5号电池总重量为4x+5y克,2节1号电池和3节5号电池总重量为2x+3y克.
解:设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得
②×2-①,得y=20
把y=20代入②,得2x+3×20=240,x=90
所以这个方程组的解为
答:1号电池每节重90克,5号电池每节重20克.
4.练一练:P111练习第2、３题.
(三)归纳总结,知识回顾
这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
作业：
1.王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了
44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元
2.一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走4千米,爬山时每小时走3千米,下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路
参考答案
1.设王大析种了x亩茄子,y亩西红柿,根据题意得
解得
所以获纯利为10×2400+15×2600=63000元
2.旅游者一共走了20千米路.设平路长x千米,坡路长y千米,
依时间关系有=5 ,即(x+y)=5,2(x+y)=20.
①②
①②8.2消元（三用整体代入法解二元一次方程组）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
会用整体代入法解二元一次方程组
重点：
整体代入思想，整体代入的方法
难点：
将已知方程组适当变形的整体代入的方法
教学过程：
1． 复习
用代入法解二元一次方程组
2． 讲授
用整体代入法解二元一次方程组
分析：观察方程组，可以发现方程①②中的系数成整倍数关系，所以本题可以用整体代入法解。
解：由②得 ③
把③代入①得
2（）
∴
把代入①得
∴
∴ 原方程组的解是
小结：观察方程组发现有未知数的系数相同或成整数倍数关系时，用整体代入法较方便。
思考：观察方程组，这个方程组能用整体代入法解吗？怎样进行？
提示：可以由方程②先添项得或拆项得，再整理后将整体用48代入，即可解得
整体代入法在实际应用问题中的应用举例
课本P.117 根据一家商店的帐目记录，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元。这个记录是否有误？如果有误，请说明你认为它有误的理由。
提示：有误。∵若设这种牙刷的单价为元；牙膏的单价为元。则根据题意有，整理得，即
又 ≠518
∴这个记录有误。这个例子就是整体代入法在实际应用问题中的应用。
三．练习
用整体代入法解下列二元一次方程组
4． 作业
5． 后记
此教案于07年3月6日实施。整体代入思想的应用有助于培养学生的观察能力，解方程组的技巧。教者应注意引导学生运用。九华初中初一数学
再探实际问题与二元一次方程组应用题练习 070326
姓名_____学号_____得分______
一．填空题
1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少5人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为
2、甲乙两数的和为10，其差为2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为
3、已知方程y=kx+b的两组解是则k= b=
4某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x,y所满足的方程为
5、学校购买35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，则列方程组 ，方程组的解是
6、一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y，那么列的二元一次方程组为
7、一个矩形周长为20cm，且长比宽大2cm， 则矩形的长为 cm，宽为 cm
二．解答题
8学校的篮球比足球数的2倍少3个，篮球数与足球数的比为3：2，求这两种球队各是多少个？
9运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？
10、五．一期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付368元，这两面种商品原价之和为500元，问两种商品原价各是多少元？
附：再探实际问题与二元一次方程组应用题练习参考答案
1． 填空题
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 6㎝ ，4㎝
2． 解答题
8．解：设学校有篮球个，足球个。
根据题意，得
解之得
答：学校有篮球9个，足球6个。
9．解：每节火车车厢平均装吨，每节汽车车厢平均装吨。
根据题意，得
解之得
答：每节火车车厢平均装50吨，每节汽车车厢平均装4吨。
10．解：设甲种商品的原价是元，乙种商品的原价是元。
根据题意，得
解之得
答：甲种商品的原价是410元，乙种商品的原价是90元。
