2022-2023学年山东省青岛市莱西市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市莱西市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 对于下列命题，其中为真命题的是( )
A. 所有的素数都是奇数
B. 是无理数，是无理数
C. 在平面直角坐标系中，至少有一个二次函数的图象与轴不相交
D. 命题“至少有一个整数，使得为奇数”的否定
2. 已知，化简，其结果为( )
A. B. C. D.
3. 已知随机变量的分布列如下表所示，随机变量，则下列选项正确的为( )
A. B. C. D.
4. 若且，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
5. 某工厂经过节能降耗技术改造后，在生产其产品的过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨的一些数据如下表所示：
已知根据所给数据得到的关于的经验回归方程为，对应的经验回归直线为现发现表中有个数据看不清，且用来表示，则下列说法正确的为( )
A. 看不清的数据
B. 过点
C. 据该模型可以预测：产量为吨时，相应的生产能耗为吨
D. 的斜率可以解释为：产量每增加吨，相应的实际生产能耗就一定能增加吨
6. 函数的零点的个数及其分布情况为( )
A. 的零点个数为，在内
B. 的零点个数为，分别在，内
C. 的零点个数为，分别在，，内
D. 的零点个数为，分别在，，内
7. 某次考试共有道单选题，某学生对其中道题有思路，道题完全没有思路有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为若从这道题中任选道，则这个学生道题全做对的概率为( )
A. B. C. D.
8. 已知为定义在实数集上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为( )
A. B. 的不同子集的个数为
C. D.
10. 甲、乙、丙、丁、戊、己六名学生站成一排照相，则下列选项正确的为( )
A. 若甲和乙站在两端，则不同站法的种数为
B. 若甲不站排头，乙不站排尾，则不同站法的种数为
C. 若甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻，则不同站法的种数为
D. 若甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻，则不同站法的种数为
11. 已知函数，若，则下列选项中正确的为( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的为( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数的定义域为______．
14. 在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为______ 用数字填写答案．
15. 已知随机变量服从正态分布，且方程有实数根的概率为若，则 ______ ．
16. 若函数且既有极大值又有极小值，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有人，会跳舞的有人，现从中选出人参与一次社会公益演出设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
Ⅰ求该文娱队的队员人数；
Ⅱ求随机变量的分布列和数学期望．
18. 本小题分
已知函数的定义域为，的解集为，，函数的值域为．
Ⅰ若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
Ⅱ若，且，求的取值范围．
19. 本小题分
已知是定义在实数集上的偶函数，当时，．
Ⅰ求在实数集上的解析式；
Ⅱ判断在上的单调性；
Ⅲ设，，，，试比较，，，的大小，请写出判断过程并按从大到小的顺序排起来，用“”连接．
20. 本小题分
某疾病可分为，两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患型疾病的人数为男性患者人数的，女性患型疾病的人数是女性患者人数的．
Ⅰ根据所给信息完成下列列联表：
性别 疾病类型 合计
型 型
男
女
合计
Ⅱ基于Ⅰ中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？
Ⅲ某团队进行预防型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排个周期接种疫苗，每人每个周期接种次，每次接种费用为元该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中人用于接种疫苗的费用为，求．
附：，
21. 本小题分
定义一种新的运算“”：，，都有
Ⅰ对于任意实数，，，试判断与的大小关系；
Ⅱ若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围；
Ⅲ已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
22. 本小题分
已知函数且，．
Ⅰ讨论函数的极值；
Ⅱ当时，若在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，是素数，不是奇数，故A错误；
对于，令是无理数，则是有理数，故B错误；
对于，令，得是二次函数的图象与轴的交点，故C错误；
对于，命题“至少有一个整数，使得为奇数”的否定是：
任意一个整数，使得为偶数是真命题，故D正确．
故选：．
根据素数和奇数的定义判断；举例判断；令，求出二次函数的图象与轴交点的坐标判断；求出命题的否定，判断．
本题考查了命题的否定，考查全称量词和全称命题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
