提技能·题组训练
同底数幂的乘法法则
1.(2014·丰台区二模)计算(-a)3·(-a)4的结果是 ( )
A.a7 B.a12 C.a3+a4 D.-a7
【解析】选D.(-a)3·(-a)4=(-a)3+4=(-a)7=-a7.
2.在等式a2·a4·( )=a11中,括号里面的代数式应当是 ( )
A.a3 B.a4 C.a5 D.a6
【解析】选C.因为a2+4+5=a11,
所以a2·a4·(a5)=a11.
即括号里面的代数式应当是a5.
3.(2013·天津中考)计算a·a6的结果等于 .
【解析】a·a6=a7.
答案:a7
4.若a4·ay=a19,则y= .
【解析】∵a4·ay=a19,∴4+y=19,∴y=15.
答案:15
5.计算:(1)(b+2)3·(b+2)5·(b+2).
(2)(x-2y)2·(2y-x)3.
【解析】(1)(b+2)3·(b+2)5·(b+2)=(b+2)3+5+1=(b+2)9.
(2)方法一:(x-2y)2·(2y-x)3=(2y-x)2·(2y-x)3
=(2y-x)2+3=(2y-x)5.
方法二:(x-2y)2·(2y-x)3=(x-2y)2·[-(x-2y)]3
=-(x-2y)5.
6.计算:(-x)2n-1·(-x)n+2(n为正整数).
【解析】(-x)2n-1·(-x)n+2=(-x)2n-1+(n+2)=(-x)3n+1.
当n为偶数时,原式=-x3n+1;
当n为奇数时,原式=x3n+1.
【易错提醒】在利用同底数幂的乘法法则进行计算时的注意点
(1)同底数幂的乘法运算,注意要将部分底数不同的转化为同一底数的幂.
(2)三个或三个以上的同底数幂相乘可以一次进行.
(3)注意符号.
(4)单个字母的指数1不要忽略.
同底数幂的乘法法则的运用
1.x3m+3可以写成 ( )
A.3xm+1 B.x3m+x3
C.x3·xm+1 D.x3m·x3
【解析】选D.x3m+3=x3m·x3.
2.若15m=3,15n=2,则15m+n的值为 ( )
A.5 B.6 C.8 D.9
【解析】选B.∵15m=3,15n=2,∴15m+n=15m×15n=3×2=6.
3.已知5m+n=56×5n-m,则m的值是 .
【解析】∵5m+n=56×5n-m,∴m+n=6+n-m,解得m=3.
答案:3
4.卫星绕地球表面做圆周运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103m/s,则卫星运行102s所走的路程约是 m.
【解析】7.9×103×102=7.9×105(m).
答案:7.9×105
5.已知am=2,an=3,求下列各式的值:
(1)am+1. (2)an+2. (3)am+n+1.
【解析】(1)∵am=2,∴am+1=am·a=2a.
(2)∵an=3,∴an+2=an·a2=3a2.
(3)∵am=2,an=3,∴am+n+1=am·an·a=2×3·a
=6a.
6.1kg镭完全蜕变后,放出 ( http: / / www.21cnjy.com )的热量相当于3.75×105kg煤放出的热量,据估计地壳里含1×1010kg镭.试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量
【解析】3.75×105×1×1010=3.75×1015(kg).
答:这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015kg煤放出的热量.
计算:(x-y)2·(x-y)3-(x-y)4·(y-x).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:______________________________________.
答案：(1)①
(2)(x-y)2·(x-y)3-(x-y)4·(y-x)
=(x-y)2·(x-y)3-[-(x-y)4·(x-y)]
=(x-y)2+3+(x-y)4+1
=(x-y)5+(x-y)5
=2(x-y)5
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同底数幂的除法法则
1.(2013·舟山中考)下列运算正确的是 ( )
A.x2+x3=x5 B.2x2-x2=1
C.x2·x3=x6 D.x6÷x3=x3
【解析】选D.A.x2与x3不是同类项,不能直接合并,原式计算错误,故本选项错误;
B.2x2-x2=x2,原式计算错误,故本选项错误;
C.x2·x3=x5,原式计算错误,故本选项错误;
D.x6÷x3=x3,原式计算正确,故本选项正确.
2.(2013·扬州中考)下列运算中,结果是a4的是 ( )
A.a2·a3 B.a12÷a3
C.(a2)3 D.(-a)4
【解析】选D.A.a2·a3=a5,故选项不符合;
B.a12÷a3=a9,故选项不符合;
C.(a2)3=a6,故选项不符合;
D.符合.
3.(2013·台州中考)计算:x5÷x3= .
【解析】x5÷x3=x5-3=x2.
答案:x2
4.已知5x-2y=2,则35x÷32y= .
【解析】∵5x-2y=2,∴35x÷32y=35x-2y=32=9.
答案:9
【互动探究】已知35x÷32y=9,则5x-2y= .
【解析】∵35x÷32y=35x-2y=9=32,∴5x-2y=2.
答案:2
5.计算:(1)-m9÷m3.
(2)(-a)6÷(-a)3.
(3)(-8)6÷(-8)5.
(4)62m+3÷6m.
【解析】(1)-m9÷m3=-m9-3=-m6.
(2)(-a)6÷(-a)3=(-a)6-3=(-a)3=-a3.
(3)(-8)6÷(-8)5=-8.
(4)62m+3÷6m=62m+3-m=6m+3.
【易错提醒】在利用同底数幂的除法法则 ( http: / / www.21cnjy.com )进行计算时应注意:(1)同底数幂的除法运算,首先找出相同的底数,运算时,底数不变,指数相减,所得的差作为商的指数,注意转化一些可以化为同一底数的幂.
(2)注意计算时的符号,避免出现错误.
同底数幂的除法法则的运用
1.若a>0且ax=2,ay=3,则ax-y的值为 ( )
A.-1 B.1 C. D.
【解析】选C.∵ax=2,ay=3,∴ax-y=ax÷ay=.
2.计算:an+1·an-1÷(an)2的结果是 ( )
A.1 B.0 C.-1 D.±1
【解析】选A.an+1·an-1÷(an)2=an+1+n-1÷a2n=a2n÷a2n=1.
3.(2014·奉贤区模拟)若3m=5,3n=4,则32m-n= .
【解析】∵3m=5,∴32m=(3m)2=52=25,
又∵3n=4,则32m-n=32m÷3n=25÷4=.
答案:
【变式训练】若xm+2n=16,xn=2,求xm+n的值.
【解析】xm+2n÷xn=xm+n=16÷2=8,
∴xm+n的值为8.
4.信息技术的存储设备常用B,K,M,G等作为存储量的单位,其中1G=210M,1M=210K,
1K=210B(字节).小明一家外出旅游时携带一部存储量为1G的数码相机,他们最多能拍摄并保存大小为211K的数码相片张数为 .
【解析】∵1G=210M,1M=210K,∴1G=210×210K=220K,
则220÷211=29,
∴他们最多能拍摄并保存大小为211K的数码相片张数为29.
答案:29
5.计算:(1)33×36÷(-3)8.
(2)(a-b)3(b-a)2÷(b-a)4.
【解析】(1)原式=39÷38=39-8=3.
(2)原式=(a-b)3(a-b)2÷(a-b)4
=(a-b)3+2÷(a-b)4=a-b.
【知识归纳】底数互为相反数的幂化为同底数幂的方法
当幂的底数互为相反数时((- ( http: / / www.21cnjy.com )a)n·an):利用乘方的符号法则转化为同底数幂,即(-a)n=-an(n为自然数,且n是奇数),(-a)n=an(n为自然数,且n是偶数),进而求得最终结果.
6.某一人造地球卫星绕地球运动的速度约为7.9×103m/s,则该卫星运行2.37×106m所需要的时间约为多少
【解析】由题意列式可得(2.37×106)÷(7.9×103)
=(2.37÷7.9)×(106÷103)=0.3×103=300(s).
答:该卫星运行2.37×106m所需要的时间约为300s.
化简:(a2)3·(a2)4÷(-a2)5.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:_______________________________________________________
答案：(1)①
(2)(a2)3·(a2)4÷(-a2)5
=-(a2)3+4-5
=-(a2)2
=-a4.
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1.(2013·衡阳中考)下列运算正确的是 ( )
A.3a+2b=5ab B.a3·a2=a5
C.a8÷a2=a4 D.(-2a2)3=-a6
【解析】选B.选项A,不是同类项,不能合并,错误;
选项B,根据同底数幂的乘法法则,a3·a2=a3+2=a5,正确;
选项C,a8÷a2=a8-2=a6,错误;
选项D,(-2a2)3=-8a6,错误.
2.(2013·襄阳中考)下列运算正确的是 ( )
A.4a-a=3 B.a·a2=a3
C.(-a3)2=a5 D.a6÷a2=a3
【解析】选B.合并同类项时,把同类项的系数 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )相加减,字母及其指数不变;同底数的幂相乘,底数不变,指数相加;积的乘方,等于积中各因式分别乘方,再把所得的幂相乘;同底数的幂相除,底数不变,指数相减.故选项B正确.
3.(2013·湖州中考)计算6x3·x2的结果是 ( )
A.6x B.6x5 C.6x6 D.6x9
【解析】选B.6x3·x2=(6×1)(x3·x2)=6x5.
4.(2013·常州中考)有3张边长为a的正 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )方形纸片,4张边长分别为a,b(b>a)的矩形纸片,5张边长为b的正方形纸片,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),则拼成的正方形的边长最长可以为 ( )
A.a+b B.2a+b
C.3a+b D.a+2b
【解析】选D.3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2,
4张边长分别为a,b(b>a)的矩形纸片的面积是4ab,
5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2,
∵a2+4ab+4b2=(a+2b)2,
∴拼成的正方形的边长最长可以为(a+2b).
5.(2013·盐城中考)若x2-2x=3,则代数式2x2-4x+3的值为 .
【解析】2x2-4x+3=2(x2-2x)+3=2×3+3=9.
答案:9
6.(2013·厦门中考)计算:m2·m3= .
【解析】m2·m3=m5.
答案:m5
7.(2013·上海中考)因式分解:a2-1= .
【解析】根据平方差公式,a2-1=(a+1)(a-1).
答案:(a+1)(a-1)
8.(2013·北京中考)因式分解:ab2-4ab+4a= .
【解析】ab2-4ab+4a=a(b2-4b+4)=a(b-2)2.
答案:a(b-2)2
9.(2013·北京中考)已知x2-4x-1=0,
求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.
【解析】(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2
=4x2-12x+9-x2+y2-y2=3x2-12x+9
=3(x2-4x +3).
∵x2-4x-1=0,
∴把x2-4x=1代入化简后的代数式得,
原式=12.
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同底数幂的乘法
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·岳阳中考)计算a3·a2的结果是 ( )
A.a5 B.a6 C.a3+a2 D.3a2
【解析】选A.a3·a2=a3+2=a5.
2.下列各式计算结果不是a14的是 ( )
A.a7+a7
B.a2·a3·a4·a5
C.(-a)2·(-a)3·(-a)4·(-a)5
D.a5·a9
【解析】选A.A、a7+a7=2a7;B、a2·a3·a4·a5=a2+3+4+5=a14;
C、(-a)2·(-a)3·(-a)4·(-a)5=(-a)14=a14;
D、a5·a9=a5+9=a14.
3.若am+n·an+1=a6,且m-2n=1,则mn+1的值是 ( )
A.1 B.3 C.6 D.9
【解析】选D.∵am+n·an+1=a6,
∴am+2n+1=a6,∴m+2n+1=6,
∴解得:
∴mn+1=31+1=9.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如果a5·an=a10,则n= .
【解析】∵a5·an=a10,∴5+n=10,∴n=5.
答案:5
5.(1)若x5=6,x3=4,则x8= .
(2)已知+|3x-2y-8|=0,则yx·y2= .
【解析】(1)∵x8=x5+3=x5·x3,∴x8=6×4=24.
(2)∵+|3x-2y-8|=0,
又≥0,|3x-2y-8|≥0,
∴x-2=0,3x-2y-8=0,
解得x=2,y=-1,yx·y2=yx+2=(-1)2+2=1.
答案:(1)24 (2)1
6.一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专 ( http: / / www.21cnjy.com )门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金10万元.随着影响的扩大,第n(n≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%,则当该月所募集到的资金首次突破100万元时,相应的n的值为 .(参考数据:1.25≈2.5,1.26≈3.0,1.27≈3.6)
【解析】第一个月募集到资金10万元,
则第二个月募集到资金10×(1+20%)万元,
第三个月募集到资金10×(1+20%)2万元,…,
第n个月募集到资金10×(1+20%)n-1万元,
由题意得:
10(1+20%)n-1>100,
1.2n-1>10,
∵1.26×1.27=10.8>10,
∴n-1=6+7=13,
n=14.
答案:14
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:
(1)x6·(-x)3-(-x)2·(-x)7.
(2)4×2n.
(3)(m-n)·(n-m)3·(n-m)4.
(4)x·(-x)2·(-x)2n+1-x2n+2·x2(n为正整数).
【解析】(1)原式=-x6·x3+x2·x7=-x9+x9=0.
(2)原式=22×2n=22+n.
(3)原式=-(n-m)1+3+4=-(n-m)8.
(4)原式=-x·x2·x2n+1-x2n+2·x2=-x2n+1+2+1-x2n+2+2=-2x2n+4.
8.(8分)(2013·张家界中考)阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22013的值.
解:设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,
将下式减去上式得2S-S=22014-1,
即S=22014-1,
即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1.
请你仿照此法计算:
(1)1+2+22+23+24+…+210.
(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).
【解析】(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,
将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,
将下式减去上式得:2S-S=211-1,即S=211-1,
则1+2+22+23+24+…+210=211-1.
(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n,
将等式两边同时乘以3得:3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1,
下式减去上式得:3S-S=3n+1-1,即S=(3n+1-1),
则1+3+32+33+34+…+3n=(3n+1-1).
【培优训练】
9.(10分)先阅读下列材料,再解答后面的问题.
材料:一般地,n个相同因数相乘,记为an,如23=8,此时3叫做以2为底8的对数,记为log28(即log28=3).
一般地,若an=b(a>0且a≠ ( http: / / www.21cnjy.com )1,b>0),则n叫做以a为底b的对数,记为logab(即logab=n).如34=81,4叫做以3为底81的对数,记为log381=4.
问题:(1)计算以下各对数的值:log24= ;log216= ;
log264= .