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38.2消元（五用适当的方法解二元一次方程组）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
会根据方程组的特点选用适当的方法解二元一次方程组
重点：
根据方程组的特点选用适当的方法解二元一次方程组
难点：
正确地将方程组变形，根据方程组的特点选用适当的方法解二元一次方程组
教学过程：
1． 复习
概述二元一次方程组的解法
2． 讲授
正确地将方程组变形后，根据方程组的特点选用适当的方法解二元一次方程组
例1．
分析：这个方程组中的两个方程中较复杂，都需要整理。怎样整理呢？
方程①需要去刮号；方程②需要去分母，整理得
经过整理后的方程，用什么方法解比较方便？代入法，加减法均可。
例2．
这个方程组怎么解？去刮号，整理得
指名学生板演。
小结：当给出的方程组较复杂时，可将方程组适当变形后，根据方程组的特点，选用简便的消元方法消元后，求出方程组的解。
3． 练习
用适当的方法解下列二元一次方程组
4． 后记
此教案于07年3月8日实施。学生解方程组时，遇到稍复杂一点，往往不知从何处着手，更不会根据方程组的特点，选用简便的方法解。8．3再探实际问题与二元一次方程组（四）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
通过引导学生积极思考，互相讨论，仔细分析实际问题中的数量关系，形成方程模型，正确解决实际问题。
重点：
分析实际问题中的数量关系，形成方程模型
难点：
疏通文字，正确理解题意
教学过程：
一．导读例题
1.出示例题
要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个，如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法。如果不允许剪开白卡纸，能不能找到符合题意的分法？如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意，又能最充分利用白卡纸？
2.分析
提示：此题第一问与课本116页第4题有些类似。你能列出方程组吗 ？
3．解答
解：设用张白卡纸做盒身，张白卡纸做盒底盖，正好配套。
根据题意，得
解之得
答：①取张白卡纸做盒身，张白卡纸做盒底盖正好配套。
②如果不允许剪开白卡纸，不能找到符合题意的分法。
③如果允许剪开一张白卡纸，则先取8张白卡纸做盒身，11张白卡纸做盒底盖，再把剩下的1张白卡纸分成7份，取其中的4份做盒身，3份做底盖正好符合题意，又能最充分利用白卡纸。
4．变题
如果将上题变换为“某厂的纸盒车间要加工一批包装盒，领料员领来20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个。如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装盒，每张白卡纸只能做盒身或做盒底盖。领料员计算一下，发现这样做的盒身与盒底盖不配套，问至少再领几张白卡纸才能配套呢？按一共领取的白卡纸计算，共做多少个纸盒？”如何解答呢？
分析：“每张白卡纸只能做盒身或做盒底盖”即不允许剪开白卡纸。要求做的盒身与盒底盖配套，就必须再领几张白卡纸。领多少呢？题中“问至少再领几张白卡纸”
即要求最少。如何解答呢？
解：设现有的20张白卡纸中用张白卡纸做盒身，张白卡纸做盒底盖，至少还需再领张白卡纸才能正好配套。
根据题意，得
解之得
∵必须是整数
∴（）必须能被7整除。
∴必须取1、8……
∵必须是整数
∴（）必须能被7整除。
∴必须取1、8……
综上分析必须取1。一共需领取21张白卡纸，共做18个纸盒。
二．练习
教辅书103页第4题；104页第3、5题；8.2消元（七二元一次方程组的定义的应用）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
进一步理解二元一次方程（组）的定义，会用二元一次方程（组）的定义解相关问题。
重点：
用二元一次方程（组）的定义解相关问题，进一步掌握二元一次方程组的解法技巧。
难点：
根据二元一次方程组的定义，列出相应的二元一次方程组，求出相关的待定系数。
教学过程：
1． 复习
二元一次方程（组）的定义
2． 讲授
例1． 已知方程是关于、的二元一次方程，求、的值。
解：∵ 方程是关于、的二元一次方程
∴
解这个方程组得
答： 、
例2． 若与是同类项，求、的值。
解：∵ 与是同类项
∴
解这个方程组，得
答：、。
3． 作业
已知方程是关于、的二元一次方程，求的值。
＝4
四．后记
此教案于07年3月11日实施。8.3 再探实际问题与二元一次议程组（一）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
1．引导学生借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2．通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性
3．体会列方程组比列一元一次方程容易
4．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力
重点：
能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系。
