课时提升作业(二十一)
斜边直角边
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,可以用H.L.判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.AC=DF,BC=EF B.∠A=∠D,AB=DE
C.AC=DF,AB=DE D.∠B=∠E,BC=EF
【解析】选C.在两个直角三角形中AB,DE是斜边,AC;DF是直角边.
2.如图,∠ACB=90°,AC=BC ( http: / / www.21cnjy.com ),AE⊥CD于E,BD⊥CE于D,AE=5cm,BD=2cm,则DE的长是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm
【解析】选C.∵∠ACB=90°,AE⊥CD于E,BD⊥CE于D,
∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD,
∴∠CAE=∠BCD,
又∵∠AEC=∠CDB=90°,AC=BC,
∴△AEC≌△CDB,∴CE=BD=2 cm,CD=AE=5 cm,
∴ED=CD-CE=5-2=3(cm).
3.AC,BD是长方形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD的对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,则图中与△ABC全等的三角形共有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【解析】选D.①∵AB=CD,∠ABC=∠CDA,BC=DA,
∴△ABC≌△CDA;
②∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB;
③∵AB=BA,∠ABC=∠BAD,BC=AD,
∴△ABC≌△BAD;
④∵DE∥AC,∴∠ACB=∠DEC.
又∵AB=DC,∠ABC=∠DCE,∴△ABC≌△DCE.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,已知∠1=∠2=90°,AD=AE,那么图中有
对全等三角形.
【解析】由∠2=∠1=90°,
∠A=∠A,AD=AE,
根据A.A.S.,得△ADC≌△AEB,
则AC=AB,故CE=BD.
由∠BOD=∠COE,∠OBD=∠OCE,BD=CE,
根据A.A.S.,得△BOD≌△COE;
由BD=CE,∠OBD=∠OCE=90°,DE=ED,
根据H.L.,得Rt△BDE≌Rt△CED.
答案:3
5.如图,在△ABC中,DE⊥BC于点E,BE=CE,AC=6,AB=10,则△ADC的周长是 .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵DE⊥BC,
∴∠DEB=∠DEC=90°,
在△BDE和△CDE中,
∵DE=DE,∠DEB=∠DEC,BE=CE,
∴△BDE≌△CDE(S.A.S.),∴BD=CD,
∴△ADC的周长=AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=10+6=16.
答案:16
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90° ( http: / / www.21cnjy.com ),AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 时,△ABC和△PQA全等.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】当AP=5或10时,△ABC和△PQA全等,理由是:
∵∠C=90°,AO⊥AC,∴∠C=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )QAP=90°,①当AP=5=BC时,在Rt△ACB和Rt△QAP中,AB=PQ,BC=AP,
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(H.L.),
②当AP=10=AC时,在Rt△ACB和Rt△PAQ中,AB=PQ,AC=AP,∴Rt△ACB≌
Rt△PAQ(H.L.).
答案:5或10
【易错提醒】判定三角形全等,找准对应边.本题BC和AP对应或AC和AP对应,易漏掉一种情况.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,AD是△ABC的高,E为 ( http: / / www.21cnjy.com )AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,试说明BE与AC的位置关系.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】BE⊥AC.理由如下:
∵AD是△ABC的高,
∴∠BDF=∠ADC=90°,
在Rt△BDF和Rt△ADC中,
∵BF=AC,FD=CD,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(H.L.),
∴∠FBD=∠CAD.
又∠CAD+∠C=90°,∴∠FBD+∠C=90°.
∴△BEC为直角三角形,∴BE⊥AC.
8.(8分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】CE=DE,CE⊥DE,理由如下:∵AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,∴△CAE≌
△EBD.
∴∠CEA=∠D,CE=DE.
∵∠D+∠DEB=90°,∴∠CEA+∠DEB=90°,
∴∠CED=90°,
即线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直.
【培优训练】
9.(10分)已知,如图1,E, ( http: / / www.21cnjy.com )F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点.
(1)求证:MB=MD,MF=ME.
(2)当E,F两点移动至如图2所示的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )时,其余条件不变,上述结论能否成立 若成立,请给出你的证明.若不成立,请说明你的理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】(1)如题图1,∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEM=∠BFM=90°.
在Rt△AFB和Rt△CED中,
∵AB=CD,AF=CE,
∴Rt△AFB≌Rt△CED(H.L.),∴BF=DE.
在△BFM和△DEM中,
∵∠BFM=∠DEM,∠FMB=∠EMD,BF=DE,
∴△BFM≌△DEM(A.A.S.),
∴MB=MD,MF=ME.
(2)当E,F两点移动至如题图2 ( http: / / www.21cnjy.com )位置时,其余条件不变,上述结论仍成立.这是因为Rt△AFB≌Rt△CED,△BFM≌△DEM的关系没有发生变化,因而结论MB=MD,MF=ME仍成立.
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
互逆命题与互逆定理
1.下列定理没有逆定理的是 ( )
A.直角都相等
B.同旁内角互补,两直线平行
C.等边三角形的三个内角为60°
D.全等三角形的对应边相等
【解析】选A.直角都相等的逆命 ( http: / / www.21cnjy.com )题是相等的角是直角,错误;同旁内角互补,两直线平行的逆命题是两直线平行,同旁内角互补,正确;等边三角形的三个内角为60°的逆命题是三个角都为60°的三角形是等边三角形,正确;全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形,正确.
2.下列命题中,其逆命题是假命题的是 ( )
A.直角三角形的两个锐角互余
B.若a=b,则=
C.若ab=1,则a与b互为倒数
D.非负数的绝对值等于它本身
【解析】选B.两锐角互余的三角形为直角三角形;若=,则a=±b;若a与b互为倒数,则ab=1;绝对值等于它本身的是非负数.
3.命题“如果一个数是偶数,那么这个数能被2整除”的逆命题是
.
【解析】如果一个数是偶数,那 ( http: / / www.21cnjy.com )么这个数能被2整除的条件是一个数是偶数,结论是这个数能被2整除.所以其逆命题是:如果一个数能被2整除,那么这个数是偶数.
答案:如果一个数能被2整除,那么这个数是偶数
【易错提醒】(1)正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分该命题的条件和结论.
(2)原命题与逆命题的真假性不一定相同.
4.命题“如果三角形有一个内角是钝角,则其余两个内角都是锐角”的逆命题是 ,它是 (填“真”或“假”)命题.
【解析】命题“如果三角形有一个内角是钝角, ( http: / / www.21cnjy.com )则其余两个内角都是锐角”的条件是如果三角形有一个内角是钝角,结论是则其余两个内角都是锐角,所以逆命题是“如果三角形有两个内角都是锐角,那么第三个内角是钝角”,是假命题.
答案:如果三角形有两个内角都是锐角,那么第三个内角是钝角 假
5.请写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题,判断此逆命题的真假性,并给出证明.
【解析】命题“全等三角形的对应角相等”的 ( http: / / www.21cnjy.com )条件是“全等三角形”,结论是“对应角相等”,故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形,是假命题,举反例证明:如图,DE∥BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,但△ADE与△ABC不全等.
【方法技巧】确定命题的逆命题的方法
1.方法:由逆命题的概念我们可以得到,把一个命题的条件与结论交换位置,就能得到这个命题的逆命题.
2.特例:对于不含有“如果…… ( http: / / www.21cnjy.com ),那么……”形式的命题,一般先写成“如果……,那么……”的形式,再交换该命题的条件和结论的位置,即得到原命题的逆命题.
6.写出下列两个定理的逆命题,并判断真假.
(1)在一个三角形中,等角对等边.
(2)四边形的内角和等于360°.
【解析】(1)逆命题:在一个三角形中,等边对等角.真命题.
(2)逆命题:内角和等于360°的多边形是四边形.真命题.
“同旁内角互补”是真命题还是假命题
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:______________________________________________________
答案：(1)①
(2)两直线平行,同旁内角互补;两直线不平行,同旁内角不互补.所以同旁内角互补是假命题.
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
命题的判断及组成
1.下列语句不是命题的是 ( )
A.王刚是一名勤奋学习的学生
B.过点A作CD的垂线
C.互为倒数的两数乘积等于1
D.两条直线相交,只有一个交点
【解析】选B.因为选项B中的句子没有作出任何判断.
2.下列语句是命题的是 ( )
A.延长线段AB B.你吃过午饭了吗
C.锐角都小于90° D.连结A,B两点
【解析】选C.A是作图语言,不符合命题 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义;B是一个问句,不符合命题的定义;C符合命题的定义;D是作图语言,不符合命题的定义.
3.请用“如果……,那么……”的形式写一个命题:
.
【解析】例如:如果一个数与-1相乘,那么可以得到这个数的相反数.
答案:如果一个数与-1相乘,那么可以得到这个数的相反数(答案不唯一)
4.指出下列命题的条件和结论.
(1)若a>0,b>0,则ab>0.(2)同角的补角相等.
【解析】(1)“若a>0,b>0,则ab>0”的条件是a>0,b>0,结论是ab>0.
(2)“同角的补角相等”的条件是两个角是同角的补角,结论是它们相等.
【变式训练】下列命题的条件是什么 结论是什么
(1)两直线平行,同位角相等.
(2)若∠A=∠B,∠B=∠C,则∠A=∠C.
(3)不等式的两边同乘一个负数,不等号方向改变.
【解析】(1)条件:两直线平行;结论:同位角相等.
(2)条件:∠A=∠B,∠B=∠C,结论:∠A=∠C.
(3)条件:不等式的两边同乘一个负数,结论:不等号方向改变.
真假命题的判断
1.要说明命题“能被2整除的数一定能被4整除”是假命题,下面可以作为反例的是 ( )
A.4 B.10 C.12 D.20
【解析】选B.10能被2整除,但不能被4整除.
2.对同一平面内的三条直 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )线a,b,c,给出下列五个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c.以其中两个论断为条件,另一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题: .
【解析】如果两条直线都和第三条平行,那么这两条直线也平行(答案不唯一).
答案:若①②,则④(答案不唯一)
3.请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例:
.
【解析】例如,α=50°,β=60°,α+β>90°.
答案:两锐角分别是50°,60°,这两个锐角的和是110°,不是锐角(答案不唯一)
4.举反例说明下面命题是假命题.
(1)互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角.
(2)两个负数的差一定是负数.
(3)两直线被第三条直线所截,同位角相等.
(4)一正一负两个数的和为0.
【解析】(1)两个直角互补,所以,互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角是假命题.
(2)-1-(-2)=1,所以,两个负数的差一定是负数是假命题.
(3)两直线不是平行线,则被第三条直线所截得到的同位角不相等,所以,两直线被第三条直线所截,同位角相等是假命题.
(4)-1+2=1,所以,一正一负两个数的和为0是假命题.
证明
1.如图,因为∠AOC=∠BOD,所以∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.等量加等量和相等
B.等量减等量差相等
C.等量代换
D.整体大于部分
【解析】选A.因为∠AOC=∠BOD,∠AOB=∠AOB,
所以∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB.
等号左右两边分别加上了一个相等的量,其结果仍然相等.
2.(2013·永州中考)如图,下列条件中能判定直线l1∥l2的是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.∠1=∠2 B.∠1=∠5
C.∠1+∠3=180° D.∠3=∠5
【解析】选C.根据∠1=∠2不能推 ( http: / / www.21cnjy.com )出l1∥l2;∵∠5=∠3,∠1=∠5,∴∠1=∠3,即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2;
∵∠1+∠3=180°,∴l1∥l2;根据∠3=∠5不能推出l1∥l2.
3.小红、小强、小华三名 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )同学中有一个把教室打扫得干干净净,事后,老师问他们三人是谁做的好事.小红说:“是小强做的”;小强说:“不是我做的”;小华说:“不是我做的”.
如果他们三人中有两人说了假话,一人说了真话,那么老师能判定教室是谁打扫的吗 (要有分析)
【解析】若小红说的是对的,那么小强、小华就是 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )错的,那么小红与小华的话相矛盾;若小华说的是对的,那么小红、小强就是错的,那么三人之话也相矛盾;所以小强所说的是对的.分析得出是小华做的.所以教室是小华打扫的.
【易错提醒】推理应有依据,不能想当 ( http: / / www.21cnjy.com )然!首先假设其中两人所说的是假话,进行分析,得出与已知的矛盾,进而得出符合要求的答案.
4.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
求证:CF∥AB.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵CF平分∠DCE,∴∠1=∠2=∠DCE,
∵∠DCE=90°,∴∠1=45°.
