【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第1章 集合教案 苏教版必修1

第1章　集合
1．1集合的含义及其表示
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
(2)初步了解“属于”关系的意义，理解集合相等的含义．
(3)初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合．
2．过程与方法
(1)通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手正确地理解集合．
(2)观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．21教育名师原创作品
(3)通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合，掌握集合的表示方法．
3．情感、态度与价值观
(1)了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
(2)在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力，初步培养学生实事求是、扎实、严谨的科学态度．
●重点、难点
重点：集合的含义及集合的表示方法．
难点：集合的特征性质和概念以及运用特征性质用描述法表示一些简单的集合．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于集合含义的教学
建议教师在教学过程中通过大量具体实例，引导学生抽象出集合的含义，这样可以培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．
2．关于元素、集合及其关系的表示的教学
对于元素，集合的字母表示以及元素与集合之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的“属于”或“不属于”关系．建议教师让学生在具体运用中逐渐熟悉，对于常用数集的表示也要求学生记住．
3．关于列举法和描述法表示集合的教学
建议教师讲清元素不多的有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示，同时也要说明两种方法的优缺点．
●教学流程

课标解读 1.理解集合的含义，知道常用数集及其记法(重点)．2．了解属于关系和集合相等的意义(重点)．3．了解有限集、无限集、空集的意义．4．掌握集合的表示方法——列举法、描述法和Venn图法，并能正确地表示一些简单的集合(重点、难点).
集合的概念
【问题导思】　
观察下面的语句
(1)高一(2)班的女生；
(2)方程x2－2＝0的所有实根；
(3)2012年7月参加伦敦奥运会的代表团；
(4)高一(2)班的所有帅哥；
(5)高一(2)班的好学生．
1．上面语句中女生、实根、代表团、帅哥、好学生哪些能被清晰的确定出来？
【提示】　女生、实根、代表团．
2．以上语句中为什么有的不能确定？
【提示】　因帅哥、好学生标准无法确定．
1．元素与集合的概念
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．
2．元素与集合的符号表示
通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小写拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等.
元素与集合的关系
【问题导思】　
某中学2013级高一年级的20个班构成一个集合，则高一(6)班是这个集合的元素吗？高二(3)班呢？
【提示】　高一(6)班是这个集合中的元素，高二(3)班不是．
1．元素与集合的关系
(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素．记作a∈A，读作
“a属于A”．
(2)不属于(符号： 或)，a不是集合A中的元素，记作
a A或aA.读作“a不属于A”．
2．常用数集及符号表示
数集名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号表示 N N*或N＋ Z Q R
集合的表示方法
【问题导思】　
观察下列集合
(1)中国的直辖市．
(2)12的所有正因数．
(3)不等式x－2≥3的解集．
(4)所有偶数的集合．
1．上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？
【提示】　(1)、(2)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个．
2．设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来．
【提示】　(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈N.
1．列举法
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．21*cnjy*com
2．描述法
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．
3．集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
集合的分类
【问题导思】　
你班的学生人数可数吗？你能举出一个不可数的集合吗？
【提示】　可数　自然数集．
有限集：含有有限个元素的集合称为有限集．
无限集：含有无限个元素的集合称为无限集．
空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 .
集合的有关概念
　下列每组对象能否构成一个集合？
(1)所有的好人；
(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；
(3)正三角形的全体；
(4)方程x2＝2的实数解；
(5)不等式x＋1>0的所有实数解．
【思路探究】　看一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的．
【自主解答】　“所有的好人”无确定的标准， ( http: / / www.21cnjy.com )因此(1)不能构成集合．而(2)(3)(4)(5)的对象尽管有点、图形、实数等不同之处，但它们是确定的．所以(2)(3)(4)(5)能构成集合．
判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看能 ( http: / / www.21cnjy.com )否找到一个明确的标准，来判断整体中的每一个对象是不是确定的， 若元素是确定的，又能看做一个整体，便构成一个集合，否则，就不能构成集合，同时要兼顾集合中每个对象所代表的元素的无序性和互异性．
下列对象：①不超过π的正整 ( http: / / www.21cnjy.com )数；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是________．【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】　由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合．
【答案】　①③
用列举法表示集合
　用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}；
(2)B＝{(x，y)|；
(3)M＝{x|(x－2)2(x－3)＝0}；
(4){自然数中五个最小数的完全平方数}；
(5)P＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
【思路探究】　解答本题首先弄清集合中元素的性质特点，然后按要求改写．
【自主解答】　(1)∵－2≤x≤2，x∈Z，
∴x＝－2，－1,0,1,2，
∴A＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)解方程组得∴B＝{(3,2)}．
(3)∵2和3是方程的根，∴M＝{2,3}．
(4){0,1,4,9,16}．
(5)∵y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，
∴x＝0,1,2，y＝6,5,2，
∴P＝{6,5,2}．
应用列举法应注意的问题：
(1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集；
(2)列举法适合表示有限集，当集合中元 ( http: / / www.21cnjy.com )素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，判定集合是有限集还是无限集，选择适当的表示方法是关键．
把本题(5)中集合P改为“{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}”，求相应问题．
【解】　点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则或或
∴Q＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
用描述法表示集合
　用描述法表示下列集合．
(1)正奇数集；
(2)使y＝有意义的实数x的集合；
(3)坐标平面内，在第二象限内的点所组成的集合；
(4)坐标平面内，不在第一、三象限内的点所组成的集合．
【思路探究】　本题主要考查集合的表示方法，可以把自然语言转化为集合语言，用描述法表示出来．
【自主解答】　(1){x|x＝2n＋1，n∈N}，
也可表示为{x|x＝2n－1，n∈N*}．
(2){x|x≠2且x≠－3，x∈R}．
(3){(x，y)|x<0且y>0，x∈R，y∈R}．
(4){(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．
使用描述法时，应注意六点：
(1)写清楚集合中的代表元素；
(2)说明该集合中元素的性质；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”；
(5)所有描述的内容都要写在花括号内；
(6)用于描述的语句力求简明、确切．
用描述法表示下列集合：
(1)偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)不等式2x－3<0的解集．
【解】　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，所以偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈Z}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)不等式2x－3<0，即x<，所以不等式2x－3<0的解集可表示为{x|x<}.