难点：
正确地找出问题中的两个等量关系
教学过程：
一．复习
列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
二．新课：
看一看
课本P.113页探究1
问题：
1． 题中有哪些已知量？哪些未知量？
2． 题中等量关系有哪些？
3． 如何解这个应用题？
本题的等量关系是（1）30只母牛和15只小牛一天需用饲料为675kg
（2）（30+12只母牛和（15+5）只小牛一天需用饲料为940
解：设平均每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为xkg和ykg
根据题意列方程，得
解这个方程组得
答：每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲料员李大叔估计每天母牛需用饲料18—20千克较准确，每只小牛一天需用7到8千克偏高。
三．练习
1．某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在样生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？
解：设现在初中在校学生有x人，高中在校生有y人
根据题意，列方程得
解这个方程组得
答；现在初中在校学生有1400人，高中在校生有2800人
2．有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x,y吨
根据题意得
解之得
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨。
四．作业
1．某工厂第一车间比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的，问这两车间原有多少人？
解：设第一、第二车间原来分别有 x,y人
根据题意得
解之得
2．某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？8．3再探实际问题与二元一次方程组（三）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
通过引导学生积极思考，互相讨论，仔细分析实际问题中的数量关系，形成方程模型，正确解决实际问题。
重点：
引导学生探索，运用二元一次方程解决有关费用与方案设计的应用题
难点：
分析实际问题中的数量关系，形成方程模型
教学过程：
一．导读例题
1．看一看
教材114页：
探究3：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
2．分析
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关。设产品重吨原料重
吨。根据题中数量关系可以填写下表
产品吨 原料吨 合计
公路运费（元） 20×1.5 10×1.5 15000
铁路运费（元） 110×1.2 120×1.2 97200
价值（元） 8000 1000 112200
题目所求数值是_销售额－原料额－运输总价_。为此需先求出产品重，原料重。
由上表，列出方程组
解之得
答：这批产品的销售额比原料与运输费的和多1887800元。
三．尝试练习
1． 甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？
2．某山区有23名中、小学生因贫困失学要捐助。资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元。某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助贫困中学生和小学生的部分情况如下表：
捐款数额（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名）
初一年级 4000 2 4
初二年级 4200 3 3
初三年级 7400
①求a、b的值。
②初三学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不必写出计算过程）。
3．某公园的门票价格如下表所示：
购票人数 1人～50人 51～100人 100人以上
票价 10元/人 8元/人 5元/人
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。问：甲、乙两个班分别有多少人？
四．作业：
课本P.116页5、7。
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1九华初中初一数学
加减消元法课堂练习 070321
姓名________学号____得分______
1．用加减法解下列方程组较简便的消元方法是:将两个方程_______，消去未知数_______．毛
2．已知方程组 ，，用加减法消x的方法是__________；用加减法消y的方法是________．
3．用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程．
(1) 消元方法___________．
(2) 消元方法_____________．
4．方程组 的解_________．
5．方程=3的解是_________．
