5.4.1正弦函数、余弦函数的图像教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册

【课题】 5.4.1正弦函数、余弦函数的图像
【教材分析】本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修第一册（人教版A版）》第五章《三角函数》第四节“三角函数的图像与性质”的第一课时“正弦函数、余弦函数的图像”。本节主要内容是正弦函数和余弦函数的图象画法，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。此前已学习三角函数的概念和诱导公式。在此基础上学习正弦函数和余弦函数的图像画法，为后续研究正弦函数和余弦函数的性质、正切函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。
【学情分析】
从学生的知识层面上：
学习过任意角三角函数的定义，三角函数的诱导公式等知识。
已学习用描点法绘制函数图像。本节课主要学习几何法，利用三角函数定义绘制函数图象是第一次。
从学生的能力层面上：
拥有基础的绘制函数图象的经验。
具备通过图形平移变换作图的能力和数形结合思想。
【教学目标】
课标要求：
1、利用三角函数的概念画,的图像。
2、掌握“五点法”画、的图像的步骤和方法；利用“五点法”作简单的正弦、余弦曲线。
3、理解与的图像之间的联系。
素养要求
通过利用三角函数概念和“五点法”作与的图像，提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象能力。
【教学重点】理解“几何法”画正弦函数图像；掌握“五点法”画正弦函数和余弦函数的简图。
【教学难点】利用正弦函数概念作图以及正弦函数和余弦函数的图像变换。
【教学策略方法】学生为主体，教师为主导。采用问题引导探究式教学和小组合作式学习法。
【教学设备及工具】几何画板、Geogebra软件、坐标纸、课件、多媒体、翻页笔。
教学过程设计
教学 环节 教 学 内 容 设 计 意 图
（一） 创设情景 引入课题 师： 同学们前几天我在网络上看到一则动画，很好看，你们想看吗？请观察物理实验“简谐运动”。 师:通过刚才的物理实验，我们对正弦函数和余弦函数图象已经有了一个直观的认识，但这是从物理实验中得到的，在数学中，我们如何利用所学过的数学知识来作出正弦函数和余弦函数图象呢？ 今天这节课我们就来学习正弦函数和余弦函数的图像。 板书课题： 5.4.1正弦函数、余弦函数的图像 通过多媒体展示 “简谐运动的位移和时间关系”图象，让学生经历从“生活世界”到“科学世界”，从直观上认识正弦函数和余弦函数的图象。引出课题。
（二）新课讲授 研究图像 1、正弦函数的图象 回顾旧知：三角函数的概念 设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆相交于点P。 把点P的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即； 把点P的横坐标叫做的余弦函数，记作，即。 一般的，根据三角函数的概念，设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y= cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是。 问题1：绘制三角函数的图像时，我们是否需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象还是选择一个区间即可？ 对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，由公式一：，可表示。因此，可以先画函数，的图象，再画正弦函数，的图象。 师：下面研究正弦函数，的图象，从画函数，的图象开始。 问题2：绘制一个新函数图象的基本方法是什么？ 绘制一个新函数图象的基本方法是描点法。 描点法：列表——描点——连线 问题3：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正弦函数，在上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点？ 思考：根据正弦函数的概念，如何在单位圆中表示点，其中与的在单位圆中分表表示什么几何量？（如图展示） 思考：点的横坐标在单位圆上表示哪个几何量？的几何意义又是什么？ (
图
1
) 师生活动：教师引导学生，根据三角函数概念分析确定，对应的几何量。 活动探究：类比指数函数、对数函数图象的画法，如何画出函数，的图象？ 师生活动：学生给出设想，选择一种或者多种适合的方法实施。 方案1：在区间内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接。 方案2：为方便操作，可以在区间内取12等分，按照上述方法在坐标纸上逐一绘制，再用光滑的曲线连接。 师生活动：用几何画板展示方案2的绘图过程，学生尝试在坐标纸上绘制函数图象。教师借助信息技术，用Geogebra软件展示方案1绘制函数图象。 思考：根据函数，的图象，你能想象正弦函数，的图象吗？尝试在坐标纸上画出该函数的图象。 师生活动：学生画图，教师予以指导。 根据公式一，可知函数，，且的图象与，的图象形状完全一致。因此将函数，的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象，如下图所示。 教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。 思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？至少需要确定几个点？ 师生活动：教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他们的想法。 观察图2，在函数，的图象上，五个点，，，，在确定图象形状时起关键作用。因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点（画图）法” 0010-10