∵∠3=45°,∴∠1=∠3,∴AB∥CF.
对命题“同角的补角相等”.画图,并写出已知、求证.(不证明)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第______步开始出现错误.
(2)纠错:________________________________________________
答案：(1)①
(2) 如图
已知:∠AOC和∠BOD是∠AOB的补角.
求证:∠AOC=∠BOD.
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(十八)
全等三角形
全等三角形的判定条件
边 角 边
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,△ACB≌△A′CB′,∠B′CB=30°,则∠ACA′的度数为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.20° B.30° C.35° D.40°
【解析】选B.∵△ACB≌△A′CB′,
∴∠ACB=∠A′CB′,即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB,∴∠ACA′=
∠B′CB.又∠B′CB=30°,
∴∠ACA′=30°.
2.如图所示,△ABC≌△CDA,且AB与CD是对应边,那么下列说法错误的是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.∠1与∠2是对应角
B.∠B与∠D是对应角
C.BC与AC是对应边
D.AC与CA是对应边
【解析】选C.∵对应角所对的边是对应边,公共边是对应边,
∴BC与DA,AC与CA是对应边,∠1与∠2,∠B与∠D是对应角.
3.如图,△ABD≌△CDB,且AB,CD是对应边.下面四个结论中不正确的是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.△ABD和△CDB的面积相等
B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD
D.AD∥BC,且AD=BC
【解析】选C.∵△ABD≌△CDB,AB,CD是对应边,
∴∠ADB=∠CBD,A ( http: / / www.21cnjy.com )D=BC,△ABD和△CDB的面积相等,△ABD和△CDB的周长相等,∴AD∥BC,则选项A,B,D一定正确.由△ABD≌△CDB不一定能得到∠ABD=∠CBD,因而∠A+∠ABD=∠C+∠CBD不一定成立.
【知识归纳】全等三角形的性质
1.全等三角形的对应边相等.
2.全等三角形的对应角相等.
3.全等三角形的周长相等.
4.全等三角形的面积相等.
5.全等三角形的对应边上的高相等.
6.全等三角形的对应边上的中线相等.
7.全等三角形的对应角平分线相等.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图所示,沿直线AC对折,△ABC与 ( http: / / www.21cnjy.com )△ADC重合,则△ABC≌ ,AB的对应边是 ,AC的对应边是 ,∠B的对应角是 ,∠BCA的对应角是 .
【解析】根据对折结果可知,重合的两个三角形是全等的.由此得到对应边与对应角.
答案:△ADC AD AC ∠D ∠DCA
5.已知:△ABC≌△A′B′C′,△A′B′C′的周长为12cm,则△ABC的周长为
cm.
【解析】∵△ABC≌△A′B′C′,∴△ABC的周长等于△A′B′C′的周长,为12cm.
答案:12
6.(2013·巴中中考)如图,已知点 ( http: / / www.21cnjy.com )B,C,F,E在同一直线上,∠1=∠2,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,这个条件可以是 .(只需写出一个)
【解析】添加CA=FD,可利用S.A.S.判断△ABC≌△DEF.故填CA=FD等.
答案:CA=FD(答案不唯一)
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·呼和浩特中考)如图,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC.
求证:DE=AB.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵∠1=∠2,∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA,
即∠BCA=∠ECD.在△BCA与△ECD中,CD=CA,∠BCA=∠ECD,EC=BC,
∴△BCA≌△ECD(S.A.S.).
∴DE=AB.
8.(8分)(2013· ( http: / / www.21cnjy.com )济南中考)如图,在△ABC和△DCE中,AB∥DC,AB=DC,BC=CE,且点B,C,E在一条直线上.
求证:∠A=∠D.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵AB∥DC,∴∠B=∠DCE.
又∵AB=DC,BC=CE,∴△ABC≌△DCE,
∴∠A=∠D.
【知识归纳】挖掘证明三角形全等的隐含条件
在证明三角形全等的题目中,给出的条件有 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )些不能直接利用.这就需要我们认真审题和读图,善于把隐含的条件找出来.例如,给出了平行就间接告诉了角的关系,再比如
( http: / / www.21cnjy.com )
图(1)中,若已知AB=CD,则隐含着AC=BD;图(2)中,若已知∠AOB=∠COD,则隐含着∠AOC=∠BOD.
【培优训练】
9.(10分)如图,已知△ABC中,延长AC边上的中线BE到G,使EG=BE,延长AB边上的中线CD到F,使DF=CD,连结AF,AG.
(1)补全图形.
(2)AF与AG的大小关系如何 证明你的结论.
(3)F,A,G三点的位置关系如何 证明你的结论.
【解析】(1)如图:
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)AF=AG.
证明:∵D是AB的中点,∴AD=BD,
在△ADF和△BDC中,
∵AD=BD,∠FDA=∠CDB,FD=CD,
∴△ADF≌△BDC(S.A.S.),于是得AF=BC.
同理可证AG=BC,∴AF=AG.
(3)点F,A,G在同一条直线上,且与BC平行.
证明:∵△ADF≌△BDC,
∴∠FAB=∠CBA,∴AF∥BC,
同理可证:AG∥BC,
∴F,A,G三点共线,且与BC平行.
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(二十六)
线段垂直平分线
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·临沂中考)如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 ( )
A.AB=AD
B.AC平分∠BCD
C.AB=BD
D.△BEC≌△DEC
【解析】选C.∵AC垂直平分BD,∴AB=AD,BC=CD,
∴△ABD,△BCD是等腰三角形,
∴AC平分∠BCD,再应用“S.A.S.”判定△BEC≌△DEC,
∴选项A,B,D正确.
2.如图,在Rt△ABC中,E是斜边AB的中点,DE⊥AB,且∠CAD∶∠BAD=1∶7,那么∠BAC= ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.70° B.48° C.45° D.60°
【解析】选B.∵点E为Rt△ABC斜边AB的中点,ED⊥AB,即DE为AB的垂直平分线,
∴DA=DB,∴∠DAB=∠B,
设∠CAD=x,则∠BAD=7x.
∵∠C=90°,∴∠CAD+∠DAB+∠B=90°,
即x+7x+7x=90°,解得x=6°,∴∠BAC=8x=48°.
3.(2013·仙桃中考)如图,在 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
【解析】选C.连结MA,NA.
∵AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,
∴BM=AM,CN=AN,
∴∠MAB=∠B,∠CAN=∠C.
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,
∴∠BAM+∠CAN=60°,∠AMN=∠ANM=60°,
∴△AMN是等边三角形,∴AM=AN=MN,
∴BM=MN=NC,∴MN=BC=2cm.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,作AB的垂直平分线,交AB于D,交AC于E,连结BE.已知∠CBE=40°,则∠A= .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∴∠A=∠ABE.
∵∠C+∠A+∠CBE+∠ABE=180°,
∠C=90°,∠CBE=40°,∴∠A+∠ABE=50°,
∴∠A=25°.
答案:25°
5.(2013·泰州中考)如图,△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D,则△ABD的周长为
cm.
【解析】∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D,∴BD=DC,
∴AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm.
答案:6
6.(2013·义乌中考)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连结AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连结OC,若∠AOC=125°,则∠ABC= °.
【解析】∵AD⊥BC于点D,D为BC的中点,
∴AD是线段BC的垂直平分线,
∴OB=OC,∴∠OBC=∠C.
∵∠AOC=125°,∴∠COD=55°.
∵∠ODC=90°,∴∠C=35°,∠OBC=35°.
∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=2∠OBC=70°.
答案:70
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,AD⊥BC,BD=CD,点C在AF的垂直平分线上.
(1)AB,BD与DF三者之间有怎样的数量关系
(2)∠B与∠F有怎样的数量关系
【解析】(1)DF=AB+BD.理由如下:
∵AD⊥BC,BD=CD,∴AB=AC.
∵点C在AF的垂直平分线上,
∴AC=CF,∴AB=CF,∴DF=CD+CF=BD+AB.
(2)∠B=2∠F.理由如下:
∵AD⊥BC,BD=CD,
∴AB=AC,∴∠ACB=∠B.
∵点C在AF的垂直平分线上,∴AC=CF,
∴∠CAF=∠F,
∴∠B=∠ACB=∠CAF+∠F=2∠F.
【方法技巧】
1.要探究两条线段之间的数量关系,常常先将两条线段转移到同一个三角形中,再利用三角形的性质求解.
2.题目中出现线段的垂直平分线时,要注 ( http: / / www.21cnjy.com )意图形中相等的线段和相等的角,有时需要把垂直平分线上的点和线段的两个端点连结起来,构造等腰三角形或直角三角形.
8.(8分)为让村民吃上新鲜蔬菜, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )马庄、王庄打算合建一个到两庄距离相等的蔬菜销售站,与此同时,兴华村、幸福村也有此打算,条件也是销售站的位置到两村的距离相等.为节约土地资源,经局长协调,四个村庄同意合建一个销售站,并且原来的条件(即销售站到两庄的距离相等,到两村的距离相等)不变.如图所示四村庄的位置,请你帮助设计一下蔬菜销售站的合理位置.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】如图,设马庄、王庄、兴华村、幸福村的所在位置分别为A,B,C,D.
连结AB,CD,作线段AB,CD的垂直平分线EF,GH,EF与GH的交点P就是蔬菜销售站的位置.
【培优训练】
9.(10分)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,
( http: / / www.21cnjy.com )
∠A=40°.
(1)求∠M的度数.
(2)若将∠A的度数改为80°,其余条件不变,再求∠M的大小.
(3)你发现了怎样的规律 试证明.
(4)将(1)中的∠A改为钝角,(3)中的规律仍成立吗 若不成立,应怎样修改
【解析】(1)∵∠B=(180°-∠A)=70°,∴∠M=20°.
(2)同理得∠M=40°.
(3)规律是:∠M=∠A,
证明:设∠A=α,则有∠B=(180°-α),
∠M=90°-(180°-α)=α.
(4)不成立,此时上述规律为:等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半.
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
找全等三角形的对应元素与全等三角形的性质
1.已知△ABC≌△A′B′C′,若∠A=50°,∠B′=80°,则∠C的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【解析】选C.∵△ABC≌△A′B′C′,∴∠B=∠B′=80°,∴∠C=180°-∠A-
∠B=50°.
2.已知:如图,△ABC≌△DCB,其中点A ( http: / / www.21cnjy.com )与点D,点B与点C分别是对应顶点,如果AB=2,AC=3,CB=4,那么DC的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.不确定
【解析】选A.∵△ABC≌△DCB,点A与点D,点B与点C分别是对应顶点,∴DC的对应边是AB,∴DC=AB=2.
3.如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,则∠C的对应角为 ( )
A.∠F B.∠AGE
C.∠AEF D.∠D
【解析】选A.由△ABC≌△DEF得点C与点F对应,故∠C与∠F是对应角.
4.(2013·柳州中考)如图,△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x= .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∠A=180°-50°-60°=70°.∵△ABC≌△DEF,∴EF=BC=20,即x=20.
答案:20
5.如图,△ABD≌△ACE,点B和点C是对应顶点,AB=8cm,
BD=7cm,AD=3cm,则DC= cm.
【解析】∵△ABD≌△ACE,点 ( http: / / www.21cnjy.com )B和点C是对应顶点,AB=8cm,AD=3cm,∴AC=AB=8cm,∴DC=AC-AD=5cm.
答案:5
6.如图所示,△ABC≌△EDA,∠BAC与∠DEA是对应角,AB与ED是对应边,写出其他对应边及对应角.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】AC与EA,BC与DA是对应边;∠ABC与∠EDA,∠ACB与∠EAD是对应角.
【变式训练】已知:如图,△ABC≌△DFE,BC∥EF,∠A=
∠D,BC=EF,则另外两组对应边是 ,另外
两组对应角是 .
【解析】∵BC∥EF,∴∠ACB=∠DEF,又∵∠A=∠D,∴∠A和∠D,∠ACB和∠DEF,∠B和∠F是对应角;
因为对应角所对的边是对应边,所以AB和DF,AC和DE,BC和FE是对应边.
答案:AB和DF,AC和DE ∠ACB和∠DEF,∠B和∠F
利用S.A.S.证明三角形全等
1.如图,在△ABC和△ ( http: / / www.21cnjy.com )DEF中,已知AB=DE,BC=EF,根据S.A.S.判定△ABC≌△DEF,还需的条件是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.∠A=∠D
B.∠B=∠E
C.∠C=∠F
D.以上三个均可以
【解析】选B.再添加条件∠B=∠E,用S.A.S.判定△ABC≌△DEF.
