1.3勾股定理的应用 暑假自学课后练 2022-2023学年北师大版八年级数学上册（含解析）

1.3 勾股定理的应用 暑假自学课后练 北师大版八年级数学上册
一、单选题
1．如果梯子的底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可以达到建筑物的高度是(　　)
A．10m B．11m C．12m D．13m
2．如图，在三角形纸片ABC中， ， ， 折叠三角形纸片，使点A在BC边上的点E处，则AD是
A．3 B．4 C． D．
3．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　）.
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
5．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（　　）.
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
6．如图,由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标,如果大正方形的面积为16,小正方形的面积为3,直角三角形的两直角边分别为a和b,那么 的值为(　　)
A．256 B．169 C．29 D．48
7．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　　)
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 cm， cm，则S△ABC为（　　）．
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
二、填空题
9．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”.已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为　 　.
10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则最大正方形E的面积是　 　.
11．如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6cm，高为16cm.现将一根长度为25cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是　 　cm.
12．在每个小正方形的边为1的网格图形中，每个小正方形的顶点为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．
例如，在如图所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为 ，此时正方形EFGH的面积为5.当格点弦图中的正方形ABCD的边长为 时，正方形EFGH的面积的所有可能值是　 　(不包括5)．
13．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为　 　.
14．如图所示，一扇卷闸门用一块宽5dm，长12dm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起　 　dm．
15．如图，在直线 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 、 、 ，则 　 　.
三、解答题
16．如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙AO上，BO长0.7米．如果将梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，即AM等于0.4米，则梯脚B外移（即BN长）多少米？
17．据统计：超速行驶是引发交通事故的主要原因，学完第一章后，李鹏、王军、张力三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，他们决定在峨城大道金源山水城路段进行测试汽车速度的实验，并把观测点设在到公路l的距离为30米的点P处，选择了一辆匀速行驶的大众轿车作为观测对象，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠PAO=45°，同时发现将△BPO沿过A点的直线折叠，点B能与点P重合，试判断此车是否超过了每小时60千米的限制速度？并说明理由．
18．一个25米长的梯子 ，斜靠在一竖直的墙 上，这时的 距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B外移多少米？
19．嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：
路径 编号 图例 行径位置
第一条路径 R1 A→C→D→B
第二条路径 R2 A→E→D→F→B
第三条路径 R3 A→G→B
已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．
20．如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩 形，这样的矩形称为叠合矩形.
（1）将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段　 　，　 　；S矩形AEFG：S□ABCD=　 　
（2）ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长.
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD21．如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理
．
故选C．
【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
2．【答案】C
【解析】【解答】在Rt△ABC中，根据勾股定理BC= =13，
设AD=x,则BD=12-x,
由折叠可知DE=x,CE=5,则BE=13-5=8，
在Rt△DBE中(12-x)2=x2+82，
解得x= .
故答案选：C.
【分析】先根据勾股定理，A2+B2=C2来计算出直角三角形斜边的值。因为三角形XDE是三角形ACD折叠过去的，所以这两个三角形全等，则AD=DE,AC=CE=5,可以得出BE=8，在利用勾股定理求解
3．【答案】A
【解析】【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：，
，
故答案为：A.
【分析】首先设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程 .
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，AB=4，BC=3
∴在Rt△ABC中，
∴木杆在折断前的高度为4+5=9米
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求AC的长，从而求木杆折断前的高度.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米.
故答案为：D.
【分析】由勾股定理先求出AB的长，然后求出AC+BC-AB的长度即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a +b =4 =16，
由题意4× ab+3=16，
2ab=13，
所以(a+b) =a +2ab+b =16+13=29.
故答案为：C.
【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a +b =4 ，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。
由勾股定理得c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a，
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2，
然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】根据直角三角形的勾股定理可得： =100，根据完全平方公式可得： ，即 +2ab=196，则ab=48，根据三角形的面积计算公式可得：S= ab=24.
【分析】根据勾股定理得出a2+b2=c2 =100，根据完全平方公式可得： (a+b)2=142 ，即 a2+b2 +2ab=196，则ab=48，然后根据三角形的面积计算方法及整体代入即可算出答案。
9．【答案】
【解析】【解答】解：由题意知BN为最大线段，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝ .
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出BN的值即可.
10．【答案】18.
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2=22+32=13；
y2=12+22=5；
z2=x2+y2=18；
即最大正方形E的面积为：z2=18.
故答案为：18.
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=22+32，y2=22+12，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2.
11．【答案】8
【解析】【解答】解：如图所示为最小值，
由题意可知，△ACD中，AC＝12cm，CD＝16cm，∴AD＝ ＝20cm，∴玻璃棒露在容器外的长度＝28－20＝8cm，
故答案为：8cm.
【分析】根据实际情景可知：按AD方向放置的时候， 玻璃棒露在容器外的长度最小，利用勾股定理即可算出答案。
12．【答案】9，13和49
【解析】【解答】解：当DG=时，CG=2，满足DG2+CG2=CD2，可得HG=，即正方形面积为13；
当DG=8，CG=1，满足DG2+CG2=CD2，可得HG=7，即正方形面积为49；
当DG=7，CG=4，满足DG2+CG2=CD2，可得HG=3，即正方形面积为9.
