【精品解析】浙江省金华十校2022-2023学年高二下学期数学期末联考试卷

浙江省金华十校2022-2023学年高二下学期数学期末联考试卷
1．（2023高二下·金华期末）设集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023高二下·金华期末）“且”是“复数是纯虚数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023高二下·金华期末）设，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·金华期末）一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·金华期末）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·金华期末）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示：
时间t/（单位：天） 10 20 70
销售价格Q（单位：元/千克） 100 50 100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为（　　）
A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日
7．（2023高二下·金华期末）已知定义在上的三个函数，其中为偶函数，是奇函数，且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，则（　　）
A．是奇函数，且在上单调递增
B．是偶函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递增
8．（2023高二下·金华期末）正方体的棱长为分别为棱的中点，则该正方体的外接球被平面所截的圆的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023高二下·金华期末）已知平面向量的夹角为，且满足，则（　　）
A． B．
C． D．在上的投影向量的模为
10．（2023高二下·金华期末）已知函数，则（　　）
A．是的极值点 B．是的最小值
C．最多有2个零点 D．最少有1个零点
11．（2023高二下·金华期末）三棱锥中，平面且，分别为垂足，为中点，则（　　）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
12．（2023高二下·金华期末）金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为万人，每晚最多能接纳的客流量为万人，主办公司决定通过微信公众号和其他进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市投入的广告费与每晚增加的客流量存在如下关系：
x/万元 1 2 3 4 5 6
y/千人 5 6 8 9 12 20
参考数据：
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：
现用曲线拟合变量与的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计（精确到），依所求回归方程为预测依据，则（　　）
A．
B．曲线经过点
C．广告费每增加万元，每晚客流量平均增加人
D．若广告费超过万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
13．（2023高二下·金华期末）二项式展开式的常数项是　 　.
14．（2023高二下·金华期末）曲线在处的切线方程为　 　.
15．（2023高二下·金华期末）现有连在一排的9个房间，若把甲乙丙三人每人一间随机安排住宿，则恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率是　 　.
16．（2023高二下·金华期末）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是　 　.
17．（2023高二下·金华期末）已知.
（1）求的大小；
（2）设函数，求在上的最大值.
18．（2023高二下·金华期末）海水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示.
（1）求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值：
（2）根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
养殖法 箱产量 合计
箱产量<50 箱产量50
旧养殖法 　 　 　
新养殖法 　 　 　
合计 　 　 　
（）
19．（2023高二下·金华期末）如图，四边形是由与正拼接而成，设，.
（1）当时，设，求，的值；
（2）当时，求线段的长.
20．（2023高二下·金华期末）如图四棱锥，点在圆上，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上.
（1）若，当//平面时，求的值；
（2）若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2023高二下·金华期末）袋子中有大小相同的12个白球和6个红球.
（1）若从袋中随机有放回地摸取3个球，记摸到白球的个数为，求随机变量的数学期望
（2）若把这18个球分别放到三个盒子中，其中0号盒子有1个红球5个白球，1号盒子有2个红球4个白球，2号盒子有3个红球3个白球，现抛掷两颗骰子，若点数之和除以3的余数为时，从号盒子中摸取3个球.求摸出的3个球中至少有2个白球的概率.
22．（2023高二下·金华期末）已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不相等的零点，极值点为，证明：
（i）
（ii）
注：为自然对数的底数，.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C.
【分析】求出集合M ，计算即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：若a=0且b=1 ，则复数z=a+bi=i 是纯虚数，故充分性成立；
若复数 是纯虚数，则a=0且b≠0 ，故必要性不成立，
故“a=0且b=1 ”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件.
故选：A
【分析】根据充分条件、必要条件及纯虚数的定义判断即可.
3．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：∵
∴01，
∴a故选：D
【分析】根据指数函数的单调性可得01 ，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：如图正六棱锥P-ABCDEF中，底面中心为O ，取AB的中点M ，连接PM ，OM
则AB⊥PM，AB⊥OM，所以∠PMO为侧面和底面的夹角，即∠PMO=60°，
因为PO⊥底面ABCDEF ，OM底面ABCDEF ，
所以PO⊥OM，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：A
【分析】正六棱锥P-ABCDEF中，底面中心为O，则∠PMO为侧面和底面的夹角，根据的值可求得.
5．【答案】C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数 的图像向左平移个单位得到函数 的图像，
又函数 是偶函数，则有 ， 解得 ，
所以 .
故选：C．
【分析】根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出 ，可得 .