2.如图,a,b,c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC一定全等的三角形是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】选B.由三角形内角和是180°得∠C ( http: / / www.21cnjy.com )=58°,即△ABC中,长为a,b的两边的夹角是58°,由S.A.S.得B正确.
3.(2013·平凉中考)如图,已知BC= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )EC,∠BCE=∠ACD,要使△ABC≌△DEC,则应添加的一个条件为 .(答案不唯一,只需填一个)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】添加条件:AC=DC.∵∠BCE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACD,∴∠ACB=∠DCE.在△ABC和△DEC中,BC=EC,∠ACB=∠DCE,AC=DC,∴△ABC≌△DEC(S.A.S.)
答案:AC=DC(答案不唯一)
4.(2013·菏泽中考)如图,在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE,DE,DC.
(1)求证:△ABE≌△CBD.
(2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
【解析】(1)∵∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,
∴∠ABE=∠CBD=90°.
在△ABE和△CBD中,
∵AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD,
∴△ABE≌△CBD(S.A.S.).
(2)∵AB=CB,∠ABC=90°,∴∠CAB=45°.
又∵∠CAE=30°,∴∠BAE=15°.
∵△ABE≌△CBD,∴∠BAE=∠BCD=15°,
∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°.
5.如图,AB是∠DAC的平分线,且AD=AC.
求证:BD=BC.
【证明】∵AB是∠DAC的平分线,
∴∠DAB=∠CAB.又∵AD=AC,AB=AB,∴△ABD≌△ABC(S.A.S.).
∴BD=BC.
【变式训练】
已知:如图,AD=AE,AB=AC,BD,CE相交于点O.
求证:∠B=∠C.
【证明】∵AD=AE,∠A=∠A,AB=AC,∴△ABD≌△ACE(S.A.S.),
∴∠B=∠C.
已知AD平分∠BAC,AB=AC,BE=CF,BD,CD的延长线分别交AC,AB于F,E.求证:
∠ADE=∠ADF.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第___步开始出现错误.
(2)纠错:______________________________________
答案：(1)①
(2)∵AB=AC,BE=CF,∴AE=AF.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵AD=AD,
∴△AED≌△AFD,∴∠ADE=∠ADF.
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
线段垂直平分线的性质与判定
1.在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°,则∠DCB的度数是 ( )
A.15° B.30°
C.50° D.65°
【解析】选A.∵AB=AC,∠A=50°,
∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵DE垂直平分AC,∴∠DAC=∠DCA.
∴∠DCB=∠ACB-∠DCA=65°-50°=15°.
2.如图,在△ABC中,AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com ),AB+BC=8.将△ABC折叠,使得点A落在点B处,折痕DF分别与AB,AC交于点D,F,连结BF,则△BCF的周长是 ( )
A.8 B.16
C.4 D.10
【解析】选A.由折叠可得FB=FA,∴△BCF的周长=BC+CF+FB=BC+CF+FA=BC+AC,
∵AB=AC,∴△BCF的周长=BC+AB=8.
3.如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,
∠ACB=80°,则∠BCE= °.
【解析】∵DE垂直平分AC,
∴AE=EC,
∴∠ACE=∠A=30°.∵∠ACB=80°,
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=80°-30°=50°.
答案:50
4.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点C在AE的垂直平分线上,若DE=10cm,则AB+BD= cm.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=CD,
又∵点C在AE的垂直平分线上,
∴AB+BD=AC+CD=EC+CD=DE=10cm.
答案:10
5.如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,连结BD,若BC=CD,AC=10cm,△BCD的周长为16cm,求BD和BC的长.
【解析】∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD.
∵△BCD的周长为16cm,∴BC+AC=16cm.
∵AC=10cm,∴BC=6cm.
∵BC=CD,∴CD=6cm,∴BD=16-2×6=4(cm).
【变式训练】如图,△ABC中AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D.若AB=18cm,BC=10cm,求△DBC的周长.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】已知AB=18cm,BC=10cm,又因为DB=AD(线段垂直平分线的性质),所以DB+DC=AD+DC=AC=18cm.
所以△DBC的周长为DB+DC+BC=28cm.
三角形三边垂直平分线的性质应用
1.如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部,那么这个三角形是
( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】选C.∵锐角三角形三边的垂直平分线的 ( http: / / www.21cnjy.com )交点在三角形的内部,直角三角形三边的垂直平分线的交点为斜边的中点,钝角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的外部,
∴这个三角形是钝角三角形.
【变式训练】已知等腰三角形的底角是70°,两腰的垂直平分线相交于点P,下列结论正确的是 ( )
A.点P在三角形内部 B.点P在三角形外部
C.点P在三角形边上 D.点P的位置不确定
【解析】选A.∵等腰三角形的底角是70°,∴其顶角为40°,这个三角形为锐角三角形,∴点P在三角形内部.
2.如图,有A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边中线的交点处
C.AC,BC两边垂直平分线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
【解析】选C.根据线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等,则超市应建在AC,BC两边垂直平分线的交点处.
3.在△ABC中,AB=AC,有一点P到A,B,C三点的距离相等,则点P一定在 ( )
A.AB边的高所在的直线上 B.AC边的高所在的直线上
C.BC边的中线所在的直线上 D.AB边的中线所在的直线上
【解析】选C.∵点P到A, ( http: / / www.21cnjy.com )B,C三点的距离相等,∴点P一定在△ABC三边的垂直平分线上,∵AB=AC,由“三线合一”可知BC边的垂直平分线也一定是BC边的中线所在的直线.
4.由下列条件可以作出唯一的等腰三角形的是 ( )
A.已知等腰三角形的两腰
B.已知一腰和一腰上的高
C.已知底角的度数和顶角的度数
D.已知底边长和底边上的中线的长
【解析】选D.已知等腰三角形的两腰,顶 ( http: / / www.21cnjy.com )角不确定,作出的等腰三角形不唯一,A错误;已知一腰和一腰上的高,角度不确定,作出的等腰三角形不唯一,B错误;已知底角的度数和顶角的度数,只知道三个角,作出的等腰三角形不唯一,C错误;已知底边长和底边上的中线的长作出的等腰三角形是唯一的,D正确.
5.如图,D是△ABC的边 ( http: / / www.21cnjy.com )BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB的延长线相交于点F,点O在AD上,AO=CO,BC∥EF.
求证:(1)AB=AC.
(2)点O是△ABC三边垂直平分线的交点.
【证明】(1)∵D是△ABC的边BC的中点,∴BD=CD.
∵BC∥EF,AD⊥EF,∴AD⊥BC,
∴AD是BC的垂直平分线,∴AB=AC.
(2)∵AO=CO,
∴点O在AC的垂直平分线上.
∵AD是BC的垂直平分线,点O在AD上,
∴点O是边BC和AC的垂直平分线的交点.
∵三角形三条边的垂直平分线相交于一点,
∴点O是△ABC三边垂直平分线的交点.
在平面内,到A,B,C三点距离相等的点有几个
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第___步开始出现错误.
(2)纠错:________________________________________________________.
答案：(1)①
(2)当A,B,C三点在同一条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )上时,到A,B,C三点距离相等的点有0个;当A,B,C三点不在同一条直线上时,到A,B,C三点距离相等的点有1个.所以在平面内,到A,B,C三点距离相等的点有0个或1个
关闭Word文档返回原板块拓视野·真题备选
1.(2013·西宁中考)使两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一锐角对应相等 B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.两条边对应相等
【解析】选D.选项A中一锐角对应相等,无 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )法证明两个直角三角形全等;选项B中两锐角对应相等,还有一直角对应相等,三个角对应相等无法证明两个三角形全等;选项C中一条边对应相等,一直角对应相等,无法证明两个直角三角形全等;选项D中两条边对应相等,一直角对应相等,可利用S.A.S.或H.L.证明两个三角形全等.
2.(2013·徐州中考)若等腰三角形的顶角为80°,则它的底角度数为 ( )
A.80° B.50° C.40° D.20°
【解析】选B.设等腰三角形的一个底角为x°,由三角形内角和定理,可得2x+80=180,解得x=50.
3.(2013·成都中考)如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.∵∠B=∠C,∴AC=AB.∵AB=5,∴AC=5.
4.(2013·德州中考)如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=74°,则∠B的度数为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.68° B.32° C.22° D.16°
【解析】选B.∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC,
又CD=CE,∴∠D=∠CED=74°,
∵∠C+∠D+∠CED=180°,∴∠C=32°.
∴∠B=32°.
5.(2013·天津中考)如图,已知∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )∠D,∠ABC=∠BAD,AC与BD相交于点O,请写出图中一组相等的线段 .
【解析】∵∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AB=BA,
∴△BCA≌△ADB,∴AC=BD,BC=AD.
又∠DOA=∠COB,∴△ADO≌△BCO,
∴OA=OB,OC=OD.
答案:AC=BD(或BC=AD或OD=OC或OA=OB)
6.(2013·青海中考)如图,BC=EC ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),∠1=∠2,添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC,则需添加的条件是 (不添加任何辅助线).
【解析】∵∠1=∠2,
∴∠BCA=∠ECD.
∵BC=EC,①添加条件AC=DC,则△A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )BC≌△DEC(S.A.S.),②添加条件∠B=∠E,则△ABC≌△DEC(A.S.A.),③添加条件∠A=∠D,则△ABC≌△DEC(A.A.S.).
答案:∠B=∠E(∠A=∠D或AC=DC,答案不唯一)
7.(2013·威海中考) ( http: / / www.21cnjy.com )将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D,已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF= .
【解析】∵AB=AC,∠A=90°,∴∠B=∠ACB=45°,
∵∠BCE=40°,
∴∠ACF=180°-∠BCE-∠ACB=180°-40°-45°=95°,
∵∠ACF+∠F+∠CDF=180°,
∴∠CDF=180°-∠F-∠ACF,
易知∠F=60°,∴∠CDF=180°-60°-95°=25°.
答案:25°
8.(2013·长沙中考)如图,BD是 ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC的平分线,P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为 cm.
【解析】过点P作PF⊥BC于点F ( http: / / www.21cnjy.com ),根据“角平分线上的点到角的两边距离相等”知PF=PE=4cm,即点P到边BC的距离为4cm.
答案:4
9.(2013·绵阳中考)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图,AC,BD相交于O,AB∥DC,AB=BC,∠D=40°,∠ACB=35°,则∠AOD= .
【解析】∵AB=BC,
∴∠A=∠ACB=35°,
∵AB∥DC,∴∠ABD=∠D=40°,
∴∠AOD=∠A+∠ABD=35°+40°=75°.
答案:75°
10.(2013·广州中考)点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,则PB= .
【解析】根据题意画出图形,如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )
由图可知,PB=PA=7.
答案:7
11.(2012·乐山中考)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ.则
(1)∠A1= .
(2)∠An= .
【解析】因为∠A1=∠A1CD-∠A1BC
=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)
=∠A=θ;
∠A2=∠A2CD-∠A2BC=∠ACD-∠ABC
=(∠ACD-∠ABC)=∠A=θ;
∠A3=∠A3CD-∠A3BC=∠ACD-∠ABC
=(∠ACD-∠ABC)=∠A=θ.
由此可推断∠An=θ.
答案:(1)θ (2)θ
12.(2012·定西中考)为了推 ( http: / / www.21cnjy.com )进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村,B村,C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,地理位置如图所示),请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求:不写已知,求作,只保留作图痕迹.
【解析】如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )
13.(2013·舟山中考)如图,△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:△ABE≌△DCE.
(2)当∠AEB=50°时,求∠EBC的度数.
【解析】(1)∵∠A=∠D,∠AEB=∠DEC,AB=DC,
∴△ABE≌△DCE.
(2)∵△ABE≌△DCE,∴BE=CE,∴∠ECB=∠EBC.
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°,∴∠EBC=25°.
14.(2012·贺州中考)已知:如图,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,AB=3cm.求DE的长.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵AB∥DE,∴∠B=∠DEC.
∵AC∥DF,∴∠F=∠ACB.
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,
即BC=EF,∴△ABC≌△DEF,∴DE=AB=3cm.
15.(2013·红河州中考)如图,D是△A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )BC的边AB上一点,E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.求证:AD=CF.
【证明】∵E是AC的中点,
∴AE=CE.
∵CF∥AB,∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.
在△ADE与△CFE中,∠A=∠ECF,∠ADE=∠F,AE=CE,
∴△ADE≌△CFE(A.A.S.),∴AD=CF.
