提技能·题组训练
勾股定理
1.如图所示,在Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com ),∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】选A.过D点作DE⊥BC于E.
∵∠A=90°,AB=4,BD=5,∴AD===3,
∵BD平分∠ABC,∠A=90°,∴点D到BC的距离DE=AD=3.
2.(2013·资阳中考)如图,点E在正方形ABCD内,满足
∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是 ( )
A.48 B.60
C.76 D.80
【解析】选C.∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,
∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,
∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-×AE×BE
=100-×6×8=76.
3.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=12,则高AD= .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵AB=AC,AD⊥BC,BC=12,∴BD=DC=BC=6.在Rt△ABD中,
∵AB=10,BD=6,∴AD==8.
答案:8
【易错提醒】勾股定理适用的条件是直角三角形, ( http: / / www.21cnjy.com )无直角三角形时需要添加辅助线构造直角三角形,利用勾股定理进行计算.
4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∠B=60°,∠C=45°.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求∠BAC的度数.
(2)若AC=2,求AD的长.
【解析】(1)∠BAC=180°-60°-45°=75°.
(2)∵AD⊥BC,∴△ADC是直角三角形,
∴AD2+DC2=AC2.
∵∠C=45°,∴∠DAC=45°,
∴AD=DC.∵AC=2,∴AD=.
5.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,若AD=2BD,AC=3,BC=2,求BD的长.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】根据题意CD2=AC2-AD2=32-(2BD)2=9-4BD2,CD2=BC2-BD2=22-BD2=4-BD2,
∴9-4BD2=4-BD2,解得BD2=,∴BD=.
勾股定理的实际应用
1.如图,在水塔O的东北方向32 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )m处有一抽水站A.在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,若在AB间建一直水管,则水管的长为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.45m B.40m C.50m D.56m
【解析】选B.由题意知△AOB为直角三角形,因为OA=32m,OB=24m,
所以AB===40(m).
2.如图所示,学校有一块长方形花圃,有极少数 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了花草.
【解析】根据勾股定理可得斜边长是=5(m).则少走的距离是3+4-5=2(m),即4步.
答案:4
3.如图,冰雪灾害中,一棵大树在离地面3 m ( http: / / www.21cnjy.com )处折断,树的顶端落在离树干底部4 m处,那么这棵树折断之前的高度是 m.
【解析】∵AC=4m,BC=3m,∠ACB=90°,∴折断的部分长为AB==5(m),
∴折断前高度为5+3=8(m).
( http: / / www.21cnjy.com )
答案:8
4.生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定,现有一梯子,稳定摆放时,顶端达到5m高的墙头,请问:梯子有多长
【解析】如图,设梯子长xm,
在Rt△ABC中,x2=+25,解得x≈5.3.
答:梯子大约有5.3m长.
5.一个游泳爱好者,要横跨一条宽AC=8m ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的河流,由于水流的原因,这位游泳爱好者向下游偏离了BC=6m,这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为多少m
【解析】在Rt△ABC中,根据勾股定理AB===10(m).所以实际游泳距离为10m.
有一长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形状忽略不计),要求木条不能露出木箱.请你算一算,能放入的细木条的最大长度是 ( )
A.cm B.cm C.cm D.不能确定
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第___步开始出现错误.
(2)纠错:_________________________________________________________
答案：(1)①
(2)选C.由题意可知：AB=5 cm，BC=4 cm，CG=3 cm，
连结AC，AG，AC=AB2+BC2=52+42=41(cm).
AG=AC2+CG2=41+9=50(cm). ∴能放入的细木条的最大长度是50 cm.
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勾股定理的应用
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.丽丽想知道学校旗杆的高,她发 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2m,当她把绳子的下端拉开6m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 ( )
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
【解析】选A.设旗杆的高为xm,则绳子的长为(x+2)m.
根据题意得:x2+62=(x+2)2,解得x=8,
∴旗杆的高为8m.
【易错提醒】关键是理解题意,构造直角三角形,利用勾股定理解题.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,DE⊥AB于E,则AE2-BE2等于
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.AC2 B.BD2 C.BC2 D.DE2
【解析】选A.连结AD,∵D为BC的中点,∴CD=BD,∵DE⊥AB,
∴∠AED=∠BED,由勾股定理得AE2=AD2-DE2,BE2=BD2-DE2,
AE2-BE2=AD2-BD2=AD2-CD2=AC2.
3.一船向东航行,上午8时到达B处 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),看到有一灯塔在它的南偏东60°,距离为72n mile的A处,上午10时到达C处,看到灯塔在它的正南方向,则这艘船航行的速度为 ( )
A.18 n mile/h B.18n mile/h
C.36 n mile/h D.36n mile/h
【解析】选B.
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°-60°=30°,AB=
72n mile,故AC=36n mile,
BC==36n mile,这艘船航行的速度为36÷2=18n mile/h.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.学完勾股定理之后,同学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )们想利用升旗的绳子、卷尺,测算学校旗杆的高度.小明设计了一个方案:将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子恰好到达旗杆底端,然后将绳子向外拉.当把绳子接上1m时,此时一端到达离旗杆底端5m处,如图所示,小明算出旗杆高度是 m.
【解析】设旗杆的高为xm,则绳子长为(x+1)m,
由勾股定理得,(x+1)2=x2+52,解得,x=12.