6．已知方程3－5=8是关于x、y的二元一次方程，则m=_____，n=_______．
7．二元一次方程组的解满足2x－ky=10，则k的值等于( )
A．4 B．－4 C．8 D．－8
8．解方程组比较简便的方法为( )
A．代入法 B．加减法 C．换元法 D．三种方法都一样
9．若二元一次方程2x+y=3，3x－y=2和2x－my=－1有公共解，则m取值为( )
A．－2 B．－1 C．3 D．4
10．已知方程组的解是，则m=________，n=________．
11．已知(3x+2y－5)2与│5x+3y－8│互为相反数，则x=______，y=________．
12．若方程组与的解相同，则a=________，b=_________．
13．甲、乙两人同求方程ax－by=7的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把ax－by=7看成ax－by=1，求得一个解为，则a、b的值分别为( )
A． B． C． D．
14．解方程组:
(1) (2)
15．若方程组的解满足x+y=12，求m的值．
16．已知方程组和方程组的解相同，求(2a+b)2005的值．
17．已知方程组中，x、y的系数部已经模糊不清，但知道其中□表示同一个数，△也表示同一个数， 是这个方程组的解，你能求出原方程组吗
18．我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加
工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．
当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可以加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，因此，公司制定了三种可行方案:
方案一:将蔬菜全部进行精加工．
方案二:尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售．
方案三:将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好用15天完成．
你认为选择哪种方案获利最多 为什么
答案:
1．相加y 2．①×3－②×2，①×2+②×3 3．(1)①×2－②消y (2)①×2+②×3消n
4． 5． 6．－2、－1 7．A 8．B 9．C 10．1，4 11．1，1 12．22，8 13．B 14．(1) (2) 15．14 16．a=1，b=－1 17．
18．解:选择第三种方案获利最多．
方案一:因为每天粗加工16吨，140吨可以在15天内加工完，
总利润W1=4500×140=630000(元)．
方案二:因为每天精加工6吨，15天可以加工90吨，其余50吨直接销售，
总利润W2=90×7500+50×1000=725000(元)．
方案三:设15天内精加工蔬菜x吨，粗加工蔬菜y吨，
依题意得: ，解得，
总利润W3=60×7500+80×4500=810000(元)，
因为W1①②
－ 1 －8.2消元【八二元一次方程（组）的解的应用】
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
进一步理解二元一次方程（组）的解的定义，会解与二元一次方程（组）的解相关的问题。
重点：
将二元一次方程（组）的解代入相关问题得出新的方程（组）。
难点：
将二元一次方程（组）的解代入相关问题得出新的方程（组）；解这个新的二元一次方程（组），求出相关的待定系数。
教学过程：
1． 复习
二元一次方程（组）解的定义
2． 讲授
例1 已知是方程的解，求的值。
解：∵ 是方程的解
∴
例2 已知方程组的解，也是方程组的解。求、的值。
解：
把 代入 解得
例3 已知方程组与 有公共解。求、的值。
解：∵方程组与 有公共解，
∴方程组 与 有公共解。
解
把 代入得 解之得
例4 已知方程的两个解分别和 求、的值
解：由题意得
3． 练习
1．已知是方程组的解，求、的值。
2．已知是方程组的解，求、的值。8.2消元（解二元一次方程组的基本思想）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
1．初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”.会用代入法和加减法解简单的二元一次方程组.
2．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
重点：
用代入法和加减法解简单的二元一次方程组.
难点：
探索如何用代入法和加减法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程：
一.复习提问：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：设这个队胜x场，根据题意得
解得
x＝18
则 20－x＝2
答：这个队胜18场，负2场.
二.讲授：
1．消元是解二元一次方程组的基本思想
在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，
解:设这个队胜的场数是x，负的场数是y，