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
角平分线的性质
1.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长为 ( )
A.4 B.3
C.6 D.5
【解析】选B.∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,∴DF=DE=2.
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,AB=4,
∴7=×4×2+×AC×2,∴AC=3.
2.如图,∠C=∠D=90°,若∠D ( http: / / www.21cnjy.com )AB的平分线AE交CD于点E,连结BE,且BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC的长的大小关系是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.AB>AD+BC B.AB=AD+BC
C.AB
【解析】选B.过点E作EF⊥AB于F,
∵BE,AE分别为∠ABC和∠DAB的平分线,∠C=∠D=90°,∴EC=EF=ED,
∴△BCE≌△BFE,△AEF≌△AED,
∴BC=BF,AF=AD,
∴AB=AF+BF=AD+BC.
3.如图,已知△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列结论中正确的个数是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
①AD上任意一点到点C,点B的距离相等;
②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;
③BD=CD,AD=BC;④∠BDE =∠CDF.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.①如图,P为AD上任意一点,在△APB与△APC中,AP=AP,AB=AC,∠BAD =∠CAD,
∴△APB≌△APC,∴PB ( http: / / www.21cnjy.com )=PC,①正确;②根据角的平分线的性质不难得出AD上任意一点到AB,AC的距离相等,②正确;③不难得到△ADB≌△ADC(S.A.S.),∴BD=CD,但无法判断AD与BC之间的关系,③错误;④由△ADB≌△ADC,知∠B=∠C,而∠BDE+∠B=90°,∠CDF+∠C =90°,所以∠BDE =∠CDF,④正确.
4.(2013·丽水中考)如图,在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△DBC的面积是 .
【解析】作DE⊥BC,由BD是∠ABC的平分线,BA⊥AD,
故DE=AD=3,∴△DBC的面积=×3×10=15.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案:15
5.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,若AB=10cm,求△DBE的周长.
【解析】∵AD平分∠CAB,且∠C=90°,DE⊥AB,
∴DC=DE.
∴△ACD≌△AED,∴AC=AE.
又∵AC=BC,
∴DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB.
又∵AB=10cm,∴△DBE的周长是10cm.
角平分线的判定
1.如图所示是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的垂直平分线的交点
C.△ABC的三条角平分线的交点
D.△ABC的三条高所在直线的交点
【解析】选C.到三角形两条边的距离相等的点在这两边的夹角的平分线上,所以到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点.
2.如图所示,DE⊥AB于D,CE⊥BC于C,且DE=CE,则下列结论不一定正确的是 ( )
A.BE平分∠ABC
B.EB平分∠CED
C.AE+DE=AC
D.∠A=∠ABE
【解析】选D.由DE⊥AB,CE⊥BC,D ( http: / / www.21cnjy.com )E=CE可判断BE平分∠ABC;由条件可证得△BCE≌△BDE,所以∠BEC=∠BED,所以EB平分∠CED.
∵AC=AE+CE,而CE=DE,
∴AC=AE+DE.∵D不一定为AB中点,故△EDB和△EDA不全等,故得不到∠A=
∠ABE.
3.如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
【解析】选D.因为角的内部到角的 ( http: / / www.21cnjy.com )两边的距离相等的点在角的平分线上,所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处.如图,可供选择的地址有P1,P2,P3,P4共四处.
( http: / / www.21cnjy.com )
【方法技巧】有关到线段距离 ( http: / / www.21cnjy.com )相等的点的位置确定,一般是利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一定理,作出由线段所组成的角的平分线,确定点的位置.
4.如图,∠AOB=40°,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,且PC=PD,则∠OPC= .
【解析】∵PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,且PC=PD,
∴OP平分∠AOB.∵∠AOB=40°,
∴∠AOP=∠AOB=20°,
∴在Rt△OPC中,∠OPC=90°-20°=70°.
答案:70°
5.如图,在三角形ABC中,BP,CP分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线.求证:点P必在∠A的平分线上.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】如图,过点P作PF⊥AD,PG⊥BC,PH⊥AE,
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BP,CP分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线,
∴PF=PG,PG=PH,
∴PF=PG=PH,
∴点P必在∠A的平分线上.
【变式训练】如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D.
求证:CD平分∠ACB.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】过点D作DH⊥AB于H,DM⊥BC于M,DN⊥AC于N,
∵∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D,
( http: / / www.21cnjy.com )
∴DH=DM,DH=DN,∴DM=DN,
∴CD平分∠ACB.
如图,AD平分∠EAF,BC过点D垂直于AD,分别交AE,
AF于B,C.求证:BD=DC.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:第___步出现错误.
(2)纠错:________________________________________________________.
答案：(1)②
(2)在△ABC中,∵AD平分∠EAF,BC⊥AD,∴BD=DC(等腰三角形三线合一)
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
利用H.L.判定两个直角三角形全等
1.如图,四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,则∠BCD的度数为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.145° B.130° C.110° D.70°
【解析】选C.∵∠ABC=∠ADC=90°,在Rt△ABC和Rt△ADC中,CB=CD,AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC,∴∠ACD=∠ACB=90°-∠BAC=55°,∴∠BCD=110°.
2.如图,AC=AD,∠C,∠D是直角,BC=12cm,则BD的长为 .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】在Rt△ACB和Rt△ADB中,
∵AB=AB,AC=AD,
∴Rt△ACB≌Rt△ADB(H.L.),
∴BD=BC=12cm(全等三角形的对应边相等).
答案:12cm
3.已知:如图,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,AE=DF,AB=DC,则△ ≌
△ (H.L.).
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】在△ABE和△DCF中,∵AE⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com ),DF⊥BC,AE=DF,AB=DC,符合直角三角形全等条件H.L.,∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
答案:ABE DCF
4.如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.
求证:AB∥DE.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵AD⊥BE,∴△ABC和△DEC为直角三角形.∵C为BE的中点,∴BC=EC.
在Rt△ABC和Rt△DEC中,AB=DE,BC=EC,
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(H.L.),∴∠B=∠E,∴AB∥DE.
5.(2013·温州中考)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
求证:△ACD≌△AED.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB,∠C=90°,∴∠ACD=∠AED=90°.
又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED.
两直角三角形全等的判定方法的综合应用
1.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.两个锐角对应相等
B.一条直角边和一个锐角对应相等
C.两条直角边对应相等
D.一条直角边和一条斜边对应相等
【解析】选A.A项不正确,全等三角形的判定必 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )须有边的参与;B项正确,符合判定A.A.S.(或A.S.A.);C项正确,符合判定S.A.S.;D项正确,符合判定H.L.,故选A.
2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件: ,使△AEH≌△CEB.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠AEH=∠ADC=90°.
又∠AHE=∠CHD,在Rt△AEH和Rt△CDH中,
90°-∠AHE=90°-∠CHD,即∠BAD=∠BCE.
因为本题的已知条件是∠AEH=∠CEB=90°,又∠EAH=∠ECB,若用A.S.A.来证明,则填入EA=EC;
若用A.A.S.来证明,则填入EH=EB或HA=BC.
答案:EA=EC(答案不唯一)
【方法技巧】在解决开放性探究问题时,首先从题中找到已知条件、隐含条件和可证出的条件,然后再利用三角形全等的判定条件来寻找缺少的条件.
3.(2014·延庆二中 ( http: / / www.21cnjy.com )质检)已知:如图,BC⊥AC,DE⊥AC,BC=AE,∠BAD=90°,若AB=5,则AD= .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵BC⊥AC,DE⊥AC,
∴∠AED=∠BCA=90°,
又∵∠BAD=90°,∴∠EAD=∠CBA,在△ABC和△DAE中,∠AED=∠BCA,BC=AE,
∠EAD=∠CBA,∴△ABC≌△DAE,∴AD=AB=5.
答案:5
4.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,求证:AD平分∠BAC.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵DF⊥AC,DE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF,∴DE=DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∴Rt△AED≌Rt△AFD,∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.
5.已知:如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.
求证:AD=AE.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵AB=AC,点D是BC的中点,∴∠ADB=90°,
∵AE⊥EB,∴∠E=∠ADB=90°,
∵AB平分∠DAE,∴∠1=∠2.
在△ADB和△AEB中,∠E=∠ADB,
∠1=∠2,AB=AB,∴△ADB≌△AEB(A.A.S.),
∴AD=AE.
【知识归纳】利用三角形全等证明线段相等的一般步骤
1.首先确定线段所在的三角形.
2.其次看由已知条件能得到哪些结论.
3.然后选择有用结论证明三角形全等.
4.最后根据三角形全等性质判定线段相等.
两个三角形的两边及其中一边上的高对应相等,这两个三角形是否全等 若全等,请给出证明;若不全等,请说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:_______________________________________________________
答案：(1)①
(2)如图,在△ABC,△AB′C中,AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC,BC=B′C,高AD=AD,但△ABC和△AB′C不全等.
( http: / / www.21cnjy.com )
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(二十二)
等腰三角形的性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·新疆中考)等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.12 B.15 C.12或15 D.18
【解析】选B.(1)当3为腰时,则3+3= ( http: / / www.21cnjy.com )6,不符合三角形的三边关系,舍去.(2)当6为腰时,其周长为6+6+3=15.
2.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为 ( )
A.20°或100° B.120°
C.20°或120° D.36°
【解析】选C.设两内角的度 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )数为x°,4x°,当等腰三角形的顶角为x°时,x+4x+4x=180,x=20.当等腰三角形的顶角为4x°时,4x+x+x=180,x=30,4x=120,因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°.
3.如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )AC上爬行(A,C端点除外),设甲虫P到另外两边的距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.d>h B.dC.d=h D.无法确定
【解析】选C.如图,连结BP,过点P作PD⊥BC,PE⊥AB,分别交BC,AB于点D,E,
∴S△ABC=S△BPC+S△BPA=BC·PD+AB·PE=
BC·PD+BC·PE=BC(PD+PE)
=d·BC=h·BC,∴d=h.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·白银中考)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为 .
【解析】①当6为底边时,腰长为(16-6)÷ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2=5,这时另两边长分别为5,5;②当6为腰长时,底边长为16-6-6=4,这时另两边长分别为6,4.故此三角形的另两边为5,5或6,4.
答案:5,5或6,4
5.(2013·黔西南州中考) ( http: / / www.21cnjy.com )如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°,
∵CG=CD,
∴∠CDG=30°,∵DE=DF,∴∠E=15°.
答案:15
6.等腰三角形的一个角是80°,则它的另外两个角的度数是 .
【解析】当这个角是底角时,另外两个角是80°,20°;
当这个角是顶角时,另外两个角是50°,50°.
答案:80°,20°或50°,50°
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC.求证:∠DBC=∠DCB.
【证明】∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∴在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD,∴BD=CD,∴∠DBC=∠DCB.
8.(8分)如图所示,在△ABC中,D在BC上,若AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵AD=BD,AB=AC=CD,
∴∠B=∠C=∠BAD,∠CAD=∠CDA.
设∠B=∠C=∠BAD=α,
则∠CAD=∠CDA=2α,∠BAC=3α.
在△ABC中,∠BAC=3α,∠B=∠C=α,
∴3α+α+α=180°,
∴α=36°,∴3α=108°,即∠BAC=108°.
∴∠BAC的度数是108°.
【变式训练】已知:如图,P,Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵BP=PQ=QC=AP=AQ,∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°,∠B=∠BAP,∠C=
∠CAQ.
又∵∠BAP+∠B=∠APQ,∠C+∠CAQ=∠AQP,
∴∠BAP=∠CAQ=30°.∴∠BAC=120°.
【培优训练】
9.(10分)已知如图,在△ABC中, ( http: / / www.21cnjy.com )AB=BC,∠ABC=90°.F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连结AE,EF和CF.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证:AE=CF.
(2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度数.
【解析】(1)在△ABE和△CBF中,∵BE=BF,
∠ABC=∠CBF=90°,AB=BC,
∴△ABE≌△CBF(S.A.S.).∴AE=CF.
(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∠CAE=30°,
∴∠CAB=∠ACB=(180°-90°)=45°,
∠EAB=45°-30°=15°.
∵△ABE≌△CBF,
∴∠EAB=∠FCB=15°.
∵BE=BF,∠EBF=90°,
∴∠BFE=∠FEB=45°.
∴∠EFC=45°-15°=30°.