故答案为：9，13和49。
【分析】根据正方形的边长，由勾股定理可以分别讨论四边形EFGH四条边的长度，求出面积即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：如下图所示：
马第一步往外跳，可能的落点为A，B，C，D、E、F点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为.
故答案为：.
【分析】马第一步往外跳，可能的落点为A，B，C，D、E、F点，若第一步马跳到A点位置，第二步从A点跳到G点位置，结合勾股定理可得最短距离.
14．【答案】13
【解析】【解答】解：如图，
要使门撑起的高度最高，当AC⊥AE时此时CA最长，
在Rt△ABC中，BC=5，AB=12，
∴.
故答案为：13.
【分析】利用直角三角形中最长的边是斜边，由此可知当AC⊥AE时此时CA最长，门撑起的高度最高；再利用勾股定理求出AC的长.
15．【答案】4
【解析】【解答】解：设正放置的四个正方形的边长分别为 ， ， ， ，
则
如图，
由正方形的性质得： ，
，
，即
在 和 中，
， ，
在 中， ，即
同理可得：
故答案为：4.
【分析】根据正方形的性质和余角的性质得出有关角或边相等，然后利用AAS证明△ABC≌△CDE，得出 ， ，利用勾股定理推出，从而总结出规律每两个相邻正放的正方形面积和等于中间斜放的正方形面积，即S1+S2=1，S3+S4=3，则可得出S1+S2+S3+S4=4，即可解答.
16．【答案】解：由题意得：AB=2.5米，BO=0.7米，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
（米）．
∴MO=AO-AM=2.4-0.4=2（米），
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
（米）．
∴NB=ON-OB=1.5-0.7=0.8（米），
∴梯脚B外移（即BN长）0.8米．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AO、ON的长，再利用NB=ON-OB，求解即可。
17．【答案】解：∵由题意得：∠AOP=90°，PO=30m，∠PAO=45°，
∴∠OAP=∠OPA=45°．
∴AO=OP=30．
在Rt△AOP中，由勾股定理可知：AP= =30 ．
∵由翻折的性质可知AB=AP，
∴AB=30 ．
∴汽车行驶的速度=30 ÷3×3.6≈50.76（千米/时）．
∵50.76＜60，
∴汽车未超限制速度．
【解析】【分析】运用折叠性质可转化AB=AP,再利用勾股定理可求出速度，与60比较大小，得出答案.
18．【答案】解：如图，依题意可知
AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，
∴ BO2＝AB2﹣AO2＝252-242，
∴ BO＝7(米)，
移动后， ＝20(米)，
∴ (米)，
∴ (米)．
答：梯子底端B外移8米．
【解析】【分析】先求出 BO＝7 ，再利用勾股定理计算求解即可。
19．【答案】解：第一条路径的长度为 + + =2 + ，
第二条路径的长度为 + +1+ = + + +1，
第三条路径的长度为 + =2 + ，
∵2 + ＜2 + ＜ + + +1，
∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B。
【解析】【分析】 根据边长为方格形成的直角三角形的斜边，可利用勾股定理，依次表示出边长，找到最短的距离。
20．【答案】（1）AE；GF；1：2
（2）解：∵四边形EFGH是叠合矩形，∠FEH=90°，EF=5，EH=12；
∴FH= = =13；
由折叠的轴对称性可知：DH=NH，AH=HM，CF=FN；
易证△AEH≌△CGF；
∴CF=AH；
∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.
（3）解：有三种折法，如图4、5、6，
①折法1中，如图4所示，
由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四边形EFMB是叠合正方形，
∴BM=FM=4，
∴GM=CM=，
∴AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；
②折法2中，如图5所示，
由折叠的性质得，四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，
∴GH=CD=5，
∵四边形EMHG是叠合正方形，
∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，
∵∠B=90°，
∴FM=BM=，
设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，
∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25，
∴AD+BC=，
∴BC=-x，
∴MC=BC-BM=，
∵MN=MC，
∴3+x=-x-3，
解得x=，
∴AD=，BC=；
③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，
则E、G分别AB、CD的中点，
则AH=AE=BE=NF=4，CG=CD=5，正方形的边长EF=GF=，
GM=FM=4，CM=，
∴BC=BF+FM+CM=11，FN=CF=7，DH=NH=8-7=1，
∴AD=5.
【解析】【解答】（1）由图可以观察出叠合的矩形是由AE和GF折叠而成，所以△ABE≌△AHE；四边形AGFH≌四边形DGFC；所以S矩形AEFG：S□ABCD=1：2.
【分析】（1）由图2观察可得出答案为AE，GF，由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2.
（2）由EF和EH的长度根据勾股定理可求出FH的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH≌△CGF；再根据全等三角形的性质可得出AD的长度.
（3）折法1中，由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，由叠合正方形的性质得出BM=FM=4，由勾股定理得求得GM、CM，得出AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；
折法2中，由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，可求得GH，再由叠合正方形的得出EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，由勾股定理求得FM=BM=3，设AD=x，则可求得MN=3+x，由梯形ABCD的面积求出BC，求出MC，由MN=MC得出方程，解方程求出AD、BC.
折法3中，由折叠的性质，正方形的性质，勾股定理即可求出BC、AD的长.
21．【答案】解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= =5，
∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，
∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，计算和，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角三角形ACB的面积-直角三角形ACD的面积。