2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步练习题 2023-2024学年北师大版九年级数学上册　（含答案）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
自主学习同步练习题（附答案）
一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
2．方程的解是（ ）
A．， B．， C． D．
3．若菱形对角线的长是方程的根，则菱形的面积等于（ ）
A．15 B． C．8 D．4
4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．10或8 B．10 C．8 D．12
5．已知关于x的一元二次方程的两根分别为，则方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
6．若，是两个实数，定义一种运算“△”，，则方程 的实数根是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
7．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．48 B．24 C．48或 D．24或
8．若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．一元二次方程的解是________________．
10．方程的根为_________________．
11．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则a的值为______．
12．一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程的根，则三角形的周长为________．
13．若实数、满足，则________．
14．已知关于x的方程①与②，若方程①的一个根是方程②的一个根的2倍，则________．
15．菱形的一条对角线长为6，边的长为一元二次方程的一个根，则菱形的另一条对角线长______．
16．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
．
理解运用：如果，那么，即有或，
因此，方程和的所有解就是方程的解．
解决问题：求方程的解为______．
三、解答题
17．解下列一元二次方程．
(1)
(2)
18．解方程：
(1)
(2)
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，
①若时，请判断的形状并说明理由；
②若是等腰三角形，求k的值．
21．阅读下面的材料：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．
它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，．
仿照上述换元法解下列方程．
(1)；
(2)．
参考答案
1．解：，
∴，
即，
∴，，
故选：C．
2．解：移项，得，
则，
∴或，
∴，．
故选：A．
3．解：，
，
则或，
解得，，
菱形的面积等于，
故选： B．
4．解：解方程得：或2，
①当等腰三角形的三边为2，2，4时，，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为2，4，4时，此时能组成三角形，三角形的周长是，
故选：B．
5．解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，
∴方程化为．
故选：D．
6．解：∵，
∴，
移项得，
，
提公因式得，
，
或 ，
所以，，
故选：A．
7．解:解方程得，
当6和8分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当8为斜边，6为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是24或，
故选：D．
8．解：设，则变为：
，
∵一元二次方程的两根分别为，
∴一元二次方程的两根分别为，
∴或者，
解得．
故选：B
9．解:
即：，
解为：，
故答案为：．
10．解：
，
，
∴，，
故答案为：，．
11．解：把代入方程得：，
，
可得或，
解得：或，
当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为2．
故答案为：2．
12．解：解方程得，
∵第三边的边长，
∴第三边的边长为3．
∴这个三角形的周长是．
故答案为：．
13．解：设，则，
原式化为，
整理得：，
因式分解得，
∴或，
解得：，，
∵，
∴，即，
故答案为：3．
14．解：设的一个根为，
∴，
∵方程①的一个根是方程②的一个根的2倍，
∴的一个根为，
∴，
∴，
解得：，
∵有实根，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
15．解：，
或，
，，
菱形的一条对角线长为6，
的长为5，
另一条对角线长为．
故答案为：8．
16．解：解法一：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴或或，
解得：或或；
解法二：，
，
，
，
，
∴或或，
解得：或或；
故答案为：，，．
17．（1）解：因式分解可得，
，
∴或，
解得：，，
故方程的解为： ，；
（2）解：移项得，
，
因式分解可得，
，
∴，，
解得：，；
18．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴或，
解得．
19．（1）证明：∵
=
∴方程有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∴，，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1，2．
20．（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：①时，方程为，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
②∵，
∴，
∴中有一个数为5．
当时，原方程为：，
即，
解得：．
当时，原方程为．
∴．
由三角形的三边关系，得4、5、5能围成等腰三角形，
∴符合题意；
当时，原方程为，
解得：．
由三角形的三边关系，得5、5、6能围成等腰三角形，
∴符合题意．
综上所述：k的值为4或5．
21．解:（1）令
∴
∴
∴，
∴（舍去），
∴；
（2）令
∴
∴
∴
∴，
∴，
∴，
经检验，，为原方程的解.