(2)观察(1)中三数4,16,64之间满足怎样的关系 log24,log216,log264之间又满足怎样的关系
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗
logaM+logaN= (a>0,且a≠1,M>0,N>0).
根据幂的运算法则am·an=am+n以及对数的含义证明上述结论.
【解析】(1)∵4=22,16=24,64=26,
∴log24=2;log216=4;log264=6.
(2)4×16=64,log24+log216=log264.
(3)logaM+logaN=logaMN.
证明:logaM=m,logaN=n,
则M=am,N=an,
∴MN=am·an=am+n,
∴logaMN=m+n,
故logaM+logaN=logaMN.
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两数和乘以这两数的差的公式
1.下列算式能用两数和乘以这两数的差的公式计算的是 ( )
A.(3a+b)(a-b) B.(-3a-b)(-3a+b)
C.(3a+b)(-3a-b) D.(-3a+b)(3a-b)
【解析】选B.选项A中不存 ( http: / / www.21cnjy.com )在相同的项,选项B中-3a是相同的项,互为相反项的是b与-b,符合平方差公式的要求;选项C,D中不存在相同的项,因此A,C,D都不符合题目要求.
2.与3a-2b2相乘的积等于9a2-4b4的因式是 ( )
A.3a+2b B.3a-2b
C.3a+2b2 D.3a-2b2
【解析】选C.(3a-2b2)(3a+2b2)=9a2-4b4.
3.为了应用两数和乘以这两数的差的公式计算(2x+y+z)(y-2x-z),下列变形正确的是 ( )
A.[2x-(y+z)]2
B.[2x+(y+z)][2x-(y+z)]
C.[y+(2x+z)][y-(2x+z)]
D.[z+(2x+y)][z-(2x+y)]
【解析】选C.根据题意分析:2x,z异号,y同号,
∴(2x+y+z)(y-2x-z)=[y+(2x+z)][y-(2x+z)].
4.化简:(2m-b)(b+2m)= .
【解析】原式=(2m-b)(2m+b)
=(2m)2-b2=4m2-b2.
答案:4m2-b2
5.如果(a+b+2)(a-2+b)=32,则a+b的值为 .
【解析】∵(a+b+2)(a-2+b)=32,
∴(a+b+2)(a+b-2)=32,
∴(a+b)2-4=32,
∴(a+b)2=36,
∴a+b=±6.
答案:±6
【变式训练】若(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,则x2-y2的值是 ( )
A.8 B.-8 C.15 D.-15
【解析】选D.∵(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,
∴
∴x+y=3,x-y=-5.
∵(x+y)(x-y)=x2-y2,
∴x2-y2=3×(-5)=-15.
6.化简:(1)(2013·台州中考)(x+1)(x-1)-x2.
(2)(2013·温州中考)(1+a)(1-a)-a(a-3).
【解析】(1)原式=x2-1-x2=-1.
(2)原式=1-a2-a2+3a=1+3a-2a2.
【易错提醒】运用两数和乘以这两数的差的公式时易出现的错误
1.只把单项式中的字母平方,而单项式的系数没有平方.
2.不符合公式特征的多项式乘法,没有变形就利用公式.
两数和乘以这两数的差的公式的运用
1.499×501可表示为 ( )
A.5002+12 B.5002-12
C.5002-4992 D.5002+4992
【解题指南】解决本题的关键是把499×501写成(500-1)×(500+1)的形式,然后利用两数和乘以这两数的差的公式计算即可得解.
【解析】选B.499×501
=(500-1)×(500+1)
=5002-12.
2.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值为 .
【解析】∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,
∴(2a+2b)2-1=63,
∴(2a+2b)2=64,∴4(a+b)2=64,
∴(a+b)2=16,∴a+b=±4.
答案:±4
3.用简便方法计算:10×9= .
【解析】原式=
=102-
=100-
=99.
答案:99
4.已知两个正方形的边长的差是2cm,它们面积的差是40cm2.则这两个正方形的边长分别为 .
【解析】设大小正方形的边长分别为a,b,
根据题意得:a-b=2,a2-b2=40,
∵(a+b)(a-b)=a2-b2,
∴(a+b)(a-b)=40,
可得a+b=20,
与a-b=2联立得方程组
解得
则大正方形的边长为11cm,小正方形的边长为9cm.
答案:11cm,9cm
5.解方程.
(1)3(2x-3)(2x+3)+15=0.
(2)(4x+1)(x-1)+(-2x+5)(2x+5)=25.
【解析】(1)由原方程,得4x2-9=-5,4x2=4,
x2=1,x=±1,
解得,x=1或x=-1.
(2)由原方程,得
4x2-3x-1-4x2+25=25,
移项、合并同类项,得
-3x=1,
化未知数系数为1,得
x=-.
6.若a=,b=,试不用将分数化小数的方法比较a,b的大小.
【解析】∵a====,
b==,
∵20132-1<20132,
∴a先化简,再求值.
x(4x+y)-(2x-y)(2x+y),其中x=2,y=1.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_____步开始出现错误.
(2)纠错:______________________________________________.
答案：(1)①
(2)x(4x+y)-(2x-y)(2x+y)
=4x2+xy-4x2+y2
=xy+y2
当x=2,y=1时,
原式=xy+y2=2×1+1=3
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幂的乘方法则
1.(2013·宁夏中考)计算(a2)3的结果是 ( )
A.a5 B.a6 C.a8 D.3a2
【解析】选B.(a2)3=a2×3=a6.
2.(m2)3·m4等于 ( )
A.m9 B.m10 C.m12 D.m14
【解析】选B.(m2)3·m4=m6·m4=m10.
3.计算:(1)[(x+y)2]6= .
(2)a8+(a2)4= .
【解析】(1)[(x+y)2]6=(x+y)2×6=(x+y)12.
(2)a8+(a2)4=a8+a2×4=a8+a8=2a8.
答案:(1)(x+y)12 (2)2a8
4.(2014·郑州模拟)根据幂的乘方请写出一个运算结果为a14的式子: .
【解析】(a7)2=(a2)7=a14.
答案:(a7)2或(a2)7(答案不唯一)
5.计算:[(-x)4]5×(x3)4= .
【解析】[(-x)4]5×(x3)4=x20·x12=x32.
答案:x32
【变式训练】已知2a=8b(a,b是正整数)且a+2b=5,那么2a+8b的值是 .
【解析】∵2a=8b,∴2a=23b,即a=3b,
又∵a+2b=5,∴a=3,b=1.
把a=3,b=1代入2a+8b得23+81=8+8=16.
答案:16
6.计算:
(1)(a2)4·(-a5)2·(-a4)3.
(2)x5·x7+x6·(-x3)2+2(x3)4.
(3)(-a2)3+(-a3)2-a2·a4.
(4)[(a+b)6]2·[(a+b)2]4.
(5)-a6·a5·a+5(a3)4-3(a3)3·a2·a.
【解析】(1)原式=a8·a10·(-a12)=-a30.
(2)原式=x12+x6·x6+2x12=x12+x12+2x12=4x12.
(3)原式=-a6+a6-a6=-a6.
(4)原式=(a+b)12·(a+b)8=(a+b)20.
(5)原式=-a12+5a12-3a12=a12.
【易错提醒】底数中含有负号时,要注意结果的正负,避免出现符号错误;同时要注意与同底数幂的乘法的区别.
幂的乘方法则的灵活运用
1.若a2n=3,则2a6n-1的值为 ( )
A.17 B.35 C.53 D.1457
【解析】选C.∵a2n=3,
∴2a6n-1=2×(a2n)3-1=2×33-1=54-1=53.
2.比较3555,4444,5333的大小,正确的是 ( )
A.5333<3555<4444 B.3555<5333<4444
C.4444<3555<5333 D.5333<4444<3555
【解析】选A.∵3555=(35)111=243111,
4444=(44)111=256111,
5333=(53)111=125111,
又∵125<243<256,
∴125111<243111<256111,
即5333<3555<4444.
【知识归纳】比较底数不同、指数不同的幂的大小的两种方法
方法一:化为底数相同的幂,比较指数的大小,指数越大,幂越大;
方法二:化为指数相同的幂,比较底数的大小,底数越大,幂越大.
3.若x2n=3,则x4n= .
【解析】∵x2n=3,
∴x4n=(x2n)2=32=9.
答案:9
4.若a2n=3,则(a3n)4= .
【解析】∵(a3n)4=a12n=(a2n)6,
又∵a2n=3,∴(a3n)4=(a2n)6=36.
答案:36
5.已知am=7,a2n=4,求a2m+n的值.
【解析】∵am=7,a2n=4,∴an=±2,
∴a2m+n=(am)2·an=49×(±2)=±98.
已知:3m·9m·27m·81m=330,求m的值.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:_______________________________________
答案：(1)②
(2)由题意知,3m·9m·27m·81m
=3m·(32)m·(33)m·(34)m
=3m·32m·33m·34m
=3m+2m+3m+4m
=310m,
∵3m·9m·27m·81m=330,∴10m=30,解得m=3.
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两数和(差)的平方
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·临沂中考)下列运算正确的是 ( )
A.x2+x3=x5 B.(x-2)2=x2-4
C.2x2·x3=2x5 D.(x3)4=x7
【解析】选C.A选项,两项不是同类项,不能合 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )并,故错误;B选项,(x-2)2=x2-4x+4,故错误;D选项,(x3)4=x3×4=x12,故错误.
2.图中阴影部分面积等于 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.a2+b2 B.a2-b2
C.ab D.2ab
【解析】选D.阴影部分面积=(a+b)2-2·a·a-2·b·b
=a2+2ab+b2-a2-b2
=2ab.
3.如图,从边长为(a+4)cm的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的小正方形(a>0),剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则矩形的面积为
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.(2a2+5a)cm2 B.(3a+15)cm2
C.(6a+9)cm2 D.(6a+15)cm2
【解析】选D.矩形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com )等于大正方形的面积减去小正方形的面积,(a+4)2-(a+1)2=a2+8a+16-(a2+2a+1)=a2+8a+16-a2-2a-1=(6a+15)cm2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2014·潘集区模拟)已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2= .
【解析】(m-n)2=m2-2mn+n2=8 ①,
(m+n)2=m2+2mn+n2=2 ②,
①+②得,2(m2+n2)=10,
解得m2+n2=5.
答案:5
5.用完全平方公式计算(x-m)2=x2-4x+n,则m+n的值为 .
【解析】∵(x-m)2=x2-4x+n,
∴x2-2mx+m2=x2-4x+n,
∴-2m=-4,m2=n,
解得:m=2,
∴n=22=4,
∴m+n=2+4=6.
答案:6
6.若+b2+2b+1=0,则a2+-|b|= .
【解析】∵+b2+2b+1=0,
∴a2-3a+1=0,(b+1)2=0,
∵a≠0,∴a+=3,b=-1,
∴a2+-|b|=(a+)2-2-1=9-3=6.
答案:6
三、解答题(共26分)
7.(6分)计算:
(1)(a-2b-3c)2.
(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2.
【解析】(1)原式=(a-2b)2-2×(a-2b)×3c+9c2=a2+4b2-4ab-6ac+12bc+9c2
=a2+4b2+9c2-4ab-6ac+12bc.
(2)原式=[(x-z)+2y][(x-z)-2y]-[(x-z)+y]2=(x-z)2-4y2-(x-z)2-2(x-z)y-y2
=-5y2-2xy+2yz.
【高手支招】两数和的平方公式常见的几种应用形式
1.变位置:
如(-a+b)2变形为(b-a)2
2.变项数:
如(a+b+c)2可先变形为[a+(b+c)]2或[(a+b)+c]2或者[(a+c)+b]2,再进行计算.
3.变结构:
如(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)2.
(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)2.
(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)2.
8.(10分)(1)先化简,(2x+1)2- ( http: / / www.21cnjy.com )(2x+1)(2x-1)+(x+1)(x-2),并请选取你所喜欢的x的值代入求值.
(2)已知(m+n)2=10,(m-n)2=2,求m4+n4的值.
【解析】(1)原式=4x2+4x+1-4x2+1+x2-x-2=x2+3x;
此处x可取任意值,如取x=1,将x=1代入x2+3x,得x2+3x=1+3=4.
(2)(m+n)2=10,(m-n)2=2,
∴m2+2mn+n2=10,m2-2mn+n2=2,
得:m2+n2=6,4mn=8,∴mn=2.
∴(m2+n2)2= m4+n4+2m2n2,
∴m4+n4=(m2+n2)2-2(mn)2
=62-2×22=36-8=28.
【培优训练】
9.(10分)阅读理解题:
“若x满足(210-x)(x-200)=-204,试求(210-x)2+(x-200)2的值,”
解:设210-x=a,x-200=b,
则ab=-204,且a+b=(210-x)+(x-200)=10,
∵(a+b)2=a2+2ab+b2,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2(-204)=508,
即(210-x)2+(x-200)2的值为508.
同学们,根据材料,请你完成下面这一题的解答过程:
“若x满足(2014-x)2+(2012-x)2=4030,试求(2014-x)(2012-x)的值”.
【解析】设2014-x=a,2012-x=b,
则有x-2012=-b,
∵a-b=2014-x+x-2012=2,
又∵(a-b)2=a2-2ab+b2,a2+b2=4030,
∴4030-4=2ab,ab=2013,
即(2014-x)(2012-x)=2013.提技能·题组训练
多项式除以单项式法则
1.计算(x4y+6x3y2-x2y2)÷3x2y的结果为 ( )
A.3x2+2xy B.3x2+2xy+3x
C.3x2-2xy-3x D.x2+2xy-y
【解析】选D.原式=x4y÷3x2y+6x3y2÷3x2y-x2y2÷3x2y
=x2+2xy-y.
2.若5x3y2与一个多项式的积为20x5y2-15x3y4+70(x2y3)2,则这个多项式为
( )
A.4x2-3y2 B.4x2y-3xy2
C.4x2-3y2+14xy4 D.4x2-3y2+7xy3
【解析】选C.由题意知,[20x5y2-15 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )x3y4+70(x2y3)2]÷5x3y2=(20x5y2-15x3y4+70x4y6)÷5x3y2
=4x2-3y2+14xy4.
【变式训练】如果M÷(-3xy)=4x3-xy,则M= ( )
A.-12x4y+3x2y2 B.12x4y-3x2y2
C.-12x4y-3x2y2 D.12x4y+3x2y2
【解析】选A.M=(4x3-xy)(-3xy)=-12x4y+3x2y2.
