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山东省菏泽市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·菏泽）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·菏泽）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·菏泽）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·菏泽）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·菏泽）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
7．（2023·菏泽）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
8．（2023·菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·龙湾模拟）因式分解： .
10．（2023·菏泽）计算： ．
11．（2023·菏泽）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
12．（2023·菏泽）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
13．（2023·菏泽）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则 度．
14．（2023·菏泽）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
三、解答题
15．（2023·菏泽）解不等式组：．
16．（2023·菏泽）先化简，再求值：，其中x，y满足．
17．（2023·菏泽）如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：．
18．（2023·菏泽）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）
19．（2023·菏泽）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中，A组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 ，众数是 ；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜行为为（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
20．（2023·菏泽）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
21．（2023·菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
22．（2023·菏泽）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）P是上一点，，求；
（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
23．（2023·菏泽）
（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
（2）【问题解决】
如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
（3）【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
24．（2023·菏泽）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、完全平方公式进行运算即可求解。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得∠1=∠3=20°，∠2+∠3=60°，
∴，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可得到∠1=∠3=20°，∠2+∠3=60°，进而即可求解。
4．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：
A、由题意得c＞0，b-a＞0，故，A不符合题意；
B、由题意得b＞0，c-a＞0，故，B不符合题意；
C、由题意得a＜0，b-c＜0，故，C符合题意；
D、由题意得a＜0，c+b＞0，故，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据有理数在数轴上的表示结合题意对选项逐一判断即可求解。
5．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得它的主视图是，
故答案为：A
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意即可求解。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而根据代入求值即可求解。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a=b，
∵，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：D
【分析】根据非负性即可得到a、b和c的值，进而根据勾股定理的逆定理结合等腰直角三角形的判定即可求解。
8．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得三倍点所在直线的解析式为y=3x，
∵在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
∴在的范围内，二次函数与y=3x至少存在一个交点，
∴，
整理得，
∴，
解得c≥-4，
∴，
∵，
∴，
解得-4≤c＜5，-4≤c＜-3，
综上所述，，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到三倍点所在直线的解析式为y=3x，进而得到在的范围内，二次函数与y=3x至少存在一个交点，从而联立解析式即可得到一个一元二次方程，然后根据一元二次方程根的判别式即可得到c≥-4，再根据一元二次方程的求根公式结合题意即可得到-4≤c＜5，-4≤c＜-3，进而即可求解。
9．【答案】m(m-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2-4m=m(m-4).
故答案为：m(m-4).
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可.
10．【答案】1
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：1
【分析】根据绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂进行运算，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得
1 2 3
0 10 20 30
1 21 31
2 12 32
3 13 23
一共有9种可能的情况，偶数有10、12、20、30、32，
∴其中是偶数的概率为，
故答案为：
【分析】先根据题意列表，再根据等可能事件的概率即可求解。
12．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得，AH=AB=4，
∴，
故答案为：6π