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(二十五)
互逆命题与互逆定理
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列叙述正确的是 ( )
A.“内错角相等”是真命题
B.“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”是假命题
C.任何一个命题都有逆命题
D.任何一个定理都有逆定理
【解析】选C.只有两平行线被第三条 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )直线所截时,内错角才相等;由等边三角形的判定知“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”是真命题;由原命题与逆命题的关系知选项C正确;由于一个定理的逆命题不一定正确,所以任何一个定理都有逆定理是错误的.
2.命题“若a是偶数,则3a也是偶数”的逆命题是 ( )
A.若3a是偶数,则a是偶数
B.若3a是偶数,则a是奇数
C.若3a是奇数,则a是奇数
D.若3a是奇数,则a是偶数
【解析】选A.命题“若a是偶数,则3a也是偶数”的逆命题是“若3a是偶数,则a是偶数”,选项A正确.
【方法技巧】区分命题条件和结论的方法
(1)如果命题是“如果……,那么……”的形式,则“如果”之后的部分是条件,“那么”之后的部分是结论.
(2)如果命题不具有“如 ( http: / / www.21cnjy.com )果……,那么……”的形式,先将命题改写成“如果……,那么……”的形式,再来确定命题的条件和结论.
(3)在改写命题时,不是机械地在原命题中添上“如果”和“那么”,而要使改写后命题的实质不变,条件和结论明朗化.
3.下列定理中,没有逆定理的是 ( )
A.平行于同一条直线的两直线平行
B.等边三角形的三个角相等
C.相反数的绝对值相等
D.同位角相等,两直线平行
【解析】选C.“相反数的绝对值相等”的逆命题是“绝对值相等的数一定互为相反数”,这是个假命题.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是
.
【解析】原命题的条件为:两个角的和为180°,结论为:这两个角互补,
所以“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是:互为补角的两个角的和为
180°.
答案:互为补角的两个角的和为180°
5.命题“如果a=b,那么a2=b2”的逆命题是
.
【解析】命题“如果a=b,那么a2=b2”的条件是a=b,结论是a2=b2,故逆命题是如果a2=b2,那么a=b.
答案:如果a2=b2,那么a=b
6.试举一个原命题为假命题,其逆命题为真命题的例子
.
【解析】此题为开放题型,答案不唯一,如:有两个角相等的三角形为等边三角形.
答案:有两个角相等的三角形为等边三角形(答案不唯一)
三、解答题(共26分)
7.(8分)请你写出命题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题,并判断逆命题的真假;若是真命题,请写出已知、求证、证明;若是假命题,则请举反例证明.
【解析】因为原命题的条件是:“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”,
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”.真命题.
已知:△ABC中,∠B=∠C,
求证:△ABC是等腰三角形.
证明:过点A作AH⊥BC于点H,
则∠AHB=∠AHC=90°,
在△ABH和△ACH中,
∵∠B=∠C,∠AHB=∠AHC,
AH=AH,
∴△ABH≌△ACH(A.A.S.),
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
8.(8分)写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举出一个反例说明:
(1)两直线平行,同旁内角互补.
(2)垂直于同一条直线的两直线平行.
(3)相等的角是内错角.
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.
【解析】(1)同旁内角互补,两直线平行,真命题.
(2)如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内),真命题.
(3)内错角相等,假命题,例如:如图所示,∠1与∠2是内错角,但不相等.
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)等边三角形有一个角是60°,真命题.
【培优训练】
9.(10分)已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”.
(1)写出逆命题.
(2)逆命题是真命题还是 ( http: / / www.21cnjy.com )假命题 如果是真命题,请画出“图形”,写出“已知”,“求证”,再进行“证明”;如果是假命题,请举反例说明.
【解析】(1)逆命题:两边上的高相等的三角形是等腰三角形.
(2)逆命题是真命题.
已知:三角形ABC的两边AB,AC上的高CE,BD相等.
求证:△ABC是等腰三角形.
证明:∵BD,CE是△ABC的高,
∴CE⊥AB,BD⊥AD.
∵∠A=∠A,BD=CE,
∴Rt△ADB≌Rt△AEC,
∴AB=AC,
∴三角形ABC是等腰三角形.
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(十七)
命题、定理与证明
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列命题是真命题的是 ( )
A.无限小数是无理数
B.相反数等于它本身的数是0和1
C.平移不改变图形的大小和形状
D.等边三角形既是中心对称图形,又是轴对称图形
【解析】选C.无限小数不一定是无 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )理数,故原命题是假命题;相反数等于它本身的数是0,故原命题是假命题;平移只改变图形的位置,不改变图形的大小和形状,故原命题是真命题;等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故原命题是假命题.
2.把命题“锐角小于它的余角”改成“如果……,那么……”的形式合适的是
( )
A.如果是锐角,那么小于余角
B.如果小于余角,那么是锐角
C.如果一个角是锐角,那么这个角小于它的余角
D.如果锐角小,那么它是余角
【解析】选C.条件是一个角是锐角,结论是这个角小于它的余角.
3.(2014·秀洲区二模)下面各数中,可以用来证明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是 ( )
A.9 B.8 C.4 D.16
【解析】选C.9不是偶数,8与16都是8的倍数,故9,8与16都不能作为反例;4是偶数但不是8的倍数.
【变式训练】下列各数中,可以用来证明“奇数是质数”是假命题的反例是
( )
A.9 B.7 C.5 D.3
【解析】选A.虽然9是奇数,但9能被1,3,9整除;因为3,5,7既是奇数又是质数.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·泰州中考)命题“相等的角是对顶角”是 命题(填“真”或“假”).
【解析】对顶角相等,但相等的角(角平分线分成的两个角)不一定是对顶角,从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题.
答案:假
5.已知下列命题:
①若a=b,则a2=b2;
②若x>0,则|x|=x;
③150°的补角是50°.其中真命题是 .
【解析】若两数相等,则它 ( http: / / www.21cnjy.com )们的平方相等,正数的绝对值等于它本身,所以①②是真命题;150°的补角是30°,所以③是假命题.
答案:①②
6.阅读下列语句:
①对顶角不相等;②今天天气很热!③同 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )位角相等;④画∠AOB的平分线OC;⑤这个角等于30°吗 在这些语句中,属于命题的是 (填写序号).
【解析】根据命题的概念,知①③是命题;④⑤中,都没有作出判断,不是命题;②是表示感受的句子,是感叹句,不是命题.
答案:①③
三、解答题(共26分)
7.(8分)下列句子是命题吗 若是,把它改写成“如果……,那么……”的形式,并判断命题的真假.
(1)一个角的补角比这个角的余角大多少度
(2)垂线段最短,对吗
(3)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点.
(4)同旁内角互补.
(5)两个负数,绝对值大的反而小.
(6)若两数的积为正数,则这两个数都是正数.
(7)若两数和为正数,则这两个数中至少有一个是正数.
【解析】对一件事情做出判断的句 ( http: / / www.21cnjy.com )子是命题,因为(1)(2)是问句,所以(1)(2)不是命题,其余5个都是命题.
(3)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点,是真命题.
(4)如果两个角是同旁内角,那么它们互补,是假命题.
(5)如果比较两个负数的大小,那么绝对值大的那个数反而小,是真命题.
(6)如果两个数的积为正数,那么这两个数都是正数,是假命题.
(7)如果两数和为正数,那么这两个数中至少有一个是正数,是真命题.
8.(8分)在四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )D中,给出下列论断:①AB∥DC;②AD∥BC;③∠A=∠C.以其中两个作为条件,另外一个作为结论,用“如果……,那么……”的形式,写出一个你认为正确的命题并加以证明.
【解析】在四边形ABCD中,如果AB∥DC,∠A=∠C,那么AD∥BC.
证明:如图所示:
∵AB∥DC,∴∠A+∠D=180°.
又∵∠A=∠C,∴∠C+∠D=180°,∴AD∥BC.
【培优训练】
9.(10分)证明:邻补角的平分线互相垂直.
【解析】已知:如图,
∠AOB+∠BOC=180°,
OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,
求证:OE⊥OF.
证明:∵OE平分∠AOB,
∴∠1=∠AOB,同理∠2=∠BOC,
∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC
=(∠AOB+∠BOC)=×180°=90°,
∴OE⊥OF.
【知识归纳】证明真命题的一般步骤
(1)根据题意,作出图形.
(2)根据条件,结论,结合图形,写出已知、求证.
(3)经过分析,找出由已知推出结论的途径,写出证明过程.
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(二十四)
尺规作图
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.给出下列关于三角形的条 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )件:①已知三边;②已知两边及其夹角;③已知两角及其夹边;④已知两边及其中一边的对角.利用尺规作图,能作出唯一的三角形的条件是 ( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
【解析】选A.①是边边边( ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )S.S.S.);②是两边夹一角(S.A.S.);③是两角夹一边(A.S.A.),根据三角形全等的判定,都可以确定唯一的三角形;而④不能.
2.(2013·曲靖中考)如图,以∠AOB的顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.再分别以点C,D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点E,过点E作射线OE,连结CD.则下列说法错误的是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.射线OE是∠AOB的平分线
B.△COD是等腰三角形
C.C,D两点关于OE所在直线对称
D.O,E两点关于CD所在直线对称
【解析】选D.A,连结CE,DE,根 ( http: / / www.21cnjy.com )据作图得到OC=OD,CE=DE.∵在△EOC与△EOD中,OC=OD,CE=DE,OE=OE,∴△EOC≌△EOD(S.S.S.),∴∠AOE=∠BOE,即射线OE是∠AOB的平分线,正确,不符合题意;B,根据作图得到OC=OD,∴△COD是等腰三角形,正确,不符合题意;C,根据作图得到OC=OD,又∵射线OE平分∠AOB,∴OE是CD的垂直平分线,
∴C,D两点关于OE所在直线对称,正确, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )不符合题意;D,根据作图不能得出CD平分OE,∴CD不是OE的平分线,∴O,E两点关于CD所在直线不对称,错误,符合题意.
3.(2013·南通中考)尺规作出∠OBF=∠AOB,作图痕迹是 ( )
A.点B为圆心,OD为半径的圆
B.点B为圆心,DC为半径的圆
C.点E为圆心,OD为半径的圆
D.点E为圆心,DC为半径的圆
【解析】选D.∠OBF=∠AOB的作法,由图可知,①以点O为圆心,以任意长为半径画圆,分别交射线OA,OB为点C,D;②以点B为圆心,以OC为半径画圆,交射线BO于点E;③以点E为圆心,以CD为半径画圆,交于点F,作射线BF即可得出∠OBF,则∠OBF=∠AOB.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.基本尺规作图有:作一条线段等于已知线 ( http: / / www.21cnjy.com )段、作一个角等于已知角、 、 、作已知线段的垂直平分线等五种.
【解析】还有:作已知角的平分线,经过一已知点作已知直线的垂线.
答案:作已知角的平分线 经过一已知点作已知直线的垂线
5.如图所示,反映的是 的尺规作图.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】反映的是“经过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图.
答案:经过直线外一点作已知直线的垂线
6.用尺规作图 (填“可以”或“不可以”)把一个直角分成三等份.
【解析】如图所示,先作出正三角形BDE,再作∠DBE的平分线BF,则BD,BF为∠ABC的三等分线.
答案:可以
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°.根据要求用尺规作图:
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)作斜边AB的垂直平分线PQ,垂足为Q.
(2)作∠B的平分线BM.
【解析】(1),(2)如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式训练】如图,已知△ABC.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)作△ABC中AB边上的高.
(2)作△ABC中∠B的平分线.
【解析】(1),(2)如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )
8.(8分)如图,点C是∠AOB的边OB上的一点,按下列要求画图并回答问题.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)过点C画OB的垂线,交OA于点D.
(2)过点C画OA的垂线,垂足为E.
(3)比较线段CE,OD,CD的大小关系(用“<”连接),并说明理由.
【解析】(1)如图所示:CD为所求.
(2)如图所示:CE为所求.
(3)CE【培优训练】
9.(10分)如图,在△ABC中, ( http: / / www.21cnjy.com )作∠ABC的平分线BD,交AC于D,作线段BD的垂直平分线EF,分别交AB于E,BC于F,垂足为O,连结DF.在所作图中,寻找一对全等三角形,并加以证明.(不写作法,保留作图痕迹)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】(1)画角平分线,线段的垂直平分线,如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)△BOE≌△BOF.理由如下:
∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABO=∠OBF.
∵EF⊥BD,∴∠BOE=∠BOF.在△BOE与△BOF中,∠EBO=∠FBO,BO=BO,∠BOE=
∠BOF,
∴△BOE≌△BOF(A.S.A.).