3.长方形面积是3a2-3ab+6a,一边长为3a,则它的周长为 ( )
A.2a-b+2 B.8a-2b C.8a-2b+4 D.4a-b+2
【解析】选C.长方形的另一边长为:(3a2-3ab+6a)÷3a
=a-b+2,
所以长方形的周长为2(a-b+2+3a)=8a-2b+4.
4.计算:(3x3y-18x2y2+x2y)÷(-6x2y)= .
【解析】(3x3y-18x2y2+x2y)÷(-6x2y)
=3x3y÷(-6x2y)-18x2y2÷(-6x2y)+x2y÷(-6x2y)
=-x+3y-.
答案:-x+3y-
5.小亮与小明在做游戏,两人各写一个 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )整式,两个整式的商式必须是2xy,小明写的整式作为被除式,小亮写的整式作为除式,若小明写的是x3y-2xy2,则小亮写的是 .
【解析】(x3y-2xy2)÷2xy=x2-y.
答案:x2-y
6.计算:(1)(9x3y2-6x2y+3xy2)÷(-3xy).
(2)(54x2y-108xy2-36xy)÷18xy.
【解析】(1)(9x3y2-6x2y+ ( http: / / www.21cnjy.com )3xy2)÷(-3xy)=9x3y2÷(-3xy)-6x2y÷(-3xy)+3xy2÷(-3xy)
=-3x2y+2x-y.
(2)(54x2y-108xy2-36xy)÷18xy
=54x2y÷18xy-108xy2÷18xy-36xy÷18xy
=3x-6y-2.
【易错提醒】运用多项式除以单项式法则计算时的注意事项
1.多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时,应注意要逐项运算,不要漏项、串项.
2.要注意各项的符号.
整式的混合运算
1.计算[(x+y)2-(x-y)2]÷2xy的结果是 ( )
A.2xy B.2 C.4 D.xy
【解析】选B.[(x+y)2-(x-y)2]÷2xy
=[(x+y+x-y)(x+y-x+y)]÷2xy
=4xy÷2xy
=2.
2.当x=2014时,计算[(x-3)2+(6x-9)]÷x的值是 ( )
A.2014 B.-2014 C.1007 D.4028
【解析】选A.[(x-3)2+(6x ( http: / / www.21cnjy.com )-9)]÷x=(x2-6x+9+6x-9)÷x =x2÷x=x,当x=2014时,原式=2014.
3.已知A=2x,B是多项式,在计算B+A时,小马虎同学把B+A看成了B÷A,结果得x2+x,则B+A= .
【解析】由题意知,B÷A=x2+x,∴B= A(x2+x),
又∵A=2x,∴B=2x(x2+x)=2x3+x2,
∴B+A=2x3+x2+2x.
答案:2x3+x2+2x
4.按程序x 平方 +x ÷x -2x进行运算后,结果用x的代数式表示是 .(填入最简形式)
【解析】由题意知,(x2+x)÷x-2x=(x+1)-2x=x+1-2x=-x+1.
答案:-x+1
5.计算:(1)(12a3b2-4a2b3)÷(-2ab)2.
(2)[(2a-b)2-b(4a+b)-8ab]÷2a.
【解析】(1)(12a3b2-4a2b3)÷(-2ab)2
=(12a3b2-4a2b3)÷4a2b2=3a-b.
(2)[(2a-b)2-b(4a+b)-8ab]÷2a
=(4a2-4ab+b2-4ab-b2-8ab)÷2a
=(4a2-16ab)÷2a=2a-8b.
6.先化简,再求值:(4ab3-8a2b2)÷4ab+(2a+b)(2a-b),其中a=2,b=1.
【解析】原式=b2-2ab+4a2-b2=-2ab+4a2,
当a=2,b=1时,原式=-2×2×1+4×22=-4+16=12.
计算:[(2a2bc)3-6a3b-(-4ab2)2]÷2a2b.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________________.
答案：(1)①
(2)原式=(8a6b3c3-6a3b-16a2b4)÷2a2b
=8a6b3c3÷2a2b-6a3b÷2a2b-16a2b4÷2a2b
=4a4b2c3-3a-8b3
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两数和乘以这两数的差
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列各式中,不能用两数和乘以这两数的差的公式计算的是 ( )
①(-0.7x-0.5y)(0.7x+0.5y);②60×61;
③(5ab+2x)(-5ab+2x);
④[x+(2y+3)]·[x-(2y+3)].
A.①③ B.①④ C.①② D.②③
【解析】选C.①(-0.7x-0.5y)(0.7x+0.5y)=-(0.7x+0.5y)(0.7x+0.5y)
=-(0.7x+0.5y)2不符合两数和乘以这两数的差的公式的形式,故错误;
②60×61不符合两数和乘以这两数的差的公式的形式,故错误;
③(5ab+2x)(-5ab+2x)=(2x)2-(5ab)2,正确;
④[x+(2y+3)]·[x-(2y+3)]=x2-(2y+3)2,正确.
③④均能用两数和乘以这两数的差的公式计算,①②不能.
2.若81-xk=(x2+9)(x+3)(3-x),则k的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】选C.∵(x2+9)(x+3)(3-x)
=(x2+9)(9-x2)
=81-x4,
∴k=4.
3.已知a+b=3,则a2-b2+6b的值为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.15
【解析】选B.∵(a+b)(a-b)=a2-b2,
∴a2-b2=(a+b)(a-b),
∴a2-b2+6b
=(a+b)(a-b)+6b
=3(a-b)+6b
=3a+3b
=3(a+b)
=9.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·郴州中考)已知a+b=4,a-b=3,则a2-b2= .
【解析】(a+b)(a-b)=a2-b2=4×3=12.
答案:12
【变式训练】观察等式22-12=3,32-2 ( http: / / www.21cnjy.com )2=5,42-32=7,…用含自然数n的等式表示它的规律为 .
【解析】运用公式(a+b)(a-b)=a ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2-b2计算,由等式22-12=3,32-22=5,42-32=7,…可得出(n+1)2-n2,根据(n+1)2-n2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1即可解答.
答案:(n+1)2-n2=2n+1(n为大于等于1的正整数)
5.长方形的长是(2m+3n)cm,宽为(2m-3n)cm,则该长方形的面积是 cm2.
【解析】(2m+3n)(2m-3n)=4m2-9n2.
答案:(4m2-9n2)
6.阅读以下内容:(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)·(x2+x+1)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)
=x4-1,根据上面的规律,得(x-1)(xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1)= (n为正整数).
【解析】(x-1)(x+1)=x2-1,
(x-1)(x2+x+1)=x3-1,
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1,
…
规律为左边都有(x-1)和关于x的多项式,常数项和每项系数均为1;
右边多项式的次数比左边多项式的次数大1.
故(x-1)(xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1)=xn-1(n为正整数).
答案:xn-1
三、解答题(共26分)
7.(8分)先化简,再求值:
(1)(x+3)(x-3)-x(x-2),其中x=4.
(2)x(x+1)-(x+1)(x-1),其中x=2015.
【解析】(1)原式=x2-9-x2+2x=2x-9,
当x=4时,原式=2×4-9=-1.
(2)原式=x2+x-(x2-1)=x2+x-x2+1=x+1,
当x=2015时,原式=2015+1=2016.
8.(8分)某校有甲、乙两个正方形花坛,现要对它们进行改建:
(1)若把甲的边长增加3m,则所得的正方形花坛面积就增加了45m2,求甲正方形花坛原来的边长.
(2)若把乙正方形花坛的一组对边各 ( http: / / www.21cnjy.com )增加5m,另一组对边各减少5m,则所得的长方形花坛的面积是变大了还是变小了 大(小)多少
【解析】(1)设甲正方形花坛原来的边长为am,
依题意得:(a+3)2-a2=45,
∵(a+b)(a-b)=a2-b2,
∴a2-b2=(a+b)(a-b).
∴(a+3)2-a2=[(a+3)+a][(a+3)-a]
=3(2a+3),
∴方程(a+3)2-a2=45化为3(2a+3)=45,
解得:a=6,
答:甲正方形花坛原来的边长是6m.
(2)设乙正方形花坛原来的边长为bm,
依题意得:(b+5)(b-5)-b·b=-25,
答:面积变小了,变小了25m2.
【培优训练】
9.(10分)根据以下10个乘积,回答问题:
11×29;12×28;13×27;14×26;15×25;
16×24;17×23;18×22;19×21;20×20.
(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”(两数和乘以这两数的差)的形式,并写出其中一个的思考过程.
(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来.
【解析】(1)11×29=202-92;12×28=202-82;13×27=202-72;
14×26=202-62;15×25=202-52;16×24=202-42;
17×23=202-32;18×22=202-22;19×21=202-12;
20×20=202-02
例如,11×29;假设11×29=□2-○2,
因为□2-○2=(□+○)(□-○);
所以,可以令□-○=11,□+○=29.
解得,□=20,○=9.故11×29=202-92.
(或11×29=(20-9)(20+9)=202-92)
(2)这10个乘积按照从小到大的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )顺序依次是:11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.
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单项式与多项式相乘的法则
1.(2013·恩施中考)下列运算正确的是 ( )
A.x3·x2=x6 B.3a2+2a2=5a2
C.a(a-1)=a2-1 D.(a3)4=a7
【解析】选B.选项A,根据同底数幂的乘法, ( http: / / www.21cnjy.com )可得x3·x2=x5;选项B,根据合并同类项的法则,可得3a2+2a2=5a2;选项C,根据单项式乘以多项式法则,可得a(a-1)=a2-a;选项D,根据幂的乘方,可得(a3)4=a12.
2.计算-3x2(4x-3)等于 ( )
A.-12x3+9x2 B.-12x3-9x2
C.-12x2+9x2 D.-12x2-9x2
【解析】选A.-3x2(4x-3)=-12x3+9x2.
【变式训练】计算x2y(xy-x2y2+2x3y2)所得结果的次数是 ( )
A.20 B.16 C.8 D.6
【解析】选C.x2y(xy-x2y2+2x3y2)
=x3y2-x4y3+2x5y3.
所以所得结果的多项式的次数是8.
3.化简a(b-c)-b(c-a)+c(a-b)的结果是 ( )
A.2ab+2bc+2ac B.2ab-2bc
C.2ab D.-2bc
【解析】选B.a(b-c)-b(c-a)+c(a-b)
=ab-ac-bc+ab+ac-bc=2ab-2bc.
4.计算:(x2-2y)·(xy2)2= .
【解析】(x2-2y)·(xy2)2=(x2-2y)·x2y4
=x2·x2y4-2y·x2y4=x4y4-2x2y5.
答案:x4y4-2x2y5
5.(1)(2013·舟山中考)化简:a(b+1)-ab-1.
(2)计算:.
【解析】(1)a(b+1)-ab-1=ab+a-ab-1=a-1.
(2)原式=×ab2+(-2ab)+×b
=-a2b3+a2b2-ab2.
【易错提醒】单项式乘多项式常见的错误
(1)若单项式前有“-”号,在乘多项式时,注意符号问题.
(2)利用单项式乘多项式的法则,将单项式与多项式的每一项相乘,不能漏乘,特别是不要漏乘多项式中的常数项.
6.化简:6a2-5a(-a+2b-1)+4a.
【解析】6a2-5a(-a+2b-1)+4a
=6a2+5a2-10ab+5a-12a2-10ab-3a
=-a2-20ab+2a.
单项式与多项式相乘法则的综合运用
1.要使(x2+ax+1)(-6x3)的展开式中不含x4项,则a应等于 ( )
A.6 B.-1 C. D.0
【解析】选D.∵(x2+ax+1)(-6x3)=-6x5-6ax4-6x3.若展开式中不含x4项,则-6a=0,∴a=0.
2.“单项式与多项式乘法”的检测卷下发后,小明发现一道题:-3xy·(4y-2x-1)
=-12xy2+6x2y+ ,空格的地方被钢笔水弄污了,你认为横线上应填写
( )
A.3xy B.-3xy C.-1 D.1
【解析】选A.∵-3xy·(4y-2x-1) ( http: / / www.21cnjy.com )=(-3xy·4y)+3xy·2x+3xy·1=-12xy2+6x2y+3xy,∴横线上应填写3xy.
【变式训练】某同学在计算一个多项式乘以 ( http: / / www.21cnjy.com )-3x2时,因抄错运算符号,算成了加上-3x2,得到的结果是x2-4x+1,那么正确的计算结果是多少
【解析】根据题意,这个多项式是(x2-4x+1)-(-3x2)=4x2-4x+1.
正确的计算结果是:(4x2-4x+1)·(-3x2)=-12x4+12x3-3x2.
3.当x= 时,3x(x-1)-x(3x-6)=12.
【解析】3x(x-1)-x(3x-6)=12,
3x2-3x-(3x2-6x)=12,
3x2-3x-3x2+6x=12,
3x=12,
解得:x=4.
答案:4
4.一个长方体的长为a-2,宽为3a,高为a,则该长方体的体积为 .
【解析】长方体的体积为(a-2)×3a×a=2a3-4a2.
答案:2a3-4a2
5.已知某长方形的长为(a+b)cm,它的宽比长短(a-b)cm,求这个长方形的周长与面积.
【解析】∵长方形的长为( ( http: / / www.21cnjy.com )a+b)cm,∴长方形的宽为(a+b)-(a-b)=2b(cm),长方形的周长为2(a+b+2b)=2a+6b(cm),
长方形的面积为(a+b)×2b=2ab+2b2(cm2).
6.先化简,再求值:2(a2b+ab2)-2(a2b-1)-ab2-2,其中a=-2,b=2.
【解析】原式=2a2b+2ab2-2a2b+2-ab2-2
=2a2b-2a2b+2ab2-ab2+2-2
=(2a2b-2a2b)+(2ab2-ab2)+(2-2)=ab2,
当a=-2,b=2时,原式=-2×22=-8.
计算:(-2ab)(3a2-2ab-b2).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:_______________________________________________________.
答案：(1)①
(2)(-2ab)(3a2-2ab-b2)
=(-2ab)·(3a2)+(-2ab)·(-2ab)+(-2ab)·(-b2)
=-6a3b+4a2b2+2ab3
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积的乘方法则
1.(2013·重庆中考)计算(2x3y)2的结果是 ( )
A.4x6y2 B.8x6y2
C.4x5y2 D.8x5y2
【解析】选A.(2x3y)2=4x6y2.
2.(2013·遵义中考)计算的结果是 ( )
A.-a3b6 B.-a3b5
C.-a3b5 D.-a3b6
【解析】选D.=·a3(b2)3=-a3b6.
3.(2014·罗湖区模拟)计算:(3a)2-2a·3a= .
