2022-2023学年陕西省榆林市横山中学高一（下）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年陕西省榆林市横山中学高一（下）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 371.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-20 00:53:03 | ||
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文档简介
2022-2023学年陕西省榆林市横山中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2. 下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是( )
A. B. C. D.
3. 已知复数满足是虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4. 若平面四边形满足：，，则该四边形一定是( )
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
5. 设，下列向量中，可与向量组成基底的是( )
A. B.
C. D.
6. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为参考数据：取重力加速度大小为，( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知中，，且，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 若正三棱锥的高为，，其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面四边形的直观图，则关于平面四边形有( )
A. 图形为矩形 B. 周长为
C. 边 的长度为 D. 面积为
11. 对任意向量、，下列关系式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知为虚数单位，则( )
A. 若复数的共轭复数为，则
B. 若，，则的充要条件是
C. 若复数，则，
D. 若复数，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ______ ．
14. 已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是______ ．
15. 若复数满足，则 ______ ．
16. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行必备的用具，是称量粮食的量器如图是一种米斗，可盛米升升，已知米斗的形状为正四棱台，且上口宽为，下口宽为，则高约为______ 结果保留一位小数
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数，．
Ⅰ若是纯虚数，求的值；
Ⅱ若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
18. 本小题分
已知向量，满足，．
若，的夹角为，求；
若，求与的夹角．
19. 本小题分
如图，在底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱．
求圆锥的表面积和体积；
求圆柱的表面积．
20. 本小题分
如图，在平行四边形中，，设，．
Ⅰ用，表示，；
Ⅱ用向量的方法证明：，，三点共线．
21. 本小题分
如图，长方体中，，，，过的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
Ⅰ在图中画出这个正方形不必说明画法和理由；
Ⅱ求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．
22. 本小题分
如图，，，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，．
、相距多少公里？精确到小数点后两位
若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？精确到小数点后两位
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，
若，则有，解得．
故选：．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得有，解可得的值，即可得答案．
本题考查平面向量平行的坐标表示及运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由图可知，中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，
中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，
中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，
中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．
故选：．
由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案．
本题考查旋转体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
即，，
四边形为平行四边形，
，
，即平行四边形的对角线互相垂直，
四边形为菱形．
故选：．
由可得，即得四边形为平行四边形，再由得对角线互相垂直，即得四边形为菱形
本题考查由平面向量的平行和垂直判断四边形的形状，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由基底的定义可知，不共线的向量才能作为向量的一组基底，
选项A，中，当时，，均为零向量，故不能作为基底，
选项D中，当时，也为零向量，不能作为基底，
选项C，，故能作为基底．
故选：．
由向量基底的定义直接判断即可．
本题考查向量基底的定义，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：设两只胳膊的拉力分别为，且，
则，
所以学生体重．
故选：．
设两只胳膊的拉力分别为，结合，即可求解．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：法一：由正弦定理得：，
；
法二：由正弦定理得：，
所以，
故，如图所示：过点作于点，
设，，则，
由勾股定理得：，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故选：．
法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；
法二：根据正弦定理，将边化角，得到，画出图形，作出辅助线，设，，得到，利用基本不等式求出三角形面积的最大值．
本题考查了正弦定理和三角形面积公式，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：已知正三棱锥的底面边长为，高为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，
如图所示：
，，
设点为的中心，为外接球的球心，可能在三棱锥内部，也可能在外部，
，即，解得．
该球的表面积为．
故选：．
由题意画出图形，求出外接圆的半径，再由勾股定理列式求解多面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：与方向相同，长度相等，，故选项A正确，
对于选项B：与方向相反，，故选项B正确，
对于选项C：由正六边形的性质可知，，故选项C正确，
对于选项D：与不共线，所以不会相等，故选项D错误，
故选：．
利用平行向量和相等向量的定义求解．
本题主要考查了平行向量和相等向量的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，正方形的边长为，则，
则原图如图：依次分析选项：
对于，原图不是矩形，A错误；
对于，原图中，，，则，则其周长，B正确；
对于，，C错误；
对于，原图面积，D正确；
故选：．