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
等腰三角形的判定与应用
1.如果一个三角形的两个内角分别为80°和50°,则这个三角形为 ( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
【解析】选C.由三角形的内角和定理可知另一个内角的度数为180°-80°-
50°=50°,所以这个三角形为等腰三角形.
2.如图,两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°,且较长的直角边在同一直线上,则图中的等腰三角形有 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选B.如图,求出图中各角的度数,由角的度数可得出图中等腰三角形有△GAB,△CHG,△DGM,共3个.
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式训练】如图,等边三角形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的三条角平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,那么这个图形中的等腰三角形共有 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
【解析】选D.由题意得图形中的等腰三角形有△ABC,△AEF,△AOB,△AOC,△BOC,△EOB,△FOC,共7个.
3.(2013·淄博中考)如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,求证:AB=AD.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD(等角对等边).
4.如图所示,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE.
求证:△ABC是等腰三角形.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵BD,CE是△ABC的高,∴∠CEB=∠BDC=90°,在Rt△BCE和Rt△CBD中,∵BC=BC,CE=BD,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(H.L.),∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
5.如图,在△ABC中,点E在AB上, ( http: / / www.21cnjy.com )点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】△AFC是等腰三角形.理由如下:在△BAD与△BCE中,
∵∠B=∠B(公共角),∠BAD=∠BCE, ( http: / / www.21cnjy.com )BD=BE,∴△BAD≌△BCE(A.A.S.),∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE,即∠FAC=∠FCA.
∴AF=CF,∴△AFC是等腰三角形.
等边三角形的判定
1.若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边,则这个三角形是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选C.一个三角形的两个角的 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线分别垂直对边,则角平分线分成的两个三角形全等(A.S.A.),则三角形中这个角的两边相等,同理可求另一个角的两边也相等,即三角形的三边都相等,所以这是一个等边三角形.
2.一艘轮船由海平面上A地出发 ( http: / / www.21cnjy.com )向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地相距 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.30海里 B.40海里
C.50海里 D.60海里
【解析】选B.由题意得∠ABC=60°,AB=BC.
∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=40海里.
3.等腰三角形的顶角为60°,底边为6cm,则腰长为 .
【解析】由等腰三角形的一个内角是60°,可得此等腰三角形为等边三角形,所以腰长为6cm.
答案:6cm
4.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°,求证:△ADC是等边三角形.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵DC=DB,
∴∠B=∠DCB=30°(等边对等角),
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.
又∵AD=DC,∴△ADC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).
5.如图,已知△ABC中,∠ACB=120°,CE平分∠ACB,AD∥EC,交BC的延长线于点D.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求∠BCE的度数.
(2)试找出图中的等边三角形,并说明理由.
【解析】(1)∵∠ACB=120°,CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠ACB=60°.
(2)△ACD是等边三角形,∵∠BCE=60°,AD∥EC,
∴∠BCE=∠D=∠CAD=60°,∴∠ACD=60°,∴△ACD是等边三角形.
【知识归纳】等边三角形的判定方法
1.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.
2.三边相等的三角形是等边三角形.
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.有两个角是60°的三角形是等边三角形.
如图,已知△ABC中,D,E是BC边上的点,∠1=∠2,∠3=∠4,
求证:AB=AC,BD=CE.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:_________________________________________________________
答案：(1)①
(2)∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).在△ABD和△ACE中,∠1=∠2,AB=AC,∠B=∠C,
∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE.
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(二十七)
角平分线
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·朝阳中考)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图,三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,下面四个结论:
①∠AFE=∠AEF;②AD垂直平分EF;③=;④EF一定平行BC.其中正确的是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②③④
【解析】选A.①∵三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠ADE=∠ADF,DF=DE,AF=AE,
∴∠AFE=∠AEF;
②∵DF=DE,AF=AE,
∴点D在EF的垂直平分线上,点A在EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF;
③∵S△BFD=BF·DF,S△CDE=CE·DE,DF=DE,
∴=;
④∵∠EFD不一定等于∠BDF,∴EF不一定平行BC.
2.与相交的两条直线距离相等的点在 ( )
A.一条直线上
B.两条互相垂直的直线上
C.一条射线上
D.两条互相垂直的射线上
【解析】选B.相交的两条直线成四个角,利用到角两边距离相等的点在角的平分线上可得,但要注意此处不是一条直线,而是两条互相垂直的直线.
3.如图,在△ABC中,∠ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,若△DEB的周长为10cm,则斜边AB的长为 ( )
A.8cm B.10cm
C.12cm D.20cm
【解析】选B.∵AD平分∠BAC,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点E,
∴DE=CD,∴△ACD≌△AED,∴AC=AE=BC,
∴AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=10cm.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,若CD=4,则点D到AB的距离是 .
【解析】如图,过点D作DE⊥AB于点E,
∵AD是∠BAC的平分线,∴DE=CD,
∵CD=4,∴DE=4.
答案:4
【易错提醒】在运用角的平分线的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )性质和判定时,往往错误地将一线段当作“距离”,主要原因是不能正确理解角平分线的性质和判定,因此在运用角平分线的性质和判定时,一定要注意“距离”必须有垂直的条件.
5.(2013·泉州中考)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB =70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,则∠AOQ= °.
【解析】∵QC⊥OA,QD⊥OB,QC = QD,
∴点Q在∠AOB的平分线上,
∴∠AOQ=∠AOB,
∵∠AOB =70°,∴∠AOQ =35°.
答案:35
6.(2013·河池中考)如图,点O是△ABC的两条角平分线的交点,若∠BOC=118°,则∠A的大小是 .
【解析】∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO.
∵点O是△ABC的两条角平分线的交点,
∴∠ABO=∠ABC,∠ACO=∠ACB,
∴∠BOC=∠A+∠ABC+∠ACB=(∠A+∠ABC+∠ACB)+∠A=90°+∠A=118°,
则∠A=56°.
答案:56°
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,点P为∠ABC平分线上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )点,D点和E点分别在AB和BC上,且PD=PE,试探究∠BDP与∠BEP的数量关系,并给予证明.
【解析】∠BDP+∠BEP=180°.
理由:过P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,由角平分线性质,得PM=PN,
在Rt△DPM和Rt△EPN中PD=PE,PM=PN,
∴Rt△DPM≌Rt△EPN(H.L.),∴∠ADP=∠BEP,
又∠BDP+∠ADP=180°,∴∠BDP+∠BEP=180°.
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式训练】如图,点D,B分别在∠A的两边上 ( http: / / www.21cnjy.com ),C是∠A内一点,且AB=AD,BC=DC,CE⊥AD,CF⊥AB,垂足分别为E,F.
求证:CE=CF.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】连结AC,∵AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(S.S.S.).
∴∠DAC=∠BAC.
又CE⊥AD,CF⊥AB,
∴CE=CF(角平分线上的点到角两边的距离相等).
8.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN.(保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)
【解析】(1)作出∠ADC的平分线DN如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)△ADF是等腰直角三角形.
【培优训练】
9.(10分)观察、猜想、探究:在△ABC中,∠ACB=2∠B.
(1)如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,求证:AB=AC+CD.
(2)如图②,当∠C≠90°, ( http: / / www.21cnjy.com )AD为∠BAC的平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系 不需要证明,请直接写出你的猜想.
(3)如图③,当AD为△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系 请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】(1)过D作DE⊥AB,交AB于点E,如图所示,
∵AD为∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DE=DC,在Rt△ACD和
Rt△AED中,AD=AD,DE=DC,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(H.L.),
∴AC=AE,∠ACB=∠AED,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
又∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB,
∴BE=DE=DC,则AB=BE+AE=AC+CD.
(2)AB=CD+AC.
(3)AB=CD-AC,理由为:在AF上截取AG=AC,连结DG,如图所示,
∵AD为∠FAC的平分线,∴∠GAD=∠CAD,
∵在△ADG和△ADC中,AG=AC,∠GAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ADG≌△ADC,
∴CD=GD,∠AGD=∠ACD,
即∠ACB=∠FGD,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠FGD=2∠B,
又∵∠FGD=∠B+∠GDB,
∴∠B=∠GDB,
∴BG=DG=DC,则AB=BG-AG=CD-AC.
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(二十三)
等腰三角形的判定
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
【解析】选A.∵△ABC为等边三角形,且AD=BE=CF,
∴AF=BD=CE,又∵∠A=∠B=∠C=60°,
∴△ADF≌△BED≌△CFE(S.A.S.),∴DF=ED=EF,∴△DEF是一个等边三角形.
2.已知∠ABC=30°,O是∠ABC内的一点,O关于AB,BC的对称点分别为P,Q,则
△PBQ一定是 ( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选A.根据题意画出草图:
( http: / / www.21cnjy.com )
∵O关于AB,BC的对称点分别为P ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),Q,∴AB⊥OP,PE=OE,BC⊥OQ,OF=FQ,∴△BPO为等腰三角形,△BQO为等腰三角形,∴∠OBF=∠QBF,∠OBE=∠PBE,PB=BO=BQ.又
∵∠ABC=30°,∴∠OBF+∠OBE=30°,∴∠QBF+∠PBE=30°,∴∠PBQ=60°.又
∵PB=BQ,∴△PBQ为等边三角形.
3.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.不能确定形状
【解析】选B.∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,
∵∠1=∠2,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,
∴AE=AD,∠CAD=∠BAE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.a,b,c为△ABC的三边,且(a-b)(a-c)(b-c)=0,则△ABC一定是 .
【解析】∵(a-b)(a-c ( http: / / www.21cnjy.com ))(b-c)=0,∴a-b=0,或a-c=0,或b-c=0.即a=b或a=c或b=c.则△ABC一定是等腰三角形.
答案:等腰三角形
5.聪明的亮亮用含有30 ( http: / / www.21cnjy.com )°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案,并发现图中有等腰三角形,请你帮他找出两个等腰三角形 .
【解析】∵∠ABC=∠DCB=90°,∴AB∥CD,
∴∠D=∠ABE=∠A=∠DCE=60°,
∴AE=BE,ED=EC,即△ABE,△DCE都为等腰三角形.
∵∠ACB=∠DBC=30°,
∴BE=CE,△BCE也为等腰三角形.
答案:答案不唯一,△ABE,△DCE,△BCE中任选两个即可
6.如图,B,D分别在AC,CE上,AD是∠CAE的平分线,BD∥AE,AB=BC.则AC与AE的数量关系是 .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵AD平分∠CAE,∴∠CAD=∠EAD.
又∵BD∥AE,∴∠BDA=∠EAD,
∴∠BAD=∠BDA,∴AB=BD.
又∵AB=BC,∴BC=BD,∴∠C=∠CDB.
又∵BD∥AE,∴∠CDB=∠E,
∴∠C=∠E,∴AC=AE.
答案:AC=AE
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知Rt△ABC中,∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分线分别交BC,CD于E,F,求证△CEF是等腰三角形.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.
∵CD⊥AB,∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠B=∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠BAE.
∵∠BAE+∠B=∠CEA,∠CAE+∠ACD=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,∴CF=CE,∴△CEF是等腰三角形.
8.(8分)(2013·荆门中考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:BE=CE.
(2)若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.
求证:△AEF≌△BCF.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】(1)∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠BAE=∠EAC.
在△ABE和△ACE中,
∵AB=AC,∠BAE=∠EAC,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE.
∴BE=CE.
(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF,
∴△ABF为等腰直角三角形,∴AF=BF,
由(1)知AD⊥BC,∴∠EAF=∠CBF,
在△AEF和△BCF中,AF=BF,
∠AFE=∠BFC=90°,∠EAF=∠CBF,
∴△AEF≌△BCF.
【培优训练】
9.(10分)如图,点O是等边△ABC内一点.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转
60°得△ADC,连结OD.已知∠AOB=110°.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证:△COD是等边三角形.
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由.
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
【解析】(1)∵CO=CD,∠OCD=60°,∴△COD是等边三角形.
(2)当α=150°,即∠BOC=150°时,△AOD是直角三角形.
∵△BOC≌△ADC,∴∠ADC=∠BOC=150°,
又∵△COD是等边三角形,∴∠ODC=60°,∴∠ADO=90°,即△AOD是直角三角形.
(3)①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO.∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-
110°-60°-α=190°-α,
∠ADO=α-60°,∴α ( http: / / www.21cnjy.com )=125°;②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.∵∠AOD=190°-α,∠ADO=α-60°,
∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=50°,∴α-60°=50°,
∴α=110°;③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.
∴190°-α=50°,∴α=140°.
