2022-2023学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
2. 已知的展开式中所有项的系数之和为，则( )
A. B. C. D.
3. 如表是某企业在年月月的个月内购买某品牌碳酸锂价格单位：千元与月份代码的统计数据由表中数据计算得到经验回归方程为，则预测年月购买该品牌碳酸锂价格约为( )
月份代码
碳酸锂价格
A. 千元 B. 千元 C. 千元 D. 千元
4. 某班级有名学生，该班级学生期末考试数学成绩服从正态分布，已知，则的学生人数约为( )
A. B. C. D.
5. 函数的图象如图所示，则下列不等关系正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的灯笼挂法总数为( )
A. B. C. D.
7. 盒中有个螺口灯泡和个卡口灯泡，现从盒中不放回地任取灯泡，直到取出第个灯泡才取出所有螺口灯泡的概率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，第二组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，则( )
A. 若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强
B. 若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强
C. 若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好
D. 若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好
10. 已知随机变量和的分布列如下，与的取值互不影响，则( )
A. 的取值范围是 B. 存在，使得
C. D. 当时，
11. 在孟德尔豌豆实验中，已知子一代豌豆的基因型均为，以子一代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子二代，以子二代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子三代，子二代、子三代的基因型有，，，其中为显性基因，为隐性基因，基因型中至少含有个显性基因时呈显性性状则下列说法正确的是( )
A. 子二代中基因型为的概率为
B. 子三代中基因型为的概率为
C. 子二代中随机取粒豌豆恰有粒豌豆呈现显性性状的概率为
D. 子三代中随机取粒豌豆恰有粒豌豆呈现显性性状的概率为
12. 已知函数有两个极值点与，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 用种不同的颜色对如图所示的，，区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有______ 种不同的着色方法用数字作答
14. 已知函数，，则的极大值点为______ ．
15. 现有一堆橙子用一台水果筛选机进行筛选已知这一堆橙子中大果与小果比例为：，这台筛选机将大果筛选为小果的概率为，将小果筛选为大果的概率为经过一轮筛选后，从筛选出来的“大果”里随机取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为______ ．
16. 已知函数，若存在实数，满足，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某公司近年产品研发年投资额单位：百万元与年销售量单位：千件的数据统计表如下：
年投资额
年销售量
根据上表数据画出年投资额与年销售量的散点图；
该公司计划用非线性经验回归方程作为年销售量关于年投资额的回归分析模型，并对年销售量取对数，得到如下数据表：
年销售量
请根据表格数据、参考数据和公式，求出该非线性经验回归方程．
参考数据与公式：；对于一组数，，，据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
18. 本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
若是的极值点，且方程有个不同的实数解，求实数的取值范围．
19. 本小题分
从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从的展开式推广到的展开式．
写出的展开式中含的项记为，并求该项的系数；
写出的展开式的通项公式，并解释其正确性．
20. 本小题分
某小型工厂生产蓝色和粉色两种颜色的手持便风扇，每日生产量为台，其中蓝色手持便拱风扇台，粉色手持便携风扇台．
若从某日生产的手持便携风扇中随机抽检台，用表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求的分布列及数学期望；
若从某日生产的手持便携风扇中随机抽取台作为样本，用表示样本中蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中蓝色手持便携风扇的比例估计总体中蓝色手持便携风扇的比例，求误差不超过的概率，并说明在相同误差限制下，采用哪种抽取方式估计的结果更可靠．
参考数据：随机变量对应二项分布和超几何分布概率值参考数据精确到．
二项分布概率值 超几何分布概率值 二项分布概率值 超几何分布概率值
总计
21. 本小题分
某企业有甲、乙两条生产线，为了解生产产品质量情况，采用简单随机抽样的方法从两条生产线共抽取件产品，测量产品尺寸单位：得到如下统计数据，其中尺寸位于的产品为一等品，其它产品为非一等品．
尺寸
生产线
甲
乙
为考察生产线甲、乙对产品质量一等品、非等品的影响，请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联？
生产线 产品质量 合计
一等品 非一等品
甲
乙
合计
用样本频率估计概率，从甲、乙两条生产线分别随机抽取件产品，每次抽取产品互不影响，用表示这件产品中一等品的数量，求的分布列．
附：，其中．
临界值表
22. 本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若，且对任意，其中都有，求实数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，则．
故选：．