【解析】原式=9a2-6a2=3a2.
答案:3a2
4.有一道计算题:(-a4)2,李老师发现全班有以下四种解法:
①(-a4)2=(-a4)(-a4)=a4·a4=a8;
②(-a4)2=-a4×2=-a8;
③(-a4)2=(-a)4×2=(-a)8=a8;
④(-a4)2=(-1×a4)2=(-1)2·(a4)2=a8.
你认为其中完全正确的是(填序号) .
【解析】①④正确,②③错误.对于②,(-a4 ( http: / / www.21cnjy.com ))2=a4×2=a8.对于③,因为负号不是底数a的,所以正确解答应为(-a4)2=(-1)2·a4×2=a8.
答案:①④
5.计算:(1)(5m)3.(2)(-xy2)3.
【解析】(1)(5m)3=53·m3=125m3.
(2)(-xy2)3=(-1)3·x3·(y2)3=-x3y6.
【易错提醒】(1)系数的乘方,当底数的积中含有“-”号时,可将“-”号看成“-1”作为一个因式,避免漏乘.
(2)因数中若有幂的形式,要注意运算步骤,先进行积的乘方,后作因数幂的乘方.
积的乘方法则的灵活运用
1.计算×0.82015得 ( )
A.0.8 B.-0.8 C.1 D.-1
【解题指南】本题的解题关键是把0.82015化为0.82014×0.8,再根据积的乘方的逆运算,与0.82014相结合.
【解析】选A.原式=×0.82014×0.8
=×0.8
=0.8.
2.计算××的值等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.原式=××××
=××
=×
=.
3.(2013·福州中考)已知实数a,b满足a+b=2,a-b=5,则(a+b)3·(a-b)3的值是 .
【解析】∵a+b=2,a-b=5,
∴原式=[(a+b)(a-b)]3=103=1000.
答案:1000
4.计算:0.1252013×(-8)2014= .
【解析】0.1252013×(-8)2014
=(-0.125×8)2013×(-8)
=(-1)×(-8)
=8.
答案:8
5.用简便方法计算:
(1)×42.
(2)(-0.25)12×412.
(3)0.52×25×0.125.
(4)×(23)3.
【解析】(1)原式=×42=92=81.
(2)原式=×412=×412=1.
(3)原式=×25×=.
(4)原式=×83==8.
【变式训练】比较218×310与210×315的大小.
【解析】218×310=210×310×28
=(2×3)10×28=610×28,
210×315=210×310×35
=(2×3)10×35
=610×35,
∵28>35,∴218×310>210×315.
计算:(-3ab2c3)2.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第______步开始出现错误.
(2)纠错:_______________________________________________________
答案：(1)①
(2)(-3ab2c3)2
=(-3)2×a2×(b2)2×(c3)2
=9a2b4c6.
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因式分解的意义
1.下列式子变形是因式分解的是 ( )
A.x2-5x+6=x(x-5)+6 B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)
C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6 D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)
【解析】选B.x2-5x+6=x(x-5)+6的右边是和的形式,所以不是因式分解,故A选项错误;
x2-5x+6=(x-2)(x-3)满足 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )多项式由和差形式化为乘积形式,且右边(x-2)(x-3)=x2-3x-2x+6=x2-5x+6,等号的左边和右边相等,所以B选项正确;(x-2)(x-3)=x2-5x+6是将乘积的形式化成和差的形式,是多项式乘法而不是因式分解,所以C选项错误.x2-5x+6=(x+2)(x+3)“看起来”满足多项式由和差形式化为乘积形式,但是(x+2)(x+3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6,与等式的左边x2-5x+6不等,所以D选项错误.
2.若x2+mx-15=(x+3)(x+n),则m的值是 ( )
A.-5 B.5 C.2 D.-2
【解析】选D.∵x2+mx-15=(x+3)(x+n),
∴x2+mx-15=x2+nx+3x+3n,∴3n=-15,m=n+3,
解得n=-5,m=-5+3=-2.
3.一个多项式分解因式的结果是(b3+2)(2-b3),那么这个多项式是 ( )
A.b6-4 B.4-b6 C.b6+4 D.-b6-4
【解析】选B.(b3+2)(2-b3)=(2+b3)(2-b3)=4-b6.
4.5a2-5a=5a(a-1)是 .(填“因式分解”或“整式乘法”)
【解析】5a2-5a=5a(a-1)是把多项式化成整式积的形式,是因式分解.
答案:因式分解
5.(2013·葫芦岛中考)因式分解a2-2ab= .
【解析】a2-2ab=a(a-2b).
答案:a(a-2b)
6.(2014·丹阳二模)若x=1,x-y=5,则x2-xy= .
【解析】x2-xy=x(x-y),∵x=1,x-y=5,∴原式=1×5=5.
答案:5
7.若二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3),求k的值.
【解析】∵(x-4)(x-3)=x2-3x-4x+12
=x2-7x+12,∴k=7.
提公因式法分解因式
1.多项式8x2y2-14x2y+4xy3的公因式是 ( )
A.8xy B.2xy C.4xy D.2y
【解析】选B.系数的最大公约数是2,
相同字母x,y的最低指数次幂是xy,因此2xy是公因式.
2.下列因式分解不正确的是 ( )
A.-2ab2+4a2b=2ab(-b+2a)
B.3m(a-b)-9n(b-a)=3(a-b)(m+3n)
C.-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab(-3ax-5b2y)
D.3ay2-6ay-3a=3a(y2-2y-1)
【解析】选C.A、-2ab2+4a2b=2ab(-b+2a),本选项正确;
B、3m(a-b)-9n(b-a)=3m(a-b)+9n(a-b)=3(a-b)(m+3n),本选项正确;
C、-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab(1-3ax-5b2y),本选项错误;
D、3ay2-6ay-3a=3a(y2-2y-1),本选项正确.
【变式训练】(-2)2013+(-2)2014等于 ( )
A.-22013 B.22013 C.-22014 D.-2
【解析】选B.(-2)2013+(-2)2014=(-2)2013+(-2)2013×(-2)=(-2)2013×(1-2)=22013.
3.将m2(a-2)+m(2-a)分解因式,正确的是 ( )
A.(a-2)(m2-m) B.m(a-2)(m+1)
C.m(a-2)(m-1) D.m(2-a)(m-1)
【解题指南】本题的解题关键是把m(2-a)变形为-m(a-2),从而找出它们的公因式.
【解析】选C.m2(a-2)+m(2-a)=m2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1).
4.(2013·广州中考)分解因式:x2+xy= .
【解析】x2+xy=x(x+y).
答案:x(x+y)
5.(2013·凉山州中考)已知(2x-2 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1)(3x-7)-(3x-7)·(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b= ,ab= .
【解析】原式=(3x-7)(2x-21-x ( http: / / www.21cnjy.com )+13)=(3x-7)(x-8),所以a=-7,b=-8,所以a+3b=-31,ab=56.
答案:-31 56
6.分解因式:(1)2ax3+6a2x2.
(2)2a(x-y)-3b(y-x).
【解析】(1)2ax3+6a2x2=2ax2(x+3a).
(2)2a(x-y)-3b(y-x)=2a(x-y)+3b(x-y)
=(x-y)(2a+3b).
【易错提醒】提公因式分解因式时的两点注意
(1)当多项式的某项和公因式相同时,提取公因式后剩余的项为1.
(2)当多项式的第一项的系数是负数时,通常先提出“-”号,使括号内第一项的系数为正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号.
7.用简便方法计算.
(1)9992+999.(2)20132-2013×2014.
【解析】(1)9992+999=999(999+1)=999×1000
=999000.
(2)20132-2013×2014=2013×(2013-2014)=-2013.
分解因式:-9x3y2-6x2y2+3xy.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)错因:___________________________.
(2)纠错:_________________________________________________.
答案：(1)漏掉常数项
(2)-9x3y2-6x2y2+3xy
=-3xy(3x2y+2xy-1)
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多项式除以单项式
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果等于 ( )
A.2m2n-3mn+n2 B.2n2-3mn2+n2
C.2m2-3mn+n2 D.2m2-3mn+n
【解析】选C.(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)
=-8m4n÷(-4m2n)+12m3n2÷(-4m2n)-4m2n3÷(-4m2n)=2m2-3mn+n2.
2.A是一个多项式,且A÷=-2x2y4+x,则A等于 ( )
A.x4y5-x4y3 B.y3-xy
C.x4y5-x3y D.-x4y5+x3y
【解析】选C.根据题意得:
A=·=x4y5-x3y.
3.如图,边长为(m+3)的正方形纸片, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.m+3 B.m+6
C.2m+3 D.2m+6
【解析】选C.从边长为(m+3)的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),依题意得剩余部分的面积为(m+3)2-m2=m2+6m+9-m2=6m+9.
又∵拼成的矩形一边长为3,
∴矩形的另一边长是(6m+9)÷3=2m+3.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知△ABC的面积为6m4-3a2m3+a2m2,一边长为3m2,则这条边上的高为 .
【解析】2(6m4-3a2m3+a2m2)÷3m2
=(12m4-6a2m3+2a2m2)÷3m2
=4m2-2a2m+a2.
答案:4m2-2a2m+a2
5.计算:(1)(6an+2+3an+1-9an)÷3an-1= .
(2)已知(a3b4+a2b2)÷(ab)2=3,则a2b4= .
【解析】(1)原式=2a2+a-3-1=2a2+a-4.
(2)∵(a3b4+a2b2)÷(ab)2=3,
又(a3b4+a2b2)÷(ab) ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2=(a3b4+a2b2)÷(a2b2)=(a3b4÷a2b2)+(a2b2÷a2b2)=ab2+1,即ab2+1=3,
∴ab2=2,∴a2b4=(ab2)2=22=4.
答案:(1)2a2+a-4 (2)4
6.已知被除式为x3+3x2-1,商式是x,余式是-1,则除式是 .
【解析】[x3+3x2-1-(-1)]÷x
=(x3+3x2)÷x
=x2+3x.
答案:x2+3x
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:(1)[x(x2-2x+3)-3x]÷x2.
(2)÷xm-1.
【解析】(1)原式=(x3-2x2+3x-3x)÷x2
=(x3-2x2)÷x2
=2x-4.
(2)原式=÷xm-1+xm÷xm-1+xm-1÷xm-1
=-18x2+10x+2.
【知识归纳】
1.多项式除以单项式实质是几个单项式除以单项式,然后再求它们的商的和.
2.多项式除以单项式的结果是一个多项式,它的项数与被除式的多项式的项数一致.
8.(8分)化简求值:[(x-y)2-x(3x-2y)+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=1,y=-2.
【解析】原式=(x2-2xy+y2-3x2+2xy+x2-y2)÷2x=(-x2)÷2x=-x.
当x=1,y=-2时,原式=-.
【培优训练】
9.(10分)阅读下列材料:
因为(x+3)(x-2)=x ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2+x-6,所以(x2+x-6)÷(x-2)=(x+3).这说明x2+x-6能被x-2整除,同时也说明多项式x2+x-6有一个因式为x-2.另外,当x=2时,多项式x2+x-6的值为0.
回答下列问题:
(1)根据上面的材料猜想:当x=2时,多项式的值为0、多项式有因式x-2、多项式能被x-2整除,这之间存在着一种什么样的关系
(2)一般地,如果一个关于字母x的多项式M,当x=k时,M的值为0,那么M与代数式x-k之间有何种关系
(3)应用:已知x-2能整除x2+kx-14,求k的值.
【解析】(1)由x2+x-6与x ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )-2的关系我们可以看出:当x=2时,如果多项式x2+x-6=0,那么多项式就能被x-2整除,多项式就有x-2这个因式.
(2)如果多项式M满足下列三个条 ( http: / / www.21cnjy.com )件中的一个:①能被x-k整除;②当x=k时多项式M的值为0;③有因式x-k,那么它必定具备另外的两个.
(3)因为x-2能整除x2+kx ( http: / / www.21cnjy.com )-14,所以当x=2时,x2+kx-14的值为0,即22+2k-14=0,所以k=5.
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多项式乘以多项式的法则
1.(x-1)(2x+3)的计算结果是 ( )
A.2x2+x-3 B.2x2-x-3
C.2x2-x+3 D.x2-2x-3
【解析】选A.(x-1)(2x+3)=2x2+3x-2x-3=2x2+x-3.
2.下列计算中,结果为x2+5x-6的算式是 ( )
A.(x+2)(x+3) B.(x+2)(x-3)
C.(x+6)(x-1) D.(x-2)(x-3)
【解析】选C.A:(x+2)(x+3)=x2+5x+6,不符合题意;
B:(x+2)(x-3)=x2-x-6,不符合题意;
C:(x+6)(x-1)=x2+5x-6,符合题意;
D:(x-2)(x-3)=x2-5x+6,不符合题意.
3.若(x-4)(x+8)=x2+mx+n,则m,n的值分别为 ( )
A.4,32 B.4,-32 C.-4,32 D.-4,-32
【解析】选B.∵(x-4)(x+8)=x2+mx+n,
∴x2+4x-32=x2+mx+n,
∴m=4,n=-32.
【变式训练】如果整式M是一个2次多项式,整式N是一个3次多项式,那么乘积MN是 ( )
A.5次多项式 B.6次多项式
C.8次多项式 D.9次多项式
【解析】选A.∵整式M是一个2次多项式,整式N是一个3次多项式,
∴乘积MN是5次多项式.
4.(2014·长宁区二模)化简:(y-8)(y2+8y+64)= .
【解析】(y-8)(y2+8y+64)
=y3+8y2+64y-8y2-64y-512
=y3-512.
答案:y3-512
5.若(x2-3x+4)(x2-ax+1)的展开式中,含x2项的系数为-1,则a的值是 .
【解题指南】解决本题的两个关键
1.正确对(x2-3x+4)(x2-ax+1)进行计算.
2.正确对(x2-3x+4)(x2-ax+1)计算的结果中含x2的项进行合并同类项.
【解析】(x2-3x+4)(x2-ax+1)
=x4-ax3+x2-3x3+3ax2-3x+4x2-4ax+4
=x4-ax3-3x3+(1+3a+4)x2-3x-4ax+4,
∵x2项的系数为-1,
∴1+3a+4=-1,a=-2.
答案:-2
6.(1)计算:(x-2y)(x2+2xy-3y2).
(2)计算:(x+3)(x+4)-(x-1)(x-2).
(3)先化简再求值:y(x+y)+(x+y)(x-y)-x2,其中x=-2,y=.