运用方程的思想解决集合相等问题
　(12分)已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．
【思路点拨】　要求c的值此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、无序性列方程求解．
【规范解答】　①若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得：a＋ac2－2ac ＝0， 1分
当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，和元素的互异性相矛盾，故a≠0. 3分
∴c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，此时无解； 6分
②若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得：2ac2－ac－a＝0，
∵a≠0，∴2c2－c－1＝0， 9分
即(c－1)(2c＋1)＝0，又c≠1，故c＝－. 11分
综上所述，c＝－. 12分
　
1．根据两集合中的元素完全相同，列出a，b，c满足的方程求解，这就是方程思想的应用．
2．解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增根，这需要解题后进行检验．
1．集合的概念可以从以下几个方面来理解：
(1)集合是一个“整体”；
(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征．这两个特征不是模棱两可的．
判定一组对象能否构成一个集合，关键 ( http: / / www.21cnjy.com )要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．
2．集合的表示方法：
列举法简明、直观适用于元素个数较少的集合；描述法应用更广泛，多适用于元素个数有无穷多的集合．
3．集合的分类：
集合分为有限集和无限集，根据元素的特性，还可以分为数集、点集、图形集等．
1．下列各组对象不能确定一个集合的是________．
①某校高一年级开设的课程；②某校高一年级任教的教师；③某校高一年级1998年出生的学生；④某校高一年级比较聪明的学生．
【解析】　因为①②③中对象都是确定的，它们都能确定一个集合，而④中“比较聪明”没有明确的判断标准，故④不能确定一个集合．
【答案】　④
2．下列关系式中，正确的序号是________．
①a∈{a，b}；②0∈ ；③{x|x2≤0}＝ ；④{x|x2＋2x＋5＝0}＝ .
【解析】　空集不含任何元素，故②错；0∈{x|x2≤0}，故③错；①④正确．
【答案】　①④
3．下列叙述中，正确的个数是________．
①1是集合N中最小的数　②若－a N，则a∈N　③若a∈N*，b∈N，则a＋b的最小值为2　④方程x2－4x＝－4的解集为{2,2}．
【解析】　N中的最小数为0，故①错误；②可举 ( http: / / www.21cnjy.com )反例：a＝，则－a＝－ N，但a＝ N，故②不正确；③可取a＝1，b＝0，则a＋b＝1，其最小值不为2，故③错；④方程的解集应为{2}，故④错．所以正确个数为0.
【答案】　0
4．用适当的方法表示下列集合．
(1)中国古代四大发明的集合；
(2)由大于0小于2的实数组成的集合；
(3)绝对值等于1的实数的集合；
(4)方程x(x2＋2x－3)＝0的解集；
(5)不等式x2＋2≤0的解集．
【解】　(1)中国古代四大发明的集合可用列举法表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}．
(2)由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为{x|0(3)绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为{x||x|＝1}，用列举法可表示为{－1,1}．
(4)方程x(x2＋2x－3)＝0的解集用描述法可表示为{x|x(x2＋2x－3)＝0}，用列举法可表示为{－3,0,1}．
(5)不等式x2＋2≤0的解集为 .
一、填空题
1．下列条件能形成集合的是________．
(1)充分小的负数全体　(2)爱好飞机的一些人；
(3)某班本学期视力较差的同学　(4)某校某班某一天所有课程．
【解析】　综观(1)(2)(3)的对象不确定，唯有(4)某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是(4)．
【答案】　(4)
2．方程组的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．
【解析】　因的解集为方程组的解．
解该方程组x＝，y＝－.
则用列举法表示为{(，－)}；用描述法表示为
.
【答案】　{(，－)}　
3．函数y＝x2－2x－1图象上的点组成的集合为A，试用“∈”或“ ”号填空．
①(0，－1)________A；②(1，－2)________A；
③(－1,0)________A.
【解析】　把各点分别代入函数式，可知(0，－1)∈A，(1，－2)∈A，(－1,0) A.
【答案】　∈，∈，
4．(2013·徐州高一检 ( http: / / www.21cnjy.com )测)若一个集合中的三个元素a，b，c 是△ABC的三边长，则此三角形一定不是________三角形．(用“锐角，直角，钝角，等腰”填空)
【解析】　由集合中元素的互异性可知a≠b≠c，故该三角形一定不是等腰三角形．
【答案】　等腰
5．用描述法表示如图1－1－1所示中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是________．
图1－1－1
【解析】　由图可知，所表示的集合为{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}．
【答案】　{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}
6．(2013·南京高一检测)若集合A＝{x|3x－a<0，x∈N}表示二元集，则实数a的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】　由3x－a<0得，x<，又x∈N且满足上述条件的只有两个元素，故1<≤2，解得3【答案】　37．已知x、y、z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则M＝________.
【解析】　分四种情况讨论 ( http: / / www.21cnjy.com )：x，y，z中三个都为正，代数式的值为4；x，y，z中两个为正，一个为负，代数式值为0；x，y，z中一个为正、两个为负，代数式值为0；x，y，z都为负数时代数式值为－4.
∴M＝{－4,0,4}．
【答案】　{－4,0,4}
8．设三元素集A＝{x，，1}，B＝ ( http: / / www.21cnjy.com ){|x|，x＋y,0}，其中x，y为确定常数且A＝B，则x2013－y2 013的值等于________．
【解析】　由题意，知{x，，1}＝{|x|，x＋y,0}．
∵x≠0，∴＝0，即y＝0.
又∵x≠1，且|x|＝1，
∴x＝－1，
∴x2 013－y2 013＝(－1)2 013－0＝－1.
【答案】　－1
二、解答题
9．用列举法表示下列集合：
(1){y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}；
(2)方程x2＋6x＋9＝0的解集；
(3){20以内的质数}；
(4){(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}；
(5){(x，y)}|x∈N，且1≤x<4，y－2x＝0}；
(6){a|∈N，且a∈N}．
【解】　(1)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，即y≤4，又y∈N，
∴y＝0,1,2,3,4.
故{y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}＝{0,1,2,3,4}．
(2)由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3，
∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}．
(3){20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
(4)因x∈Z，y∈Z，则x＝－1,0,1时，y＝0,1，－1.
那么{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}＝{(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)}．
(5)当x∈N且1≤x<4时，x＝1,2,3，此时y＝2x，即y＝2,4,6，
那么{(x，y)|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}＝{(1,2)，(2,4)，(3,6)}．
(6)当a＝－1,2,3,4时，分别为1,2,3,6，故{a|∈N，且a∈N}＝{－1,2,3,4}．
10．用描述法表示下列集合：
(1)被5除余1的正整数集合；
(2)大于4的全体奇数构成的集合；
(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；
(4)三角形的全体构成的集合；
(5){2,4,6,8}．
【解】　(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；
(2){x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；
(3){(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}；
(4){x|x是三角形}或{三角形}；
(5){x|x＝2n,1≤n≤4，n∈N}．
11．已知p∈R，且集合A＝{x|x2－px－＝0}，集合B＝{x|x2－x－p＝0}，∈A，求集合B中的所有元素．
【解】　∵∈A，∴－－＝0，∴p＝－.
∴B＝{x|x2－x＋＝0}．
又方程x2－x＋＝0的两根为x＝或x＝3.
∴B＝{，3}.