答:旗杆的高度是12m.
答案:12
5.若在△ABC中,AB=5cm ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),BC=6cm,BC边上的中线AD=4cm,则∠ADC的度数是 .
【解析】∵AB=5cm,BC=6cm,AD=4cm,又∵AD为BC边上的中线,∴BD=6×=3(cm),∴AB2=AD2+BD2,∴△ABD为直角三角形,∴∠ADC=∠ADB=90°,∴∠ADC的度数是90°.
答案:90°
6.如图,在4×3的正方形网格中,△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,则∠BAC+
∠CDE= °.
【解析】如图,∵BF=CF,CK=EK,
∴∠FBC=∠CEK=45°,
∴∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°.
连结AD,BE,
∵BC2=22+22=8,CE2=12+12=2,BE2=32+12=10,
∴BC2+CE2=BE2,∴∠BCE=90°.
∵AD2=32+12=10,CD2=32+12=10,
AC2=42+22=20,
∴AD2+CD2=AC2,AD=CD,∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=45°,∴∠1+∠2=45°,
∴∠BAC+∠CDE=45°.
答案:45
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·沈阳中 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )考)如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连结CF.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证:BF=2AE.
(2)若CD=,求AD的长.
【解析】(1)∵AD⊥BC,∠BAD=4 ( http: / / www.21cnjy.com )5°,∴∠ABD=∠BAD=45°,∴AD=BD.∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE +∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠CBE.又∵∠CDA=∠BDF=90°,
∴△ADC≌△BDF.∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
(2)∵△ADC≌△BDF,∴DF=CD=,
∴在Rt△CDF中,CF==2,∵BE⊥AC,AE=EC,∴AF=FC=2,
∴AD=AF+DF=2+.
8.(8分)如图,四边形ABCD是一个四边形的草坪,通过测量,获得如下数据:AB=4m,BC=7m,AD=3m,CD=2m,请你测算这块草坪的面积.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】连结BD,如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△ABD中,AB=4m,AD=3m,根据勾股定理得:BD==5m,又BC=7m,CD=2m,∴BC2=49,BD2+CD2=25+24=49,
∴BD2+CD2=BC2,∴△BDC为直角三角形,则草坪的面积为S四边形ABCD=S△ABD+
S△BDC=AB·AD+BD·DC=×4×3+×5×2=6+5(m2).
【培优训练】
9.(10分)如图,圆柱底面半径为2cm,高 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )为9πcm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A,B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线的最短长度.
【解析】圆柱体的展开图如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com )
用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是:AC→CD→DB,
即在圆柱体的展开图(长方形)中 ( http: / / www.21cnjy.com ),将长方形平均分成3个小长方形,A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短;
∵圆柱底面半径为2cm,
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长:2π×2=4π(cm).
又∵圆柱高为9πcm,
∴小长方形的一条边长是9π÷3=3π(cm).
根据勾股定理求得AC=CD=DB==5π(cm).
∴AC+CD+DB=15πcm,即棉线的最短长度为15πcm.
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应用勾股定理解决实际问题
1.如图是一个圆柱形饮料罐, ( http: / / www.21cnjy.com )底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是 ( )
A.12≤a≤13 B.12≤a≤15
C.5≤a≤12 D.5≤a≤13
【解析】选A.a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理,得:=13.即a的取值范围是12≤a≤13.
2.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点,且PC=BC,一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ( )
A.cm B.5cm
C.6cm D.7cm
【解析】选B.侧面展开图如图所示,∵圆柱的底面周长为6cm,∴AC=3cm,∵PC=BC,∴PC=×6=4(cm),在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,∴AP=5cm.
3.如图所示,一棵36m高的树被风刮断了,树顶落在离树根24m处,求折断处的高度AB是 m.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】设AB=xm,则AC=(36-x)m,
∵AB⊥BC,∴AB2+BC2=AC2,
∴x2+242=(36-x)2,
∴x=10,∴折断处的高度AB是10m.
答案:10
4.如图是一等腰三角形铁皮△ABC,BC为底边,尺寸如图,单位:cm,根据所给的条件,则该铁皮的面积为 .
【解析】作AD⊥BC于D.∵AB=AC,
∴BD=CD=5,∴AD==12,
∴铁皮的面积为×AD·BC=×12×10=60(cm2).
答案:60cm2
5.如图,有一圆柱形油罐,底面周长是1 ( http: / / www.21cnjy.com )2m,高是5m,现从油罐底部A点环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点,则梯子最短需要多少m
【解题指南】环绕油罐建梯子,将圆柱沿AB展开 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),得到一个长方形,由两点之间,线段最短,构造直角三角形,再利用勾股定理解题.
【解析】如图所示,将圆柱的侧面沿AB展开,得到长方形AA′B′B,
( http: / / www.21cnjy.com )
则AB=A′B′=5m, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )AA′=BB′=12m,∠A′=90°.因此沿AB′建梯子,梯子最短.在Rt△AA′B′中,AB′2=A′A2+A′B′2=122+52=169.所以AB′=13(m).因此梯子最短需13m.
6.如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是多少cm
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】在砖的侧面展开图上,连结AB,
则AB的长即为A处到B处的最短路程.
在Rt△ABD中,
因为AD=AN+ND=5+10=15(cm),
BD=8cm,
所以AB2=AD2+BD2=152+82
=289=172.所以AB=17cm.