【解析】(1)原式=x·x2+x·2xy+x·(-3y2)+
(-2y)·x2+(-2y)·2xy+(-2y)·(-3y2)
=x3+2x2y-3xy2-2x2y-4xy2+6y3
=x3-7xy2+6y3.
(2)原式=x·x+4·x+3·x+3×4-(x·x-2·x-1·x+2)
=x2+4x+3x+12-x2+2x+x-2=10x+10.
(3)y(x+y)+(x+y)(x-y)-x2
=xy+y2+x2-y2-x2=xy.
当x=-2,y=时,
原式=xy=-2×=-1.
【易错提醒】多项式与多项式相乘时易出现的错误
1.乘积出现符号错误.
2.有漏乘或重复乘的项.
3.结果中含有同类项.
多项式乘以多项式的法则综合运用
1.如图,甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式:
①(2a+b)(m+n);
②2a(m+n)+b(m+n);
③m(2a+b)+n(2a+b);
④2am+2an+bm+bn,
你认为其中正确的有 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.①② B.③④
C.①②③ D.①②③④
【解析】选D.①(2a+b)(m+n)正确;
②2a(m+n)+b(m+n)正确;
③m(2a+b)+n(2a+b)正确;
④2am+2an+bm+bn正确,
则正确的有①②③④.
2.长方形一边长3m+2n,另一边比它长m-n,则这个长方形面积是 ( )
A.12m2+11mn+2n2 B.12m2+5mn+2n2
C.12m2-5mn+2n2 D.12m2+11mn+n2
【解析】选A.由题意知,另一边的长为3m+2n+m-n
=4m+n,
所以这个长方形面积是(3m+2n)(4m+n)
=12m2+11mn+2n2.
3.(2014·高邮市二模)已知:a+b=m,ab=-4,化简(a-2)(b-2)的结果是 .
【解析】(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4
=ab-2(a+b)+4,
∵a+b=m,ab=-4,
∴原式=-4-2m+4=-2m.
答案:-2m
【互动探究】已知:(a-2)(b-2)=-2m,a+b=m,则ab= .
【解析】(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4,
∵a+b=m,(a-2)(b-2)=-2m,
∴-2m=ab-2m+4.
∴ab=-4.
答案:-4
4.已知(a-3)(b-3)<0,且a+b=k-1,ab=3,则k的取值范围是 .
【解析】(a-3)(b-3)=ab-3a-3b+9
=ab-3(a+b)+9,
∵a+b=k-1,ab=3,
∴原不等式可化为:3-3(k-1)+9<0,
3-3k+3+9<0,
-3k<-15,k>5.
答案:k>5
5.某小区规划在长30m,宽20m的长方形场地上,修建1横2纵三条宽均为xm的甬道,其余部分为绿地,请求出该绿地的面积.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】依据题意得:(30-2x)·(20-x)
=600-30x-40x+2x2
=2x2-70x+600.
答:该绿地的面积为(2x2-70x+600)m2.
计算:(x-8)(x-5)-(2x-1)(x+2).其中x=-1.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_____步开始出现错误.
(2)纠错:_________________________________________________.
答案：(1)①
(2)(x-8)(x-5)-(2x-1)(x+2)
=x2-5x-8x+40-2x2-4x+x+2
=-x2-16x+42.
当x=-1时,原式=-(-1)2-16×(-1)+42
=-1+16+42=57
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单项式与单项式相乘
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列计算中正确的是 ( )
A.6x2·3xy=9x3y
B.2ab2·(-3ab)=-a2b3
C.(mn)2·(-m2n)=-m3n3
D.-3x2y·(-3xy)=9x3y2
【解析】选D.6x2·3xy=18x3y,故A错误.
2ab2·(-3ab)=-6a2b3,故B错误.
(mn)2·(-m2n)=-m4n3,故C错误.
-3x2y·(-3xy)=9x3y2,故D正确.
2.计算(-2a)2·3a+6a2·(-2a)的结果是 ( )
A.1 B.0 C.12a3 D.a3
【解析】选B.∵(-2a ( http: / / www.21cnjy.com ))2·3a+6a2·(-2a)=4a2·3a+(-2×6)·(a2·a)=12a3-12a3=0.∴B正确.
3.(2014·荆州模拟)已知9an-3b2n与-2a3mb5-n的积和5a4b9是同类项,则m+n的值是
( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【解析】选C.9an-3b2n×(-2a3mb5-n)
=-18a3m+n-3bn+5,
∵-18a3m+n-3bn+5与5a4b9是同类项,
∴解得
∴m+n=5.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·资阳中考)(-a2b2)2·a= .
【解析】(-a2b2)2·a= a4b4·a=a5b4.
答案:a5b4
5.卫星绕地球的运动速度为7.9×103m/s,则卫星绕地球运行一天走的路程是 .
【解析】7.9×103×24×3600=6.8256×108(m).
答案:6.8256×108m
6.三角表示3abc,方框表示-4xyωz,则×= .
【解析】×=9mn×(-4n2m5)=-36m6n3.
答案:-36m6n3
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:(1)(2.5×104)×(1.6×103).
(2)a3·(-a)5·(-2a)2·(-9a2b3).
(3)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2.
【解析】(1)(2.5×104)×(1.6×103)
=(2.5×1.6)×(104×103)
=4×107.
(2)a3·(-a)5·(-2a)2·(-9a2b3)
=a3·(-a5)·(4a2)·(-9a2b3)
=36a12b3.
(3)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2
=45a3b3-36a3b3-16a3b3
=-7a3b3.
8.(8分)有理数x,y满足条件|2x-3 ( http: / / www.21cnjy.com )y+1|+(x+3y+5)2=0,求代数式(-2xy)2·(-y2)·6xy2的值.
【解题指南】由|2x-3y+ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1|+(x+3y+5)2=0知,2x-3y+1=0,x+3y+5=0,建立方程组,解得x,y后,代入代数式求值.
【解析】由题意得可得
∴(-2xy)2·(-y2)·6xy2
=4x2y2·(-y2)·6xy2=-24x3y6.
当x=-2,y=-1时,
原式=-24×(-2)3×(-1)6=-24×(-8)=192.
【培优训练】
9.(10分)用18块棱长为a的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )正方体木块拼成一个长方体,你能拼出几种不同的长方体 分别表示出你所拼成的长方体的体积.从不同的表示方法中,你能得到什么结论 在每种拼法中,你都能得到类似的结论吗
【解析】此题为开放题,拼法不唯一,现列举5种:
(1)底面的长为18a,宽为a,高为a,体积为18a·a·a=18a3.
(2)底面的长为9a,宽为2a,高为a,体积为9a·2a·a=18a3.
(3)底面的长为6a,宽为3a,高为a,体积为6a·3a·a=18a3.
(4)底面的长为3a,宽为3a,高为2a,体积为3a·3a·2a=18a3.
(5)底面的长为3a,宽为2a,高为3a,体积为3a·2a·3a=18a3.
从不同的表示方法中,都能验证单项式与单项式相乘的法则,每种拼法中,都可以得到类似的结论.
【知识归纳】单项式乘单项式的法则的应用的范围
单项式乘单项式的法则主要应用在面积、体积的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )计算上,在其他诸如行程、盈亏等问题上,也常有出现.特别是出现两个或多个用科学记数法表示的数相乘时,也可以看成是单项式乘单项式.
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单项式除以单项式法则
1.下列计算结果正确的是 ( )
A.6a6÷3a3=2a2 B.8x8÷4x5=2x3
C.9x4÷3x=3x4 D.10a14÷5a7=5a7
【解析】选B.6a6÷3a3=2a3;
8x8÷4x5=2x3;9x4÷3x=3x3;10a14÷5a7=2a7.
2.(2013·重庆中考)计算3x3÷x2的结果是 ( )
A.2x2 B.3x2 C.3x D.3
【解析】选C.3x3÷x2=(3÷1)x3-2=3x.
3.下列运算正确的是 ( )
A.10a10÷5a5=2a2
B.x2n+3÷xn-2=xn+1
C.(a-b)2÷(b-a)=a-b
D.-5a4b3c÷10a3b3=-ac
【解析】选D.A,10a10÷5a5=2a10-5=2a5,故此选项错误;
B,x2n+3÷xn-2=xn+5,故此选项错误;
C,(a-b)2÷(b-a)=b-a,故此选项错误;
D,-5a4b3c÷10a3b3=-ac.
4.(2013·梅州中考)化简:3a2b÷ab= .
【解析】原式=3a.
答案:3a
5.一个单项式乘以-x2y的结果是9x3y2z,则这个单项式是 .
【解析】由题意得,这个单项式为9x3y2z÷
=-27xyz.
答案:-27xyz
【变式训练】如果3a3b2÷A=ab,那么A是 ( )
A.a4b3 B.a2b C.3a4b3 D.9a2b
【解析】选D.∵3a3b2÷A=ab,
∴A=3a3b2÷ab=9a2b.
6.计算:(1)54x3÷9x.(2)-21x5y4÷7x3y2.
(3)14m2n3÷(-2n3).(4)-12(x-y)3÷4(y-x).
【解析】(1)54x3÷9x=(54÷9)(x3÷x)=6x3-1=6x2.
(2)-21x5y4÷7x3y2=(-21÷7)(x5÷x3)(y4÷y2)
=-3x5-3y4-2= -3x2y2.
(3)14m2n3÷(-2n3)
=[14÷(-2)]m2(n3÷n3)=-7m2.
(4)-12(x-y)3÷4(y-x)
=-12(x-y)3÷[-4(x-y)]
=[(-12)÷(-4)][(x-y)3÷(x-y)]=3(x-y)2.
【易错提醒】单项式除以单项式法则运用时注意的事项
1.要注意结果的符号.
2.系数不能用带分数表示.
3.注意运算的顺序.
单项式除以单项式法则的综合运用
1.地球赤道长约为4×104km,我国最长的河流——长江全长约为6.3×103km,赤道长约等于长江长的 ( )
A.7倍 B.6倍 C.5倍 D.4倍
【解析】选B.4×104÷(6.3×103)≈6(倍).
2.一颗人造地球卫星的速度为2.8 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )8×107m/h,一架喷气式飞机的速度为1.8×106m/h,则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的 ( )
A.1600倍 B.160倍 C.16倍 D.1.6倍
【解题指南】本题的解题关键是把10看作“字母”,把2.88和1.8看作“系数”,再根据单项式除以单项式的法则进行计算.
【解析】选C.2.88×107÷(1.8×106)=(2.88÷1.8)×107-6=16.
3.已知a=1.6×109,b=4×103,则a2÷b= ( )
A.4×107 B.8×1014
C.6.4×105 D.6.4×1014
【解析】选D.a2÷b=(1.6×109)2÷(4×103)
=1.6×1.6×1018÷(4×103)
=6.4×1014.
【互动探究】已知a2÷b=6.4×1014,a=1.6×109,则b= .
【解析】∵a2÷b=6.4×1014,a=1.6×109,
∴b=a2÷(6.4×1014)=(1.6×109)2÷(6.4×1014)
=1.6×1.6×1018÷(6.4×1014)
=4×103.
答案:4×103
4.已知长方形的面积为8a5,其中一条边长为2a2,则它的另一边长为 .
【解析】长方形的另一边长为8a5÷2a2=4a3.
答案:4a3
5.小明同学亮出了A,B,C三张卡 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )片,上面分别写有16a3b4c2,4a2bc,32a4b7c3,其中有两张卡片上的单项式相除,所得的商为2ab3c.这两张卡片是 和 ,作为被除式的卡片是 (只填写卡片代号即可).
【解析】∵32a4b7c3÷16a3b4c2=2ab3c,
∴作为被除式的卡片是C.
答案:C A C
6.三峡一期工程结束后的当年发电量为5.5× ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )109度,某市有10万户居民,若平均每户用电2.75×103度.那么三峡工程该年所发的电能供该市居民使用多少年 (结果用科学记数法表示)
【解析】该市用电量为2.75×103×105=2.75×108,
(5.5×109)÷(2.75×108)=(5.5÷2.75)×109-8=2×10=20(年).
答:三峡工程该年所发的电能供该市居民使用20年.
7.计算:(1)(-x)5÷(-x)2·x2.
(2)[(a3)2·(a2)3]÷(-a3)2.
【解析】(1)原式=(-x)5-2·x2=-x3×x2=-x5.
(2)原式=(a6×a6)÷a6=a6.
计算:4a7b5c3÷(-16a3b2c)÷c2.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_____步开始出现错误.
(2)纠错:________________________________________________.
答案：(1)②
(2)
=2c2×c2
=2c4.
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公式法分解因式
1.(2013·张家界中考)下列各式中能用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是 ( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1
C.x2-1 D.x2-6x+9
【解析】选D.A、x2+x+1不符合两数和(差)的平方公式法分解因式的式子特点,故选项错误;
B、x2+2x-1不符合两数和(差)的平方公式法分解因式的式子特点,故选项错误;
C、x2-1不符合两数和(差)的平方公式法分解因式的式子特点,故选项错误;
D、x2-6x+9=(x-3)2,故选项正确.
2.因式分解(x-1)2-9的结果是 ( )
A.(x+8)(x+1) B.(x+2)(x-4)
C.(x-2)(x+4) D.(x-10)(x+8)
【解析】选B.(x-1)2-9=(x-1+3)(x-1-3)
=(x+2)(x-4).
3.(2013·佛山中考)分解因式a3-a的结果是 ( )
A.a(a2-1) B.a(a-1)2
C.a(a+1)(a-1) D.(a2+a)(a-1)
【解析】选C.a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).
4.(2013·邵阳中考)因式分解:x2-9y2= .
【解析】x2-9y2=(x+3y)(x-3y).
答案:(x+3y)(x-3y)
5.(2013·扬州中考)分解因式:a3-4ab2= .
【解析】原式=a(a2-4b2)=a(a+2b)(a-2b).
答案:a(a+2b)(a-2b)
6.(2013·菏泽中考)分解因式:3a2-12ab+12b2= .
【解析】原式=3(a2-4ab+4b2)=3(a-2b)2.
答案:3(a-2b)2
7.把下列各式分解因式.
(1)-12xy+x2+36y2.
(2)16x2y2z2-9.
(3)(x2+9y2)2-36x2y2.
(4)(x2-1)2-6(x2-1)+9.
(5)mx2-8mx+16m.
【解析】(1)-12xy+x2+36y2=(x-6y)2.
(2)16x2y2z2-9=(4xyz+3)(4xyz-3).
(3)(x2+9y2)2-36x2y2=(x2+9y2+6xy)(x2+9y2-6xy)
=(x+3y)2(x-3y)2.