(教师用书独具)
若集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，问是否有a∈A，b∈B，使m＝a＋b
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定有a＋b＝m且m∈M？证明你的结论．
【思路探究】　(1)由m∈M，可写出m ( http: / / www.21cnjy.com )的表达式，再根据A、B中元素特征，寻找a、b；(2)可先表示a、b，然后找a＋b，最后观察a＋b的形式．
【自主解答】　(1)由m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.故若m∈M，一定有a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k、l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3.
∴当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b＝6p＋3∈M，此时有m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6 M，此时不存在m使a＋b＝m成立．
在探索过程中，要紧抓各集合元素的特征，利用构造法去寻找，同时注意分类讨论．
设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋ ( http: / / www.21cnjy.com )Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．
【解析】　∵P＝{0,2,5}，Q＝ ( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,6}，∴当a＝0且b＝1,2,6时，a＋b＝1,2,6；当a＝2且b＝1,2,6时，a＋b＝3,4,8；当a＝5且b＝1,2,6时，a＋b＝6,7,11.由上可知，只有一个相同的元素6，其他均不相同，故P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
其所含元素个数为8.
【答案】　8
1.2子集、全集、补集
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含的含义，能识别给定集合的子集．
(2)理解子集、真子集的概念．
(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
2．过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．
3．情感、态度与价值观
(1)树立数形结合的思想．
(2)体会类比对发现新结论的作用．
●重点、难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于子集、真子集的概念，建议教师让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生从三个方面去理解它们．自然语言、符号语言、图形语言(Venn图)，特别是图形语言即Venn图表示可以形象直观地表示集合间的关系，故学时要让学生知道表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．21cnjy.com
2．关于包含符号“ ”的理解， ( http: / / www.21cnjy.com )建议教师提醒学生符号的方向不要搞错，如A B与B A是相同的，而A B与A B是不同的，同时强调“A B”包含两层含义；即“A?B”或“A＝B”．21·cn·jy·com
3．关于补集的教学
建议教师讲解时：①充分利用Venn图的 ( http: / / www.21cnjy.com )直观性引进概念，讲清概念的含义．②语言表述要确切无误．“ UA是A在全集U中的补集”，不能把它简单地说成 UA是A的补集，因为补集是在全集的前提下建立的概念，即补集是一个相对概念．
4．关于全集的教学
建议教师讲解时突出强调全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题则z为全集，而当问题扩展到实数集时，则R为全集．
●教学流程

课标解读 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否具有包含关系(重点)．2．了解全集与空集的含义，能在给定全集的基础上求已知集合的补集(重点)．3．能通过分析元素的特点判断集合间的关系，并能根据集合间的关系确定一些参数的取值(难点).
子集的概念及其性质
【问题导思】　
给出两个集合A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}．
1．集合A中的元素都是集合B中的元素吗？
【提示】　是．
2．集合B中的元素都是集合A中的元素吗？
【提示】　不全是．
1．子集
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素( ( http: / / www.21cnjy.com )若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．
可用Venn图表示为：
子集的性质：
(1)A A，即任何一个集合是它本身的子集．
(2) A，即空集是任何集合的子集．
2．真子集的概念
真子集：如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
补集、全集的概念
【问题导思】　
A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．
1．集合A，B，U有何关系？
【提示】　U＝A∪B.
2．B中元素与U和A有何关系？
【提示】　B中元素在U中不在A中．
1．补集
(1)定义：设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记为 SA(读作“A在S中的补集”)．
(2)符号表示
SA＝{x|x∈S，且x A}．
(3)图形表示：
2．全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.
子集、真子集的概念
　已知集合M满足{1,2}?M {1,2,3,4}，写出集合M.
【思路探究】　可按集合M中含有元素的个数分类讨论求解．
【自主解答】　①若M中含有3个元素时，M为{1,2,3}和{1,2,4}．
②若M中含有4个元素时，M为{1,2,3,4}因此满足条件的集合M有3个即{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
1．本类问题实质是考查包含于 ( http: / / www.21cnjy.com )“ ”和真包含于“?”的运用，解答本题首先分清两符号的含义，确定集合中元素的个数然后进行分类讨论.2.求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集，其中空集和集合本身易漏掉．
将本题中条件改为{1,2} M {1,2,3,4,5}如何求解？
【解】　①当M中含有2个元素时，M为{1,2}；
②当M中含有3个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
③当M中含有4个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
④当M中含有5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．
∴满足条件的集合M为{1,2}，{1, ( http: / / www.21cnjy.com )2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
集合的补集
　已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，求集合B.
【思路探究】　先由集合A与 UA求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B.
【自主解答】　法一　A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
又 UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
法二　借助Venn图，如图所示，
由图可知B＝{2,3,5,7}．
根据补集定义，借助Venn图，可直观地 ( http: / / www.21cnjy.com )求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
(1)若U＝{1,2,3,4,5}，S＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，则 UA＝________， SA＝________.
(2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|x>1}，则 UA＝________.
【解析】　(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，结合补集的定义可知 UA＝{3,4,5}．
同理可求，当S＝{1,2,3,4}时， SA＝{3,4}．
(2)∵U＝{x|x≥－3}，A＝{x|x>1}，
如图所示：
∴ UA＝{x|－3≤x≤1}．
【答案】　(1){3,4,5}　{3,4}　(2){x|－3≤x≤1}
由集合间的关系确定参数的范围
　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1【思路探究】　→→
【自主解答】　∵B A，
(1)当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠ 时，有，
解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
1．解答本题注意不能忽视B＝ 的情形．当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
2．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
(2013·银川高一检测)设集合A＝{x|a－2(1)若A?B，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使B A
【解】　(1)借助数轴可得，a应满足的条件为
或
解得0≤a≤1.
(2)同理可得a应满足的条件为
得a无解，所以不存在实数a使B A.
子集、全集、补集的综合应用
　已知集合A＝{x|x≥m}，集合B＝{x|－2(1)若全集U＝R，且A UB，求m的取值范围；
(2)若集合C＝{x|m＋1【思路探究】　(1)先求 UB，再利用A UB得m的取值范围．
(2)先求 AB，再利用C AB得m的取值范围．
【自主解答】　(1)由题意知 UB＝{x|x≤－2或x≥3}，
∵A UB，如图：
∴m≥3，
∴m的取值范围为[3，＋∞)．
(2)由题意知B A，∴m≤－2，
∴ AB＝{x|m≤x≤－2或x≥3}，
①若C＝ ，即m＋1≥2m，
即m≤1时，m≤－2.
②若C≠ ，即m＋1<2m，
即m>1，与m≤－2矛盾，
故此种情况不存在．
综上，m的取值范围为(－∞，－2]．
针对此类问题，已知补集之间的关系求参数的 ( http: / / www.21cnjy.com )取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助数轴．列出参数a应满足的关系式，具体操作时要注意端点值的“取”与“不取”．2·1·c·n·j·y
设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，且B? UA，求实数a的取值范围．
【解】　∵U＝R，A＝{x|x>1}，
∴ UA＝{x|x≤1}．
∵x＋a<0，x<－a，
∴B＝{x|x<－a}．
又∵B? UA，
∴－a≤1，∴a≥－1.