【分析】先根据多边形内角和公式结合题意即可得到，AH=AB=4，进而根据扇形面积计算公式即可求解。
13．【答案】80
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，
∴∠EBC=35°，
由旋转得FB=EB，∠FBE=90°，
∴∠FEB=45°，
∴∠CGE=45°+35°=80°，
故答案为：80
【分析】先根据正方形的性质即可得到∠CBA=90°，进而得到∠EBC=35°，再根据旋转的性质得到FB=EB，∠FBE=90°，进而即可得到∠FEB=45°，再结合题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，如图所示：
∵，
∴CB∥DA，
∴∠BEA=∠EAD，
∵，
∴∠EBA=∠AFD=90°，
∴点F在圆O上运动，
∴BF'为BF的最小值，
∴OA=OF'=2，
由勾股定理得，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，先根据题意结合平行线的判定与性质即可得到∠BEA=∠EAD，进而得到∠EBA=∠AFD=90°，从而得到点F在圆O上运动，BF'为BF的最小值，再根据题意即可得到OA=OF'=2，进而运用勾股定理即可求出BO，从而结合题意即可求解。
15．【答案】解：解得：，
解得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出上下两个不等式，进而即可得到不等式组的解集。
16．【答案】解：原式
；
由，得到，
则原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代入即可求解。
17．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，
在和中，
∴
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质即可得到，，，，进而根据角平分线的性质即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可求解。
18．【答案】解：如图，过作于，过作于，而，
则四边形是矩形，
∴，，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴大楼的高度为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过作于，过作于，而，先根据矩形的性质即可得到，，进而根据题意得到，，，，再根据解直角三角形的知识即可得到PH和AH的长，进而得到CQ和PQ，再根据即可求解。
19．【答案】（1）69；74；54
（2）解：
∴C组的人数为30，
∴补全学生心率频数分布直方图如下：
（3）解：（人），
∴大约有1725名学生达到适宜心率．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）A组数据的中位数为，众数是74，
在统计图中B组所对应的扇形圆心角是，
故答案为：69；74；54
【分析】（1）根据中位数的定义、众数的定义结合圆心角的计算公式即可求解；
（2）先算出C的组的人数，进而补全频数分布直方图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
20．【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
将点C代入中，
可得，
∴，
设的表达式为，
将点代入可得，
解得：，
∴的表达式为；
（2）解：直线l的解析式为，
当两函数相交时，可得，
解得，，
代入反比例函数解析式，
得，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，则，，根据题意进行转化即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再通过点A和点B的坐标即可得到OA和OB的长，进而代入即可求出BD，从而得到OD，进而得到点C，将点C代入反比例函数即可得到k，设的表达式为，将点代入即可求解；
（2）根据题意联立解析式即可求出交点坐标，进而即可求解。
21．【答案】（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，
∴，
∴当时，y有最大值是1200，
此时，宽为（米）
答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．
（2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，
由题意可得
解得：，
即牡丹最多种植700平方米，
（株），
答：最多可以购买1400株牡丹．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，根据题意即可得到y与x的函数关系式，进而根据二次函数的最值即可求解；
（2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，根据“花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元”即可列出不等式，进而即可求出a的取值范围，再结合题意即可求解。
22．【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
解得，经检验，是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点B作交于点G，
∴
∵，是的平分线，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可得到，进而结合题意即可得到，从而即可求解；
（2）连接，先根据圆周角定理即可得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，设的半径为r，进而即可求出r，再运用勾股定理求出BC，进而结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）过点B作交于点G，进而得到，再根据题意结合角平分线的性质即可得到，进而得到，从而即可得到，再结合题意运用锐角三角函数的定义即可求解。
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，进而得到，再结合题意即可得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的性质即可得到，，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到，再结合题意证明即可得到，从而运用平行线的性质即可求解；
（3）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质即可得到，，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，，进而得到，然后根据等边三角形的判定与性质结合题意求出FG，进而即可求解。
24．【答案】（1）解：抛物线与y轴交于点，
∴，
∵对称轴为，
∴，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过作x轴的垂线，垂足为H，
令，
解得：，
∴，，
∴，
由翻折可得，
∵对称轴为，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：设所在直线的解析式为，
把B、C坐标代入得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴直线与x轴所成夹角为，
设，
设所在直线的解析式为：，
把点P代入得，
∴，
令，则，
解得，
∴
∴
∵点P在直线上方，
∴，
