第一章勾股定理 暑假自学自测题 2022-2023学年北师大版八年级数学上册（含解析）

第一章 勾股定理 暑假自学自测题 北师大版八年级数学上册
一、选择题
1．在中，，，，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则的长为（）
A． B． C． D．
3．如图，若要将一块不能弯曲的正方形（不考虑厚度）搬进室内，需要通过一扇高为2m，宽为1m的门，以下边长的木块中哪块可以通过此门？（　　）
A．2.8m B．2.5m
C．2.2m D．以上答案都不对
4．如图，在中，，分别以AC，BC，AB为边在三角形外部作正方形．若以AC和BC为边的正方形面积分别为5和3，则以AB为边的正方形面积S的值为（　　）
A．4 B．8 C． D．34
5．下列各组数据中，可以构成一个直角三角形三边的是（　　）
A．2、3、4 B．5、12、14 C．6、8、12 D．7、24、25
6．将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（　　）
A．同加一个相同的数 B．同减一个相同的数
C．同乘以一个相同的正整数 D．同时平方
7．五根小木棒，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在Rt中，，分别以AC、BC为边作正方形，若，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）
A．144 B．120 C．100 D．无法计算
9．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（　　）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
10．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（　　）
A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺
二、填空题
11．一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长为　 　.
12． 中，，是的边上的高，若，，则边的长度是　 　.
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，有四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是　 　.
14．如图，长方体木箱的长、宽、高分别为，，，则能放进木箱中的直木棒最长为　 　．
15．如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，则的长为　 　．
三、解答题
16．如图，在中，，，，D为上的一点，将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处，求的长．
17．△ABC的三边长分别为5，x-2，x+1，若该三角形是以x+1为斜边的直角三角形，求x的值．
18．如图，在中，，，E是边的中点，且．求证：是直角三角形．
19．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13，
求证：△ACD是直角三角形.
20．如图，在四边形中，，，．求四边形的面积．
21．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵62+82=102，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，其中AB、BC是直角边
∴△ABC的面积为：6×8÷2=24cm2.
故答案为：A.
【分析】依据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC是直角三角形，且AB、BC是直角边.再根据三角形的面积计算公式计算，即可求出三角形的面积.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：4.
【分析】结合图形，利用勾股定理计算求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AB，
由勾股定理得：AB2＝22+12＝5，
∵2.82＝7.84＞5，2.52＝6.25＞5，2.22＝4.84＜5，
故答案为：C.
【分析】连接AB，用勾股定理求得AB2的值，然后求出各选项的值的平方，与AB2的值比较大小即可判断求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理可得，再利用正方形的面积公式可得。
5．【答案】D
6．【答案】C
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），
∴，
若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为，，，
此时，
∴A，B不符合题意；
若三边都乘以n（n为正整数），则三边分别为，，，
∴，
∴此时三角形还是直角三角形，故C符合题意；
若三边都平方，则三边分别为：，，，
∴，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），则a2+b2=c2，若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为a±m，b±m，c±m，此时(a±m)2+(b±m)2≠(c±m)2，据此判断A、B；同理可判断CD.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A．摆放错误，因为由图形可知：，不满足勾股定理逆定理，故不符合题意；
B．摆放错误，因为由图形可知：，不满足勾股定理逆定理，故不符合题意；
C．摆放错误，因为由图形可知：，不满足勾股定理逆定理，故不符合题意；
D．摆放正确，因为由图形可知：满足勾股定理逆定理，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理逆定理逐图判断即可。
8．【答案】A
9．【答案】D
【解析】【解答】解：设折断处离地面x尺，由题意可得(10-x)2=x2+32，
解得x=4.55.
故答案为：D.
【分析】设折断处离地面x尺，则折断的部分长为(10-x)，由题意可得竹梢触地面处离竹根3尺，然后根据勾股定理进行计算.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AD=AC=x尺，
由题意知四边形BDFE是矩形，
∴BE=DF=5尺，BD=EF=10尺，
∴AB=AC-BC=AC+CE-BE=x-4尺，
在Rt△ABD中，（x-4）2+102=x2，
解得x=14.5，
即AC=14.5尺；
故答案为：C.