分析:怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？观察可以发现，二元一次方程组中第1个方程可以变形为 ，即可以用含有的代数式表示。将第2个方程中的换为，第2个方程就可以化为一元一次方程.解这个一元一次方程得,再把代入，可得。至此可以根据二元一次方
程组解的意义，把代入原方程组检验，得出原二元一次方程组的解是。
小结：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.消元是解二元一次方程组的基本思想。
2．用代入消元法解二元一次方程组
上面的解法，是由二元一次方程组中的一个方程变形，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
上面我们是用含有的代数式表示实现消元（消）的，你会用含有的代数式表示实现消元（消），解这个二元一次方程组吗？写出详细的解题过程。
解：由①得 ③
将③代入②得
解之得
把代入③得
∴原方程组的解是
3．用加减消元法解二元一次方程组
观察方程组
我们会发现系数相同，若将②-①可得，再把代入①可得得出原二元一次方程组的解是
观察方程组
我们会发现10的系数互为相反数，若将①＋②可得解得
再把代入①或②，可得，这样可以得到原二元一次方程组的解是
上面的解法，我们是根据两个二元一次方程中同一个未知数的系数相同或相反，将两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
总结：解二元一次方程组的基本思想就是消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程。消元方法的选择应根据所给的方程组的特点，灵活使用。当有未知数的系数为1或－1时，选用代入法较方便；当有相同未知数的系数相同或相反时，选用加减法较方便。
三．练习
1． 把下列方程写成①用含有的代数式表示；②含有的代数式表示的形式
（1）2x－y＝3 （2）3x＋y－1＝0
2．选用合适的方法解下列二元一次方程组
四．课堂练习：
教科书第107页2题；第112页3（1）、（2）题
五．作业：
教科书第111页第1题
第112页第2题
六．后记
此教案于07年3月2日实施。解二元一次方程组的关键是消元。难点是根据所给的方程组的特点，灵活使用消元方法，将二元一次方程组转化为一元一次方程。本教案将几种消元方法放在一起讲，旨在引导学生根据所给方程组的特点，灵活使用消元方法，正确熟练地解出二元一次方程组。8.2消元（六特殊方程组的特殊解法）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
会根据二元一次方程组的特征，选用特殊的解法。
重点：
根据二元一次方程组的特征，选用特殊的解法。
难点：
根据二元一次方程组的特点，选用适当的方法解。
教学过程：
一．解方程组
解：①＋②得
③
①－②得
④
把方程③、④组成新的方程组，得
③+④ 得
③－④ 得
∴原方程组的解是
二．练习
三．后记
此教案于07年3月9日实施。九华初中初一数学
再探实际问题与二元一次方程组练习题 070323
姓名______学号_____得分_________
1． 要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个，如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法。如果不允许剪开白卡纸，能不能找到符合题意的分法？如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意，又能最充分利用白卡纸？
2． 某厂的纸盒车间要加工一批包装盒，领料员领来20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个。如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装盒，每张白卡纸只能做盒身或做盒底盖。领料员计算一下，发现这样做的盒身与盒底盖不配套，问至少再领几张白卡纸才能配套呢？按一共领取的白卡纸计算，共做多少个纸盒？
3． 某通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元。若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完。请你帮助商场计算一下如何购买。
4. 某中学参加中学生运动会，获得金牌数与银牌数之比是5：6，铜牌数比金牌数的2倍少5块，金牌数的3倍与银牌数之和等于42块，求该校获取三种奖牌各多少块？若组委会规定，单独获取12块以上（含12块）金牌的学校，将授予团体优胜奖，那么该学校是否能获得这个奖项？
5． 一个安有进水管和出水管的蓄水池每单位时间内进水、出水的量是一定的，若从某时刻开始的12小时内既进水又出水，且进水时间x（小时）与蓄水池内水量y(米3)满足关系式y=kx+b,经测得进水4小时的蓄水量为20米3，进水12小时的蓄水量为30米3。那么进水8小时的蓄水量是多少？
附：再探实际问题与二元一次方程组练习题参考答案
1．解：设用张白卡纸做盒身，张白卡纸做盒底盖，正好配套。
根据题意，得
解之得
答：①取张白卡纸做盒身，张白卡纸做盒底盖正好配套。
②如果不允许剪开白卡纸，不能找到符合题意的分法。
