四川省绵阳市2015届高三一诊模拟考试数学（文）试题

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绵阳南山中学绵阳南山中学实验学校
绵阳市“一诊”模拟考试试题
数 学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动 ( http: / / www.21cnjy.com )，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合，则
A． B． C． D．
2.若角的终边在直线上，且，则和的值分别为
A． B． C． D．
3.设为平面向量，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知等差数列，且，则数列的前项之和为
A． B． C． D．
5．已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是
A． B． C． D．
6.在中，是的中点，,点在上且满足,则
A． B． C． D．
7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，则的单调递增区间为
A. B.
C. D.
8.已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时成立（其中的导函数），若，，则的大小关系是
A． B． C． D．
9.设定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程无解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
10. 已知正方形的边长为1，、分别为边,上的点，若，则面积的最大值是
A．　 B．　　 C．　　 D．
第 Ⅱ 卷（非选择题，共100分）
填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.化简求值：=________．
12.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f(f())＝_____ __.
13.已知，则________．
14.已知实数，且，那么的最小值为________．
15.设,用表示不超过的最大整数，称函数为高斯函数，也叫取整函数.现有下列四个命题：
①高斯函数为定义域为的奇函数；
②是的必要不充分条件；
③设，则函数的值域为；
④方程的解集是.
其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本题满分12分）已知函数，且当时，的最小值为.
（Ⅰ）求的值，并求的单调递增区间；
（Ⅱ）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.
（本题满分12分）已知函数为偶函数，数列满足，且，.
（Ⅰ）设，证明：数列为等比数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18.（本题满分12分）如图，在半径为，圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为, ，
（Ⅰ）将表示成的函数关系式,并写出定义域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若取最大值时，且，，为中点，求的值.
（本题满分12分）已知函数，函数的最小值为.
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）是否存在实数同时满足下列条件：
①； ②当的定义域为时，值域为若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（本题满分13分）已知函数的单调递减区间是且满足.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）对任意，关于的不等式在上有解，求实数的取值范围。
21.（本题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）过原点分别作函数与的切线，且两切线的斜率互为倒数，证明：或；
（Ⅲ）求证：（其中是自然对数的底）.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.B
填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 0 12. 13. 14. 1 15. ②③④
解答题:（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.解：（Ⅰ）函数 ………2分
，故 ………4分
则 由
解得函数的单调递增区间为………6分
（Ⅱ）由已知得，又由得………9分
则有 进而解得
故所有根之和为………12分
17.解：（Ⅰ）函数为偶函数，………2分
数列为等比数列 ………5分
（Ⅱ） ………7分
设
………10分
设 ………12分
18.解：（Ⅰ）因为，，，
所以 故………3分
即，………5分
（Ⅱ） =时 ………7分
由可得.
所以
………9分
由正弦定理得 所以,故在中，
由余弦定理得
故 ………12分
解：（Ⅰ）∵∴ 设
则 ………2分
①当时，
②当时，
③当时，
∴ ………6分
（Ⅱ）假设存在满足题意.∵在上是减函数，
又∵的定义域为时，值域为， ∴ ………10分
②-①，得，即：
∴满足题意的不存在………12分
20.解：（Ⅰ）由已知，得,
∵函数的单调递减区是，∴的解是．
所以的两个根分别是和，且，
由，且，可得． ………2分
又得………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,∵当时，，
∴在单调递增，时， ………7分
要使在上有解，
需
对任意恒成立，
即对任意恒成立. ………9分
设，，则 , ，
令得， 由，列表如下：
－ ＋
↘ 极小值 ↗
∴当时，， ……………13分
21.解: （Ⅰ）（） ……………2分
①当时，，增区间是；
②当时，增区间是，减区间是；……………4分
（Ⅱ）设的切点，的切点，
得 ，
，，代入得，令……………7分
，在递减，在上递增.当时，因为，所以 ；当时，，，所以，
综上或 ……………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：当时，在上单调递增，在上单调递减，∴ 即：在上恒成立
∴在上恒成立……………11分
∵ ∴
故得证：……………14分
P
O
A
B
Q
M
N
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