∴当时，的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到c，进而根据对称轴即可求解；
（2）过作x轴的垂线，垂足为H，先根据二元函数与坐标轴的交点即可求出A和B的坐标，进而得到AB，再根据折叠的性质即可得到，进而得到，再根据题意即可得到，进而根据锐角三角函数的定义即可求出OD，从而即可求解；
（3）先运用待定系数法求一次函数即可得到直线BC的解析式，进而根据题意得到直线与x轴所成夹角为，设，设所在直线的解析式为：，把点P代入即可得到，再令即可得到，进而得到FG和，然后相加，再根据二次函数的最值结合题意即可求解。
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山东省菏泽市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·菏泽）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
2．（2023·菏泽）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、完全平方公式进行运算即可求解。
3．（2023·菏泽）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得∠1=∠3=20°，∠2+∠3=60°，
∴，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可得到∠1=∠3=20°，∠2+∠3=60°，进而即可求解。
4．（2023·菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：
A、由题意得c＞0，b-a＞0，故，A不符合题意；
B、由题意得b＞0，c-a＞0，故，B不符合题意；
C、由题意得a＜0，b-c＜0，故，C符合题意；
D、由题意得a＜0，c+b＞0，故，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据有理数在数轴上的表示结合题意对选项逐一判断即可求解。
5．（2023·菏泽）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得它的主视图是，
故答案为：A
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意即可求解。
6．（2023·菏泽）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而根据代入求值即可求解。
7．（2023·菏泽）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a=b，
∵，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：D
【分析】根据非负性即可得到a、b和c的值，进而根据勾股定理的逆定理结合等腰直角三角形的判定即可求解。
8．（2023·菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得三倍点所在直线的解析式为y=3x，
∵在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
∴在的范围内，二次函数与y=3x至少存在一个交点，
∴，
整理得，
∴，
解得c≥-4，
∴，
∵，
∴，
解得-4≤c＜5，-4≤c＜-3，
综上所述，，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到三倍点所在直线的解析式为y=3x，进而得到在的范围内，二次函数与y=3x至少存在一个交点，从而联立解析式即可得到一个一元二次方程，然后根据一元二次方程根的判别式即可得到c≥-4，再根据一元二次方程的求根公式结合题意即可得到-4≤c＜5，-4≤c＜-3，进而即可求解。
二、填空题
9．（2021·龙湾模拟）因式分解： .
【答案】m(m-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2-4m=m(m-4).
故答案为：m(m-4).
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可.
10．（2023·菏泽）计算： ．
【答案】1
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：1
【分析】根据绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂进行运算，进而即可求解。
11．（2023·菏泽）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得
1 2 3
0 10 20 30
1 21 31
2 12 32
3 13 23
一共有9种可能的情况，偶数有10、12、20、30、32，
∴其中是偶数的概率为，
故答案为：
【分析】先根据题意列表，再根据等可能事件的概率即可求解。
12．（2023·菏泽）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得，AH=AB=4，
∴，
故答案为：6π
【分析】先根据多边形内角和公式结合题意即可得到，AH=AB=4，进而根据扇形面积计算公式即可求解。
13．（2023·菏泽）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到．若，则 度．
【答案】80
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，
∴∠EBC=35°，
由旋转得FB=EB，∠FBE=90°，
∴∠FEB=45°，
∴∠CGE=45°+35°=80°，
故答案为：80
【分析】先根据正方形的性质即可得到∠CBA=90°，进而得到∠EBC=35°，再根据旋转的性质得到FB=EB，∠FBE=90°，进而即可得到∠FEB=45°，再结合题意即可求解。
14．（2023·菏泽）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，如图所示：
∵，
∴CB∥DA，
∴∠BEA=∠EAD，
∵，
∴∠EBA=∠AFD=90°，
∴点F在圆O上运动，
∴BF'为BF的最小值，
∴OA=OF'=2，
由勾股定理得，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，先根据题意结合平行线的判定与性质即可得到∠BEA=∠EAD，进而得到∠EBA=∠AFD=90°，从而得到点F在圆O上运动，BF'为BF的最小值，再根据题意即可得到OA=OF'=2，进而运用勾股定理即可求出BO，从而结合题意即可求解。
三、解答题
15．（2023·菏泽）解不等式组：．
【答案】解：解得：，
解得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出上下两个不等式，进而即可得到不等式组的解集。
16．（2023·菏泽）先化简，再求值：，其中x，y满足．
【答案】解：原式
；
由，得到，
则原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代入即可求解。
17．（2023·菏泽）如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，
在和中，
∴
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质即可得到，，，，进而根据角平分线的性质即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可求解。