③如果允许剪开一张白卡纸，则先取8张白卡纸做盒身，11张白卡纸做盒底盖，再把剩下的1张白卡纸分成7份，取其中的4份做盒身，3份做底盖正好符合题意，又能最充分利用白卡纸。
2．解：设现有的20张白卡纸中用张白卡纸做盒身，张白卡纸做盒底盖，至少还需再领张白卡纸才能正好配套。
根据题意，得
解之得
∵必须是整数
∴（）必须能被7整除。
∴必须取1、8……
∵必须是整数
∴（）必须能被7整除。
∴必须取1、8……
综上分析必须取1。一共需领取21张白卡纸，共做18个纸盒。
3．解：①设商场购进甲种型号的手机部，乙种型号的手机部恰好将60000元用完。
根据题意得
解之得
答：设商场购进甲种型号的手机30部，乙种型号的手机10部恰好将60000元用完。
解：②设商场购进甲种型号的手机部，丙种型号的手机部恰好将60000元用完。
根据题意得
解之得
答：商场购进甲种型号的手机20部，丙种型号的手机20部恰好将60000元用完。
解：③设商场购进乙种型号的手机部，丙种型号的手机部恰好将60000元用完。
根据题意得
解之得
答：此方案不合题意，应舍去。
4． 解：设该校获得金牌数为，银牌数为，铜牌数为。
根据题意得
把方程①③组成二元一次方程组得
解之得
把代入③得
上述方程组的解是。因为该校获金牌数为10，小于12，所以该校不能获得团体优胜奖。
5．解：由题意得
解之得
当时，。
答：进水8小时的蓄水量是25米3。
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28.2消元(九利用消元思想解较复杂的方程组)
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
利用消元思想解较复杂的方程组，会解特殊的三元一次方程组。
重点：
利用消元思想解较复杂的方程组。
难点：
三元一次方程组的消元方法与技巧。
教学过程：
1． 复习
解二元一次方程组的基本思想是什么？
2． 讲授
利用消元思想解较复杂的方程组
若关于、的二元一次方程组的解与的差为7。求的值。
解：由题意得
分析：此方程组有三个未知数，如何消元呢？观察方程 ①②中都有未知数，③中没有。因此可以确定先消去。
②－①得 ④
把④③组成新的方程组得
解之得
把代入①得
小结：解多元方程组的基本思路就是消元。方法仍是代入法或加减法，但要根据方程组的特点，灵活选用。
练习
某人有2元、1元、5角面额的人民币共100元，且刚好100张。已知2元和5角面额的人民币共75张。请你在1分钟内说出三种面额的人民币各几张？
解：设2元、1元、5角面额的人民币分别为、、张。
根据题意得
解之得
答：2元、1元、5角面额的人民币分别为25、25、50张。8．3再探实际问题与二元一次方程组（五）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
通过引导学生积极思考，互相讨论，仔细分析实际问题中的数量关系，形成方程模型，正确解决方案问题。
重点：
分析实际问题中的数量关系，形成方程模型
难点：
疏通文字，正确理解题意
教学过程：
一．导读例题
1. 出示例题
某通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元。若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完。请你帮助商场计算一下如何购买。
2．分析
提示：购买手机的方案有几种可能？三种：①甲种型号与乙种型号组合；②甲种型号与丙种型号组合；③乙种型号与丙种型号组合；其中，哪些符合题意？哪些不符合题意？需要解答才能知道。
3．解答
解：①设商场购进甲种型号的手机部，乙种型号的手机部恰好将60000元用完。
根据题意得
解之得
答：设商场购进甲种型号的手机30部，乙种型号的手机10部恰好将60000元用完。
解：②设商场购进甲种型号的手机部，丙种型号的手机部恰好将60000元用完。
根据题意得
解之得
答：商场购进甲种型号的手机20部，丙种型号的手机20部恰好将60000元用完。
解：③设商场购进乙种型号的手机部，丙种型号的手机部恰好将60000元用完。
根据题意得
解之得
答：此方案不合题意，应舍去。
二．练习
某中学参加中学生运动会，获得金牌数与银牌数之比是5：6，铜牌数比金牌数的2倍少5块，金牌数的3倍与银牌数之和等于42块，求该校获取三种奖牌各多少块？若组委会规定，单独获取12块以上（含12块）金牌的学校，将授予团体优胜奖，那么该学校是否能获得这个奖项？
解：设该校获得金牌数为，银牌数为，铜牌数为。
根据题意得
把方程①③组成二元一次方程组得
解之得
把代入③得
上述方程组的解是。因为该校获金牌数为10，小于12，所以该校不能获得团体优胜奖。
三．作业：
1.教材116页 4题
2. 一个安有进水管和出水管的蓄水池每单位时间内进水、出水的量是一定的，若从某时刻开始的12小时内既进水又出水，且进水时间x（小时）与蓄水池内水量y(米3)满足关系式y=kx+b,经测得进水4小时的蓄水量为20米3，进水12小时的蓄水量为30米3。那么进水8小时的蓄水量是多少？
解：由题意得
解之得
当时，。
答：进水8小时的蓄水量是25米3。8.1二元一次方程组
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
1． 认识二元一次方程和二元一次方程组.
2． 了解二元一次方程和二元一次方程组的解意义，会求二元一次方程的整数解.