6．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间Q的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数，
函数 在a≠0时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合，
所以应选取 进行描述，
将表中数据（10，100），（20，50），（70，100） 代入 可得
所以Q=0.1(t-40)2+154，
当t=40时杨梅销售价格最低，
而6月5日时t=22 ，6月15日时t=32 ，6月25日时t=42 ，7月5日时t=52 ，
所以t=42时杨梅销售价格最低.
故选：C.
【分析】根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间Q的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数，应选取进行描述，将表中数据代入可得 ，利用配方法结合日期可得答案.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】令M(x)=f(x)g(x) ，N(x)=g(x)h(x) ，
因为f(x)为偶函数， g(x)，h(x)是奇函数，
所以M(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-M(x) ，N(-x)=g(-x)h(-x)=g(x)h(x)=N(x)
即M(x)是奇函数， N(x)是偶函数，
因为g(x)，h(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增， h(x)在R上单调递减，
所以当x∈（-∞，0） 时， g(x)单调递增， h(x)单调递减，且g(x)<0 、 h(x)>0 ，
任取x1，x2∈（-∞，0） ，设x1则g(x1)所以-g(x1)>-g(x2)>0
所以以-g(x1)h(x1)>-g(x2)h(x2)>0
所以N(x1)所以N(x)=g(x)h(x)在（-∞，0） 上单调递增，
因为不知道f(x)在（-∞，0）上的符号，所以M(x)=f(x)g(x)在（-∞，0）上的单调性无法判断，
故选：D
【分析】根据奇偶性和单调性的定义判断即可，其中两个函数相乘的单调性与这两个函数的单调性、符号有关.
8．【答案】C
【知识点】球面距离及相关计算；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：正方体的外接球直径2R为体对角线长 ，即 ，
取CC1中点P，连接PE ，则PE中点O为外接球的球心，
于是O到平面EFG的距离是P到平面EFG的距离的一半，下求P到平面EFG的距离.
过E作EM⊥FG ，垂足为M ，过P作PQ⊥EM ，垂足为Q ，连接AF，AG，AC，BD，
根据题干数据， ，
由于PC=EA且PC // EA，则四边形PEAC为平行四边形，故 PE//AC ，
显然AC⊥BD ，根据中位线性质 FG//BD ，则AC⊥FG ，于是 PE⊥FG，
又EM⊥FG ， PE，EM平面PEM ， PE∩EM=E，则FG⊥平面PEM ，
又PQ平面PEM ，故FG⊥PQ ，
又PQ⊥EM ，FG∩EM=M ，FG，EM平面EFG ，故 PQ⊥平面EFG ，
又 ，则 ， ，
由PE //AC ，则 ，于是 ，
即P到平面EFG的距离为 ，于是O到平面EFG的距离是 ，
设正方体的外接球被平面EFG所截的圆的半径为r ，则 ，
于是截面圆面积为 .
故选：C
【分析】正方体的外接球直径即为体对角线的长，然后只需求出球心到平面EFG的距离，即可由勾股定理确定半径.
9．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】 解： ，故A正确；
∵ ，∴ ，故B正确；
∵ ，∴ ，故C正确；
在 上的投影向量的模为 ，故D错误.
故选：ABC.
【分析】利用数量积的定义求解可判断A；验证可判断B；由结合数量积运算可判断C；利用投影向量的概念求解可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】解：由题意得 ，
而 ，
所以当 时，f'(x)<0 ，当时 ，f'(x)<0，当时 ，f'(x)>0，
故f(x)在 时为减函数，在时为减函数，在时为增函数，
且f'(1)=0 ，所以x=1是f(x)的极值点，故A正确；
对于D：取 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当x0 ，
取 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， f(x)<0，
又f(x)在 为连续函数，
所以f(x)在上存在1个零点，故D正确；
对于C：当m>6时，f(1)=6-m<0 ， ，
所以 ，
又f(x)在 上为减函数，所以存在唯一 ，使得 ，
，
又f(x)在上为增函数，所以存在唯一 ，使得 ，
所以当m>6时，在 上有两个零点，则f(x)在定义域上存在3个零点，故C错误；
对于B： f(1)=6-m，当m<6时，f(1)>0 ，
由上知存在 ，使得 f(x)<0 ，故 f(1)不是 f(x)的最小值，故B错误；
故选：AD
【分析】求f'(x)确定f(x)在定义域上的单调性及极值可判断选项A；用零点存在性定理判断f(x)在上存在1个零点可判断选项D；分析f(x)在上可能的零点个数可判断选项C；根据 f(1)有可能为正值，可判断选项B.