18．（2023·菏泽）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）
【答案】解：如图，过作于，过作于，而，
则四边形是矩形，
∴，，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴大楼的高度为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过作于，过作于，而，先根据矩形的性质即可得到，，进而根据题意得到，，，，再根据解直角三角形的知识即可得到PH和AH的长，进而得到CQ和PQ，再根据即可求解。
19．（2023·菏泽）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中，A组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 ，众数是 ；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜行为为（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【答案】（1）69；74；54
（2）解：
∴C组的人数为30，
∴补全学生心率频数分布直方图如下：
（3）解：（人），
∴大约有1725名学生达到适宜心率．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）A组数据的中位数为，众数是74，
在统计图中B组所对应的扇形圆心角是，
故答案为：69；74；54
【分析】（1）根据中位数的定义、众数的定义结合圆心角的计算公式即可求解；
（2）先算出C的组的人数，进而补全频数分布直方图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
20．（2023·菏泽）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
将点C代入中，
可得，
∴，
设的表达式为，
将点代入可得，
解得：，
∴的表达式为；
（2）解：直线l的解析式为，
当两函数相交时，可得，
解得，，
代入反比例函数解析式，
得，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，则，，根据题意进行转化即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再通过点A和点B的坐标即可得到OA和OB的长，进而代入即可求出BD，从而得到OD，进而得到点C，将点C代入反比例函数即可得到k，设的表达式为，将点代入即可求解；
（2）根据题意联立解析式即可求出交点坐标，进而即可求解。
21．（2023·菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【答案】（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，
∴，
∴当时，y有最大值是1200，
此时，宽为（米）
答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．
（2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，
由题意可得
解得：，
即牡丹最多种植700平方米，
（株），
答：最多可以购买1400株牡丹．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，根据题意即可得到y与x的函数关系式，进而根据二次函数的最值即可求解；
（2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，根据“花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元”即可列出不等式，进而即可求出a的取值范围，再结合题意即可求解。
22．（2023·菏泽）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）P是上一点，，求；
（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
解得，经检验，是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点B作交于点G，
∴
∵，是的平分线，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可得到，进而结合题意即可得到，从而即可求解；
（2）连接，先根据圆周角定理即可得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，设的半径为r，进而即可求出r，再运用勾股定理求出BC，进而结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）过点B作交于点G，进而得到，再根据题意结合角平分线的性质即可得到，进而得到，从而即可得到，再结合题意运用锐角三角函数的定义即可求解。
23．（2023·菏泽）
（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
（2）【问题解决】
如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
（3）【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，进而得到，再结合题意即可得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的性质即可得到，，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到，再结合题意证明即可得到，从而运用平行线的性质即可求解；
（3）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质即可得到，，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，，进而得到，然后根据等边三角形的判定与性质结合题意求出FG，进而即可求解。
24．（2023·菏泽）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．
【答案】（1）解：抛物线与y轴交于点，
∴，
∵对称轴为，
∴，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过作x轴的垂线，垂足为H，
令，
解得：，
∴，，
∴，
由翻折可得，
∵对称轴为，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：设所在直线的解析式为，
把B、C坐标代入得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴直线与x轴所成夹角为，
设，
设所在直线的解析式为：，
把点P代入得，
∴，
令，则，
解得，
∴
∴
∵点P在直线上方，
∴，
∴当时，的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到c，进而根据对称轴即可求解；
（2）过作x轴的垂线，垂足为H，先根据二元函数与坐标轴的交点即可求出A和B的坐标，进而得到AB，再根据折叠的性质即可得到，进而得到，再根据题意即可得到，进而根据锐角三角函数的定义即可求出OD，从而即可求解；
（3）先运用待定系数法求一次函数即可得到直线BC的解析式，进而根据题意得到直线与x轴所成夹角为，设，设所在直线的解析式为：，把点P代入即可得到，再令即可得到，进而得到FG和，然后相加，再根据二次函数的最值结合题意即可求解。
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