(4)(x2-1)2-6(x2-1)+9
=(x2-1-3)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.
(5)mx2-8mx+16m=m(x2-8x+16)=m(x-4)2.
【易错提醒】
1.运用公式法分解因式,首先要观察式子 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的特点,确定使用哪个公式,再确定公式中的a,b分别代表什么.要注意,公式中的a,b可以表示数、单项式或多项式.
2.对不符合公式特点的多项式,要进行适当的变形.
3.分解后括号里有同类项的要合并.
4.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.
公式法分解因式的应用
1.已知a-b=1,则a2-b2-2b的值为 ( )
A.4 B.3 C.1 D.0
【解析】选C.∵a-b=1,
∴a2-b2-2b=(a+b)(a-b)-2b=a+b-2b=a-b=1.
2.△ABC的三边满足a2-2bc=c2-2ab,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.锐角三角形
【解题指南】解决本题的关键是把 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )a2与-c2,2ab与-2bc分别结合,然后各自分解因式,再找出公因式,进行一次分解因式,把原等式化为(a-c)(a+c+2b)=0的形式.
【解析】选A.等式可变形为a2-2bc-c2+2ab=0,
(a2-c2)+(2ab-2bc)=0,(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,
(a-c)(a+c+2b)=0.∵a,b,c是△ABC的三边,
∴a+c+2b>0,∴a-c=0,
∴a=c.∴该三角形是等腰三角形.
【变式训练】若a,b,c是三角形三边的长,则代数式(a-b)2-c2的值是 ( )
A.大于零 B.小于零
C.大于或等于零 D.小于或等于零
【解析】选B.根据题意可得a+c>b,a即a+c-b>0,a-b-c<0,
∵(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)<0,∴(a-b)2-c2<0.
3.在一个边长为12.75cm的正方形中,挖去一个边长为7.25cm的正方形,则剩下的面积是 ( )
A.11 cm2 B.22 cm2 C.110 cm2 D.220 cm2
【解析】选C.根据题意得:12.752 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )-7.252=(12.75+7.25)×(12.75-7.25)=20×5.5=110(cm2),则剩下的面积是110cm2.
4.(2013·衡阳中考)已知a+b=2,ab=1,则a2b+ab2的值为 .
【解析】∵a+b=2,ab=1,∴a2b+ab2=ab(a+b)=1×2=2.
答案:2
5.(2014·永修模拟)20142-20132的值为 .
【解析】原式=(2014+2013)(2014-2013)
=4027×1=4027.
答案:4027
6.若x+y=2,且(x+2)(y+2)=5,求x2+xy+y2的值.
【解析】(x+2)(y+2)=5,x+y=2,
∴xy+2(x+y)+4=5,∴xy=-3,
∴x2+xy+y2=(x+y)2-xy=4-(-3)=7.
7.如图所示在一个边长为a的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形木板上,锯掉边长为b的四个小正方形,计算当a=18dm,b=6dm时剩余部分的面积.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】边长为a的正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的面积是a2,边长为b的4个小正方形的面积是4b2,所以剩余部分的面积S=a2-4b2=(a+2b)(a-2b).
当a=18dm,b=6dm时,S=(18+2×6)(18-2×6)=180(dm2).
答:剩余部分的面积为180dm2.
分解因式:(x+2)(x+4)+x2-4.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:第____步出现错误.
(2)纠错:________________________________________________.
答案：(1)③
(2)(x+2)(x+4)+x2-4
=(x+2)(x+4)+(x+2)(x-2)
=(x+2)(2x+2)
=2(x+2)(x+1)
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两数和(差)的平方公式
1.(2013·烟台中考)下列各运算中,正确的是 ( )
A.3a+2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6
C.a4÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+4
【解析】选B.A、3a+2a=5a,原式计算错误,故本选项错误;
B、(-3a3)2=9a6,原式计算正确,故本选项正确;
C、a4÷a2=a2,原式计算错误,故本选项错误;
D、(a+2)2=a2+4a+4,原式计算错误,故本选项错误.
2.下列式子满足两数和的平方公式的是 ( )
A.(3x-y)(-y-3x) B.(3x-y)(3x+y)
C.(-3x-y)(y-3x) D.(-3x-y)(y+3x)
【解析】选D.∵(3x-y)(-y-3x)=-(3x-y)(y+3x);(3x-y)(3x+y);
(-3x-y)(y-3x)=(3x ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )+y)·(3x-y),三个式子都不是两数和的平方形式,而(-3x-y)(y+3x)=-(3x+y)(y+3x)=-(3x+y)2.
满足两数和的平方公式.
3.若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2-1成立,则a的值为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】选C.∵(x+2)2-1=x2+4x+4-1=x2+4x+3,
∴a的值为3.
4.(2013·晋江中考)若a+b=5,ab=6,则a-b= .
【解析】∵a+b=5,ab=6,
∴(a+b)2=25,∴a2+2ab+b2=25,
∴a2+b2=25-2×6=13,
∴a-b=±=±
=±=±=±1.
答案:±1
5.(1)计算:(x+1)2-2(1-x)-x2.
(2)(2013·宁波中考)先化简,再求值:(1+a)(1-a)+(a-2)2,其中a=-3.
【解析】(1)(x+1)2-2(1-x)-x2
=x2+2x+1-2+2x-x2=4x-1.
(2)原式=1-a2+a2-4a+4=-4a+5.
当a=-3时,-4a+5=-4×(-3)+5=17.
6.已知m=2013×2014-1 ( http: / / www.21cnjy.com ),n=20132-2013×2014+20142,请尝试用一种简便方法比较m,n的大小.
【解析】m=2013×2014-1,
n=20132-2013×2014+20142
=20132-2×2013×2014+20142+2013×2014
=(2013-2014)2+2013×2014
=2013×2014+1,
∵2013×2014-1<2013×2014+1,
∴m【易错提醒】两数和(差)的平方公式运用时易出现的错误
1.弄错结果中“乘积的2倍”这一项的符号.
2.漏掉“乘积的2倍”这一项.
两数和(差)的平方公式的综合运用
1.(2013·杭州中考)若a+b=3,a-b=7,则ab= ( )
A.-10 B.-40 C.10 D.40
【解析】选A.∵a+b=3,∴(a+b)2=9,即a2+2ab+b2=9 ①
∵a-b=7,∴(a-b)2=49,
即a2-2ab+b2=49 ②
①-②得4ab=-40,
∴ab=-10.
2.若式子x2-10x+a2可以写成两数和的平方,则a的值为 ( )
A.10 B.15 C.5或-5 D.25
【解析】选C.∵x2-10x+a2=x2-2×x×5+a2,
∴a2=52=25,
∴a=5或-5.
3.整式A与m2-2mn+n2的和是(m+n)2,则A= .
【解析】A=(m+n)2-(m2-2mn+n2)
= m2+2mn+n2-m2+2mn-n2=4mn.
答案:4mn
4.(2013·珠海中考)已知a,b满足a+b=3,ab=2,则a2+b2= .
【解析】将a+b=3两边平方得:(a+b)2=a2+2ab+b2=9,
把ab=2代入得:a2+4+b2=9,
则a2+b2=5.
答案:5
【互动探究】已知a,b满足a2+b2=5,ab=2,则a+b= .
【解析】将a+b平方得:(a+b)2=a2+2ab+b2=5+4=9,
则a+b=±3.
答案:±3
5.计算:
(1)100.22.
(2)98×98.
(3)372.
(4).
【解析】(1)原式=(100+0.2)2
=10000+40+0.04=10040.04.
(2)原式=(100-2)2=10000-400+4=9604.
(3)原式=(40-3)2=1600-240+9=1369.
(4)原式==400+20+=420.
6.若a2+b2=25,ab=12,求(1)a+b;(2)a-b;(3)a2-b2.
【解析】(1)∵(a+b)2=a2+b2+2ab
=25+24
=49,
∴a+b=±7.
(2)∵(a-b)2=a2+b2-2ab=25-24=1,
∴a-b=±1.
(3)∵a+b=±7,a-b=±1,
∴a2-b2=(a+b)(a-b)=±7.
7.已知实数a,b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,
求a2+b2+ab的值.
【解析】∵(a+b)2=1,(a-b)2=25,
∴a2+b2+2ab=1,a2+b2-2ab=25.
∴4ab=-24,ab=-6,
∴a2+b2+ab=(a+b)2-ab=1-(-6)=7.
已知A=2x+y,B=2x-y,计算A2-B2.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:_________________________________________________.
答案：(1)①
(2) A2-B2=(2x+y)2-(2x-y)2
=4x2+4xy+y2-(4x2-4xy+y2)
=4x2+4xy+y2-4x2+4xy-y2=8xy
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多项式与多项式相乘
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2014·相城区模拟)下列各式中,计算结果是x2+7x-18的是 ( )
A.(x-1)(x+18) B.(x+2)(x+9)
C.(x-3)(x+6) D.(x-2)(x+9)
【解析】选D.A:原式=x2+17x-18;
B:原式=x2+11x+18;
C:原式=x2+3x-18;
D:原式=x2+7x-18.
2.若(x2-mx+2)(2x+1)的积中x的二次项系数和一次项系数相等,则m的值为
( )
A.0 B.-1 C.-2 D.-3
【解析】选D.(x2-mx+2)(2x+1)
=2x3-2mx2+4x+x2-mx+2
=2x3+(-2m+1)x2+(4-m)x+2,
∵积中x的二次项系数和一次项系数相等,
∴-2m+1=4-m,
解得m=-3.
3.方程(x-3)(x+4)=(x+5)(x-6)的解是 ( )
A.x=9 B.x=-9 C.x=12 D.x=-12
【解析】选B.∵方程(x-3)(x+4)=(x+5)(x-6),
∴x2+4x-3x-12=x2-6x+5x-30,
移项得:x2-x2+4x-3x+6x-5x-12+30=0,
合并同类项得:2x+18=0,
化系数为1得:x=-9.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.计算(x2-mx)(x2+8)的结果不含x3的项,那么m= .
【解析】∵(x2-mx)(x2+8)
=x4-mx3+8x2-8mx.
又∵结果中不含x3的项,
∴-m=0,解得m=0.
答案:0
【变式训练】如果一个一次二项式与 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )(x2-2x-1)的积所得的多项式中不含一次项,那么这个一次二项式可以是 (只要写出一个符合条件的多项式).
【解析】设这个一次二项式是ax+b,则(ax+b)(x2-2x-1)=ax3-2ax2-ax+bx2-2bx-b
=ax3+(b-2a)x2+(-a-2b)x-b,
∵所得的积中不含一次项,
∴-a-2b=0,令a=2,则b=-1,
由于a的值有无数,故答案不唯一.
答案:2x-1(答案不唯一)
5.有若干张如图所示的正方形A类、 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )B类卡片和长方形C类卡片,如果要拼成一个长为(3a+b),宽为(a+2b)的大长方形,则需要C类卡片 张.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】长为(3a+b),宽为(a+2b)的大长方形的面积为:
(3a+b)(a+2b)=3a2+2b2+7ab;
A类卡片的面积为:a×a=a2;
B类卡片的面积为:b×b=b2;
C类卡片的面积为:a×b=ab;
因此可知,拼成一个长为(3a+b),宽为(a+2b)的大长方形,
需要3块A类卡片,2块B类卡片和7块C类卡片.
答案:7
6.小青和小红分别计算同一 ( http: / / www.21cnjy.com )道整式乘法题:(2x+a)(3x+b),小青由于抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2-13x+6,小红由于漏抄了第二个多项式中的x的系数,得到的结果为2x2-x-6,则这道题的正确结果是 .
【解析】根据题意可知小青由于抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2-13x+6,
那么(2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2-13x+6,
可得2b-3a=-13①,
小红由于漏抄了第二个多项式中的x的系数,得到的结果为2x2-x-6,
可知(2x+a)(x+b)=2x2-x-6,
即2x2+(2b+a)x+ab=2x2-x-6,
可得2b+a=-1②,
解关于①②组成的方程组,可得a=3,b=-2,
∴(2x+3)(3x-2)=6x2+5x-6.
答案:6x2+5x-6
三、解答题(共26分)
7.(9分)计算:
(1)(a+3)(a-1)+a(a-2).
(2)(-7x2-8y2)·(-x2+3y2).
(3)(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y).
【解析】(1)(a+3)(a-1)+a(a-2)
=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3.
(2)(-7x2-8y2)·(-x2+3y2)
=7x4-21x2y2+8x2y2-24y4=7x4-13x2y2-24y4.
(3)(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y)
=3xy-9x2-2y2+6xy-(6x2+2xy-3xy-y2)
=-9x2-2y2+9xy-6x2+xy+y2
=-15x2+10xy-y2.
【知识归纳】(x+a)(x+b)形式的多项式相乘的特点
1.式子表示:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
2.特点:(1)二次项系数是1.
(2)一次项系数是两因式的常数项的和.
(3)常数项是两因式的常数项的积.
8.(8分)(1)先化简,再求值:3(2x-1)(x+6)-5(x-3)(x+6),其中x=-1.
(2)如图,长为10cm,宽为6c ( http: / / www.21cnjy.com )m的长方形,在4个角剪去4个边长为x的小正方形,按折痕做一个有底无盖的长方形盒子,试求盒子的体积.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】(1)3(2x-1)(x+6)-5(x-3)(x+6)
=3(2x2+12x-x-6)-5(x2+6x-3x-18)
=6x2+33x-18-5x2-15x+90
=x2+18x+72.
当x=-1时,原式=(-1)2+18×(-1)+72=1-18+72=55.
(2)盒子的体积V=x(10-2x)(6-2x)
=x(4x2-32x+60)
=4x3-32x2+60x.
答:盒子的体积为(4x3-32x2+60x)cm3.
【培优训练】
9.(9分)观察以下等式:
(x+1)(x2-x+1)=x3+1
(x+3)(x2-3x+9)=x3+27
(x+6)(x2-6x+36)=x3+216
…
(1)按以上等式的规律,填空:(a+b)( )=a3+b3.
(2)利用多项式的乘法法则,证明(1)中的等式成立.
(3)利用(1)中的公式化简:(x+y)(x2-xy+y2)-(x-y)(x2+xy+y2).
【解析】(1)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.
答案:a2-ab+b2
(2)(a+b)(a2-ab+b2)
=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3+b3.
(3)(x+y)(x2-xy+y2)-(x-y)(x2+xy+y2)
=x3+y3-(x3-y3)
=2y3.