教学重点：
理解二元一次方程组的解的意义.
教学难点：
求二元一次方程的整数解.
教学过程：
1． 复习
1． 一元一次方程的定义
2． 一元一次方程的解的意义
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解。
3． 一元一次方程的解法及主要步骤
指名板演解下列一元一次方程
(1)
(2)
归纳小结:
解一元一次方程的主要步骤:去分母 去刮号 移项 合并(同类项) 系数化为1。
提示注意点：去分母时不能漏乘无分母的项 ； 去刮号时刮号前面的系数是负数的，去刮号后，刮号内的各项都要改变符号，且不能漏乘。
2． 讲授
1．用实例引出二元一次方程、二元一次方程组的定义
引例 周日，妈妈给了10元钱让小华去商店购买酱油和黄酒。小华来到商店，说：“阿姨，我买1瓶酱油，3袋黄酒。”阿姨说：“4元5角。”小华想还有钱多着，妈妈平时很忙，我就多买点。于是说：“不！阿姨，我买2瓶酱油，5袋黄酒。”阿姨给小华拿了货，找回1元5角。回家的路上，小华想今天的这酱油多少钱1瓶，黄酒多少钱1袋呢？聪明的宝宝，你知道今天的这酱油、黄酒的单价吗？
分析 在这个问题中有几个未知量（数）？有两个：酱油的单价、黄酒的单价。若我们设酱油的单价为元、黄酒的单价元，则根据题意我们可以得到这样的两个方程：（1）；（2）。观察这两个方程，你能发现什么呢？这两个方程中都含有两个未知数，并且未知数的指数都是1。
定义 含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。
2．引导学生读教材，理解二元一次方程、二元一次方程组的定义
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
思考：
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程
表示.
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
把两个方程合在一起，写成
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
3． 探究二元一次方程、二元一次方程组的解的意义：
在二元一次方程中，若给定一个数值，那么就有一个数值与它对应，这种对应关系（）可以列表如下：
…… －2 －1 0 1 2 3 ……
…… 7 6 5 4 3 2 ……
在二元一次方程中，若给定一个数值，那么也有一个数值与它对应，这种对应关系（）可以列表如下：
…… －2 －1 0 1 2 3 ……
…… 12 10 8 6 4 2 ……
小结：上表中每一对x、y的值都能使对应的方程成立，也就是说上表中每一对x、y的值都是对应的方程的解。
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
由此可见二元一次方程的解有无数对（组）.
若把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组
观察上表，我们发现只有、 这一对数值能同时使这两个方程成立，也就是说只有、才是这个二元一次方程组中两个方程的公共解，我们把二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
由此可见二元一次方程组的解是构成这个方程组的两个二元一次方程的唯一公共解，因此只有1对（组）
4． 探索所给二元一次方程、二元一次方程组的解
已知四对数值：
其中，满足方程的是_______________；满足方程的是
_______________；方程组
的解是_________________。
三．练习
（1）方程是二元一次方程，试求、的取值范围.
（2）方程是二元一次方程，试求的值.