故蚂蚁爬行的最短路径为17cm.
勾股定理及其逆定理的综合应用
1.下列结论中,错误的有 ( )
①Rt△ABC中,已知两边分别为3和4,则第三边的长为5;
②三角形的三边分别为a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90°;
③若△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,则这个三角形是一个直角三角形;
④若(x-y)2+M=(x+y)2成立,则M=4xy.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.①分两种情况讨论:当3和4为直角边时,斜边为5;当4为斜边时,另一直角边是,所以错误;
②三角形的三边分别为a,b,c,若a2+b2=c2,应∠C=90°,所以错误;
③最大角∠C =×6=90°,这个三角形是一个直角三角形,正确;
④若(x-y)2+M=(x+y)2成立,则M=(x+y)2-(x-y)2=4xy,正确.
2.小敏从A处向北偏东34°方向前行1 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )50m到B处,再从B处向某一方向前行250m到C处,最后从C处向某一方向前行200m回到A处,则C处在A处的 ( )
A.南偏东56°
B.南偏东56°或北偏西56°
C.北偏西34°
D.北偏西34°或南偏东34°
【解析】选B.∵AB=150m,BC=250m,AC=200m,
2002+1502=2502,即AC2+AB2=BC2,∴△ABC是直角三角形,
∴∠BAC为直角,过A向直线AB作垂线,则∠BAC=90°,
∠1+∠3=90°,故C处在A处的南偏东56°或北偏西
56°.
3.如图,在四边形ABCD中,若∠B=90°,BC=15,CD=7,DA=24,AB=20,则∠A+∠C=
( )
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A.90° B.180° C.120° D.150°
【解析】选B.连结AC,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=625,
又∵AD2=576,DC2=49,∴AC2=AD2+DC2,
∴△ADC为直角三角形,即∠D=90°,
故可得∠DAB+∠DCB=360°-(90°+90°)=180°.
4.已知,如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.
( http: / / www.21cnjy.com )
求四边形ABCD的面积.
【解析】延长AD,BC交于E.
∵∠A=60°,∠B=∠D=90°,
∴∠E=30°.
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,
BE==4.
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==2.
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=6.
5.如图,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD=12,BD=13.问AD⊥AB吗 试说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】AD⊥AB.∵在△ABC中,∠ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )C=90°,AC=3,BC=4,∴AB2=CB2+AC2=42+32=52,在△ABD中,AD=12,BD=13,
∴AB2+AD2=52+122= ( http: / / www.21cnjy.com )132,∴AB2+AD2=BD2,∴△ABD为直角三角形,且∠DAB=90°,即AD⊥AB.
6.如图,D是BC边上的一点,若AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,求BC的长.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵BD2+AD2=62+82=102=AB2,∴△ABD是直角三角形,∴AD⊥BC,在Rt△ACD中,CD==15,
∴BC=BD+CD=6+15=21.
答:BC的长是21.
如图所示,一棱长为3cm的正方体 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁爬行速度为2cm/s,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最少要用多少s.(精确到0.1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第___步开始出现错误.
(2)纠错:_______________________________________________________.
答案：(1)①
(2)①展开前面右面，由勾股定理得AB= cm；②展开底面右面，由勾股定理得AB==5 cm；所以最短路径长为5 cm，用时最少：5÷2=2.5 s．
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反证法
1.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是
( )
A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α
B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α
C.∠α=100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α
D.两个角互为邻补角
【解析】选C.举反例应该是证明原命题不正确,即要举出不符合叙述的情况.
∠α的补角∠β>∠α,符合假命题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的结论,故A错误;∠α的补角∠β=∠α,符合假命题的结论,故B错误;∠α的补角∠β<∠α,与假命题结论相反,故C正确;由于无法说明两角具体的大小关系,故D错误.
2.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设 ( )
A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交
【解析】选D.应否定结论“a∥b”,即应假设“a与b相交”.
3.以下可以用来说明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题的反例是 ( )
A.9 B.7 C.8 D.15
【解析】选B.∵9是奇数 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),但9是3的倍数,∴不能作为假命题的反例;∵7是奇数,但7不是3的倍数,∴可以用来说明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题;∵8是偶数,且不是3的倍数,∴不能作为假命题的反例;∵15是奇数,但15是3的倍数,∴不能作为假命题的反例.
4.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设 .
【解析】a,b的等价关系有a=b,a≠b ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )两种情况,因而a≠b的反面是a=b,因此用反证法证明“a≠b”时,应先假设a=b.
答案:a=b
5.为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题,可以找的反例是
.
【解析】因为等腰直角三角形的腰上的高等于腰,则可以找出该命题的反例,即等腰直角三角形.
答案:等腰直角三角形
6.请说出下列结论的反面:(1)d是正数.(2)三角形任意两边之和大于第三边.
【解析】(1)d是负数或等于0.(2)三角形任意两边之和小于或等于第三边.
7.证明:在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角.
【证明】假设结论不成立,则∠B是直角或钝角.
∠B是直角时,∠B+∠C=180°,
∴∠A+∠B+∠C>180°;
∠B是钝角时,∠B+∠C>180°,
∴∠A+∠B+∠C>180°,
这与三角形的内角和等于180°矛盾.
∴假设不成立,∴∠B一定是锐角.
8.已知直线a,b,c,且a∥b,c与a相交,求证:c与b也相交.
