鸡兔同笼[上学期]

第七章 二元一次方程组（教案）
第三节 鸡兔同笼
重庆复旦中学 李伯敏
教学目标：
1、 让学生经历和体验列方程解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。
2、 让学生体会列方程组解决实际问题的一般步骤。
3、让学生明确我国古代数学的杰出成就，激发学生的学习兴趣。
教学重难点：
重点是列方程解决实际问题。
难点是在实际问题中找出等量关系。
教学知识背景：
学生已掌握了第七章第一节“谁的包裹多”以及第二节“解二元一次方程组”的相关知识。
课前准备：
每个小组准备2-3根绳子（长约100厘米）、2-3个透明矿泉水瓶（去掉瓶颈，高约20厘米）。
教学过程设计：
一、引入
在我国古代，数学就已经取得了杰出的成就，《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，后来传到日本，变成“鹤龟算”。下面我们将共同来讨论这个著名的数学问题。
二、展示“雉兔同笼”问题及图片资料
在展示“雉兔同笼”问题之前，请大家观察一些雉、兔的图片，直观地感受雉、兔的不同特征。（让学生先弄清常识性问题：雉有一头两足，兔有一头四足。）
（屏幕显示）“雉兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”
这节课均涉及文言文知识，虽然比较浅显易懂，但是仍然需要学生自己组织语言将其题目大意描述清楚。（抽一位学生回答即可）
题目大意是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问鸡兔各有多少只？
教师通过适当的背景介绍，以及读题时抑扬顿挫的语气，让学生迅速进入情景，产生对古代数学的浓厚兴趣，并在教师引导下运用现代知识手段进行分析和思考。
学生分别独立作答，小组之间交流后，抽问作答。（出现与答案不符者，不能急于否定或肯定，要利用认知冲突，进一步发展学生的思维能力。）
（1）“上有三十五头“的意思是什么？“下有九十四足”呢？
（审清题意，找出涵盖题目全部含义的两个相等（等量）关系）
答：“上有三十五头”指的是雉的头数与兔的头数和为35，而“下有九十四足”指的是雉的足数与兔的足数和为94。
（2）你能根据（1）中的数量关系列出方程组吗？试一试。
答：能。
（学生在操作过程中，发现列出方程组之前要先判明已知量和未知量，设出两个未知数，基本原则是“问什么设什么”。）
设雉为x头，兔为y头。
①（雉头+兔头=35）
那么
②（雉足+兔足=94）
（3）你能解决这个有趣的问题吗？与你的同伴交流。
答：能。
（问题转化为解二元一次方程组的问题，学生利用前几节学习的知识能够解决，可采用代入法或加减法来完成。）
①
解：
②
①×2，得
②-③，得
将代入①，得
（注意：在写“答案”前必须根据实际问题的意义，判明求得得结果是否合理，不符合题意的解应舍去）
答：这笼中雉有23头，兔有12头。（问题解决啦！）
三、“以绳测井”问题
解决了这一著名的数学问题，相信大家遇到类似问题也有一定的解题方法和思路了，请同学们按照自己的思路，解决下面这道“以绳测井”的古代数学问题。
（屏幕显示）以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长，井深几何？
在做题前，师生通过小组活动共同分析题目大意，让学生利用课前准备的绳子和瓶子自己动手操作，直观的感受“以绳测井”这一过程。（通过实际操作包括正确的或错误的，加深学生对题意的理解）
题目大意是：用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。绳长，井深各是多少尺？
小组派代表上台叙述自己的思路，即如何根据题意找等量关系并列出方程组。（培养学生具有一定的口头表达能力和语言组织能力）并展示解题过程（利用投影仪，体现学生的书写格式及解题步骤，有不同方案或答案的要请他自己说明理由）。
解：设绳长x尺，井深y尺，则
①（三分之一绳长-井深=5）
②（四分之一绳长-井深=1）
①-②，得
将代入①，得
∴绳长48尺，井深11尺。
四、随堂练习
下面是同学们各显身手的时候了，请大家在练习本或题单上完成下面的练习题。（屏幕显示）
1、填空题：
今有甲、乙二人持钱不知其数。设甲持钱x，乙持钱y，“甲得乙半而钱五十”，则列方程为： 。“乙得甲太半而亦钱五十”（注：“太半”意为“三分之二”），则列方程为： 。
学生独立解题，教师只需抽问作答即可。（有未理解题意者，请同组同学加以解释，有不同解答结果的同学，请他自己组织语言向全体同学及老师说明理由。）
2、列方程组解古算题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两。牛羊各直金几何？”（直：通假字，同“值”。）
题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”，2头牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛，每只羊各价值多少“金”？
教师只巡视，不作任何提示及分析，对于确实有困难者，可适当讲解或指导。学生独立解题，并给出所列方程组及解题结果即可。时间允许的话，展示一部分学生的解题过程，最后教师展示自己的解题方案。
注：教师的解题方案及课本上的答案只能作为学生的参考，不能因此而束缚学生的思想，另外还要注重培养学生选择最优方案的意识。
解：设每头牛值“金”x两，每只羊值“金”y两，则
①（5头牛值“金”+2只羊值“金”=10）
②（2头牛值“金”+5头羊值“金”=8）
①×2，得 ③
②×5，得 ④
④-③，得
将代入①，得
∴每头牛羊值“金”两，每只羊值“金”两。
值得一提的是，在前一章的学习中涉及到了物理中的“胡克定律”，而今天的学习内容又涉及到语文中的文言文知识，以前的学习中更是渗透了地理、美术、英语等各科的知识，所以各学科之间是相互联系的，要学好数学，就必须要掌握好各门科学知识。（学科整合思想）
五、小结
（学生这节课获得了那些知识和能力，简要归纳，抽不同学生回答，最好采用补充式，最后教师再总结并展示）
1、列方程解应用题的一般步骤：
（1）审清题意，找出两个相等（等量）关系；
（2）设两个未知数；
（3）列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验解是否符合题意；
（6）写出答案。
2、列方程解应用题的关键是：找等量关系。
六、课后作业（屏幕显示）
1、 P195习题7.4 1题、2题；
要求：抄题，有必要的解题过程（格式参照P194例1）
2、目标P42 四、达标训练
P43 五、提高训练（选做题）
3、趣味探索：（你可以在互联网上查找一些类似于“雉兔同笼”这样有趣的数学问题，推荐的网址有以下几个，欢迎有空去看看，相信你会数学增加更多的了解，也会更喜爱数学学习。）
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