综上所述:当α的度数为125°,或110°,或140°时,△AOD是等腰三角形.
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(十九)
角 边 角
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列说法:①如果两个三角形可以依据“A. ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )A.S.”来判定全等,那么一定也可以依据“A.S.A.”来判定它们全等;②如果两个三角形都和第三个三角形不全等,那么这两个三角形也一定不全等;③要判断两个三角形全等,给出的条件中至少要有一对边对应相等.其中说法正确的是 ( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③
【解析】选C.因为两个三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )两个角对应相等,根据内角和定理,可知另一对对应角也相等,那么总能利用A.S.A.来判定两个三角形全等,故①正确;两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等,但是这两个全等的直角三角形可以全等,故②错误;判定两个三角形全等时,必须有边的参与,否则不一定全等,故③正确.
2.如图,EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=
∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;
②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选B.∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF,
∠BAE=∠CAF,∠CAF-∠BAC=∠BAE-∠BAC,∴∠1=∠2.
∵△ABE≌△ACF,∴AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C,又∠BAC=∠CAB,∠B=∠C,△ACN≌△ABM.④CD=DN不能证明成立,3个结论对.故选B.
3.如图,∠B=∠C,AB=DC.证明△ABO≌△DCO应首先选择的判定方法为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.A.S.A. B.A.A.S.
C.S.A.S. D.无法证明
【解析】选B.由于∠AOB与∠DOC是对顶角,
∴∠AOB=∠DOC,这两个角的对边AB=DC,且∠B=∠C,故可直接利用A.A.S.可判定△ABO≌△DCO.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,∠1=∠2.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)当BC=BD时,△ABC≌△ABD的依据是 .
(2)当∠3=∠4时,△ABC≌△ABD的依据是 .
【解析】由图可知AB=AB,若BC=BD,可利用S.A.S.判定△ABC≌△ABD;
若∠3=∠4,可利用A.S.A.判定△ABC≌△ABD.
答案:(1)S.A.S. (2)A.S.A.
5.(2013·娄底中考)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是 .(添加一个条件即可)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】若根据S.A.S.证明时,则可以 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )添加AD=AE或DB=EC;若根据A.S.A.证明时,则可以添加∠C=∠B;若根据A.A.S.证明时,则可以添加∠ADC=∠AEB或
∠BDC=∠CEB.
答案:答案不唯一,如:∠C=∠B或∠AEB=∠ADC或∠CEB=∠BDC或AE=AD或CE=BD
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90° ( http: / / www.21cnjy.com ),作∠BAD=∠CAB交CB的延长线于D,若BC=3cm,则点B到直线AD的距离是 .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】过B作BE⊥DA于E,
在△ABC与△ABE中,
∵∠ACB=∠AEB,∠CAB=∠EAB,AB=AB,
∴△ABC≌△ABE(A.A.S.),
∴BC=BE=3cm.
答案:3cm
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·昆明中考)已知:如图,AD,BC相交于点O,OA=OD,AB∥CD.求证:AB=CD.
【证明】∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C,在△AOB和△DOC中,∠A=∠D,∠B=
∠C,OA=OD,
∴△AOB≌△DOC(A.A.S.),∴AB=CD.
【变式训练】如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,AE=EC,CF∥AB.
求证:AD=CF.
【证明】∵AB∥CF,∴∠A=∠ECF.
又∵∠AED=∠CEF,AE=CE,
∴△AED≌△CEF.∴AD=CF.
8.(8分)(2013·天门中考 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ))如图,已知△ABC≌△ADE,AB与ED交于点M,BC与ED,AD分别交于点F,N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外),并选择其中的一对加以证明.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】△AEM≌△ACN,△BMF≌△DNF,
△ABN≌△ADM.
选择△AEM≌△ACN,理由如下:
∵△ADE≌△ABC,
∴AE=AC,∠E=∠C,∠EAD=∠CAB,
∴∠EAM=∠CAN,
∵在△AEM和△ACN中,∠E=∠C,AE=AC,∠EAM=∠CAN,∴△AEM≌△ACN(A.S.A.).
【易错警示】判定三角形全等可依据S.A. ( http: / / www.21cnjy.com )S.,A.S.A.,A.A.S.,而由A.A.A.,S.S.A.不能判定两个三角形全等.
【培优训练】
9.(10分)如图,在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中,D是BC的中点,过点D的直线MN交AC于N,交AC的平行线BM于M,PD⊥MN,交AB于点P,连结PM,PN.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证:BM=CN.
(2)请你判断BP+CN与PN在数量上有何关系,并说明你的理由.
【解析】(1)∵D是BC的中点,∴BD=CD.
∵AC∥BM,
∴∠MBD=∠NCD.又∠BDM=∠CDN,
∴△BDM≌△CDN(A.S.A.).∴BM=CN.
(2)BP+CN>PN.理由如下:∵△BDM≌△CDN,
∴MD=ND.∵PD⊥MN,∴PM=PN.在△BMP中,
BP+BM>PM,∵BM=CN,PM=PN,∴BP+CN>PN.
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
利用S.S.S.证明两个三角形全等
1.如图,BA=BC,DA=DC,则判定△ABD和△CBD全等的依据是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.S.S.S. B.A.S.A.
C.A.A.S. D.S.A.S.
【解析】选A.△ABD和△CBD中,BD=BD,BA=BC,DA=DC,∴△ABD≌△CBD(S.S.S.).
2.(2013·陕西中考)如图,在四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连结AC,BD相交于点O,则图中全等三角形共有 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【解析】选C.∵AB=AD,CB=CD,又 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )AC=AC,∴△ABC≌△ADC.∴∠BAO=∠DAO,∠BCO=∠DCO,又∵AB=AD,∴∠ABO=∠ADO,∴△ABO≌△ADO,同理,△CBO≌△CDO,图中全等三角形共有3对.
3.如图,AC=DF,BC=EF,AD=BE,∠BAC=72°,∠F=32°,则∠ABC= .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵AD=BE,∴AD+AE=BE+AE,即DE=AB.
在△ABC和△DEF中,
∵AC=DF,BC=EF,AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(S.S.S.),
∴∠F=∠C,∠ABC=∠DEF=180°-72°-32°=76°.
答案:76°
4.已知:如图,点G,E在线段BC上,BG=CE,AB=DC,AE=DG.
求证:∠B=∠C.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵BG=CE,
∴BG+GE=CE+GE,即BE=CG.
在△ABE和△DCG中,
∵AB=DC,AE=DG,BE=CG,
∴△ABE≌△DCG(S.S.S.).∴∠B=∠C.
5.(2013·常州中考)如图,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.求证:∠A=∠B.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵C是AB的中点,∴AC=BC.
在△ACD和△BCE中,∵AD=BE,CD=CE,AC=BC,
∴△ACD≌△BCE(S.S.S.),
∴∠A=∠B(全等三角形对应角相等).
S.S.S.的实际应用
1.为稳固电线杆,从A处拉了两根等长的铁丝AC,AD,且C,D到杆脚B的距离相等,则有 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.∠1>∠2
B.∠1<∠2
C.∠1=∠2
D.∠1与∠2大小不能确定
【解析】选C.由题意知CB=DB,
在△ACB和△ADB中,∵AC=AD,AB=AB,CB=DB,
∴△ACB≌△ADB(S.S.S.),∴∠1=∠2.
2.如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是支架,D是BC的中点,证明△ABD≌△ACD最直接的方法是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.S.S.S. B.S.A.S.
C.A.S.A. D.A.A.S.
【解析】选A.∵D是BC的中点,∴BD=CD,
在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC,AD=AD,BD=CD,
∴△ABD≌△ACD(S.S.S.).
3.小明做了一个如图所示的风筝,其中EH= ( http: / / www.21cnjy.com )FH,ED=FD,小明说不用测量就知道DH平分∠EDF,即∠EDH=∠FDH.小明说得对吗 试说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】结论:小明说得对.理由:∵EH=FH,ED=FD,DH=DH,∴△EDH≌△FDH.
∴∠EDH=∠FDH.即DH平分∠EDF.
【变式训练】小明做了一个如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )的风筝(如图1),他想验证∠ABC与∠ADC是否相等(如图2),但手头只有一把足够长的尺子,你能帮他想个办法吗 并说明你这样做的理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】用尺子量出AB,AD,BC,CD的 ( http: / / www.21cnjy.com )长度,若AB=AD,BC=CD,则∠ABC=∠ADC.理由:连结AC,如图所示,∵AB=AD,BC=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),∴∠ABC=∠ADC.
( http: / / www.21cnjy.com )
4.某种雨伞的截面如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=AB,AF=AC,当O沿AD滑动时,雨伞开闭.问雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD有何关系 说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】雨伞开闭过程中二者关系始终是:∠BAD=∠CAD.
理由如下:因为AB=AC,AE=AB,AF=AC,
所以AE=AF.在△AOE与△AOF中,
因为AE=AF,AO=AO,OE=OF,
所以△AOE≌△AOF(S.S.S.),所以∠BAD=∠CAD.
已知:如图,AB,CD交于点O,OA=OD,OB=OC,AC=DB,
∠A=60°,∠C=50°.
求∠B的度数.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第___步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________________________
答案：(1)④
(2)在△AOC和△DOB中 ( http: / / www.21cnjy.com ),OA=OD,OC=OB,AC=DB,∴△AOC≌△DOB(S.S.S.),∴∠B=∠C=50°.
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
等腰三角形性质的应用
1.(2013·南充中考)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.70° B.55° C.50° D.40°
【解析】选D.∵AB=AC,∠B=70°,∴∠C=∠B=70°,又∠A+∠C+∠B=180°,
∴∠A=40°.
2.(2013·广安中考)等腰三角形的一边长为6,另一边长为13,则它的周长为
( )
A.25 B.25或32
C.32 D.19
【解析】选C.当腰为6,底为13时 ( http: / / www.21cnjy.com ),此时三边长为6,6,13,不能组成三角形;当腰为13,底为6时,三边长为13,13,6,此时周长为13+13+6=32.
3.已知在等腰三角形中,有一个角的度数为120°,则另外两个角的度数为 .
【解析】根据三角形的内角和定 ( http: / / www.21cnjy.com )理可知,120°的角只能是顶角,又等腰三角形的两底角相等,所以另外两个角的度数为30°,30°.
答案:30°,30°
4.如图,B,D,F在AN上,C,E在AM上,且AB=BC=CD,EC=ED=EF,∠A=20°,求∠FEM的度数.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵AB=BC,∴∠A=∠ACB=20°,
∴∠CBD=∠A+∠ACB=20°+20°=40°.
∵BC=CD,∴∠CBD=∠CDB=40°,
∴∠DCE=∠A+∠CDB=20°+40°=60°,
∵EC=ED,∴∠DCE=∠CDE=60°,
∴∠DEC=180°-∠DCE-∠CDE=60°,
∴∠EDF=∠A+∠DEC=20°+60°=80°,
∵ED=EF,∴∠EDF=∠EFD=80°,
∴∠FEM=∠A+∠EFD=20°+80°=100°.
【方法技巧】证明角相等的常见思路
(1)要证明的两个角是同位角或内错角时,可以考虑运用平行线的性质证明.
(2)要证明的两个角分布在两个三角形中时,可以通过三角形的全等证明.
(3)要证明的两个角在同一个三角形中时,可以通过等边对等角或等腰三角形中“三线合一”证明.
5.已知AB=AC,BD=DC,AE平分∠FAB,问:AE与AD是否垂直 为什么
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】AE⊥AD,理由如下:
∵AB=AC,CD=BD,∴∠1=∠2,∠B=∠C,AD⊥BC,又∵AE是△ABC的外角平分线,∴∠3=∠4=(∠B+∠C)=∠C,∴AE∥BC,∠DAE+∠ADB=180°,又∵AD⊥BC,∴∠DAE=∠ADB=90°.∴AE⊥AD.
等边三角形性质的应用
1.如图,已知等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数为
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.45° B.60° C.55° D.75°
【解析】选B.等边△ABC中,有∠ABC=∠C=60°,AB=BC,BD=CE,
∴△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE,
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°.
2.如图:△ABC为等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形,AD平分∠BAC,△ADE是等边三角形,下列结论中:①AD⊥BC,②EF=FD,③BE=BD,
④∠ABE=60°中正确的个数为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
【解析】选A.∵△ABC为等边三角形,A ( http: / / www.21cnjy.com )D平分∠BAC,∴AD⊥BC,BD=DC,∴①正确,∠BAD=30°,△ADE是等边三角形,∴AF⊥ED,EF=FD,②正确,由②得AF⊥ED,
∴BE=BD,③也正确,由③ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )知∠BEF=∠BDF,在Rt△BEF中,∠ABE=90°-∠BEF=90°-∠BDF=90°-30°=60°,∴④也正确.∴①②③④都正确.