忽略空集的情形导致错误
　已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B A，求实数a的值．
【错解】　A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．
由于B A，因此B＝{－1}或B＝{3}．
当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；
当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝.
综上所述，实数a的值为－2或.
【错因分析】　B为空集时，显然也满足已知条件 ( http: / / www.21cnjy.com )．解题时，需注意空集是任何一个集合的子集(这个“任何一个集合”当然也包含空集本身)，是任何非空集合的真子集．
【防范措施】　根据“A B”条件，在求相关参数值时，不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况，同时还要进行检验，看是否满足元素的互异性．
【正解】　A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．
当B≠ 时，由于B A，
因此B＝{－1}或B＝{3}．
①当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；
②当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝.
当B＝ 时，ax－2＝0无解，可得a＝0.
综上所述，实数a的值为－2或或0.
1．正确地理解子集、真子集的概念：
如果A是B的子集(即A B)，那么有 ( http: / / www.21cnjy.com )A是B的真子集(A?B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“A?B”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集(A?B)也可以说A是B的子集(A B)；A＝B也可以说成A是B的子集(A B)．
2．用Venn图表达集合与集合之间的关系，直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．
3．全集为研究一个问题的所有元素的全体，即该问题所涉及的元素的范围，是一个相对的概念，全集因问题的不同而异．
4．补集与全集密不可分．同一集合在不同 ( http: / / www.21cnjy.com )全集下的补集是不同的，因而说集合的补集的前提是必须先明确全集，一个集合与它的补集是互为补集的关系，补集也是一种思想，是一种思考和处理问题的思维方式．
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则 UA＝________.
【解析】　根据补集的定义，可知 UA＝{1,3,6,7}．
【答案】　{1,3,6 ,7}
2．集合A＝{0,1,2}的真子集个数是________．
【解析】　集合A＝{0,1,2}的真子集有 ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}共7个．
【答案】　7
3．设x、y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|＝1}，则A、B的关系是________．
【解析】　∵B＝{(x，y)|＝1}＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故B?A.
【答案】　B?A
4．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．
(1)若A B，求a的取值范围；
(2)若全集U＝R，且A UB，求a的取值范围．
【解】　∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}．
(1)由A B，结合数轴(如图所示)．
可知a的范围为a≤－4.
(2)∵U＝R，∴ UB＝{x|x只需a>－2.
一、填空题
1．下列命题中正确的个数为________．
(1)空集没有子集；
(2)任何集合至少有两个子集；
(3)空集是任何集合的真子集；
(4)若 ?A，则A≠ .
【解析】　(1)不正确， ；(2)不正确， 只有一个子集；(3)不正确， 没有真子集；(4)正确，理由同(3)．
【答案】　1
2．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则 UA＝________.
【解析】　如图所示：
UA＝{x|x<1}．
【答案】　{x|x<1}
3．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x－a≥0}，若A?B，实数a的取值范围为________．
【解析】　B＝{x|x≥a}，
∵A?B，∴结合数轴可得a≤1.
【答案】　a≤1
4．设A＝{x|1【解析】　利用数轴易知应有a≥2.
【答案】　a≥2
5．已知集合A＝{1,3，－a3}，B＝{1，a＋2}，若B A，则实数a＝________.
【解析】　∵B A，∴a＋2＝3或a＋2＝－a3，解得a＝1或a＝－1，由互异性舍去a＝－1，∴a＝1.
【答案】　1
6．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则 UA＝______.
【解析】　若x＝2，则x2－2＝2，此时U＝{1,2,2}与互异性矛盾，不成立，所以x≠2.
从而只能有x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．
当x＝－1时，U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，
所以 UA＝{2}．
【答案】　{2}
7．集合A?{0,1,2,3}，且A中的元素至少有一个奇数，这样的集合有________个．
【解析】　含有一个元素时：{1}，{3}；
含有两个元素时：{0,1}，{1,2}，{0,3}，{2,3}，{1,3}；
含有三个元素时：{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}；
含有四个元素时：{0,1,2,3}．
【答案】　12
8．(2013·徐州高一检测)若非空集合 ( http: / / www.21cnjy.com )A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<3或x>22}，则能使A RB成立的所有a的集合是________．
【解析】　∵B＝{x|x<3或x>22}，
∴ RB＝{x|3≤x≤22}．
又∵A≠ 且A RB，
∴∴6≤a≤9.
【答案】　{a|6≤a≤9}
二、解答题
9．已知{a} A {a，b，c}，求所有满足条件的集合A.
【解】　A中含有一个元素时，A为{a}，
A中含有两个元素时，A为{a，b}，{a，c}，
A中含有三个元素时，A为{a，b，c}．
所以满足条件的集合A为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}．
10．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，
若 UA＝{1,2}，求实数m的值．
【解】　∵ UA＝{1,2}，U＝{0,1,2,3}，∴A＝{0,3}，
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.
11．设全集U＝R，A＝{x|3m－1【解】　由题意知， UB＝{x|x≥3或x≤－1}，
(1)若A? UB，且A≠ ，则3m－1≥3或2m≤－1，
∴m≤－或m≥.
又A≠ ，∴3m－1<2m，∴m<1，即m≤－.
(2)若A＝ ，则3m－1≥2m，m≥1，
综上所述：m≤－或m≥1.
(教师用书独具)
若方程x2＋x＋a＝0至少有一个根为非负实数，求实数a的取值范围．
【思路探究】　该题中“至少有一个根为非负实数”种类多，较复杂，但其反面为“无非负实根”的情况较简单．这正是运用补集的思想解题．
【自主解答】　若方程x2＋x＋a＝0无非负实根，
即方程无实根或有两个负根，则有：
①方程无实根，
Δ＝1－4a<0，解得a>.
②方程有两个负根，
即解得0综上所述，满足题意的a的取值范围是{a|a≤0}．
若集合A＝{x|x2＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一个元素，求m的取值范围．
【解】　当集合为 时，方程x2＋x＋m＝0无解，
即Δ＝1－4m<0，解得m>.