根据对数的运算性质以及指数幂的运算性质计算即可．
本题考查了对数的运算，考查指数幂的运算，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，，，
，
．
故选：．
根据分布列求得的期望和方差，再利用期望与方差的性质求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望和方差的计算和性质，是中档题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用特殊值法可排除、、，分析可得A正确．
【解答】
解：且，，．
不妨取，，，
此时、、均不满足
当时，，，故
当时，，，故
当时，由于，，故．
故选A．

5.【答案】
【解析】解：，，
样本点的中心的坐标为，代入，
则，即，故A错误；
过点，故B正确；
据该模型可以预测：产量为吨时，相应的生产能耗为吨，故C错误；
的斜率可以解释为：产量每增加吨，相应的实际生产能耗预测增加吨，故D错误．
故选：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解判断与；求出时的值判断；由线性回归方程的性质判断．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
令，解得，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又，，，，，
由零点存在定理可知，的零点有个，分别位于，，内．
故选：．
利用导数判断原函数单调性，结合零点存在性定理分析判断．
本题考查了函数的零点及导数的综合运用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设事件表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则，
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，
故．
故选：．
根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为当时，都有，
所以，
所以函数在上单调递减，
因为，
所以，
又为奇函数，即，
所以，在上单调递增，
由可得，
所以或，
解得且．
故选：．
由已知不等式结合函数单调性定义可知在上单调递减，然后判断的单调性，结合单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意作出图如图所示，
由图可知，，，故A，C正确；
集合的子集个数为个，故B正确；
因为，所以，D错误．
故选：．
用图来表示集合中的元素关系，即可对选项进行判断．
本题考查用图解决集合问题，集合的运算，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，若甲和乙站在两端，则不同站法的种数，A正确；
选项，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同站法的种数为，B错误；
选项，若甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻，则不同站法的种数为，C正确；
选项，若甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻，则不同站法的种数为，D正确．
故选：．
根据排列组合公式逐项计算即可判断．
本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：因为，
所以，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
当时，，
当时，，
因为，
若成立，则在上单调递减，不合题意，故A错误；
对于：因为，
所以，故B正确；
对于：令，
则，
当时，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，即，故C错误；
对于：令，
则，
令，，
则，
所以当时，，单调递增，
所以，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，
所以，即，
所以，故D正确，
故选：．
对于：求导分析的单调性可得在上单调递增，在上单调递减，，当时，，当时，，若成立，则在上单调递减，不合题意，即可判断是否正确；
对于：由，得，即可判断是否正确；
对于：令，求导分析的单调性，即可判断是否正确；
对于：令，求导可得，令，，求导分析单调性，可得，进而可得在上单调递增，若，则，即可判断是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数的值域为，
则有，必有，
则，由于不一定为，则不一定成立，A错误；
对于，关于的不等式的解集为，
则方程即的两个根为和，
则有，变形可得，B错误；
对于，由的结论，且，则，C正确；
对于，由于方程的两个根为和，
则有，
解可得，D正确．
故选：．
根据题意，有二次函数的性质分析，可得A正确，由函数与方程的关系可得方程即的两个根为和，结合根与系数的关系分析，可得B错误，而、D正确，综合可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及二次函数的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，解之得．
函数的定义域为．
故答案为．
令，，必须满足，解之即可．
本题考查了复合函数的定义域，掌握函数和的定义域是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：各项的二项式系数之和为，
，得，
则展开式的通项公式为，
由，得，
则的对应系数．
故答案为：．
根据各项的二项式系数之和为，求出的值，求出展开式的通项公式，令的次数为，求出的值即可得到结论．
