2022-2023学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约．( )
A.
B.
C.
D.
2. 如果、分别是、的对立事件，下列选项中能判断事件与事件相互独立的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数的导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
4. 已知数列，设为正整数若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数、、，都有，则称数列为“梦想数列”有以下三个命题：
若数列是“梦想数列”，则常数；
存在公比不为的等比数列是“梦想数列”；
“梦想数列”一定是等差数列．
以上个命题中真命题的个数是个( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 过点、的直线的倾斜角为______ 用反三角表示
6. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是 ．
7. 的二项式展开式中的系数为______ ．
8. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______．
9. 若数列中的前项和为正整数，则数列的通项公式 ______ ．
10. 掷一颗骰子并观察出现的点数已知出现的点数不超过，则出现的点数是奇数的概率是______ ．
11. 已知随机变量服从正态分布，且，则 ______ ．
12. 若数列的通项公式为正整数，的前项和是，则 ______ ．
13. 设双曲线：，以的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线，通过研究可以得到双曲线和它的共轭双曲线有很多相同的性质，请写出其中的一个性质：______ ．
14. 某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了门选修课供学生选择，现有名同学参加选课走班的活动，要求这名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则名同学选课的种数为______ ．
15. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，若，则到准线的距离为______ ．
16. 已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知在直三棱柱中，是直角．
求证：平面平面；
设异面直线与所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为比较和的大小，并说明理由．
18. 本小题分
已知数列是严格增的等比数列，，．
求的通项公式；
若，求．
19. 本小题分
某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．
年级名次
是否近视
近视
不近视
若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；
学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到如表中数据，根据分布概率表中的数据，能否有的把握认为视力与学习成绩有关系？请说明理由；
在中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这人中任取人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
其中．
20. 本小题分
已知椭圆，该椭圆与轴的交点分别是和在的左侧，该椭圆的两个焦点分别是和在的左侧，椭圆与轴的一个交点是．
若为椭圆的上顶点，求经过点，，三点的圆的方程；
已知点到过点的直线的距离是，求直线的方程；
已知椭圆上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件．
21. 本小题分
对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
若为实数，函数，是“跃点”函数，求的取值范围；
若为非零实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，求的值；
若为实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：以为轴，以过与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线的方程为，，由题意及抛物线的对称性可得，
将的坐标代入可得，可得，即抛物线的方程为，
由题意可得，代入抛物线的方程可得，可得，
所以水面宽度．
故选：．
由题意建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的方程，由题意可得的坐标，代入抛物线的方程，求出参数的值，再由题意可得的纵坐标，代入抛物线的方程，可得的横坐标，可得水面宽度的值．
本题考查抛物线的求法及抛物线的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，由，且，可得，
所以，所以事件与事件相互独立，故A正确；
对于，若事件与事件相互独立，则需满足，
由于，所以于，
故无法确定事件与事件相互独立，B错误；
对于，，，
若事件与事件相互独立，则，则或，
故事件为必然事件或事件为不可能事件，
显然无法确定事件与事件相互独立，故C错误；
对于，由，可得，即，无法确定事件与事件相互独立，故D错误．
故选：．
根据相互独立事件满足的关系即可判断，根据假设即可判断．
本题考查概率的应用，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：函数的导函数为，且满足，
，把代入可得，
解得．
故选：．
已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析个命题：
对于，若数列是“梦想数列”，则，同时有，必有，正确；
对于，令，，，
有，
变形可得，即、、成三项成等差数列，
令，，，
则有，
变形可得：，
则有，
两式相减可得：，
则有，
所以有成立，
又由当、、时也成立，故“梦想数列”一定是等差数列，则错误，正确．
故选：．
根据题意，结合“梦想数列”的定义，依次分析个命题是否正确，综合可得答案．
本题考查数列的应用，涉及等差、等比数列的判定和性质，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：过点、的直线的斜率，
故．
故答案为：．
直接利用两点求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．
本题考查的知识要点：直线的斜率和直线的倾斜角的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标平面对称的问题，是基础题．
根据点关于平面对称的点的坐标是，写出即可．
【解答】
解：空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是．
故答案为：．

7.【答案】
【解析】解：的二项式展开式通项公式为，
令，解得，
所以展开式中的系数为．
故答案为：．
根据二项式展开式通项公式求解即可．
本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，则答案可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
【解答】
解：，，
，
则曲线在处的切线方程为．
故答案为：．
9.【答案】
【解析】解：数列的前项和为正整数，
当时，，
又适合上式，
．
故答案为：．
直接根据前项和与通项之间的关系求解即可．