所以，当集合{x|x2＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一个元素时，实数m的取值范围为{m|m≤}．
当题设条件中含有“至少”“至多”等 ( http: / / www.21cnjy.com )词语且包含的情况较多时，在解答过程中往往进行分类讨论，为了避免分类讨论，我们可以利用补集思想来求解，即采用“正难则反”的原则从问题的对立面出发，进行求解，最后取相应的集合的补集．
1．3交集、并集
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．
(2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
2．过程与方法
学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．
3．情感、态度与价值观
(1)进一步树立数形结合的思想．
(2)进一步体会类比的作用．
(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确．
●重点、难点
重点：交集与并集的概念．
难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于交集与并集概念的教学
建议教师一方面可通过Venn图画两集 ( http: / / www.21cnjy.com )合所表示的两条封闭曲线“相离”、“相交”、“内含”、“相重合”等情形，全面揭示两集合的交集或并集的所有情形；另一方面，在交集、并集概念的教学中，对“且”和“或”这两个联结词必须使学生明确其涵义，学会正确使用，使学生对交集、并集的定义有一个准确的认识．　　21*cnjy*com
2．关于集合运算时的常用技巧的教学
建议教师通过教学引导学生进行集合运算时 ( http: / / www.21cnjy.com )一般先化简再运算．当给出的集合形式较为复杂时，注意先化简，化简时注意保证化简前后集合的等价性．另外须注意对于含有参数的方程问题，一般需对参数进行讨论．要特别注意检验集合的元素是否满足“三性”，还要提防“空集”这一隐形陷阱．
●教学流程

课标解读 1.理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系(重点)．2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法(重点)．3．会借助Venn图理解集合的交并运算，培养数形结合的思想(难点).
交集与交集的性质
【问题导思】　
已知集合A＝{－1,1,2,3}，B＝{0，－1,1}，C＝{－1,1}．
1．集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？
【提示】　有　{－1,1}．
2．集合C中的元素与集合A、B有何关系？
【提示】　集合C中的元素属于A且属于B.
1．交集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)Venn图
　　　　　①　　　　　　②　　　　　③
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B A；(3)A∩B B；(4)A∩A＝A；(5)A∩ ＝ .
并集与并集的性质
【问题导思】　
已知集合A＝{－1,2,6}，B＝{－2，－1,4,6}，C＝{－1，－2,2,4,6}．
1．集合A与B中的公共元素是什么？
【提示】　－1,6.
2．集合C中的元素与集合A、B有什么关系？
【提示】　C中的元素属于集合A或属于集合B.
1．并集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B
的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)Venn图
　　　　　①　　　　　 　②　　　 　③
2．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；(2)A A∪B；(3)B A∪B；(4)A∪A＝A；(5)A∪ ＝A.
区间
设a，b∈R，且a[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a[a，b)＝{x|a≤x(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x[a，b]，(a，b)分别叫做闭区间、开区间；
[a，b)，(a，b]叫做半开半闭区间；
a，b叫做相应区间的端点.
集合的交集运算
　(1)已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1(2)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
【思路探究】　(1)利用数轴求集合A、B的公共元素，(2)利用定义或Venn图求集合A、B的公共元素．21教育网
【自主解答】　(1)如图所示：
∴A∩B＝{x|x>1}∩{x|－1(2)法一　A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．
法二　如图所示：
∴A∩B＝{－1,2}．
【答案】　(1){x|1求两个集合的交集就是找出这两个集合的公共元素：
(1)对于用描述法表示的实数组成的数集一般利用数轴分析求解；
(2)对于用列举法表示的实数组成的数集一般利用定义或Venn图法求解．
若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于________．
【解析】　直接在数轴上标出A，B的区间，如图所示，取其公共部分即得A∩B＝{x|－2≤x<－1}．
【答案】　{x|－2≤x<－1}
集合的并集运算
　设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{}，求A∪B.
【思路探究】　利用交集的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )，可以得到两个含有p，q的方程，并解出它们，可以进一步求出集合A，B，在求并集时，必须注意并集中元素应该满足互异性．
【自主解答】　∵A∩B＝{}，∴∈A，∈B.
将分别代入方程2x2－px＋q＝0及6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0中，
联立得方程组
解得
∴A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝{－4，}，
B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝{，}，
∴A∪B＝{－4，，}．
1．解答本题关键是确定出集合A，B中的元素．
2．求集合的并集时，若集合 ( http: / / www.21cnjy.com )是用列举法给出的，可直接利用并集的定义求解，需特别注意相同元素只能按一个书写；若集合是用描述法表示的无限集，求解时可借助数轴完成，需特别注意界点的虚实．
设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B.
【解】　∵|a＋1|＝2，∴a＝1或a＝－3.
当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3，由集合中元素的互异性知a≠1.
当a＝－3时，集合B＝{－5,3,2}，符合题意．
∴A∪B＝{－5,2,3,5}．
交集、并集的性质及应用
　集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|2x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【思路探究】　→→→
【自主解答】　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
∵A∪B＝A，∴B A.
(1)当B＝ 时，Δ＝(－4)2－4×2a＝16－8a<0，
∴a>2；
(2)当B中只有一个元素时，
即B＝{1}或{2}时，
Δ＝16－8a＝0，∴a＝2，
此时，B＝{x|2x2－4x＋2＝0}＝{1}，符合题意；
(3)当B＝{1,2}时，
1,2是方程2x2－4x＋a＝0的两根，
∴应有1＋2＝－，显然不成立，
∴此种情况不存在．
综上，实数a的取值范围为{a|a≥2}．
在集合与集合的关系中，若集合B为双元素集合 ( http: / / www.21cnjy.com )，且A B，则可对集合A按元素的个数分类，即A为空集，A为单元素集合，A为双元素集合；若集合B为三元素集合，则可依此类推．这样才能标准统一，不重不漏．
设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求a的值．
【解】　A＝{0，－4}．
(1)∵A∩B＝B，∴B A.
①若0∈B，则a2－1＝0，解得a＝±1.
当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝A；
当a＝－1时，B＝{0}?A.
②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7或a＝1.
当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}A.
③若B＝ ，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
综上所述，a≤－1或a＝1.
(2)∵A∪B＝B，∴A B.
∵A＝{0，－4}，而B中最多有两个元素，
∴A＝B，即a＝1.
已知集合的交集、并集求参数范围
　已知集合A＝{x|2【思路探究】　先借助于数轴的直观性进行分析，然后列出参数a的方程或不等式，进而求相应a的取值范围．
【自主解答】　有两类情况，
一类是B≠ a>0.
此时，又分两种情况：①B在A的左边，如图中B所示；
②B在A的右边，如图中B′所示．
集合B在图中B或B′位置均能使A∩B＝ 成立，
即0<3a≤2或a≥4，解得0另一类是B＝ ，即a≤0时，显然A∩B＝ 成立．
综上所述，a的取值范围是{a|a≤或a≥4}．
1．若A∩B＝ ，则A、B可能的情况为：(1)A、B非空但无公共元素；(2)A、B均为空集；(3)A与B中只有一个是空集．
2．依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．
将本题条件“A∩B＝ ”改为“A∩B＝{x|3【解】　因为A＝{x|2集合B若要符合题意，显然有a＝3，此时，B＝{x|3错误理解交、并集的概念致误
　设A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x，y的值．
【错解】　令7＝x2－x＋1，解得x＝－2，或x＝3，
令2y＝7，解得y＝，
令2y＝－1，解得y＝－，而由x＋4＝7得x＝3，
由x＋4＝－1得x＝－5.