先根据导数的运算法则求出函数的导数，再求导数值．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由二项式的展开式中所有项的系数之和为，
令，可得，解得．
故选：．
令，得到，即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由已知得，，
回归方程必过样本中心点为，
，解得，，
则预测年月购买该品牌碳酸锂价格约为千元．
故选：．
根据回归方程必过样本中心点求出回归方程，利用回归方程预测月该品牌碳酸锂的价格．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：由题意知数学成绩服从正态分布，，
故，则，
故的学生人数约为．
故选：．
根据正态分布的对称性可求得的值，即可求得答案．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：为函数的图象在点处的切线的斜率，
为函数的图象在点处的切线的斜率，
表示直线的斜率，
由图可知．
故选：．
由题意可知为函数的图象在点处的切线的斜率，为函数的图象在点处的切线的斜率，表示直线的斜率，然后结合图形求解．
本题主要考查导数的几何意义，考查逻辑推理能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：能够相邻的可以是红木宫灯、檀木宫灯，也可以是楠木纱灯、花梨木纱灯、
若红木宫灯、檀木宫灯相邻，楠木纱灯、花梨木纱灯不相邻，
则把红木宫灯、檀木宫灯看成一个整体和恭喜发财吊灯进行排列，中间有个空，选两个放楠木纱灯、花梨木纱灯，
则有种，
若红木宫灯、檀木宫灯不相邻，楠木纱灯、花梨木纱灯相邻，
则把楠木纱灯、花梨木纱灯看成一个整体和恭喜发财吊灯进行排列，中间有个空，选两个放红木宫灯、檀木宫灯，
则有种，
则共有种．
故选：．
利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：由已知条件得前次取出了个螺口灯泡，个卡口灯泡，第次取出螺口灯泡，
则前个位置排个螺口灯泡和个卡口灯泡，第个位置排螺口灯泡的排列方法有，
由古典概型概率公式可知：直到取出第个灯泡才取出所有螺口灯泡的概率为，
故选：．
利用古典概型概率公式求解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，当时，，
设，
则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，
解得．
故选：．
由题可得当时，，构造函数，可判断在上的单调性，进而可将不等式转化为，利用的单调性，可求出不等式的解集．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于中，当，时，满足，但，则第二组成对数据的线性相关关系比第一组的强，所以A错误；
对于中，若，可得，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强，所以B正确；
对于中，若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好，所以C正确；
对于中，若，则第一组成对数据的经验回归模型拟合效果比第二组的好，所以D错误．
故选：．
根据题意，由相关系数、残差平方和、决定系数的意义，依次分析选项，即可求解．
本题主要考查样本相关系数、残差平方和、决定系数的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，由已知得且，解得，则选项A正确；
对于选项B，因为与的取值互不影响，
所以，解得，
因为，则不存在值，，则选项B错误；
对于选项C，，则选项C错误；
对于选项D，当时，，
则，则选项D正确．
故选：．
利用概率的性质以及期望和方差的公式求解．
本题考查了概率的性质以及期望和方差的公式，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由题意可知子二代中基因型有，，，，其中，为同类基因型，
故子二代中基因型为的概率为，A错误；
对于，由于子二代中基因型有，，，比例为：：，
故出现的概率为，
故子三代中基因型为的概率为，B正确；
对于，子二代中粒豌豆呈现显性性状的概率为，
故子二代中随机取粒豌豆恰有粒豌豆呈现显性性状的概率为，C错误；
对于，结合的分析可知出现的概率为，
则子三代中出现的概率为，出现的概率为，
故子三代中粒豌豆呈现显性性状的概率为，
故子三代中随机取粒豌豆恰有粒豌豆呈现显性性状的概率为，D正确．
故选：．
根据子二代中基因型有，，，即可判断；根据子二代中出现的概率结合独立事件的乘法公式可判断；求出子二代中粒豌豆呈现显性性状的概率，根据二项分布的概率计算可判断，．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A：已知，函数定义域为，
可得，
因为函数有两个极值点，，且，
即有两个变号零点，
易知当时，不符合题意，
则方程有两个根，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当且时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值，
易知当时，，
当直线与函数的图象有两个交点时，满足条件，
此时，
解得，故选项A正确；
对于选项B：因为，为直线与函数图象两个交点的横坐标，
因为函数在上递减，在上递增，且，
所以，
又，且，
所以，故选项B错误；
对于选项C：令，
解得，
此时，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在上单调递增，
则，
即，故选项C正确；
对于选项D：因为，
所以当时，，
即，
整理得，
解得，
所以，
则，
解得，
当时，
易知，
所以，
解得，
所以，
此时函数在上单调递减，
满足，
解得，
综上，当时，，故选项D正确．
故选：．
由题意，将函数有两个极值点，，且，转化成有两个变号零点，即直线与函数的图象有两个交点，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，作出函数图象，利用数形结合进行求解即可判断选项A；结合图象判断出的范围，根据即可判断选项B；令，得到，此时，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性，进而可判断选项C；对和这两种情况进行分析，利用数形结合即可判断选项D．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值以及导数的综合运用，考查了逻辑推理、转化思想、数形结合和运算能力．