本题主要考查数列通项公式的求解，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：掷一颗骰子并观察出现的点数．已知出现的点数不超过，
则出现的点数可能为，，
则出现的点数是奇数的概率是．
故答案为：．
出现的点数可能为，，由此能求出出现的点数是奇数的概率．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，且，
则，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
．
故答案为：．
先根据数列的通项公式判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式推导出前项和的表达式，最后根据数列极限的性质进行计算即可得到结果．
本题主要考查数列求和与极限的综合问题．考查了转化与化归思想，等比数列的判定及求和公式的运用，数列极限的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
13.【答案】有相同渐近线
【解析】解：根据定义可得：，：，
故他们的渐近线方程均为
故答案为：有相同渐近线．
根据共轭双曲线定义得到两双曲线方程，进而可表示出对应渐近线方程．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将人分为组，有种分组方法，
将分好的组安排选择门课程，有种情况，
则有种选课方法．
故答案为：．
根据题意，分步进行分析：将人分为组，将分好的组安排选择门课程，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由抛物线：，可知，即为坐标原点，
过点作轴的垂线，垂足为，
由三角形相似可知，所以，
所以点到准线的距离为．
故答案为：．
求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由三角形相似可知，求出，结合抛物线的定义，求解点到准线的距离为．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，
对于指数函数，，设，则点切线斜率为，
又圆心为，
所以直线斜率为，
令，得，
即，到圆心距离为，
所以最小值为．
故答案为：．
两个曲线一个是指数函数，一个是圆，根据三角形原理，当圆心与指数函数图像上某点连线与该点切线垂直时，可以得到两曲线上距离最近的点．
本题主要考查两曲线上点间的最近距离，属中档题．
17.【答案】解：证明：在直三棱柱中，平面，
平面，，
是直角．，又，
平面，平面，
平面平面；
，理由如下：
，为异面直线与所成的角，即，
平面，平面，
，，，
平面，，
平面，在平面内的射影为，
是直线与平面所成的角，，
，，又，
，，，
．
【解析】通过线线垂直可得线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理可得平面平面；
为异面直线与所成的角，是直线与平面所成的角，可得，可得结论．
本题考查面面垂直的证明，考查角的大小的比较，考查空间角的求法，属中档题．
18.【答案】解：由题意，设等比数列的公比为，
则，
，
即，故，
将代入，
可得，
化简整理，得，
解得，或，
数列是严格增的等比数列且，
公比，
不符合题意，舍去，
公比，，
，．
依题意，由，
可得
，
．
【解析】先设等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于首项与公比的方程，先计算分析出公比的值，进一步计算出首项的值，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果及指对数的运算推导出数列的通项公式，然后运用分组求和法与等差数列的求和公式即可计算出的结果．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，指对数的运算，分组求和法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：Ⅰ由直方图可知，第一组有人，第二组有人，第三组有人，
因为后四组频数成等差数列，所以后四组的频数依次为，，，，
所以视力在以下的频率为，
故全年级视力在以下的人数约为名．
Ⅱ由列联表数据，可得：
，
因此有的把握认为视力与学习成绩有关系；
Ⅲ依题意，人中年级名次在名和名的学生分别有名和名，
在这人中任取人，名次在的学生人数可能取，，，，
则有，，
，，
故的分布列为：


的数学期望．
【解析】Ⅰ利用，可求得前组的人数，由后四组的频数成等差数列可求后三组的人数，由此得到视力在以下的频率，由此可估计总体；
Ⅱ将数据代入独立性检验的公式进行计算，并将结果与数据进行比较可得结论；
Ⅲ利用分层抽样知识可知名次在名和名的学生分别有名和名，利用超几何分布的概率模型可求分布列和期望．
本题考查样本估计总体、独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和期望，属中档题．
20.【答案】解：由已知得，，，．
由题意知，设所求圆的方程为．
因为所求的圆经过，，三点，
所以解得：，，．
故所求圆的方程为．
当为上顶点时，
若直线的斜率不存在，此时的方程为，符合题意；
若直线的斜率存在，设的方程为，即．
点直线的距离为，
解得，此时的方程为．
当为下顶点时，
若直线的斜率不存在，此时的方程为，符合题意；
若直线的斜率存在，设的方程为，即．
点直线的距离为，
解得，此时的方程为．
综上所述，当为上顶点时，直线的方程为或．
当为下顶点时，直线的方程为或．
证明：充分性
因直线不与坐标轴垂直，设的方程为，，
联立消得．
所以，
，
．
，，
，，
，
将，代入上式，
整理得．
因为恒成立，
所以，即直线过定点，充分性成立．
必要性
因直线不与坐标轴垂直且过点，设的方程为，，
联立消得．
所以．
．
必要性成立．
所以．
【解析】求经过已知三点的圆的方程可以用待定系数法，先所求圆的方程为，然后代入已知点，解方程组可求解；
求直线的方程，需要讨论直线的斜率是否存在．设直线的方程，利用点到直线的距离公式进行求解．注意点的位置不确定，解题过程中需要讨论；
证明充要条件，需要分充分性和必要性进行证明．定点定值问题常用设而不求、韦达定理、消元法解决．
本题考查椭圆的性质，圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：函数的导函数，
若函数是“跃点“函数，则方程有解，
即有解，
又，
所以，
所以
函数的导函数．
若该函数是“跃点“函数，
则方程有解，
即有解，
所以有解，
当时，方程成立，
所以是方程的一个实数根，
当时，，
当时，方程有两个相等的实数根，
此时方程的根为，，，
所以函数有两个不同的“跃点“，
当时，方程无解，
此时方程的根为，则函数有一个“跃点”，
当时，方程有两个不相等的实数根，
若函数有两个不同的“跃点”，则其中一个实数根为，
则，解得，
综上所述，的值为或．
函数的导函数为，
若该函数是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，
则方程，即有一个不同的实数根，
设，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
又时，；时，，
所以当时，取得极小值，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
【解析】函数的导函数，若函数是“跃点“函数，则方程有解，即有解，进而可得答案．
函数的导函数若该函数是“跃点“函数，则方程有解，进而可得答案．
函数的导函数为，若该函数是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，即有一个不同的实数根，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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