【证明】假设c与b不相交,则 ( http: / / www.21cnjy.com )c∥b.∵a∥b,∴c∥a,这与c和a相交相矛盾,假设不成立,所以c与b也相交.
9.用反证法证明:“在一个三角形中,外角最多有一个锐角”.
【证明】假设三角形中的外角有两个角是锐角 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).根据三角形的外角与相邻的内角互补,知:与这两个角相邻的两个内角一定是钝角,大于90°,则这两个角的度数和一定大于180°,与三角形的内角和定理相矛盾.因而假设错误.故在一个三角形中,外角最多有一个锐角.
【知识归纳】相关大于、小于的反面
(1)大于的反面是小于或等于.
(2)都大于的反面是至少有一个不大于.
(3)小于的反面是大于或等于.
(4)都小于的反面是至少有一个不小于.
10.阅读下列文字,回答问题.
题目:在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,则AC≠BC.
证明:假设AC=BC,因为∠A≠4 ( http: / / www.21cnjy.com )5°,∠C=90°,所以∠A≠∠B.所以AC≠BC,这与假设矛盾,所以AC≠BC.
上面的证明有没有错误 若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正.
【解析】有错误.改正:假设AC= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )BC,则∠A=∠B,又∠C=90°,所以∠B=∠A=45°,这与∠A≠45°矛盾,所以AC=BC不成立,所以AC≠BC.
用反证法证明:若一个数小于它的绝对值,则这个数必为负数.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第____步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________________________________.
答案：(1)①
(2)设这个数为a，假设a不为负 ( http: / / www.21cnjy.com )数，则a为非负数，∵一个非负数的绝对值等于它本身，∴|a|=a.这与题设矛盾，所以假设不成立，故原结论成立，即这个数为负数
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1.(2014·柳州二模)如图 ( http: / / www.21cnjy.com ),直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则△ABC的斜边AB上的高CD的长是 ( )
A.20 B.10
C.9.6 D.8
【解析】选C.在Rt△ABC中,AB=
==20,则CD===9.6.
2.(2014·丰台区一模)如图,在△ABC中,∠B=45°,
AB=,BC=+1,则边AC的长为 ( )
A. B.
C.2 D.
【解析】选C.如图,过点A作AD⊥BC于D,
∵∠B=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD,∴AD2+BD2=2AD2=AB2=()2=2,解得AD=BD=1,∵BC=+1,∴CD=+1-1=,在Rt△ACD中,AC===2.
3.(2014·六合区一模 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.3 B.4 C.5 D.7
【解析】选D.如图,∵∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,∴∠ACB=∠DEC,∵∠ABC=∠CDE,AC=CE,
∴△ABC≌△CDE,∴BC ( http: / / www.21cnjy.com )=DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.
( http: / / www.21cnjy.com )
4.(2013·南昌中考)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图,正六边形ABCDEF中,AB=2,点P是ED的中点,连结AP,则AP的长为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.2 B.4 C. D.
【解析】选C.如图,连结AE,作FG⊥AE,在正六边形中,∠F=×(6-2)·180°=
120°,∵AF=EF=2,
∴∠AEF=∠EAF=(180°-120°)=30°,∴FG=1,AG=,
AE=2AG=2,
∵点P是ED的中点,∴EP=1,
在Rt△AEP中,AP===.
5.(2013·滨州中考)在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为 .
【解析】在△ABC中,∵∠C=90°,AB=7,BC=5,∴AC===2.
答案:2
6.(2013·桂林中考)如图 ( http: / / www.21cnjy.com ),在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE= .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,∴△ADC≌△BEC,
∴AD=BE=4,∵AB=5,∴AE==3.
答案:3
7.(2014·竹溪模拟)如图,在边长为1 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则△ABC中BC边上的高为 .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】设△ABC中BC边上的高为h.∵AB2=5,AC2=20,BC2=25,
∴BC2=AB2+AC2,∴∠A=90°,
S△ABC=AB·AC=BC·h,即×2=5h.解得,h=2.
答案:2
8.(2014·闸北区二模) ( http: / / www.21cnjy.com )我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形.如果Rt△ABC是奇异三角形,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,
AC=b,BC=a,且b>a,其中,a=1,那么b= .
【解析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,
∴根据勾股定理得:c2=a2+b2,记作①,
又∵Rt△ABC是奇异三角形,∴2a2=b2+c2②,
将①代入②得:a2=2b2,即a=b(不合题意,舍去),
∴2b2=a2+c2③,将①代入③得:b2=2a2,即b=a,
∴a=1时,那么b=.
答案:
9.(2013·张家界中考)如图,OP=1,过P作PP1⊥OP且PP1=1,得OP1=;再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=;又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2;…依此法继续作下去,得OP2012= .
【解析】由勾股定理可得:OP1=,OP2=,OP3=2=
,…,所以OP2012=.
答案:
10.(2013·哈尔滨中考)在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°,连结CD,则线段CD的长为 .