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单项式与单项式相乘的法则
1.(2013·晋江中考)计算:2x3·x2等于 ( )
A.2 B.x5 C.2x5 D.2x6
【解析】选C.2x3·x2=2x5.
2.(2013·柳州中考)下列计算正确的是 ( )
A.3a·2a=5a B.3a·2a=5a2
C.3a·2a=6a D.3a·2a=6a2
【解析】选D.3a·2a=6a2.
3.计算:ab2·(-4a2b4)= .
【解析】原式=×(-4)×a1+2×b2+4=-2a3b6.
答案:-2a3b6
4.(2014·沙湾区模拟)计算:(1)(-2xy2)2·3x2y·(-x3y4)= .
(2)-3(a-b)3·(b-a)2= .
【解析】(1)(-2xy2)2·3x2y·(-x3y4)
=4x2y4·3x2y·(-x3y4)
=-12x7y9.
(2)-3(a-b)3·(b-a)2
=-3(a-b)3·(a-b)2
=-3(a-b)5.
答案:(1)-12x7y9 (2)-3(a-b)5
【变式训练】设xm-1yn+2·x5my-2=x5y3,则nm的值为 .
【解析】∵xm-1yn+2·x5my-2
=xm-1+5myn+2-2=x5y3,
∴m-1+5m=5,n+2-2=3,
解得m=1,n=3,
∴nm=31=3.
答案:3
【易错提醒】
(1)计算积的系数时不要忽略“-”问题.
(2)注意整体思想的运用.
(3)不要漏掉只在一个单项式里出现的字母.
5.计算:(1)(-2a2b)2·(-2a2b2)3.
(2)(-2.5x3)2·(-4x3).
【解析】(1)原式=(-2)2a2×2b2·(-2)3a2×3b2×3
=(-2)5a4b2·a6b6=-32a4a6b6b2=-32a10b8.
(2)原式=(-2.5)2x3×2·(-4)x3
=·(-4)x6x3=·(-4)x9=-25x9.
单项式与单项式相乘的应用
1.某商场四月份售出某品牌衬衣b件 ( http: / / www.21cnjy.com ),每件c元,营业额a元.五月份采取促销活动,售出该品牌衬衣3b件,每件打八折,则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加 ( )
A.1.4a元 B.2.4a元 C.3.4a元 D.4.4a元
【解析】选A.由题意知bc=a.∵五月份售 ( http: / / www.21cnjy.com )出该品牌衬衣3b件,每件打八折,则每件为0.8c元,∴五月份该品牌衬衣的营业额为:3b·0.8c=2.4bc=2.4a元,∴五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加2.4a-a=1.4a(元).
2.长方形的长是1.6×103cm,宽是5×102cm,则它的面积是 ( )
A.8×104cm2 B.8×106cm2
C.8×105cm2 D.8×107cm2
【解析】选C.(1.6×103)×(5×102)
=(1.6×5)×(103×102)=8×105(cm2).
3.若长方形的宽是a×103cm,长是宽的2倍,则长方形的面积为 cm2.
【解析】∵长方形的宽是a×103cm,长是宽的2倍,
∴长方形的长是2a×103cm,∴长方形的面积为2a×103×a×103=2×106a2(cm2).
答案:2×106a2
4.1kg的铀裂变后,能发电2.7 ( http: / / www.21cnjy.com )8×109kW·h,某核电站一年需要5.26×105kg铀用于发电,一年能发电约 kW·h(结果保留四个有效数字).
【解析】根据题意可得,(2.78×109)×(5.26×105)
=(2.78×5.26)×(109×105)=14.6228×1014
≈1.462×1015(kW·h)
答案:1.462×1015
【变式训练】某市环保局欲将一个长为2×103dm,宽为4×102dm,高为8×10dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化.
(1)请你考虑一下,这些废水能否刚好装满一个正方体贮水池 (填“能”或“不能”).
(2)若能,则该正方体贮水池的棱长为 dm;
若不能,你能说出理由吗
【解析】(1)∵2×103×4×102×8×10=64×106=(4×102)3,即正方体的棱长为4×102dm.∴能.
(2)∵这些废水的体积等于正方体的体积,
∴正方体的体积为64×106dm3.
∴正方体的棱长为4×102dm.
答案:(1)能 (2)4×102
5.若1+2+3+…+n=m,求(abn)·(a2bn-1)·…·(an-1b2)·(anb)的值.
【解析】∵1+2+3+…+n=m,
∴(abn)·(a2bn-1)·…·(an-1b2)·(anb)
=a1+2+…+nbn+n-1+…+1
=ambm.
计算:(2a)3·(-5a2b).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________________.
答案：(1)②
(2)(2a)3·(-5a2b)
=8a3×(-5)a2b
=-40a3+2b
=-40a5b
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积的乘方
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·株洲中考)下列计算正确的是 ( )
A.x+x=2x2 B.x3·x2=x5
C.(x2)3=x5 D.(2x)2=2x2
【解析】选B.A、x+x=2x≠2x2,故本选项错误;
B、x3·x2=x5,故本选项正确;
C、(x2)3=x6≠x5,故本选项错误;
D、(2x)2=4x2≠2x2,故本选项错误.
2.(2013·广州中考)计算:(m3n)2的结果是 ( )
A.m6n B.m6n2 C.m5n2 D.m3n2
【解析】选B.(m3n)2=(m3)2·n2=m6n2.
3.计算××(-1)2014的结果是 ( )
A. B. C.- D.-
【解析】选A.××(-1)2014=×××1=×=12012×=.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2014·鼓楼区一模)常见的“幂的运算”有:
①同底数幂的乘法,
②幂的乘方,
③积的乘方.
在“(a2·a3)2=(a5)2=a10”的运算过程中,运用了上述幂的运算中的 (填序号).
【解析】(a2·a3)2=(a5)2(利用同底数幂的乘法得到)
=a10(利用幂的乘方得到),
故运算过程中,运用了上述幂的运算中的①②.
答案:①②
5.已知(9a2)3·=2,则a12的值为 .
【解析】∵(9a2)3·=36×a6××=×a6×=a6=2,
∴a6=6,
∴a12=(a6)2=36.
答案:36
6.若(2ap-qbp+q)3=8a9b15,则pq= .
【解析】由(2ap-qbp+q)3=23·(ap-q)3·(bp+q)3=8·a3(p-q)b3(p+q)=8a9b15.所以
解得p=4,q=1.所以pq=4×1=4.
答案:4
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:
(1)(-3mn2·m2)3.
(2)(-a3)2·a3+(-a2)·a7-(2a3)3.
(3)××.
(4)(-0.125)12××(-8)13×.
【解析】(1)原式=(-3)3m9n6
=-27m9n6.
(2)原式=a9-a9-8a9
=-8a9.
(3)原式=×××=-2.
(4)原式=(-0.125)12×(-8)12×(-8)×××
=[(-0.125)×(-8)]12×(-8)××
=-8×
=-.
【易错提醒】进行幂的运算时的两点注意
1.计算时,要对每一道题先观察,以便正确使用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则.
2.在计算过程中,还应注意运算的顺序,先算乘方,再算乘法,最后算加减.
8.(8分)若(a+3)2+|3b-1|=0,求a2014b2015的值.
【解析】∵(a+3)2≥0,|3b-1|≥0,
且(a+3)2+|3b-1|=0,
∴a+3=0,3b-1=0,
∴a=-3,b=.
∴a2014b2015=(-3)2014×
=×
=.
【培优训练】
9.(10分)数学课上老师与同学们一起利用球体的体积公式V=πr3计算出地球的体积约是9.05×1011km3,接着老师问道:“太阳也可以看成球体,它的半径是地球的102倍,那么太阳的体积约是多少km3呢 ”同学们马上计算起来,不一会儿,小红、小刚、小明的答案出来了:小红的答案是9.05×1013km3,小刚的答案是9.05×1015km3,小明的答案是9.05×1017km3.他们的答案谁的正确呢 请你判断一下.
【解析】∵V地=πr3,若r代表地球的半径,则太阳的半径为:102r,
∴V太阳=π(102r)3=π·106·r3
=106·,
∵V地=πr3=9.05×1011(km3),
∴V太阳=106·=9.05×1017(km3).
即太阳的体积约是9.05×1017km3.
故小明的答案正确.
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单项式与多项式相乘
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列计算正确的是 ( )
A.-a(-a+b)=a2+ab
B.x(-3x2+x-1)=-3x3+x2-1
C.5m-2m(m-1)=3m2-3m
D.(y-2y2+1)(-3y)=6y3-3y2-3y
【解析】选D.A.-a(-a+b)=a2-ab,本选项错误;
B.x(-3x2+x-1)=-3x3+x2-x,本选项错误;
C.5m-2m(m-1)=5m-2m2+2m=-2m2+7m,本选项错误;
D.(y-2y2+1)(-3y)=6y3-3y2-3y,本选项正确.
2.a2(-a+b-c)与-a(a2-ab+ac)的关系是 ( )
A.相等 B.互为相反数
C.前式是后式的-a倍 D.前式是后式的a倍
【解析】选A.∵a2(-a+b-c)=-a3+a2b-a2c;
-a(a2-ab+ac)=-a3+a2b-a2c,
∴两式相等.
3.如果长方体长为3m-4,宽为2m,高为m,则它的体积是 ( )
A.3m3-4m2 B.m2
C.6m3-8m2 D.6m2-8m
【解析】选C.∵长方体长为3m-4,宽为2m,高为m,
∴它的体积是(3m-4)·2m·m=6m3-8m2.
【知识归纳】单项式乘多项式法则的三大应用
1.单项式乘多项式法则在实际生活中常用来计算零件的面积和体积等问题.
2.单项式乘多项式法则也可以利用来解决一些水库、水坝的问题.
3.单项式乘多项式法则还可以利用它表示数与数的关系,寻找特殊与一般之间的规律等.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(-2x2)3·(x2+x2y2+y2)的结果中次数是10的项的系数是 .
【解析】(-2x2)3·(x2+x2y2+y2)
=-8x6·(x2+x2y2+y2)
=-8x8-8x8y2-8x6y2,
所以次数是10的项是-8x8y2,系数是-8.
答案:-8
5.通过计算如图所示的几何图形的面积可验证代数恒等式
.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】由题意可知2a(a+b)=2a2+2ab.
答案:2a(a+b)=2a2+2ab
6.如图是在正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,第n个图中的阴影部分小正方形的个数是 .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】根据图形可知:
第一个图形中阴影部分小正方形个数为4=2+2=1×2+2,
第二个图形中阴影部分小正方形个数为8=6+2=2×3+2,
第三个图形中阴影部分小正方形个数为14=12+2=3×4+2,
……
所以第n个图形中阴影部分小正方形个数为n(n+1)+2= n2+n+2,故此题答案为n2+n+2.
答案:n2+n+2
三、解答题(共26分)
7.(9分)化简:(1)3(2x2-y2)-2(3y2-2x2).
(2)(-4x)·(2x2+3x-1).
(3)·ab.
【解析】(1)3(2x2-y2)-2(3y2-2x2)=6x2-3y2-6y2+4x2=10x2-9y2.
(2)(-4x)·(2x2+3x-1)
=(-4x)·2x2+(-4x)·3x+(-4x)·(-1)
=-8x3-12x2+4x.
(3)·ab
=ab2·ab+(-2ab)·ab=a2b3-a2b2.
8.(8分)(1)先化简,再求值x(x+1)-3x(x-2),其中x=3.
(2)解方程:3x(x+2)+x(8+x)=2x(2x-5)-12.
【解析】(1)x(x+1)-3x(x-2)
=x2+x-3x2+6x
=-2x2+7x.
当x=3时,原式=-2×32+7×3=-2×9+21
=-18+21=3.
(2)原方程可化为:3x2+6x+8x+x2=4x2-10x-12,
移项,合并同类项得:24x=12,
两边同除以未知数的系数,得:x=.
【培优训练】
9.(9分)在计算(3x+2y)(4x-y)时,我们不妨这样计算:
解:(3x+2y)(4x-y)
=(3x+2y)·4x-(3x+2y)·y(把3x+2y看作一个整体,单项式乘以多项式)
=(12x2+8xy)-(3xy+2y2)(单项式乘以多项式)
=12x2+8xy-3xy-2y2(去括号)
=12x2+5xy-2y2.(合并同类项,化简计算结果)
请你仿照上题的解法,计算(3a-2b)(4a-2b+3c).
【解题指南】本题解题的关键是把其中的一个多项式看成一个整体,作为一个单项式,这样就把两个多项式相乘转化为单项式乘以多项式,得以解决问题.
【解析】(3a-2b)(4a-2b+3c)
=(3a-2b)·4a-(3a-2b)·2b+(3a-2b)·3c
=(12a2-8ab)-(6ab-4b2)+(9ac-6bc)
=12a2-8ab-6ab+4b2+9ac-6bc
=12a2-14ab+4b2+9ac-6bc.
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因式分解(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·河北中考)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是 ( )
A.a(x-y)=ax-ay
B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3
D.x3-x=x(x+1)(x-1)
【解析】选D.A、右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;
B、右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;
C、右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;
D、符合因式分解的定义,故本选项正确.
2.多项式15a3b2(a+b)c+10a2b(a+b)的公因式是 ( )
A.5a3b2(a+b) B.a2b(a+b)
C.5ab(a+b) D.5a2b(a+b)
【解析】选D.多项式15a3b2(a+b)c+10a2b(a+b)的公因式是5a2b(a+b).
3.(2014·沧浪区模拟)若多项式(a+ ( http: / / www.21cnjy.com )b-c)(a+c-b)+(b-a+c)(b-a-c)=M·(a-b+c),则M= ( )
A.2(b-c) B.2a
C.2b D.2(a-c)
【解析】选D.(a+b-c)(a+c-b)+(b-a+c)(b-a-c)
=(a+b-c)(a+c-b)-(b-a+c)(a+c-b)
=(a+c-b)[(a+b-c)-(b-a+c)]
=(a-b+c)·(a+b-c-b+a-c)
=2(a-c)·(a-b+c).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·岳阳中考)分解因式:xy-3x= .
【解析】xy-3x=x(y-3).
答案:x(y-3)
5.(1)多项式15m3n-20m2n2+5m2n的公因式是 ,提取公因式后另一个因式是 .
(2)3.14×98-3.14×10+12×3.14= .
【解析】(1)15m3n-20m2n2+5m2n=5m2n(3m-4n+1),
公因式是5m2n,另一个因式是3m-4n+1.
(2)3.14×98-3.14×10+12×3.14
=3.14×(98-10+12)
=3.14×100
=314.