13.【答案】
【解析】解：若和区域着色相同时，有种不同的着色方法；
若和区域着色不相同时，有种不同的着色方法；
所以三块区域不同的着色方法有种．
故答案为：．
按和区域着色是否相同分类讨论，再利用加法原理求解．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
令，
，
由于，
故，
则或，
故或，
当以及时，，
在和上单调递增，
当时，，
在上单调递减，
故为的极大值点．
故答案为：．
求得函数导数，令其等于，结合极值点的判断，即可得答案．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，记事件表示“放入水果分选机的苹果为大果”，事件表示“放入水果分选机的苹果为小果”，事件表示“水果分选机筛选的苹果为大果”，
则，，，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
根据题意，结合条件概率公式求解即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：作出的函数图象如图所示：
存在实数，满足，
，
，
由图可知，，，
设，其中，
，显然在上单调递增，
，，
在上存在唯一一个零点，不妨设为，
在在上单调递减，在上单调递增，
且，解得．
则在上的最小值为．
故答案为：．
作出的函数图象，由题意可得，得到，求出的范围，设，其中，再由导数求最值得答案．
本题考查分段函数的图象与性质，考查数形结合思想，训练了利用导数求最值，是中档题．
17.【答案】解：年投资额与年销售量的散点图如图：
，则，
记，则，，
，，
，
，可得．
【解析】直接由表格中的数据画出散点图；
求出，再求得与的值，结合对数的运算性质求得非线性回归方程．
本题考查经验回归方程是求法，考查化归与转化思想，是中档题．
18.【答案】解：，
，
则，，
故函数在处的切线方程为：
，即．
，
由题意，解得：，
故，
，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
故，，
若方程有个不同的实数解，
则，
即的取值范围是
【解析】求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
根据，求出的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，从而求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
19.【答案】解：由二项展开式可知，
则，
其中，且，为自然数，
故的系数为，时的值，即有，
系数为．
的展开式的通项公式为，
其中，且，为自然数．
解释：
由二项展开式可知，
则
其中，且，为自然数，
故的展开式的通项公式为，
其中，且，为自然数．
【解析】利用的展开式可得，结合，即可求得答案；
利用二项展开式可知，将化为，即可推出结论．
本题考查了二项式展开式和二项式中如何求指定项系数和通项公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：对于有放回抽检，每次抽到蓝色手持便携风扇的概率为，
设表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，
则，此时的取值可能为，，，
则，
，
故的分布列为：


数学期望为；
对于不放回抽检，设表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，
设表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，的取值可能为，，，
则，
，
故的分布列为：


数学期望为；
样本中蓝色手持便携风扇的比例是一个随机变量，
有放回抽取时，
，
不放回抽取时，
，
因为，故在相同误差限制下，采用不放回抽取方式估计的结果更可靠．
【解析】有放回抽取时确定，根据二项分布的概率计算公式，即可求得答案；不放回抽取时，根据超几何分布的概率计算可求得答案；
对于有放回和不放回抽取时分别计算的值，并比较大小，即可得结论．
本题考查了二项分布的概率计算和超几何分布的概率计算，属于中档题．
21.【答案】解：根据题意，可得列联表如下：
生产线 产品质量 合计
一等品 非一等品
甲
乙
合计
故K，
故根据小概率值的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联；
根据题意，由的结论，甲生产线生产生产的零件为一等品的概率为，
乙生产线生产生产的零件为一等品的概率为，
可取的值为、、、、，
则，
，
，
，
则，
故分分布列为：



【解析】根据题意，分析可得列联表，由此计算的值，比较可得结论；
根据题意，分析可取的值，由此可得各个值对应的概率，即可得的分布列．
本题考查随机变量的分布列，涉及独立性检验的应用，属于中档题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由知，当时，在上单调递增，
所以对任意，，都有，
已知，
可得，
当时，，单调递减，
所以对任意，，都有，
易知当时，，
因为，
所以，
整理得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
则，
即，
所以当，时，恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得恒成立，
所以在恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以，单调递减，
则，
可得，
故实数的最小值为．
【解析】由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可；
结合中所得信息，构造函数，将转化成恒成立，构造函数，对函数进行求导，得到恒成立，此时在恒成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
第1页，共1页