【解析】①如图1,点A,D在BC的两侧,∵△ABD是等腰直角三角形,∴AD=AB
=×2=4,∵∠ABC=45°,∴BE=DE=AD=×4=2,BE⊥AD,∵BC=1,∴CE=BE-BC
=2-1=1,
在Rt△CDE中,CD===;
②如图2,点A,D在BC的同侧,∵△ABD是等腰直角三角形,∴BD=AB=2,过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E,则△BDE是等腰直角三角形,∴DE=BE=×2=2,∵BC=1,∴CE=BE+BC=2+1=3,在Rt△CDE中,CD==
=,综上所述,线段CD的长为或.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
答案:或
11.(2013·巴中中考)若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足+|b-4|=0,则该直角三角形的斜边长为 .
【解析】∵+|b-4|=0,
∴a2-6a+9=0,b-4=0,解得a=3,b=4,∵直角三角形的两直角边长为a,b,
∴该直角三角形的斜边长===5.
答案:5
12.(2013·黄冈中考)已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连结DE,则DE= .
【解析】∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,
∵BD为中线,∴∠DBC=∠ABC=30°,∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∵∠E+∠CDE=∠ACB,∴∠E=30°=∠DBC,∴BD=DE,∵BD是AC中线,CD=1,∴AD=DC=1,
∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC=1+1=2,BD⊥AC,在Rt△BDC中,由勾股定理得:BD==,∴DE=BD=.
答案:
13.(2013·漳州中考)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ODBC中,OC=1,OA=OB,则数轴上点A表示的数是 .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵OB==,
∴OA=OB=,
∵点A在数轴上原点的左边,∴点A表示的数是-.
答案:-
14.(2012·巴中中考)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式+|a-b|=0,则△ABC的形状为 .
【解析】∵+|a-b|=0,
∴c2-a2-b2=0,且a-b=0,∴c2=a2+b2,且a=b,则△ABC为等腰直角三角形.
答案:等腰直角三角形
15.(2012·佳木斯中考)等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长为 .
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
当等腰三角形为锐角三角形(如图1),且CD为腰上的高时,在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,根据勾股定理得:AD==4,∴BD=AB-AD=5-4=1,在
Rt△BDC中,CD=3,BD=1,根据勾股定理得:BC==;
当等腰三角形为钝角三角形(如图2),且CD为腰上的高时,在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,根据勾股定理得:AD==4,∴BD=AB+AD=5+4=9,在
Rt△BDC中,CD=3,BD=9,
根据勾股定理得:BC==3;
当AD为底边上的高时(如图3).
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,AD=3,AB=5,根据勾股定理得:BD
==4,
∴BC=2BD=8,综上,等腰三角形的底边长为8或或3.
答案:8或或3
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直角三角形的判定
1.已知三角形的三边长之比为1∶1∶,则此三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选D.由三角形的三边长之比为1∶1∶可知:三角形中有两边相等,且两相等边的平方和等于第三边的平方,∴此三角形是等腰直角三角形.
2.若△ABC的三边长a,b,c满足+|b-a-1|+(c-5)2=0,则△ABC是
( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选C.∵△ABC三边长a,b,c满足+|b-a-1|+(c-5)2=0,且≥0,|b-a-1|≥0,(c-5)2≥0,∴a+b-25=0,b-a-1=0,c-5=0,
∴a=12,b=13,c=5,
∵122+52=132,∴△ABC是直角三角形.∵a≠c,故选C.
【变式训练】已知a,b,c为△ABC三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则它的形状为
( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.∵a2c2-b2c2=a4-b4,
∴(a2c2-b2c2)-(a4-b4)=0,
∴c2(a+b)(a-b)-(a+b)(a-b)(a2+b2)=0,
∴(a+b)(a-b)(c2-a2-b2)=0.
∵a+b≠0,
∴a-b=0或c2-a2-b2=0,所以a=b或c2=a2+b2,
即它是等腰三角形或直角三角形.
3.如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ( )
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A.CD,EF,GH B.AB,EF,GH
C.AB,CD,EF D.GH,AB,CD
【解析】选B.AB2=22+ ( http: / / www.21cnjy.com )22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,所以AB2+EF2=GH2.
4.如图,以△ABC的三边分别向外作 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )正方形,它们的面积分别是S1,S2,S3,如果S1+S2=S3,那么△ABC的形状是 三角形.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵S1+S2=S3且S1=AB2,S2=BC2,S3=AC2,
∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.
答案:直角
5.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC,试说明:AF⊥EF.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】连结AE,设正方形边长为a,
则DF=FC=,EC=,
在Rt△ECF中,
有EF2=+=a2,
同理可得:在Rt△ADF中,有AF2=+a2=a2,
在Rt△ABE中,有BE=a-a=a,
所以AE2=a2+=a2,
所以AF2+EF2=AE2,所以∠AFE=90°,即AF⊥EF.
勾股定理逆定理的实际应用
1.小亮在某公园里测得一个三角形花坛的三边长分别是12m,5m,13m,则该花坛的面积是 ( )
A.65 m2 B.78 m2 C.60 m2 D.30 m2
【解析】选D.∵三角形的三边长分别是12m,5m,13m.
∴三角形是直角三角形,
∴三角形的面积为:×12×5=30(m2).
2.小强在操场上向东走200m后,又走了15 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )0m,再走250m回到原地.小强在操场上向东走了200m后,又走150m的方向是 .
【解析】因为2002+1502= ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )62500=2502,所以小强走了一个直角三角形.开始他是向东走,当他再向正北或者正南走的时候,恰好构成直角.
答案:正南或正北
3.一轮船以16n mile/h的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以
12n mile/h的速度从A港向西北方向航行,经过1.5h后,它们相距 .