本题主要考查二项式定理的应用，求出二项式定理展开式的通项公式，求出的值是解决本题的关键，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：方程有实数解的概率为，
，
即，
故正态曲线的对称轴是：，如图．
，
，
．
故答案为：．
根据随机变量服从正态分布，且方程有实数解的概率为，知正态曲线的对称轴是，欲求，只需依据正态分布对称性，即可求得答案．
本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、概率的基本性质、方程有解的条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
若函数且既有极大值又有极小值，
则且至少有两个根，
即且至少有两个根，
令，，
则与至少有两个交点，
当时，在上，，此时与没有交点，
在上，，，
设直线过点与相切时，切点为，，
，
所以，，
所以，
所以，
所以，
若与有两个交点，则，
所以，
又因为，
所以，
当时，在上，，此时与没有交点，
在上，，，
设直线过点与相切时，切点为，，
，
所以，，
所以，
所以，
所以，
若与有两个交点，则，
所以，
又因为，
所以，
综上所述，且．
故答案为：．
求导得，，若函数且既有极大值又有极小值，则且至少有两个根，令，，则与至少有两个交点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队共有人，只会一项的是人，
则，
所以，解得：，
所以该文娱队有人．
Ⅱ由Ⅰ可知，该文娱队共有人，既会唱歌又会跳舞的有人，只会一项的是人，
可能的取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
．
【解析】Ⅰ设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队共有人，根据，列方程求解即可；
Ⅱ求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
18.【答案】解：Ⅰ由可得，所以集合，
不等式的解集为或，
，
“”是“”的充分条件，
，解得；
Ⅱ，，解得，
由解得，
，，即，解得或，
或，
由知，，，
又，，
综上可知：．
【解析】Ⅰ计算出的结果，根据“”是“”的充分条件，列不等式组，可得的取值范围；
Ⅱ利用反解法求出集合，由，且解出的取值范围．
本题考查充分必要条件的应用，考查集合间的关系以及集合的运算，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ当时，，，
是定义在实数集上的偶函数，
，从而，
又当时，，
综上可知，对于，．
Ⅱ当时，，
，
，，从而，，
在上为减函数．
Ⅲ是定义在实数集上的偶函数，
，，
，
，
又，
，
由Ⅱ可知，在上为减函数，
．
【解析】Ⅰ利用偶函数的性质即可求解；
Ⅱ对求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
Ⅲ利用函数奇偶性与单调性即可判断，，，的大小关系．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ设男性患者人数为，则女性患者人数为，由，可得，
所以女性患者人数为，
男性患型疾病的人数为，
女性患型疾病的人数是，
得到列联表如下：
性别 疾病类型 合计
型 型
男
女
合计
Ⅱ，
所以依据小概率值的独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关．
Ⅲ可能的取值为，，
，
，
所以的分布列为：
．
【解析】Ⅰ设男性患者人数为，则女性患者人数为，可得，根据题意即可完成分布列；
Ⅱ计算，与题中数据比较，即可得出结论；
Ⅲ求得的可能取值及对应概率，根据期望公式求解即可．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的期望，是中档题．
21.【答案】解：Ⅰ，，都有
，
，
．
Ⅱ，
关于的不等式可化为：，即，
不等式的解集中的整数恰有个，
为满足题意，必有，即或，
令，
由于，，结合可得：，
的一个零点在区间，另一个零点在区间，
从而，
由可得：或．
实数的取值范围：
Ⅲ函数，，
，，
设，
令，，则，
，
，
的值域为，
，，
的值域为，
根据题意可知：，，
解之得：且．
实数的取值范围：
【解析】Ⅰ利用新定义，化简求解推出．
Ⅱ化简不等式，结合不等式的解集中的整数恰有个，推出的范围，令，棱长不等式组，转化求解即可．
Ⅲ求出，，
设，，令，，推出，利用条件推出，棱长不等式求解即可．
本题考查函数与方程的应用，不等式的解法，新定义的应用，是难题．
22.【答案】解：Ⅰ已知且，函数定义域为，
可得，
当时，，，单调递增，无极值；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值，无极大值；
综上，当时，函数无极值；
当时，函数有极小值，无极大值；
Ⅱ当时，，
若在上恒成立，
即，
整理得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以单调递增，
又，，
所以存在点，使得，
当时，，，单调递减；
当时，，，为单调递增，
所以，
又，
解得，
所以，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以单调递增，
又，
所以，
即，
所以，
此时，
则实数的取值范围为．
【解析】Ⅰ由题意，对函数进行求导，分别讨论和这两种情况，结合导数的几何意义即可得到函数的极值；
Ⅱ将代入函数的解析式中，将不等式恒成立转化成，通过构造新函数，将问题转化成导数求新函数的最值问题，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值以及不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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