2.5一元二次方程根与系数的关系 同步练习题 2023-2024学年北师大版九年级数学上册　（含答案）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》
自主学习同步练习题（附答案）
一、单选题
1．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．若，是方程的两实数根，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的倍，则的值为( )
A．或 B．或 C． D．
6．若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为( )
A．11 B． C．11或 D．11或或1
7．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
8．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知a、b是方程的两根，则___________．
10．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _________．
11．已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．
12．已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________．
13．若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的对角线长度为______．
14．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则n的值为______．
15．已知a，b满足，，且，则的值为___．
16．已知方程的两根分别为，则的值为_____．
三、解答题
17．若，是方程的两实数根，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
18．已知一元二次方程．
(1)判断方程根的情况．
(2)若，此时方程的根分别，，求的值．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，，且，求m的值．
20．一元二次方程．
(1)若方程有两实数根，求m的范围．
(2)设方程两实根为，，且，求m．
21．已知关于x的一元二次方程的两个根为a，b．
(1)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值；
(2)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值．
22．已知关于x的方程；
(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；
(2)当等腰的一边长为4，另外两边b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长以及m的值．
参考答案
1．解：∵是一元二次方程即的两个根，
∴，
故选：B．
2．解:∵是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，是方程的两实数根，
∴，
∴．
故选：A．
3．解：
，
∵a，b是一元二次方程的两根，
∴，
∴原式．
故选：A．
4．解：是关于x的一元二次方程的一个根，设该方程的另一个根是，
则，解得，
故选：C．
5．解：设方程的一根为，则另一根为，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
故选：D．
6．解：∵关于的方程的两个实数根
∴，
∵
∴
∴，整理得：，解得，
当时，方程变形为，即，，方程有两个不相等的实数解；
当时，方程变形为，即，，方程有两个不相等的实数解；
∴k的值为11或．
故选：C．
7．解：∵，，
∴，可以看作一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
∴
，
故选：A．
8．解：∵，是一元二次方程的两根，
∴
∴，
∴
∴ ，
故选：B．
9．解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
10．解：是一元二次方程的根，
，
，
原式
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
原式
．
故答案为：2027．
11．解：∵一元二次方程，即，的两根为与，
∴，
∴ ，
故答案为：．
12．解:∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
，
，
∴解得．
故答案为：7．
13．解：设矩形的长和宽分别为、，
则，，
所以矩形的对角线长，
故答案为：5．
14．解：由题意，分以下两种情况：
（1）当3为等腰三角形的腰长时，则3是关于的方程的一个根，
因此有，
解得，
则方程为，
设另一个根为，
∴
∴另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系；
（2）当3为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，
解得，
则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系；
综上，的值为15或16，
故答案为：15或16．
15．解：∵a，b满足，，且，
∴a、b是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：7．
16．解：方程的两根分别为，
，，
，
，
故答案为：．
17．（1）解：∵，是方程的两实数根，
∴，，
∴；
（2）；
（3）∵，是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴．
18．（1）解∶
原方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，
原方程变为，
19．（1）证明：∵
，
∵，
∴，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，，
，
∴，
∴．
20．解:（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且，即，
解得且，
∴m的取值范围为．
（2）∵方程两实根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
经检验是原方程的解．
21．（1）解：（1）由一元二次方程根与系数的关系得：，
a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，
，
，
解得：；
（2）a，b分别为矩形的两条对角线的长，
，即一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
即，
解方程得：，（不合题意，舍去）
m的值为6．
22．（1）证明：∵在方程中，
，
∴无论取何值时，这个方程总有实数根；
（2）当为底边时，，
∴，
解得：，
∴，
此种情况不合适，
当为腰时，将代入原方程得：
，
解得：，
∴，
∴的周长．