【解析】1.5h后向东北方向航行的船距A港16×1.5=24(n mile),1.5h后向西北方向航行的船距A港12×1.5=18(n mile),又东北方向和西北方向成直角,所以1.5h后两船相距=30(n mile).
答案:30n mile
4.在新农村建设中,一农民在建房时挖 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )了一个地基,如图是它的平面图形.按建房标准,四边形ABCD应为长方形.他在挖完后测量发现AB=DC=8cm,AD=BC=6cm,AC=9cm,请你帮他看一下挖的地基是否合格.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】先看∠ADC是不是直角.
在△ADC中,因为AD2+DC2=6 ( http: / / www.21cnjy.com )2+82=100,AC2=92=81,所以AD2+DC2≠AC2,所以△ADC不是直角三角形,所以∠ADC不是直角.但标准是长方形的四个角都应是直角,所以该农民挖的地基不合格.
5.如图,供电所张师傅要安装电线杆 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),按要求电线杆要与地面垂直,因此,从离地面8m高处向地面拉一条长10m的钢绳,现测得地面钢绳固定点到电线杆底部的距离为6m,请问:张师傅的安装方法是否符合要求 请说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】符合要求.理由如下:由题意知 ( http: / / www.21cnjy.com ),BC=8m,AC=10m,AB=6m,∵82+62=102,即BC2+AB2=AC2,∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,即安装的电线杆与地面垂直.
下列可构成直角三角形的是 ( )
A.三线段之比为5∶6∶7 B.三线段之比为9∶40∶41
C.三线段之长为32,42,52 D.三线段之长为13,14,15
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第___步开始出现错误.
(2)纠错:________________________________________________________.
答案：(1)①
(2)选B.∵(9k)2+(40k)2 ( http: / / www.21cnjy.com )=(41k)2(k为常数),∴三线段之比为9∶40∶41可构成直角三角形
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直角三角形三边的关系
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为
( )
A.5 B. C. D.5或
【解析】选D.当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边为=5;当4为斜边时,由勾股定理得,第三边为=,∴直角三角形的第三边的长应该为5或.
【易错提醒】注意分类讨论,4可为直角边,也可为斜边.不能漏掉一种情况!
2.(2013·菏泽中考 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ))如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.16 B.17 C.18 D.19
【解析】选B.如图所示,设AB=x,则GB2=x2+x2=2x2,
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∴BC2=2x2+2x2=4x2,又BC>0,∴BC=2x,
又∵AC=6,所以x+2x=6,即x=2,
∴GB=2,S2=(2)2=8;
又CD=DH=DE,CE=6,
∴DE=3,
∴S1=32=9,∴S1+S2=9+8=17.
3.(2013·安顺中考)如图,有两棵树 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
【解析】选B.作AB⊥BC于点B,连结AC,如图:根据题意可得:BC=10-4=6(m),
AB=8m,∴AC===10(m).
( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞 ( http: / / www.21cnjy.com )到小刚头顶正上方4000m处,过了10s,飞机距离小刚5000m,则飞机每小时飞行 km.
【解析】在△ABC中,∠A=90°,AB=4000m,BC=5000m,由勾股定理得,飞机飞行的水平距离AC=
=3000(m),
∴飞机每小时飞行÷=1080(km).
答案:1080
5.(2013·莆田中考)如图是一株美丽的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】如图,根据勾股定理的 ( http: / / www.21cnjy.com )几何意义,可得A,B的面积和为S1,C,D的面积和为S2,S1+S2=S3,于是S3=2+5+1+2=10.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案:10
6.某小区有一块等腰三角形的草地,它的一边 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )长为20m,面积为160m2,为美化小区环境,现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏,则需要栅栏的长度为
m.
【解析】(1)当20是等腰三角形的底边时,
根据面积求得底边上的高AD是16,再根据等腰三角形的三线合一,知:底边上的高也是底边上的中线,即底边的一半BD=10,根据勾股定理即可求得其腰长AB===2,此时三角形的周长是(20+4)m.
(2)当20是腰时,由于高可以在三角形的内部,也可在三角形的外部,又应分两种情况.根据面积求得腰上的高是16;①当高在三角形的外部时,在Rt△ADC中,AD==12,从而可得BD=32,进一步根据勾股定理求得其底边BC===16,此时三角形的周长是(40+16)m;
②当高在三角形的内部时,根据勾股定理求得AD==12,BD=AB-AD=8,在Rt△CDB中,BC===8,此时三角形的周长是(40+8)m.
答案:(20+4)或(40+16)或(40+8)
【易错提醒】分20m是底边和腰两种情况讨论 ( http: / / www.21cnjy.com );当是腰时又可以分为钝角三角形和锐角三角形两种情况,再次分情况讨论.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,将长方 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )形ABCD(AB
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵AD∥BC,∴∠ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )DBC=∠FDB,又∵∠DBC=∠DBE,∴∠FDB=∠FBD,∴BF=FD,设AF=x,则BF=DF=8-x,在Rt△ABF中,根据勾股定理得到42+x2=(8-x)2,解得x=3,∴DF=8-3=5.
【方法技巧】折叠问题解题技巧
运用勾股定理解决折叠问题,往往融方程与 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )几何图形于一体,具有较强的综合性.解决与折叠有关的问题时,要寻找出折叠前后的不变量(即相等的线段、相等的角),同时要注意方程思想的应用.