【分析】设AC=x尺，则AD=AC=x尺，从而得出BE=DF=5尺，BD=EF=10尺，AB=x-4尺，在Rt△ABD中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
11．【答案】或
【解析】【解答】分两种情况讨论：
①第三边为直角边：由勾股定理可知第三边==；
②第三边为斜边：由勾股定理可知第三边==；
故答案为：或.
【分析】直接根据勾股定理解答，注意分类讨论即可.
12．【答案】 或
【解析】【解答】解：由题意知，分△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形两种情况求解：
①当△ABC不是钝角三角形时，如图1，
∵ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ BC 的长为 ；
②当△ABC是钝角三角形时，如图2，
同①得 ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴BC的长为 ；
综上所述，BC的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】分△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形两种情况求解：①当△ABC不是钝角三角形时，如图1，在Rt△ACD中，用勾股定理算出AC，结合已知可得AB的长，进而由线段的和差算出BD的长，接着在Rt△BCD中，用勾股定理算出BC的长即可；②当△ABC是钝角三角形时，在Rt△ACD中，用勾股定理算出AC，结合已知可得AB的长，进而由线段的和差算出BD的长，接着在Rt△BCD中，用勾股定理算出BC的长即可.
13．【答案】GH、CD、AB
【解析】【解答】解：由勾股定理得，，，，
∵
∴线段GH、CD、AB能构成直角三角形.
故答案为：GH、CD、AB
【分析】根据网格图的特征和勾股定理求出AB、DC、GH、DC的值，观察计算的各线段的值可得DC2+GH2=AB2，然后根据勾股定理的逆定理可判断线段GH、CD、AB能构成直角三角形.
14．【答案】13
【解析】【解答】解：∵长方体的长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm，
∴能放进木箱中的直木棒最长为=13cm.
故答案为：13.
【分析】长方体中能放进木箱中的直木棒的最长为对角线的长，然后结合勾股定理进行计算.
15．【答案】5
【解析】【解答】解：设AC=a，AB=b，BC=c，
可得S1=c2，S2=a2.
∵△ABC为直角三角形，
∴c2=a2+b2.
∵，
∴，
即，b=5，
∴AB=5.
故答案为：5.
【分析】
16．【答案】解：∵，，，
∴，
∵将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的点E处，
∴，，，
∴，
∴设，则，
∴在，，即，
∴解得：，
∴．
【解析】【分析】先根据勾股定理算出AC的长，由折叠的性质得BE=BC=3，DE=DC，∠BED=∠C=90°，则AE=AB-BE=2，设AD=x，CD=DE=4-x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AD的长.
17．【答案】解：由勾股定理得：52+(x-2)2=(x+1)2，
解得x=
【解析】【分析】根据勾股定理求解即可
18．【答案】证明：如图所示，延长 至D，使得 ，
∵ ，
又E是边 的中点，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【解析】【分析】延长 至D，使得 ，先根据三角形全等的判定得到 ，进而根据三角形全等的性质即可得到 ， ，再结合题意根据勾股定理逆定理即可得到 是直角三角形，且 ，再由平行线的性质得到 ，进而即可求解。
19．【答案】证明：
∴△ACD是直角三角形.
【解析】【分析】利用勾股定理可求出AC的值，然后结合勾股定理逆定理进行证明.
20．【答案】解：连接BD，
在中，，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴为直角三角形，即，
∴．
答：四边形ABCD的面积为．
【解析】【分析】根据题意可得四边形为不规则四边形，所以先连接BD将四边形ABCD分成两个三角形，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理得到BD的长度和为直角三角形，最后利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积.
21．【答案】解：如图所示
设旗杆高度为 ，则 ， ， ，
在 中，
解得： ，
答：旗杆的高度为 m．
【解析】【分析】结合题意，利用勾股定理计算求解即可。