根据题意，由斜二测画法作出原图，由此分析选项，即可得答案．
本题考查斜二测画法，注意由斜二测画法还原原图，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，根据平面向量数量积的运算律可得：恒成立，故A正确；
对于，根据，可得恒成立，故B正确；
对于，，其中为的夹角，
，可得，
恒成立，故C正确；
对于，根据平面向量减法的几何意义可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，故D错误．
故选：．
根据平面向量的线性运算和数量积的定义与运算逐项分析判断即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，则，
，故A正确；
由，，知，不一定是的实部和虚部，不一定得到，故B错误；
复数，则，，故C正确；
，则，故D正确．
故选：．
由共轭复数的定义，复数模公式判断；由题意可知，，不一定是的实部和虚部，结合充分必要条件的对于判断；由实数的运算性质判断；由复数的四则运算及复数模公式判断．
本题主要考查复数的四则运算及复数的性质，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接去括号，合并同类项即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：向量在向量方向上的投影向量是．
故答案为：．
利用投影向量的定义计算即可．
本题考查投影向量的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，得，则，则，故．
故答案为：．
解方程，将表示出来即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，设该棱台的高为，
该正四棱台上底面边长为，下底面边长为，其体积升，
则有，
变形有．
故答案为：．
根据题意，设该棱台的高为，由棱台的体积公式可得，变形可得答案．
本题考查棱台的体积计算，关键是牢记棱台的体积公式，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ是纯虚数，
，解得；
Ⅱ在复平面内对应的点在第三象限，
，解得．
故的取值范围为．
【解析】Ⅰ由实部为且虚部不为列式求解；
Ⅱ由实部与虚部均小于联立不等式组求解．
本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
18.【答案】解：由，，
又，的夹角为，
则；
由，
则，
则，
设与的夹角为，
则，
又，
则，
即与的夹角为．
【解析】由平面向量数量积运算，结合向量模的运算求解即可；
由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．
19.【答案】解：底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱．
由题意可知，圆锥的高为，
所以，圆锥的表面积为，体积为．
设圆柱半径为，则，所以，
所以圆柱的表面积为．
【解析】由题意求出圆锥的高，进而求解圆锥的表面积和体积；
由题意求出圆柱半径，进而求解圆柱的表面积即可．
本题考查圆锥和圆柱的结构特征，属于基础题．
20.【答案】Ⅰ解：平行四边形中，，
由于，，则，又，则在中，有，
Ⅱ证明：，
在中，，
即，又与有公共点，则，，三点共线．
【解析】本题考查向量的线性表示，考查平行四边形法则和三角形法则，属于基础题．
Ⅰ分别利用平行四边形法则和三角形法则可表示所求向量；
Ⅱ在中，把表示出来，可发现与的线性关系，从而证明三点共线．
21.【答案】解：Ⅰ取，中点，，连，，，则为所画正方形，
Ⅱ由Ⅰ为正方形，，又，，
，
，
平面把该长方体分成的两部分体积的比值为：：．
【解析】Ⅰ取，中点，，连，，，则为所画正方形，
Ⅱ求出，推出，即可得到比值．
本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
22.【答案】解：在中，由余弦定理可得，
，
，
则公里．
答：、相距约公里；
在中，，
在中，，
即，，
，
．
公里．
所需时间为小时．
答：从行驶到约需要 小时．
【解析】在中，由余弦定理求解，再由正弦定理求解；
在中，由已知求得，在中，利用正弦定理求得，可得，然后利用余弦定理求，进一步求得从到的时间．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理即余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2. 下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是( )
A. B. C. D.
3. 已知复数满足是虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4. 若平面四边形满足：，，则该四边形一定是( )
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
5. 设，下列向量中，可与向量组成基底的是( )
A. B.
C. D.
6. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为参考数据：取重力加速度大小为，( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知中，，且，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 若正三棱锥的高为，，其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面四边形的直观图，则关于平面四边形有( )
A. 图形为矩形 B. 周长为
C. 边 的长度为 D. 面积为
11. 对任意向量、，下列关系式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知为虚数单位，则( )
A. 若复数的共轭复数为，则
B. 若，，则的充要条件是
C. 若复数，则，
D. 若复数，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ______ ．
14. 已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是______ ．
15. 若复数满足，则 ______ ．
16. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行必备的用具，是称量粮食的量器如图是一种米斗，可盛米升升，已知米斗的形状为正四棱台，且上口宽为，下口宽为，则高约为______ 结果保留一位小数
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数，．
Ⅰ若是纯虚数，求的值；
Ⅱ若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
18. 本小题分
已知向量，满足，．
若，的夹角为，求；
若，求与的夹角．
19. 本小题分
如图，在底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱．
求圆锥的表面积和体积；
求圆柱的表面积．
20. 本小题分
如图，在平行四边形中，，设，．
Ⅰ用，表示，；
Ⅱ用向量的方法证明：，，三点共线．
21. 本小题分
如图，长方体中，，，，过的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
Ⅰ在图中画出这个正方形不必说明画法和理由；
Ⅱ求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．
22. 本小题分
如图，，，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，．
、相距多少公里？精确到小数点后两位
若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？精确到小数点后两位
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，
若，则有，解得．
故选：．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得有，解可得的值，即可得答案．