2、余弦函数的图象 问题4：如何画出余弦函数的图象？ 思考：你认为可以利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？ 从数的角度看，由诱导公式。对于函数，则，因此函数的图象，可以看作将函数的图象上的点向左平移个单位得到。如图3所示。 师生活动：学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象，对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题。 图3 余弦函数，的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）。 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线。 思考：在确定余弦函数的图象形状时，类比正弦函数，应抓住哪些关键点？ 探究：类似于用“五点法”作正弦函数图象，找出余弦函数在区间上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表，然后作出，的简图。 通过回顾三角函数的概念，为后续用几何法画函数图像做好知识准备。 提出问题1和问题2，结合已学知识得出研究三角函数图像的思路和方法，为后面对图像的探究做准备。 问题3的提出，由教师引导学生剖析利用三角函数的概念去得描一个点的方法。由特殊到一般，降低了对点的坐标的几何意义的理解和应用，为后面准确描点做准备。 通过活动探究，学生进行小组合作亲自动手体验画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，加深对几何法作图的理解和掌握，达到高效课堂。 利用几何画板和Geogebra软件展示两个方案生成正弦函数图像，体会信息技术给数学研究带来的便捷。更直观形象的去准确认识正弦函数。 提出思考，绘制函数，，的图象，通过对正弦函数图像的分析，归纳总结五点作图法，更好的去认识三角函数图像的特征。发展学生直观想象、数学抽象等核心素养。 利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识。加强图形平移变换的认识，提高学生思维能力。 引出思考，引导学生观察余弦函数图象，掌握其特征，获得余弦函数的“五点法”。 在前面思考的背景下，通过探究让学生感受到与正弦函数一样，无论在哪个区间都可以通过找与坐标轴与最值点。
（三）例题精讲 深入理解 例1画出下列函数的简图： （1），； （2），。 师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答。 解：（1）按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来： （2）按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来： 通过例1，巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，为后面学习图形的平移变化和对称变换做铺垫。
（四） 巩固提高 加强应用 练习：用五点法分别画下列函数在上的图象： （1）；（2） 解：（1）按五个关键点列表： 提升题：函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（ ）。 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 （E）4个 分析：先画出函数，的图象，分情况讨论取不同范围的值时，交点个数的情况。 解：画出函数，的图象，如下图。 结合图象，讨论取不同范围的值时，交点个数的情况：（结合动图） 当或时，与图象无交点； 当或时，与图象有1个交点； 当时，与图象有2个交点．所以，选ABC。 通过练习巩固本节所学知识，巩固对正余弦函图像的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 通过提升题巩固三角函数图像的应用，并与零点问题结合，增强学生的数形结合能力。
（五）课堂小结 3、对于本节课还有什么疑问？ 通过对课堂知识和思想的总结，让学生提出疑问，加深对正弦函数、余弦函数的理解。提升学生的概括能力。
（六）布置作业 家庭作业：课时作业。 课堂作业： 教科书第213页——习题5.4第1题。 考查对图象的基本特征的掌握程度和“五点法”作图。
【板书设计】 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 正弦函数图像 例1、 几何法 五点法 列表 练习、 描点 连线 余弦函数图像 列表 提升、 （2）描点 （3）连线
教学反思 对于本节课，从认知上学生已经学习了函数基础知识和三角函数定义、诱导公式、等知识。本节课在已有知识的基础上来研究图象，进一步体现数形结合和化归思想在高中数学中的运用。从心理上学生已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但学生在学习函数上仍有畏难情绪，在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够，尚有待加强。从思维上已经具备一定的抽象思维能力，对本节课的内容不难理解。 结合本节课的实际教学情况来说，本节课课堂效果良好，学生能够类比前面所学的函数研究方法，对正弦函数的研究有整体感知，通过结合信息技术等形象直观的去认识正弦函数，感受正弦函数的作图过程，通过总结得出正弦函数、余弦函数的五个关键点， 用五点画图法来画给出的正弦型函数、余弦型函数的大致图象，利用图形变换的知识得到余弦函数图像。这整个过程的时间分配上和学生的活动安排上可以根据具体的情况进行调整。 整体而言，个别学生画图过于潦草，不规范，一些学生虽然知道取五个特殊点，但取点速度过慢，主要原因是対五点作图法掌握不是很熟练，相信经过一定的练习之后能够熟练掌握作图技巧。对于余弦函数图像的得到，大部分同学比较容易理解，掌握较好，但是综合运用上面还有待提升。