综上可知x＝－2，或x＝3，或x＝－5，y＝，或y＝－.
【错因分析】　没有正确理解A∩B＝C，即集合A，B中有且仅有－1,7这两个公共元素，在求出x，y的值后应进行检验．
【防范措施】　正确理解集合中交、并集的概念，若给出集合与集合的交集或并集，求解过程中应注意检验．
【正解】　∵A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，
又∵A∩B＝C，∴7∈A,7∈B，－1∈B.
当7∈A时，有x2－x＋1＝7，
解得x＝－2，或x＝3.
下面检验x＝－2与x＝3的合理性：
若x＝－2，则在B中，x＋4＝－2＋4＝2，则2∈B.
∵2∈A，∴2∈A∩B＝C＝{－1,7}，这是矛盾的，
∴x≠－2，
当x＝3时，在B中，x＋4＝7，符合题意，
∴2y＝－1，解得y＝－.
综上可得x＝3，y＝－.
本节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难．
(1)A与B的交集是由A与B所有的公共元素组成的集合．当两个集合A与B无公共元素时，A∩B＝ .
(2)A与B的并集是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，当两个集合有公共元素时，公共元素在A∪B中只能出现一次．21·世纪*教育网
(3)利用数形结合，将满足条件的集合用Ven ( http: / / www.21cnjy.com )n图或数轴一一表示出来，从而求出集合的交集、并集．这是既简单直观且最基本、最常见的方法，要注意灵活运用.
1．集合{x|2【解析】　{x|2【答案】　(2,5]
2．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B＝________.【出处：21教育名师】
【解析】　∵A＝{－2,1}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{－2,1,3}．
【答案】　{－2,1,3}
3．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
【解析】　因为A∩B＝{3}，当a2＋4＝3时，a2＝－1无意义，
当a＋2＝3，即a＝1时，B＝{3,5}满足题意，故a＝1.
【答案】　1
4．已知A＝{x|x<3}，B＝{x|x(1)若A∩B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．
【解】　(1)∵A∩B＝B，
∴B A，借助于数轴知，
∴a≤3.
(2)∵A∪B＝B，
∴A B，借助于数轴知，
∴a≥3.
一、填空题
图1－3－1
1．已知全集U＝R，集合M＝Z(整数集)和N ( http: / / www.21cnjy.com )＝{，－1，π，2}的关系如图1－3－1所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．www.21-cn-jy.com
【解析】　因为阴影部分所表示的集合的元素是M与N的公共元素，有－1和2两个元素，即阴影部分所表示的集合的元素共有2个．2-1-c-n-j-y
【答案】　2
2．(2012·江苏高考)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
【解析】　因为A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，
所以A∪B＝{1,2,4,6}．
【答案】　{1,2,4,6}
3．设全集U＝{－1,0,1,2,3,4}，A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，则 U(A∪B)＝________.
【解析】　∵A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
∴ U(A∪B)＝{4}．
【答案】　{4}
4．设A＝{(x，y)|y＝4x＋5}，B＝{(x，y)|y＝－2x－1}，求A∩B＝________.
【解析】　A∩B即为的解集，
解可得故A∩B＝{(－1,1)}．
【答案】　{(－1,1)}
5．用集合分别表示下列各图中的阴影部分：
图1－3－2
(1)________；(2)________．
【解析】　(1)由图(1)可知，该阴影部分为集合A、C的公共部分或集合B、C的公共部分，故可用(A∩C)∪(B∩C)表示．
(2)由图(2)可知，该阴影部分为集合B与集合A，C公共部分的并集，故可用B∪(A∩C)表示．
【答案】　(A∩C)∪(B∩C)　B∪(A∩C)
6．(2013·宿迁高一检测)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.
【解析】　由A∪B＝A得B A，∴m＝3或m＝，
即m＝3或m＝0或m＝1，又当m＝1时不满足集合元素的互异性，故m＝0或3.
【答案】　0或3
7．定义集合运算A*B＝{x ( http: / / www.21cnjy.com )|x∈A且x B}，若A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则A*B与B*A的元素之和为________．
【解析】　A*B＝{1,2}，B*A＝{5,6}，故所求元素之和为1＋2＋5＋6＝14.
【答案】　14
8．(2013·惠州高一检测)设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠ ，则k的取值范围是________．
【解析】　因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，
且M∩N≠ ，所以－≥－3 k≤6.
【答案】　k≤6
二、解答题
9．设全集为U＝R，A＝{x|x≥5}，B＝{x|0≤x<5}，求 U(A∪B)和( UA)∩( UB)．
【解】　∵A＝{x|x≥5}，B＝{x|0≤x<5}，
∴A∪B＝{x|x≥0}，
又U＝R，故 U(A∪B)＝{x|x<0}，
UA＝{x|x<5}， UB＝{x|x<0或x≥5}．
∴( UA)∩( UB)＝{x|x<0}．
10．(2013·佛山高一检测)若A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|ax－6＝0}，且A∪B＝A，求由实数a组成的集合M.21世纪教育网版权所有
【解】　由x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，
∴A＝{2,3}．
当a＝0时，B＝ ，
当a≠0时，B＝{}，
∵A∪B＝A，∴B A，
∴B＝ 或＝2或＝3，
∴a＝0或a＝2或a＝3，
∴M＝{0,2,3}．
11．已知集合A＝{x|x2－m ( http: / / www.21cnjy.com )x＋m2－19＝0}，B＝{y|y2－5y＋6＝0}，C＝{z|z2＋2z－8＝0}，是否存在实数m，使得A∩B≠ ，A∩C＝ 同时成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，则说明理由．
【解】　假设存在这样的实数m，所以B＝{y ( http: / / www.21cnjy.com )|y2－5y＋6＝0}＝{2,3}，C＝{z|z2＋2z－8＝0}＝{－4,2}，又A∩C＝ ，所以2 A，－4 A，又A∩B≠ ，所以3∈A，
把x＝3代入x2－mx＋m2－19＝0中，
解得m＝5或m＝－2.
当m＝5时，A＝{2,3}，与A∩C＝ 矛盾，
当m＝－2时，A＝{－5,3}，符合题意．所以m＝－2.
故存在m＝－2，使得A∩B≠ ，A∩C＝ 同时成立.
(教师用书独具)
已知集合A＝{a|a≥2或a≤－2}，B＝{a|关于x的方程ax2－x＋1＝0有实根}，求A∪B，A∩B，A∩ UB.
【思路探究】　按x2的系数a＝0(一元一次方程)和a≠0(一元二次方程)分两种情况进行讨论．
【自主解答】　由题意关于x的方程ax2－x＋1＝0有实根可知，
①当a＝0时，x＝1；
②当a≠0时，Δ＝1－4a≥0，即a≤.