答案:(1)5m2n 3m-4n+1 (2)314
【方法技巧】确定公因式的技巧
(1)公因式的系数是各项系数的最大公约数.
(2)字母是各项中相同的字母,指数取各字母指数最低的.
(3)只在某个或某项中含有而其他项中没有的字母,不能成为公因式的一部分.
(4)公因式可以是单项式,也可以是多项式,要善于发现较隐蔽的公因式,如互为相反数的多项式.
6.(2014·惠安质检)设x为满足x2014+20142013=x2013+20142014的整数,则x= .
【解析】∵x2014+20142013=x2013+20142014,
∴x2014-x2013=20142014-20142013,
∴x2013(x-1)=20142013(2014-1),
∴x=2014.
答案:2014
三、解答题(共26分)
7.(8分)分解因式:(1)-8x4y+6x3y2-2x3y.
(2)x2(y-2)-x(2-y).
【解析】(1)-8x4y+6x3y2-2x3y
=-2x3y(4x-3y+1).
(2)x2(y-2)-x(2-y)
=x2(y-2)+x(y-2)
=x(y-2)(x+1).
8.(8分)化简计算.
(1)(a-b)(a+b)2-(a+b)(a-b)2+2b(a2+b2).
(2)29×20.03+72×20.03+13×20.03-14×20.03.
【解析】(1)(a-b)(a+b)2-(a+b)(a-b)2+2b(a2+b2)
=(a-b)(a+b)(a+b-a+b)+2b(a2+b2)
=2b(a2-b2)+2b(a2+b2)
=2b(a2-b2+a2+b2)
=4a2b.
(2)29×20.03+72×20.03+13×20.03-14×20.03
=20.03×(29+72+13-14)
=2003.
【培优训练】
9.(10分)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(x+1)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x ( http: / / www.21cnjy.com )+1)2+…+x(x+1)2013,则需应用上述方法 次,结果是 .
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
【解析】(1)提公因式法 2
(2)2013 (1+x)2014
(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-1]=(1+x)2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+
x(x+1)n-2]=(1+x)3[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-3]=……
=(1+x)n(x+1)=(1+x)n+1.
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因式分解(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·来宾中考)分解因式:x2-4y2的结果是 ( )
A.(x+4y)(x-4y) B.(x+2y)(x-2y)
C.(x-4y)2 D.(x-2y)2
【解析】选B.x2-4y2=(x+2y)(x-2y).
2.(2014·临桂模拟)下列各因式分解正确的是 ( )
A.x2+2x-1=(x-1)2
B.-x2+(-2)2=(x-2)(x+2)
C.x3-4x=x(x+2)(x-2)
D.(x+1)2=x2+2x+1
【解析】选C.A、x2+2x-1无法因式分解,故此选项错误;
B、-x2+(-2)2=(2+x)(2-x),故此选项错误;
C、x3-4x=x(x+2)(x-2),此选项正确;
D、(x+1)2=x2+2x+1,是多项式的乘法,不是因式分解,故此选项错误.
3.有一批战士恰好组成一个八列的长方形 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )队伍,若在队列中再增加120人,或从队列中减少120人,并重新列队,都能组成一个正方形队列,那么原来长方形队列的战士人数可能为 ( )
A.136人 B.136人或169人
C.409人 D.136人或904人
【解析】选D.设原有战士8n人,8n+1 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )20=a2,8n-120=b2,则存在a2-b2=240,即(a+b)(a-b)=240.但a+b与a-b的奇偶性相同,且a,b都为偶数,
故a+b=120,a-b=2,于是a=61,b=59(不合题意舍去);
a+b=60,a-b=4,于是a=32,b= ( http: / / www.21cnjy.com )28,则8n=904.因为904-120=784,784为28的平方,所以904符合条件;
a+b=40,a-b=6,于是a=23,b=17(不合题意舍去);
a+b=30,a-b=8,于是a=19,b=11(不合题意舍去);
a+b=24,a-b=10,于是a=17,b=7(不合题意舍去);
a+b=20,a-b=12,于是a=16, ( http: / / www.21cnjy.com )b=4,则8n=136,因为136-120=16,16为4的平方,所以136符合条件;
a+b=16,a-b=15,于是a=15.5,b=0.5(不合题意舍去).
故原长方形队列的战士人数可能为136人或904人.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·威海中考)分解因式:-3x2+2x-= .
【解析】-3x2+2x-=-(9x2-6x+1)
=-(3x-1)2.
答案:-(3x-1)2
5.(2013·黔西南州中考)因式分解2x4-2= .
【解析】原式=2(x4-1)=2(x2+1)(x2-1)
=2(x2+1)(x+1)(x-1).
答案:2(x2+1)(x+1)(x-1)
6.在日常生活中如取款、上网等都需要密 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,原理是对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x+y)·(x-y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x+y)=18,(x-y)=0,(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码,对于多项式x3-4xy2,取x=36,y=16时,用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
【解析】x3-4xy2=x(x+2y)(x-2y).
当x=36,y=16时,x+2y=36+32=68,x-2y=36-32=4.
则密码是36684或36468或68364或68436或43668或46836.
答案:36684(或36468或68364或68436或43668或46836,答案不唯一)
三、解答题(共26分)
7.(8分)分解因式:
(1)(2m-n)2-121(m+n)2.
(2)(x-y)a2+(y-x)b2.
【解析】(1)(2m-n)2-121(m+n)2=(2m-n)2-[11(m+n)]2
=[(2m-n)+11(m+n)][(2m-n)-11(m+n)]=(2m-n+11m+11n)(2m-n-11m-11n)
=(13m+10n)(-9m-12n)
=-3(13m+10n)(3m+4n).
(2)原式=(x-y)(a2-b2)=(x-y)(a+b)(a-b).
【知识归纳】因式分解的一般步骤
(1)观察多项式的各项是否有公因式,若有,则先提公因式.
(2)当一个多项式的各项没有公因式(或有公因 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )式的已经提出了公因式)时,观察多项式(因式)是否符合乘法公式的逆运算的形式特点,符合就按照公式法进行分解因式;若不符合,则将其进行适当变形成提公因式或运用公式的形式,再进行分解.
8.(8分)基本事实:“若ab ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=0,则a=0或b=0”.一元二次方程x2-x-2=0可通过因式分解化为(x-2)(x+1)=0,由基本事实得x-2=0或x+1=0,即方程的解为x=2和x=-1.
(1)试利用上述基本事实,解方程:2x2-2x=0.
(2)若(x2+y2)(x2+y2-1)-2=0,求x2+y2的值.
【解析】(1)原方程化为:2x(x-1)=0,
则2x=0或x-1=0,
解得:x=0或x=1.
(2)(x2+y2)(x2+y2-1)-2=0,
(x2+y2-2)(x2+y2+1)=0,
则x2+y2-2=0,或x2+y2+1=0,
x2+y2=2,x2+y2=-1,
∵x2≥0,y2≥0,
∴x2+y2≥0,
∴x2+y2=-1舍去,
∴x2+y2=2.
【培优训练】
9.(10分)请看下面的问题:把x4+4分解因式.
分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).
人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照苏菲·热门的做法,将下列各式因式分解.
(1)x4+4y4.(2)x2-2ax-b2-2ab.
【解析】(1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y2-4x2y2
=(x2+2y2)2-4x2y2
=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy).
(2)x2-2ax-b2-2ab
=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab
=(x-a)2-(a+b)2
=(x-a+a+b)(x-a-a-b)
=(x+b)(x-2a-b).
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(五)
幂的乘方
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·济南中考)下列各式计算正确的是 ( )
A.(a2)2=a4 B.a+a=a2
C.3a2+a2=2a2 D.a4·a2=a8
【解析】选A.A、(a2)2=a4,原式计算正确,故本选项正确;
B、a+a=2a,原式计算错误,故本选项错误;
C、3a2+a2=4a2,原式计算错误,故本选项错误;
D、a4·a2=a6,原式计算错误,故本选项错误.
2.计算(-x2)5的值为 ( )
A.x7 B.-x7 C.-x10 D.x10
【解析】选C.∵负因数有奇数个,∴(-x2)5=-x10.
3.若2x+5y-3=0,则4x·32y= ( )
A.32 B.16 C.8 D.4
【解析】选C.∵2x+5y-3=0,∴2x+5y=3,
∴4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.若(x2)n=x8,则n= .
【解析】∵(x2)n=x2n=x8,∴2n=8,∴n=4.
答案:4
5.已知2m=x,45m=y,用含有字母x的代数式表示y,则y= .
【解析】∵y=45m=(22)5m=210m,x=2m,
∴y=x10.
答案:x10
6.(1)若273=32a+3,则a= .
(2)已知n为正整数,且a=-1,则(-a2n)2n+3的值为 .
【解析】(1)∵273=(33)3=39,
∴39=32a+3,即2a+3=9.∴a=3.
(2)∵a=-1,∴(-a2n)2n+3=-a2n(2n+3)
=-(-1)2n(2n+3)=-1.
答案:(1)3 (2)-1
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:
(1)(a7)3-(a3)7.
(2)[(a+2b)4]3·(-a-2b).
(3)(an-2)2·[-(a3)2n+1].
(4)a2·a4+2a·a5-3(a3)2.
【解析】(1)(a7)3-(a3)7
=a21-a21=0.
(2)[(a+2b)4]3·(-a-2b)
=-(a+2b)12(a+2b)=-(a+2b)13.
(3)(an-2)2·[-(a3)2n+1]
=a2n-4·(-a6n+3)
=-a8n-1.
(4)a2·a4+2a·a5-3(a3)2=a6+2a6-3a6=0.
8.(8分)已知:162×43×26=22x-1,(102)y=1012,求2x+y的值.
【解析】∵162×43×26=(24)2×(22)3×26=28×26×26=220,(102)y=102y.
又∵162×43×26=22x-1,(102)y=1012,
∴2x-1=20,2y=12.
解得2x=21,y=6.∴2x+y=27.
【培优训练】
9.(10分)小明是一位刻苦学习,勤于 ( http: / / www.21cnjy.com )思考的同学,一天,他在解方程时突然产生了这样的想法,x2=-1,这个方程在实数范围内无解,如果存在一个数i2=-1,那么方程x2=-1可以变成x2=i2,则x=±i,从而x=±i是方程x2=-1的两个解,小明还发现i具有以下性质:
i1=i,i2=-1,i3=i2·i= ( http: / / www.21cnjy.com )-i;i4=(i2)2=(-1)2=1,i5=i4·i=i,i6=(i2)3=(-1)3=-1,i7=i6·i=-i,i8=(i4)2=1,…
请你观察上述等式,根据你发现的规律填空,写出下列各式的结果:
(1)i4n+1.(2)i4n+2.(3)i4n+3.(4)i4n+4(n为自然数).
【解析】∵i1=i,i2=-1,i3=i2·i=-i;i4=(i2)2=(-1)2=1,
从n=1开始,4个一次循环.
∴(1)i4n+1=i,(2)i4n+2=-1,(3)i4n+3=-i,(4)i4n+4=1(n为自然数).
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(七)
同底数幂的除法
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·荆门中考)下列运算正确的是 ( )
A.a8÷a2=a4 B.a5-(-a)2=-a3
C.a3·(-a)2=a5 D.5a+3b=8ab
【解析】选C.A.a8÷a2=a8-2=a6.故本选项错误;
B.a5-(-a)2=a5-a2.故本选项错误;
C.a3·(-a)2=a3·a2=a3+2=a5.故本选项正确;
D.5a与3b不是同类项,不能合并.故本选项错误.
2.计算106×(102)3÷104的值为 ( )
A.108 B.109 C.1010 D.1012
【解析】选A.106×(102)3÷104
=106×106÷104
=106+6-4
=108.
3.若3x=4,9y=7,则3x-2y的值为 ( )
A. B. C.-3 D.
【解析】选A.原式=3x÷32y=3x÷9y=.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2014·宝应二模)(a2)2÷a3= .
【解析】原式=a4÷a3=a.
答案:a
5.(2014·南岸区二模)若m,n为正整数,(-x2)2÷xm÷xn=x,则m,n的值分别为 .
【解析】原式可转化为:x4÷xm÷xn=x,
即x4-m-n=x,
∵m,n为正整数,
∴当m=1时,n=2;
当m=2时,n=1.
答案:m=1,n=2或m=2,n=1
6.根据里氏震级的定义, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )地震所释放的相对能量E与地震级数n的关系为:E=10n,那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是 .
【解析】∵地震所释放的相对能量E与地震级数n的关系为:E=10n,
∴9级地震所释放的相对能量为109,7级地震所释放的相对能量为107,
∴109÷107=102=100.
即9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的100倍.
答案:100
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:(1)x10÷(x4÷x2).
(2)(m-n)6÷(m-n)2÷(n-m)3.
(3)(-a3)2÷a2+a·(-a2)2÷(-a).
(4)x3·(2x3)2÷(x4)2.
【解析】(1)原式=x10÷x2=x8.
(2)原式=(n-m)6÷(n-m)2÷(n-m)3
=(n-m)6-2-3=n-m.
(3)原式=a6÷a2+a·a4÷(-a)=a6-2+a4+1÷(-a)
=a4-(a5÷a)=a4-a4=0.
(4)x3·(2x3)2÷(x4)2
=4x9÷x8
=4x.
8.(8分)(1)已知:3m=4,3m-4n=,求2014n的值.
(2)解方程:642x÷82x÷4=64.
【解析】(1)∵3m-4n=,
∴3m÷34n=,
∴3m=×34n,
又∵3m=4,∴4=×34n,
∴81=34n=81n,
∴n=1,∴2014n=20141=2014.
(2)原方程可变形为82x÷4=64,
整理得:82x=256,即26x=28,
∴6x=8,∴x=.
【培优训练】
9.(10分)(1)已知x4n+3÷xn+1=xn+3·xn+5,求n的值.
(2)化简求值:(2x-y)13÷[(2x-y)3]2÷[(y-2x)2]3,其中x=2,y=-1.
【解析】(1)∵x4n+3÷x ( http: / / www.21cnjy.com )n+1=x(4n+3)-(n+1)=x3n+2,xn+3·xn+5=x(n+3)+(n+5)=x2n+8,
∴3n+2=2n+8,解得:n=6.
(2)(2x-y)13÷[(2x-y)3]2÷[(y-2x)2]3
=(2x-y)13÷(2x-y)6÷(2x-y)6
=(2x-y)13-6-6=2x-y,
当x=2,y=-1时,
原式=2×2-(-1)=5.
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