8.(8分)已知,如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求AC的长.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】过D作DE⊥AB,垂足为E,
∵∠1=∠2,∴CD=DE=15,
在Rt△BDE中,BE===20,
∵CD=DE,AD=AD,∴Rt△ACD≌Rt△AED,
∴AB2=AC2+BC2,即(AC+20)2=AC2+(15+25)2,
解得AC=30.
【培优训练】
9.(10分)小明学了勾股定理后很 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )高兴,兴冲冲地回家告诉了爸爸:在△ABC中,若∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,如图(1),根据勾股定理,则a2+b2=c2.爸爸听完后笑眯眯地说:很好,你又掌握了一种知识,现在考考你,若不是直角三角形,那勾股定理还成不成立 若成立,请说明理由;若不成立,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.(图(2),图(3)备用)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】若不是直角三角形,勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com )不成立.①当三角形是锐角三角形时,如图(2),证明:作AD⊥BC,垂足是D,设CD的长为x,根据勾股定理得:b2-x2=AD2=c2-(a-x)2,整理得:a2+b2=c2+2ax.∵2ax>0,∴a2+b2>c2.
②当三角形为钝角三角形时,如图(3),证明: ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )过A点作BC的垂线交BC延长线于D点,设CD的长为y,在直角三角形ABD中,AD2=c2-(a+y)2,在Rt△ADC中,AD2=b2-y2,∴b2-y2=c2-(a+y)2,整理得:a2+b2=c2-2ay.∵2ay>0,∴a2+b2c2.②在钝角三角形中,a2+b2( http: / / www.21cnjy.com )
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反 证 法
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题可举反例的数字为 ( )
A.3 B.4 C.8 D.6
【解析】选D.因为3不是偶数,不符合条件, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )故错误;4是偶数,且能被4整除,故错误;8是偶数,且是4的2倍,故错误;6是偶数,但是不能被4整除,故选D.
2.(2014·温州模拟)选择用反证法证明“ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )已知:在△ABC中,∠C=90°.求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45°”时,应先假设 ( )
A.∠A>45°,∠B>45° B.∠A≥45°,∠B≥45°
C.∠A<45°,∠B<45° D.∠A≤45°,∠B≤45°
【解析】选A.用反证法证明命题“∠A, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )∠B中至少有一个角不大于45°”时,应先假设两个角都大于45°,即∠A>45°,∠B>45°.
【知识归纳】反证法在简易逻辑中的适用题型
(1)唯一性命题.
(2)否定性命题.
(3)“至多”“至少”型命题.
3.花城中学初一(1)班有50名同学,其中必然有 ( )
A.5名同学在同一个月过生日
B.5名同学与班主任在同一个月过生日
C.4名同学不在同一个月过生日
D.5名同学与班主任不在同一个月过生日
【解析】选A.如果没有5名同学在同一个月过生 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )日,那么在每个月里过生日的同学不超过4名,全班同学不超过4×12=48名,引出矛盾.所以结论A必然成立.其余结论都不一定成立.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.用反证法证明“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的第一步是假设: .
【解析】“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的反面是“任意三角形中能有两个内角是钝角”,所以应先假设:任意三角形中能有两个内角是钝角.
答案:任意三角形中能有两个内角是钝角
【易错提醒】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
5.用反证法证明“在△ABC中,AB=AC,则∠B必为锐角”的第一步是假设: .
【解析】∠B与90°的大小关 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )系有∠B>90°,∠B=90°,∠B<90°三种情况,因而∠B<90°的反面是∠B>90°或∠B=90°.因此用反证法证明“∠B<90°”时,应先假设∠B>90°或∠B=90°.即∠B一定不是锐角(是直角或钝角).
答案:∠B一定不是锐角(是直角或钝角)
6.已知命题“在△ABC中,若A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )C2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”,要证明这个命题是真命题,可用反证法,其步骤为:假设 ,根据 ,一定有 ,但这与已知 相矛盾,因此假设是错误的,于是可知原命题是真命题.
【解析】∠C≠90°的反面是∠C=90°, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )在直角三角形ABC中,依据勾股定理可知AC2+BC2=AB2,这与已知AC2+BC2≠AB2相矛盾.
答案:∠C=90° 勾股定理 AC2+BC2=AB2
AC2+BC2≠AB2
三、解答题(共26分)
7.(8分)用反证法证明:一条线段只有一个中点.
已知:一条线段AB,M为AB的中点.
求证:线段AB只有一个中点M.
【证明】假设线段AB有两个中点M,N,不妨设M在N的左边,则AM又因为AM=AB,AN=AB,所以AM=AN,
这与AM8.(8分)如图所示,在△ABC中,AB ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )>AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不在线段CD上.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】假设点M不在线段CD上不成立, ( http: / / www.21cnjy.com )则点M在线段CD上.延长AM到N,使AM=MN,连结BN,在△AMC和△NMB中,BM=CM,∠AMC=∠BMN,AM=MN,∴△AMC≌
△NMB(S.A.S.),∴∠MAC=∠MNB,BN=AC.根据M在线段CD上,则∠BAM>∠MAC,
∴∠MNB<∠BAM,∴BN>A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )B,即AC>AB,与AB>AC相矛盾.因而M在线段CD上是错误的.所以点M不在线段CD上.