所以B＝{a|a≤}．
所以A∪B＝{a|a≤或a≥2}，A∩B＝{a|a≤－2}，A∩ UB＝{a|a≥2}．
在解决含参数的集合与方程的综合题时，当 ( http: / / www.21cnjy.com )所求的参数取值不确定，也就是参数取值存在多种情况时，要对参数取值进行讨论．集合中的元素如果存在多种可能也要分类讨论，不能遗漏，否则就会出错．
设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0}，
(1)若A∪B＝B，求a的值；
(2)若A∩B＝B，求a的值．
【解】　(1)∵A∪B＝B，∴A B.
∴－2是方程ax＋1＝0的根，
∴a＝.
(2)因为A∩B＝B，所以B A，
因为A＝{－2}，
所以B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，即a＝0；
当B≠ 时，a≠0，则B＝{－}，
所以－＝－2，
解得a＝，
综上所述，a＝0或a＝.
集合的基
本运算
集合的含义及表示
1.集合中的元素具有三个特性：确定 ( http: / / www.21cnjy.com )性、互异性和无序性，其中确定性是重点，是判断某些对象是否构成集合的依据；互异性是易错点，在含有未知量的集合元素中，常利用该性质限定未知量的范围．www-2-1-cnjy-com
2．集合常有四种表示方法：列举法 ( http: / / www.21cnjy.com )、描述法、Venn图及区间表示法，其中描述法是难点和易错点，处理与描述法有关的题目时务必明确集合中的代表元素是数集还是点集．
　设x∈R，集合A＝{3，x，x2－2x}．
(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.
【思路点拨】　利用集合元素的互异性求(1)，按－2＝x或－2＝x2－2x分类求解．
【规范解答】　(1)根据元素的互异性，有
∴x≠－1，且x≠0，且x≠3.
(2)由－2∈A可知x＝－2或x2－2x＝－2，
又方程x2－2x＋2＝0无解，故x＝－2.
设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求满足条件的x的值．
【解】　因为A∩B＝{9}，所以9是集合A的元素，因此有x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5.
当x＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，B中元素出现了重复，违背了集合元素的互异性，故舍去．
当x＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}，满足题意．
当x＝5时，A＝{－4,25,9}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}与已知矛盾，故舍去．
综上所述，x＝－3.
集合间的关系
　　
集合间的关系本章中主要讲述了三种：子集 ( http: / / www.21cnjy.com )、真子集和集合的相等，其中子集和集合的相等关系是重点，求解此类问题的关键是紧扣定义，需特别注意的是由于空集不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽略而引起解题失误．
　已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{x|x【思路点拨】　求集合M―→求 RN求A―→明确B的含义―→判断A与B的关系．
【规范解答】　M＝{x|x2＋x－ ( http: / / www.21cnjy.com )2＝0}＝{－2,1}，N＝{x|x知a≤－2，即A＝{a|a≤－2}．
又B＝{y|y＝－(x＋2)2－2，x∈R}＝{y|y≤－2}，所以A＝B.
已知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B A，求实数a组成的集合．
【解】　由题意得：A＝{3,5}，∵B A且B中至多有一个元素．
∴B＝ 或{3}或{5}．
①B＝ 时，a＝0；
②B＝{3}时，3a－1＝0，a＝；
③B＝{5}时，5a－1＝0，a＝；
∴a的集合是{0，，}．
集合的运算
集合的运算主要是指集合间的交、并、补 ( http: / / www.21cnjy.com )这三种常见的运算．在进行集合运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，灵活应用数轴分析法或Venn图解题，可以化抽象为直观，将复杂问题明确化，另在解答含有参数的集合交、并、补运算时，注意对参数的讨论．
　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2【思路点拨】　→→
→→
【规范解答】　把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
∵ RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A ( http: / / www.21cnjy.com )＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且( UA)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值．
【解】　∵U＝{1,2,3,4,5}，( UA)∪B＝{1,3,4,5}，
∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，
∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，
得m＝6且A＝{2,3}，
∴ UA＝{1,4,5}．
而( UA)∪B＝{1,3,4,5}，
∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，
∴3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根．
∴n＝－7且B＝{3,4}，
∴m＋n＝－1.
分类讨论思想
1.分类讨论思想的实质是把整体问题化为部分来解决，从而增加了题设条件．
2．本章学习中涉及可能引起分类讨论的点主要有以下三处：
(1)与集合元素有关的分 ( http: / / www.21cnjy.com )类讨论问题：集合中的元素具有确定性、无序性和互异性的特点，在分析集合所含元素的情况时，常常会涉及分类讨论和利用元素特性检验等问题．
(2)与集合子集有关的分类讨论问题 ( http: / / www.21cnjy.com )：这类问题是集合中最常见的分类讨论问题，解题时需对已知集合的子集个数进行分类讨论，尤其要注意空集是任何集合的子集．
(3)与空集特性有关的分 ( http: / / www.21cnjy.com )类讨论问题：空集是集合中一个特殊的重要集合，它不但具有“是任何集合的子集”这一性质，而且还具有其他特性，如A∩ ＝ ，A∪ ＝A， U ＝U等．
　设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若A∪B＝A，求实数a的值．
【思路点拨】　首先可求出A＝{0， ( http: / / www.21cnjy.com )－4}，再根据A∪B＝A的条件，用分类讨论思想，分别在B＝A，B＝{0}，B＝{－4}，B＝ 四种情况下求a，最后求出所有a的值．
【解】　∵A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，
∴A＝{－4,0}，
∵A∪B＝A，∴B A，
当B＝A，即B＝{－4,0}时，
由一元二次方程的根与系数的关系，得
解得a＝1.
当B＝{0}，即方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根且为0时，解得a＝－1，
当B＝{－4}时，即
此方程组无解，
当B＝ 时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实根，
即Δ<0，解得a<－1.
综上可知若A∪B＝A，则a≤－1或a＝1.
已知A＝{x|x2＋2x＋p＝0}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝ ，求实数p的取值范围．
【解】　∵A∩B＝ ，
∴A有两种情况：A＝ 或A≠ .
①当A＝ 时，Δ＝4－4p<0，∴p>1；
②当A≠ 时，方程x2＋2x＋p＝0必有实数根，且所有的实数根非正，
∴∴0≤p≤1.
综上所述，p≥0.
综合检测(一)
第一章　集　合
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．下列指定的对象，不能构成集合的是________．(把正确的序号填上)
①一年中有31天的月份；
②平面上到点O的距离等于1的点；
③满足方程x2－2x－3＝0的x；
④某校高一(1)班性格开朗的女生．
【解析】　①是集合，一年中有31天的月份只有1,3,5,7,8,10,12这7个月份；
②是集合，平面上到点O的距离等于1的点在圆上；
③是集合，满足方程x2－2x－3＝0的x只有－1和3；
④不是集合，“性格开朗”无明确界限不符合集合中元素的确定性．
【答案】　④
2．在下列5个写法：①{0}∈{ ( http: / / www.21cnjy.com )0,1,2}；　② ?{0}；　③0∈ ；　④{0,1,2} {1,2,0}；　⑤0∩ ＝ .其中错误的写法个数为________．
【解析】　①不正确，因为{0} { ( http: / / www.21cnjy.com )0,1,2}；②正确，因为空集是任何非空集合的真子集；③不正确， 不含有任何元素；④正确，因为任何集合是它自身的子集；⑤不正确，元素与集合不能运算．
【答案】　3个
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.