（3）若方程是二元一次方程.求m、n的值
(4)已知下列三对值：
1．哪几对数值使方程x－y＝6的左、右两边的值相等？
2．哪几对数值是方程组 的解？
（5）求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
提示：把变形为，当取整数时，的值必须是2的倍数，的值才能是整数。
四．课堂练习：
教科书第102页练习
习题8.1 1、2题
五．课外作业：
教科书第102页3、4、5题
六．后记
此教案于07年3月1日实施。复习一元一次方程的解法是为了让学生在掌握了消元方法后，能正确熟练地求出二元一次方程组的解。教学中，发现还有较多的学生存在去分母漏乘无分母的项；去刮号时漏乘刮号中的项或者虽然乘了但没有遵循“两数相乘，同号得正，异号得负”的法则；移项忘记变号的还大有人在。错误种种，有可能影响到解方程（组）的正确率及解题速度。因此，教学中要适当提示方程组变形后的一元一次方程的解法。要求学生理解二元一次方程组解的意义，旨在让学生知道判断求出的未知数的值是不是原方程组的解方法：能同时使原方程组中两个方程成立的一对未知数的值才是原方程组的解。求方程组的整数解是学生学习的难点。
；8.2消元（四用加减法较复杂地二元一次方程组）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
会用加减法较复杂地二元一次方程组
重点：
求同一未知数的系数的绝对值的最小公倍数
难点：
把同一未知数的系数化为相同或互为相反数
教学过程：
1． 复习
用加减法解下列二元一次方程组
2． 讲授
用加减法解较复杂的二元一次方程组
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元。试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
若确定消，怎样才能使的系数变为互为相反数呢？
解：①×3＋②×2得
∴
把代入①得
∴
∴ 这个方程组的解是
若确定消，怎样才能使的系数变为相同呢？试解，看看结果是否一样。
小结：当相同未知数的系数的绝对值不相等时，可以同时乘以它们的最小公倍数的约数，把它们化为相等后，再用加法或减法消元，求出方程组的解。
3． 练习
用加减法解下列方程组
4． 作业
5． 后记
此教案于07年3月7日实施。教学中引导学生辨析本教案中方程变形的写法与教材上的写法的异同、优劣，提倡学生使用。九华初中初一数学
代入消元法课堂练习
07.3.18
一． 填空题
1.已知x＝2，y＝2是方程ax－2y＝4的解，则a＝________.
2.已知方程x－2y＝8，用含x的式子表示y，则y =_________________，用含y的式子表示x，则x =________________
3.方程x＋y＝4有 _______个解，有________个正整数解，它们是___________________________________________.
4.方程2x－y＝7与x＋2y＝－4的公共解是________________________.
5.若x、y互为相反数，且x＋3y＝4，,3x－2y＝_____________.
二．用代入法解方程组：
6． y =3x－1 7. 4x－y=5
2x＋4y=24 3(x－1)=2y－3
8. 9.
三．解答题
10.已知 是方程组 的解.求、的值.
11.已知方程组 的解为 ，求的值.
12.若 与 都满足方程.
（1）求和的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的值.
13．超市里某种罐头比解渴饮料贵1元，小彬和同学买了3听罐头和2听解渴饮料一共用了16元，你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗？
附：九华初中初一数学代入消元法课堂练习参考答案
一． 填空题
1． 2． 3． 无数, 3,
4．
5．－10
二．用代入法解方程组
6． 7． 8． 9．
三．解答题
10． 11． ； 12．；当时，；当时，。13罐头的单价是3．6元，解渴饮料的单价是2．6元8.2消元（二用代入法较复杂地二元一次方程组）
江苏省如皋市九华镇九华初中 夏步俊
教学目标：
会用代入法较复杂地二元一次方程组
重点：
正确地用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
难点：
把系数不为1或－1的未知数用含有另一个未知数的代数式正确地表示。
教学过程
1． 复习
1． 解一元一次方程：
解：移项
合并
系数化为1
2． 已知二元一次方程，①用含有的代数式表示（即消去） ②用含有的代数式表示（即消去）
2． 讲授
用代入法较复杂地二元一次方程组
1． 用代入法解方程组
2．用代入法解方程组
思考：观察这个方程组，想一想，用什么方法解最方便？
假设我要求你用代入法解，怎么解？
分析：若确定消即用含有的代数式表示
（1）如何由①变形？
提示：
移项
系数化为1 ③
将③代入②即可求出，再求出。方程组得解。
（2）如何由②变形？
提示：
移项
系数化为1 ③
将③代入①即可求出，再求出。方程组得解。
若确定消即用含有的代数式表示呢？
则由①变形得
由②变形得。解得结果应是一样的。
在引导学生分析理解上述思路的基础上，分四大组分别板演解答此方程组，并比较异同，辨析正误。
小结：解方程组前，要认真观察方程组，在有多种解答思路的情况下，应根据方程组的特点，选用自己熟悉的较方便的路径解答，力求正确快捷。
3． 练习
用代入法解下列方程组
4． 作业
用代入法解下列方程组
5． 后记
本教案于07年3月5日实施。