( http: / / www.21cnjy.com )
【培优训练】
9.(10分)试用举反例的方法说明 ( http: / / www.21cnjy.com )下列命题是假命题.举例:如果ab<0,那么a+b<0.反例:设a=4,b=-3,ab=4×(-3)=-12<0,而a+b=4+(-3)=1>0,所以,这个命题是假命题.
(1)如果a+b>0,那么ab>0.
(2)如果a是无理数,b是无理数,那么a+b是无理数.
(3)两个三角形中,两边及其中一边的对角对应相等,则这两个三角形全等.
(画出图形,并加以说明)
【解析】(1)反例:取a=2,b=-1,则a+b=1>0,但ab=-2<0.所以此命题是假命题.
(2)反例:取a=1+,b=1-,a,b均为无理数.
但a+b=2是有理数,所以此命题是假命题.
(3)反例:如图所示,在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )与△ABD中,AB=AB,AD=AC,∠ABD=∠ABC,但△ABC与△ABD显然不全等.所以此命题是假命题.
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直角三角形的判定
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1,,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,能构成直角三角形的有 ( )
A.② B.①② C.①③ D.②③
【解析】选D.①∵22+32 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=13≠42,∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故不符合题意;
②∵32+42=52,∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,符合题意;
③∵12+()2=22,∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,符合题意.故能构成直角三角形的有②③.
2.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是 ( )
A.b2=c2-a2
B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A-∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
【解析】选D.A选项,由b2=c2-a2得a2+b2=c2,
所以三角形是直角三角形;
B选项,设a=3x,则b=4x,c=5x,
经计算知a2+b2=c2,所以三角形是直角三角形;
C选项,由∠C=∠A-∠B
知∠C+∠B=∠A,又∠A+∠B+∠C=180°,
所以2∠A=180°,即∠A=90°,
所以三角形是直角三角形;只有D选项,三角形不是直角三角形.
3.如图为一个棱长为1的正方体的展开图,A,B,C是展开后小正方形的顶点,则
∠ABC的度数为 ( )
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A.30° B.45° C.50° D.60°
【解析】选B.连结AC,
则AC==,BC==,
AB==.
∵AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形.
又∵AC=BC,∴∠CAB=∠ABC=45°.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.三角形的三边长为a,b,c,满足(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是 .
【解析】∵(a+b)2-c2=2ab,
∴a2+b2+2ab-c2=2ab,
∴a2+b2=c2,
∴三角形是直角三角形.
答案:直角三角形
5.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13,且周长为60cm,则它的面积为
cm2.
【解析】设三边分别为5x,12x,13x,
则5x+12x+13x=60,
∴x=2,
∴三边分别为10cm,24cm,26cm,
∵102+242=262,∴三角形为直角三角形,
两直角边边长分别是10cm,24cm,
∴S=10×24÷2=120(cm2).
答案:120
6.如图△ABC中,AB=5,AC=3,中线AD=2,则BC长为 .
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【解析】延长AD至E,使ED=AD,则AE=2AD=4,连结BE,
∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ADC和△EDB中,AD=DE,∠ADC=∠EDB,BD=CD,
∴△ADC≌△EDB(S.A.S.),∴AC=BE.∵AC=3,∴BE=3,∵32+42=52,∴∠E=90°,在Rt△BDE中,BD==,
∴BC=2.
答案:2
【易错提醒】本题关键是根据题意作出辅助线,判断出△DBE的形状,再利用勾股定理算出BD的长度.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中,△ABC的三个顶点都在格点上.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)画AD∥BC(D为格点),连结CD.
(2)试判断△ABC的形状.
【解析】(1)如图:
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)∵小正方形边长为1,∴AB2=5,AC2=5,BC2=10,
∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是等腰直角三角形.
8.(8分)如图,△ACB和△ECD都是等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形,A,C,D三点在同一直线上,连结BD,AE,并延长AE交BD于F.
(1)求证:△ACE≌△BCD.
(2)直线AE与BD互相垂直吗 请证明你的结论.
【解析】(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∴AC=BC,CE=CD,∠ACE=
∠BCD=90°,在△ACE和△BCD中,AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(S.A.S.).
(2)直线AE与BD互相垂直,
理由为:∵△ACE≌△BCD,∴∠EAC=∠DBC,
又∵∠DBC+∠CDB=90°,∴∠E ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )AC+∠CDB=90°,∴∠AFD=90°,∴AF⊥BD,即直线AE与BD互相垂直.
【培优训练】
9.(10分)王伟准备用一段长30m的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
(1)请用a表示第三条边长.
(2)问第一条边长可以为7m吗 为什么 请说明理由,并求出a的取值范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )且各边长均为整数 若能,说出你的围法;若不能,请说明理由.
【解析】(1)∵第二条边长为(2a+2)m,
∴第三条边长为30-a-(2a +2)=(28-3a)m.
(2)当a=7时,三边长分别为7m,16m,7m.
由于7+7<16,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为7m.
由可解得(3)在(2)的条件下,a为整数时,a只能取5或6.
当a =5时,三角形的三边长分别为5,12,13.由52+122=132知,恰好能构成直角三角形.
当a =6时,三角形的三边长分别 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )为6,14,10.由62+102≠142知,此时不能构成直角三角形.
综上所述,能围成满足条件的小圈,它们的三边长分别为5m,12m,13m.
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