【解析】　∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.
【答案】　3
4．已知集合A＝(1,3)，B＝[2,4]，则A∪B＝________.
【解析】　∵A＝(1,3)，B＝[2,4]，∴结合数轴(如图)，可知A∪B＝(1,4]．
【答案】　(1,4]
5．满足条件{1,3}∪M＝{1,3,5}的集合M的个数是________．
【解析】　∵{1,3}∪M＝{1,3,5}，∴M中必须含有元素5，
∴M可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．
【答案】　4
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则 U(M∪N)＝________.
【解析】　M∪N＝{1,3,5,6,7}，则 U(M∪N)＝{2,4,8}．
【答案】　{2,4,8}
7．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，则a的值为________．
【解析】　当a＝0时，A＝{－}，当a≠0时，若集合A只有一个元素，则Δ＝4－4a＝0，即a＝1，综上，a＝0或1.
【答案】　0或1
8．下列四个推理，其中正确的序号为________．
①a∈A a∈A∪B；　　②a∈A∪B a∈A∩B；
③A∪B＝B A B；　　④A∪B＝A A∩B＝B.
【解析】　①正确，结合A∪B的定义可知a∈A a∈A∪B；
②不正确，如A＝{1,2}，B＝{3,4},1∈A∪B，但1 A∩B；
③正确，A∪B＝B A B；
④正确，A∪B＝A B A A∩B＝B.
【答案】　①③④
9．已知集合A＝{x|x＝，k∈Z}，B＝{x|x＝，k∈Z}，则A与B的关系为________．
【解析】　∵＝，∴∈B，∴A B，但B中元素 A，∴A?B.
【答案】　A?B
10．(2013·苏州高一 ( http: / / www.21cnjy.com )检测)已知集合A＝{x|x【解析】　 RB＝{x|x≤1或x≥2，
∵A∪ RB＝R，∴a≥2.
【答案】　{a|a≥2}
11．已知集合M＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" {x|x＝[1＋(－1)n]，n∈Z}，N＝{－1，0,1}，P＝{x|x2＝x}．有下列结论：①M N；②P?N；③M＝P；④M P；⑤M P；⑥M?P.
其中，所有正确结论的序号为________．
【解析】　集合M＝{0,1}，N＝{－1,0,1}，P＝{0,1}，由子集意义，得M N，M＝P，P?N，M P.所以①③④正确．
【答案】　①③④
12．定义集合A与B的运算 ：A B＝{x| ( http: / / www.21cnjy.com )x∈A，或x∈B，且x A∩B}，已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7}，则(A B) B为________．
【解析】　由运算 的定义，得A B＝ ( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,5,6,7}，则(A B) B＝{1,2,5,6,7} {3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．
【答案】　{1,2,3,4}
13．(2013·南京高 ( http: / / www.21cnjy.com )一检测)某班有学生55人，其中音乐爱好者35人，体育爱好者45人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的学生有________人．
【解析】　设既爱好体育又爱好音乐的学生有x人，则(35－x)＋(45－x)＋x＋4＝55，解得x＝29.
【答案】　29
14．已知集合A＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为________．
【解析】　设x1∈A，则x1＝(2k1＋1)，k1∈Z，
当k1＝2n，n∈Z时， ( http: / / www.21cnjy.com )x1＝(4n＋1)＝n＋，∴x1∈B；当k1＝2n－1，n∈Z时，x1＝(4n－2＋1)＝n－，∴x1∈B.∴A B.又设x2∈B，则x2＝k2±＝(4k2±1)，k2∈Z，而4k2±1表示奇数，2n＋1(n∈Z)也表示奇数，∴x2＝(4k2±1)＝(2n＋1)，k2∈Z，n∈Z.∴x2∈A，∴B A.综上可知A＝B.故填A＝B.
【答案】　A＝B
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1(1)求A∩B；
(2)求( UB)∪P.
【解】　借助数轴，如图．
(1)A∩B＝{x|－1(2)∵ UB＝{x|≤－1或x>3}，
∴( UB)∪P＝{x|x≤0或x≥}．
16．(本小题满分14分)已知集合A＝{3,4，m2－3m－1}，B＝{2m，－3}，若A∩B＝{－3}，求实数m的值并求A∪B.
【解】　∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A.
又A＝{3,4，m2－3m－1}，
∴m2－3m－1＝－3，解得m＝1或m＝2.
当m＝1时，B＝{2，－3}，A＝{3,4，－3}，满足A∩B＝{－3}，
∴A∪B＝{－3,2,3,4}．
当m＝2时，B＝{4，－3}，A＝{3,4，－3}，不满足A∩B＝{－3}舍去．
综上知m＝1.
17．(本小题满分14分)(2013·杭州高一检测)已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．【版权所有：21教育】
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．
【解】　(1)A∩B＝ ，∴，
解得，－1≤a≤2，
(2)∵A∪B＝B，∴A B.
∴a＋3<－1或a>5，
∴a<－4或a>5.
18．(本小题满分16分)已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x，y2,2}，若A∩B＝A∪B，求实数x，y的值．
【解】　∵A∩B＝A∪B，∴A＝B，
∴或
解得
或或经检验不合题意，舍去，
∴或
19．(本小题满分16分)(2013 ( http: / / www.21cnjy.com )·南京高一检测)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，且B A，求实数a，b的值．
【解】　A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}．
由B A，B≠ ，得
B＝{1}或{－1}或{1，－1}．
当B＝{1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个相等实数根1，由根与系数的关系得a＝1，b＝1；
当B＝{－1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个相等实数根－1，由根与系数的关系得a＝－1，b＝1；
当B＝{1，－1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个根－1,1，由根与系数的关系得a＝0，b＝－1.
综上，a＝1，b＝1或a＝－1，b＝1或a＝0，b＝－1.
20．(本小题满分16分)设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x B}．
(1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；
(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6【解】　(1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，
则A－B＝{1}．
(2)不一定相等，
由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，
故A－B≠B－A.
又如，A＝B＝{1,2,3}时，
A－B＝ ，B－A＝ ，
此时A－B＝B－A，
故A－B与B－A不一定相等．
(3)因为A－B＝{x|x≥6}，
B－A＝{x|－6A－(A－B)＝{x|4B－(B－A)＝{x|4由此猜测：对于两个集合A，B，
有A－(A－B)＝B－(B－A)．
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