本题考查平面向量平行的坐标表示及运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由图可知，中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，
中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，
中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，
中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．
故选：．
由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案．
本题考查旋转体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
即，，
四边形为平行四边形，
，
，即平行四边形的对角线互相垂直，
四边形为菱形．
故选：．
由可得，即得四边形为平行四边形，再由得对角线互相垂直，即得四边形为菱形
本题考查由平面向量的平行和垂直判断四边形的形状，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由基底的定义可知，不共线的向量才能作为向量的一组基底，
选项A，中，当时，，均为零向量，故不能作为基底，
选项D中，当时，也为零向量，不能作为基底，
选项C，，故能作为基底．
故选：．
由向量基底的定义直接判断即可．
本题考查向量基底的定义，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：设两只胳膊的拉力分别为，且，
则，
所以学生体重．
故选：．
设两只胳膊的拉力分别为，结合，即可求解．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：法一：由正弦定理得：，
；
法二：由正弦定理得：，
所以，
故，如图所示：过点作于点，
设，，则，
由勾股定理得：，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故选：．
法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；
法二：根据正弦定理，将边化角，得到，画出图形，作出辅助线，设，，得到，利用基本不等式求出三角形面积的最大值．
本题考查了正弦定理和三角形面积公式，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：已知正三棱锥的底面边长为，高为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，
如图所示：
，，
设点为的中心，为外接球的球心，可能在三棱锥内部，也可能在外部，
，即，解得．
该球的表面积为．
故选：．
由题意画出图形，求出外接圆的半径，再由勾股定理列式求解多面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：与方向相同，长度相等，，故选项A正确，
对于选项B：与方向相反，，故选项B正确，
对于选项C：由正六边形的性质可知，，故选项C正确，
对于选项D：与不共线，所以不会相等，故选项D错误，
故选：．
利用平行向量和相等向量的定义求解．
本题主要考查了平行向量和相等向量的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，正方形的边长为，则，
则原图如图：依次分析选项：
对于，原图不是矩形，A错误；
对于，原图中，，，则，则其周长，B正确；
对于，，C错误；
对于，原图面积，D正确；
故选：．
根据题意，由斜二测画法作出原图，由此分析选项，即可得答案．
本题考查斜二测画法，注意由斜二测画法还原原图，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，根据平面向量数量积的运算律可得：恒成立，故A正确；
对于，根据，可得恒成立，故B正确；
对于，，其中为的夹角，
，可得，
恒成立，故C正确；
对于，根据平面向量减法的几何意义可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，故D错误．
故选：．
根据平面向量的线性运算和数量积的定义与运算逐项分析判断即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，则，
，故A正确；
由，，知，不一定是的实部和虚部，不一定得到，故B错误；
复数，则，，故C正确；
，则，故D正确．
故选：．
由共轭复数的定义，复数模公式判断；由题意可知，，不一定是的实部和虚部，结合充分必要条件的对于判断；由实数的运算性质判断；由复数的四则运算及复数模公式判断．
本题主要考查复数的四则运算及复数的性质，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接去括号，合并同类项即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：向量在向量方向上的投影向量是．
故答案为：．
利用投影向量的定义计算即可．
本题考查投影向量的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，得，则，则，故．
故答案为：．
解方程，将表示出来即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，设该棱台的高为，
该正四棱台上底面边长为，下底面边长为，其体积升，
则有，
变形有．
故答案为：．
根据题意，设该棱台的高为，由棱台的体积公式可得，变形可得答案．
本题考查棱台的体积计算，关键是牢记棱台的体积公式，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ是纯虚数，
，解得；
Ⅱ在复平面内对应的点在第三象限，
，解得．
故的取值范围为．
【解析】Ⅰ由实部为且虚部不为列式求解；
Ⅱ由实部与虚部均小于联立不等式组求解．
本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
18.【答案】解：由，，
又，的夹角为，
则；
由，
则，
则，
设与的夹角为，
则，
又，
则，
即与的夹角为．
【解析】由平面向量数量积运算，结合向量模的运算求解即可；
由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．
19.【答案】解：底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱．
由题意可知，圆锥的高为，
所以，圆锥的表面积为，体积为．
设圆柱半径为，则，所以，
所以圆柱的表面积为．
【解析】由题意求出圆锥的高，进而求解圆锥的表面积和体积；
由题意求出圆柱半径，进而求解圆柱的表面积即可．
本题考查圆锥和圆柱的结构特征，属于基础题．
20.【答案】Ⅰ解：平行四边形中，，
由于，，则，又，则在中，有，
Ⅱ证明：，
在中，，
即，又与有公共点，则，，三点共线．
【解析】本题考查向量的线性表示，考查平行四边形法则和三角形法则，属于基础题．
Ⅰ分别利用平行四边形法则和三角形法则可表示所求向量；
Ⅱ在中，把表示出来，可发现与的线性关系，从而证明三点共线．
21.【答案】解：Ⅰ取，中点，，连，，，则为所画正方形，
Ⅱ由Ⅰ为正方形，，又，，
，
，
平面把该长方体分成的两部分体积的比值为：：．
【解析】Ⅰ取，中点，，连，，，则为所画正方形，
Ⅱ求出，推出，即可得到比值．
本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
22.【答案】解：在中，由余弦定理可得，
，
，
则公里．
答：、相距约公里；
在中，，
在中，，
即，，
，
．
公里．
所需时间为小时．
答：从行驶到约需要 小时．
【解析】在中，由余弦定理求解，再由正弦定理求解；
在中，由已知求得，在中，利用正弦定理求得，可得，然后利用余弦定理求，进一步求得从到的时间．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理即余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
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