3.等边三角形两条高线相交所成的钝角的度数是 .
【解析】根据等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )三线合一性质可知,等边三角形的高线也是角平分线,所以相交所成的钝角的度数为180°-30°-30°=120°.
答案:120°
4.已知,如图,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形.
求证:AC=BE.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵△ABD和△DCE都是等边三角形,
∴∠ADB=∠CDE=60°,AD=BD,CD=DE.
∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠FDE,即∠ADC=∠BDE.
∴△ADC≌△BDE.∴AC=BE.
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,试求顶角的度数.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1)错因:__________________________________.
(2)纠错:__________________________________________________________
答案：(1)漏掉了三角形为钝角三角形的情况
(2)由题意知:BD⊥AC,∠ABD=30°.当高在三角形内部时(如图1),∠A=90°-
30°=60°,即顶角为60°;当高在三角形外部时(如图2),∠BAD=90°-30°=
60°,则∠BAC=180°-60°=120°,即顶角是120°.综上所述,顶角为60°或
120°.
( http: / / www.21cnjy.com )
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
利用A.S.A.判定三角形全等
1.如图所示,AB∥CD,点C是BE的中点,直接应用A.S.A.定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.AB=CD B.∠ACB=∠E
C.∠A=∠D D.AC=DE
【解析】选B.∵点C是BE的中点,∴BC=CE,
∵AB∥CD,∴∠B=∠DCE,∴应添加∠ACB=∠E才能直接应用A.S.A.得△ABC≌
△DCE.
【变式训练】如图,AB∥CD,AB=CD,点B,E,F,D在一条直线上,∠A=∠C.求证:AE=CF.
说明:证明过程中要写出每步的证明依据.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵AB∥CD(已 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )知),∴∠B=∠D(两直线平行,内错角相等).又∵AB=CD(已知),∠A=∠C(已知),∴△ABE≌△CDF(A.S.A.),∴AE=CF(全等三角形对应边相等).
2.王老师一块教学用的三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形玻璃不小心被打破了,他想再到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃,为了方便,他只要带哪一块就可以 ( )
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选A.②、③、④块都不包含原来完整的 ( http: / / www.21cnjy.com )角和边,不能配到与原来一样大小的三角形玻璃;①块,因为它不但有两个角还有一个边,这正好符合全等三角形的判定中的A.S.A.,所以应该带第①块去.
3.已知△ABC和△EFD中,AB=EF ( http: / / www.21cnjy.com ),∠A=∠E,要使△ABC≌△EFD,且根据A.S.A.定理,则必须添加的条件是 .
【解析】由AB=EF,∠A=∠E,再添加∠B=∠F,
由A.S.A.得△ABC≌△EFD.
答案:∠B=∠F
4.(2013·宜宾中考)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:△ABC≌△DEF.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,∴BC=BE+EC=CF+EC=EF.
又∵∠ACB=∠F,∴△ABC≌△DEF(A.S.A.).
5.(2013·朝阳中考)某段河 ( http: / / www.21cnjy.com )流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;②沿河岸直走20步有一树C,继续前行20步到达D处;③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走;④测得DE的长就是河宽AB.请你证明他们做法的正确性.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】由做法知:在Rt△ABC和Rt△EDC中,
∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
∴Rt△ABC≌Rt△EDC,
∴AB=ED,即他们的做法是正确的.
6.已知:如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E,求证:BC=ED.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,即∠BAC=∠EAD,
在△BAC与△EAD中,∵∠B=∠E,AB=AE,∠BAC=∠EAD,
∴△BAC≌△EAD(A.S.A.).
∴BC=ED.
利用A.A.S.判定三角形全等
1.在△ABC与△DEF中,如果∠A=∠D,∠B=∠E,要使这两个三角形全等,还需要的条件可以是 ( )
A.AB=EF B.BC=EF
C.AB=AC D.∠C=∠D
【解析】选B.添加BC=EF.∵∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,∴△ABC≌△DEF(A.A.S.).
2.(2013·上海中考)如图,在△A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )BC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,添加的条件可以是 .(只需写一个,不添加辅助线)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵BF=CE,∴BC=BF+FC=CE+FC=EF,
∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.
若AC=DF,符合S.A.S.,
若∠B=∠E,符合A.S.A.,
若∠A=∠D,符合A.A.S..
答案:∠A=∠D(答案不唯一)
3.如图,点D,E,F,B在同一直线上,AB∥CD,AE∥CF且AE=CF,若BD=10,BF=2,则EF= .
【解析】∵AB∥CD,AE∥CF,
∴∠B=∠D,∠AEB=∠CFD.
又∵AE=CF,
∴△ABE≌△CDF(A.A.S.),
∴BE=DF.
∵DF=BD-BF=10-2=8,∴BE=8,
∴EF=BE-BF=8-2=6.
答案:6
4.如图,已知AC平分∠BAD,∠1=∠2,求证:AB=AD.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵∠1=∠2,
∠1+∠ABC=∠2+∠ADC,
∴∠ABC=∠ADC.
又∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
在△ABC和△ADC中,
∵∠ABC=∠ADC,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(A.A.S.).
∴AB=AD.
5.(2013·玉林中考)如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:△ABC≌△AED.
【证明】∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠EAD.
∵在△ABC和△AED中,∠C=∠D,∠BAC=∠EAD,AB=AE,∴△ABC≌△AED(A.A.S.).
【知识归纳】如何选择三角形证全等
(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等.
(2)可以从已知条件出发,看已知条件确定哪两个三角形可证它们全等.
(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等.
(4)如果以上方法都行不通,可采用添加辅助线的方法,构造三角形全等.
如图,E,F是四边形ABCD的对角线BD上的点,AE∥CF,
AE=CF,BE=DF.
求证:△ADE≌△CBF.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第__步开始出现错误.
(2)纠错:____________________________________
答案：(1)②
(2)∵AE∥CF,∴∠AEF=∠CFB.
∵BE=DF,∴BE+EF=DF+EF,
即BF=DE.又∵AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(S.A.S.).
关闭Word文档返回原板块课时提升作业(二十)
边 边 边
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图所示,AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中的全等三角形有 ( )
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
【解析】选B.由DA=BC,AB=CD ( http: / / www.21cnjy.com ),AC=CA得△ADC≌△CBA;由DA=BC,AE=CF,DE=BF,得△ADE≌△CBF;因为AC=CA,AE=CF,所以AF=CE,又由于BF=DE,AB=CD,∴△ABF≌△CDE.
2.(2013·铁岭中考)如图,在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是 ( )
A.BC=EC,∠B=∠E
B.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠D
D.∠B=∠E,∠A=∠D
【解析】选C.已知AB=DE,再加上条件BC ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=EC,∠B=∠E可利用S.A.S.证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;已知AB=DE,再加上条件BC=EC,AC=DC可利用S.S.S.证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;已知AB=DE,再加上条件BC=DC,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC,故此选项符合题意;已知AB=DE,再加上条件∠B=∠E,
∠A=∠D可利用A.S.A.证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意.
3.如图,△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由S.S.S.可以判定
( )
A.△ABD≌△ACD
B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE
D.以上答案都不对
【解析】选B.因为AB=AC,EB=EC,AE=AE,所以△ABE≌△ACE.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,已知AC=BD,要使△ABC≌△DCB,则只需添加一个适当的条件是 (填一个即可).
【解析】∵AC=DB,BC是公共边,∴要使△ABC≌△DCB,需添加:
①AB=DC(S.S.S.),
②∠ACB=∠DBC(S.A.S.).
答案:AB=DC或∠ACB=∠DBC(答案不唯一)
5.如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,
∠A=30°,则∠C的度数为 .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】连结OE,
在△EAO和△ECO中,
∵OA=OC(已知),EA=EC(已知),
OE=OE(公共边),
∴△EAO≌△ECO(S.S.S.),
∴∠A=∠C=30°(全等三角形的对应角相等).
答案:30°
6.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是 .
【解析】在△ABC和△ADC中,
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠B=∠D=30°,
∠BAC=∠DAC=∠BAD=23°,
∴∠ACD=180°-∠DAC-∠D
=180°-23°-30°=127°.
答案:127°
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知:如图,△ABC是一个人字型的钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC的中点D的支架,求证:AD⊥BC.
【证明】∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(S.S.S.),
∴∠ADB=∠ADC.
又∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC.
8.(8分)工人师傅常用角尺平分一个 ( http: / / www.21cnjy.com )任意角,作法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON.移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线,为什么 请你说明理由.
【解析】OP平分∠AOB.理由如下:
∵OM=ON,PM=PN,OP=OP,∴△MOP≌△NOP(S.S.S.).
∴∠MOP=∠NOP,∴OP平分∠MON,即OP是∠AOB的平分线.
【培优训练】
9.(10分)如图,AB=AD,CD=CB,∠A+∠C=180°.
试探索CB与AB的位置关系,并证明.
【解析】CB与AB垂直.
证明:连结AC,
在△ABC和△ADC中,
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),
∴∠BAC=∠DAC,
∠BCA=∠DCA.
又∵∠DAB+∠BCD=180°,
∴∠BAC+∠BCA=90°,
∴CB⊥AB.
关闭Word文档返回原板块提技能·题组训练
用尺规作图作已知角的平分线
1.下列作法中,所得射线BD不是∠ABC的平分线的是 ( )
A.在∠ABC的边BA,BC上各取一段BE=BF,取EF的中点D
B.在∠ABC内找一点D,满足点D到BC的距离等于BD
C.在∠ABC内找一点D,使∠ABD=∠CBD
D.在∠ABC内找一点D,使D到BC,BA的距离相等
【解析】选B.A.由“S.S.S.”得△BDE≌△BDF,
∴∠EBD=∠FBD,∴BD是∠ABC的平分线;
C.由∠ABD=∠CBD可得BD是∠ABC的平分线;
D.由角平分线的判定定理可知BD是∠ABC的平分线;
B条件不足,不能判定BD是∠ABC的平分线.
2.如图是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法,在用尺规作角平分线时,用到的三角形全等的判定方法是 ( )
A.S.S.S. B.S.A.S.
C.A.S.A. D.A.A.S.
【解析】选A.连结EC,DC.根据作图的过程知,在△EOC与△DOC中,OE=OD,OC=OC,
CE=CD,∴△EOC≌△DOC(S.S.S.).
【易错提醒】作∠AOB的平分线,不能误认为∠COB=∠COA,应用S.A.S.判定三角形全等.
3.已知:∠AOB,求作∠AOB的平分线;如图所示,填写作法.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】①以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于M,交OB于N;②分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;
③画射线OC,射线OC即为所求.
4.在图中求作一点P,使点P到∠AOB两边的距离相等,并且使OP等于MN,保留作图痕迹并写出作法.(要求:用尺规作图)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】如图所示:以O为圆心,任意长为半径作弧,交∠AOB两边于两点,分别以这两点为圆心,
( http: / / www.21cnjy.com )
大于两点的距离的一半为半径作弧交于角内部一点,以O为端点,作过这一点的射线,在该射线上截取OP=MN,点P即为所求.
作线段的垂直平分线
1.如图的尺规作图是作 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.线段的垂直平分线
B.一个半径为定值的圆
C.一条直线的平行线
D.一个角等于已知角
【解析】选A.设这条线段为AB,上面两弧的交点为C,下面两弧的交点为D.
∵AC=BC,∴点C在AB的垂直平分线上,同理点D在AB的垂直平分线上,∴CD垂直平分AB,∴作的是线段的垂直平分线.
2.画图题:
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)过点P画直线l的垂线PO,垂足为O.
(2)连结PA,PB(即画线段PA,PB).
(3)比较线段PO,PA,PB的长短,用“<”连接.
【解析】(1)(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)PO3.如图,△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称,请作出这条直线.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】(1)连结BB′,分别以B,B′为圆心,以大于BB′的长为半径作弧,两弧交于D,E两点.
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)过D,E作直线.直线DE即为所求.
如图,在△ABC中,AB=AC,用尺规作图作AC边上的高线BD(保留作图痕迹,不要求写作法).
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1)错因:___________________________________.
(2)纠错:_______________________________________________
答案：(1)作的是三角形的角平分线
(2) 如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )
关闭Word文档返回原板块