河南省郑州市基石中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

基石中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一 单选题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
4.下列函数中为偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ）
A.6 B. C.2 D.
6.某科研单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则应抽取的老年人人数为（ ）
A.6 B.12 C.18 D.24
7.焦点在轴上的椭圆的焦距为4，则的值等于（ ）
A.8 B.5 C.5或3 D.5或8
8.已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
9.数列中，，其前项和是，则（ ）
A. B. C. D.
10.函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A.函数在处取得最小值
B.是函数的极值点
C.在区间上单调递增
D.在处切线的斜率大于零
11.五人站一排拍照，不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A.24种 B.48种 C.72种 D.96种
12.5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（ ）
A.60 B.90 C.150 D.240
第II卷（非选择题）
二 填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.已知成等差数列，成等比数列，则__________.
14.函数在点处的切线方程为__________.
15.在的展开式中，含的项的系数为__________.（用数字作答）
16.某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取到有男生的条件下，2名都是男生概率是__________.
三 解答题（本题共6小题，17题10分，18-23每题12分，共70分）
17.为何值时，
（1）直线与直线平行？
（2）直线与直线垂直？
18.在中，角所对的边分别为.若，求：
（1）角；
（2）的面积.
19.如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点.
（1）求证：；
（2）若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
20.已知的分布列为：
-1 0 1
求.
21.已知抛物线，其焦点到其准线的距离为2，过焦点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
21.已知函数，其中.
（1）若函数在处取得极值，求的值；
（2）若在区间上，恒成立，求的取值范围.
参考答案：
1.B
【分析】根据补集和交集的含义即可得到答案.
【详解】，则，
故选：B.
2.A
【分析】根据复数的四则运算法则即可计算.
【详解】.
故选：A.
3.C
【分析】利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】由已知.
故选：C.
4.C
【分析】根据二次函数 指数函数 分段函数 幂函数的图象与性质判断.
【详解】对于，二次函数，开口向下，在上单调递减，错误；
对于，指数函数，非奇非偶函数，错误；
对于C，为偶函数，且在上单调递增，C正确；
对于，幂函数，关于原点对称，为奇函数，错误.
故选：C.
5.C
【分析】直接利用棱锥的体积公式计算即可.
【详解】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为
故选：C.
6.A
【分析】根据分层抽样性质列方程求解.
【详解】设应抽取的老年人人数为，
由已知可得，
所以，
所以应抽取的老年人人数为6
故选：A.
7.A
【分析】根据椭圆焦距的计算列式得出答案.
【详解】焦点在轴上的椭圆的焦距为4，
则，解得，
故选：A.
8.A
【分析】由圆心到切线的距离等于半径，求出圆的半径，即可得到本题答案.
【详解】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，
所以该圆的标准方程是.
故选：A
9.D
【分析】利用裂项求和即可求解
【详解】因为，
所以
，
故选：D.
10.B
【分析】根据极值和最值的关系即可判断；根据极值点的定义即可判断；由导数的正负和函数的增减关系即可判断；由导数的几何意义即可判断.
【详解】对于A，因为时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
所以在处取得最小值，故A正确；
对于时，，当时，，
所以不是函数的极值点，故B错误；
对于C，当时，在区间上单调，故C正确；
对于D，因为在处切线的斜率大于零，故D正确.
故选：B.
11.C
【分析】运用插空法排列即可.
【详解】先排三人有排法，确定四个空，用插空法有种排法，
所以不同的排列方式共有种排法，
故选：C
12.C
【分析】根据每组的人数进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】当每组人数为时，方法有种.
当每组人数为时，方法有种.
所以不同的分配方法种数为种.
故选：C
13.21
【分析】根据等差数列及等比数列定义的性质即得.
【详解】因为成等差数列，则；
又成等比数列，则，
所以.
故答案为：21.
14.
【分析】由导数的几何意义即可求出切线斜率，即可求解切线方程.
【详解】因为，所以，所以
所以在点处的切线斜率为1，又，
则在点处的切线方程为
，即.
故答案为：.
15.135
【分析】直接根据二项式定理可得答案.
【详解】在的展开式中，含的项为，
其系数为.
故答案为：135.
16.
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.
【详解】设事件表示“有男生”，事件表示“两名都是男生”，
则，
故.
故答案为：.
17.（1）当或0时，两直线平行
（2）当时，两直线垂直
【分析】（1）根据两直线平行所满足的公式得到方程和不等式，求出的值；
（2）法一：考虑与两种情况，根据斜率乘积为-1列出方程，进行求解；
法二：根据两直线垂直所满足的进行求解.
【详解】（1）要使两直线平行，则需，且，
解得：或0.
所以当或0时，两直线平行；
（2）法一：①当时，直线的斜率不存在，直线，直线，此时满足；
②当，直线与直线，
要使两直线垂直，必有，方程无根，
综上①②可得：当时，两直线垂直.
法二：要使直线和直线垂直，
只需，
解得：，
所以当时，两直线垂直.
18.（1）
（2）.
【分析】（1）正弦定理求解；
（2）根据面积公式求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，
因为在中，且，所以.
（2）因为，
所以.
所以.
19.（1）证明过程见解析
（2）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；
（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.
【详解】（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
所以；
（2）是棱的中点，
故，
则，
设异面直线与所成角的大小为，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为.
20.
【分析】直接计算即可.
【详解】，
.
21.（1），焦点坐标为；（2）8.
【分析】（1）由抛物线的焦点到其准线的距离为2，可得即可求解；
（2）将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及过焦点的弦长公式即可求解.
【详解】解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为2，得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，
设，
联立方程组消去可得，
则，
所以.
22.（1）
（2）
【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间，根据极值点的概念即可求解；
（2）结合函数的单调性，分类讨论求的最小值，由最小值大于0可得参数范围.
【详解】（1）因为，所以，
令，得；令，得或，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，若函数在处取得极值，
则，解得.
（2）①若，即时，在上单调递增，在上单调递减，
因为在区间上，恒成立，
所以，解得，
又，所以.
②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为在区间上，恒成立，
所以，解得.
又，所以.
综上，可得，即的取值范围是.