11．【答案】A,B
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为AB⊥平面BCD，CD平面BCD，所以AB⊥CD，
又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC平面ABC，则CD⊥平面ABC，
BE平面ABC，则CD⊥BE，又AC⊥BE，AC∩CD＝C，AC，CD平面ACD，
则BE⊥平面ACD，又AD平面ACD，则BE⊥AD，
又BF⊥AD，BE∩BF＝B，BE，BF平面BEF，则AD⊥平面BEF，
因为AD平面ABD，所以平面BEF⊥平面ABD，故A正确；
对于B，因为BE⊥平面ACD，BE平面BEF，所以平面BEF⊥平面ACD，故B正确；
对于C，若平面BEF⊥平面ABC，由平面BEF∩平面ABC＝BE，AC平面ABC，AC⊥BE，
则AC⊥平面BEF，又AD⊥平面BEF，则AC∥AD，与AC与AD相交矛盾，故C错误；
对于D，记AG∩BF＝H，若平面BEF⊥平面AGC，且平面BEF∩平面AGC＝EH，
过B作BM⊥EH于M，连接AM，则BM⊥平面AGC，而CG平面AGC，则BM⊥CG，
AB⊥平面BCD，CG平面BCD，则AB⊥CG，
BC＝CD，G为BD的中点，则CG⊥BD，
又AB∩BD＝B，AB，BD平面ABD，则CG⊥平面ABD，
而BF平面ABD，则CG⊥BF，
又BM⊥CG，BM∩BF＝B，BM，BF平面BMF，则CG⊥平面BMF，即CG⊥平面BEF，
又CG⊥平面ABD，则平面ABD与平面BEF重合，矛盾，故D错误．
故选：AB．
【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A；由BE⊥平面ACD，结合面面垂直的判定定理可判断B；若平面BEF⊥平面ABC，则AC⊥平面BEF，又AD⊥平面BEF，则AC∥AD，与AC与AD相交矛盾，从而可判断C；记AG∩BF＝H，过B作BM⊥EH于M，则BM⊥平面AGC，BM⊥CG，又AB⊥CG，CG⊥BD，则CG⊥平面ABD，得CG⊥BF，则CG⊥平面BEF，则平面ABD与平面BEF重合，矛盾，从而可判断D．
12．【答案】B,D
【知识点】最小二乘法；线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由题知
，所以A错；
所以 ，
令x=log221 ，求得y≈10 ，B正确；
由上式可知， x每增加1 ， y应该平均增加0.4 ，C错；
若x>9 ， y>107.6，
而每晚最多能接纳的客流量为10万人，故D正确.
故选：BD
【分析】利用题目的数据，得出c1，c2的最小二乘估计，即可得出回归方程，逐个选项判断即可.
13．【答案】
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
令36-4r=0 ，解得r=9 ，
则其展开式的常数项为 .
故答案为： -220.
【分析】先求出通项公式，再令x的幂指数等于0 ，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
当x=0时， ， ，
故切线方程为：y-1=1·(x-0) ，即x-y+1=0 .
故答案为：x-y+1=0 .
【分析】根据导数的几何意义即得.
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲乙丙三人每人一间随机安排共有 种安排方法，
其中恰好只有甲乙两人住的房间相邻的方法有 种，
所以所求概率为 .
故答案为： .
【分析】利用捆绑法及排列数公式，结合古典概型的概率公式求解.
16．【答案】或
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：当 时，f(x)=ex-x ，f'(x)=ex-1，故f(x)在上单调递增，
当时， f(x)=x2+a在上单调递减，
令t= f(x) ，则当时， ；当时， ，
则题意转化为 时， f(t)>t恒成立.
令 ，则 ，
当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，
故 ，则 ．
所以，当t>0时，f(t)=et-t≥et-t=(e-1)t>t恒成立.
当a>0时， ，f(t)>t 恒成立.
当a≤0时， ，f(t)>t 恒成立.
只需考虑a≤0且 时， f(t)=t2+a>t，即a>-t2+t恒成立，
当a≤-4时， ， y=-t2+t单调递增，
则由a>-t2+t恒成立，得a>-(a+4)2+a+4，解得a<-6 ，
当-4则由a>-t2+t恒成立，得a>-02+0=0 ，矛盾，
综上可得：或 .
故答案为：或 ．
【分析】令t= f(x)，则题意转化为时， f(t)>t恒成立，根据a与t的取值范围分类讨论，列出不等式求解.
17．【答案】（1）由得，
则，
因为，所以，
解得，即，
又，所以，则.
（2），
，所以，
当，即时，的最大值为2.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式及二倍角公式展开可得，即，根据角的范围可得答案；
（2）利用三角恒等变换化简 ，利用三角函数的性质可得f(x)的最大值.
18．【答案】（1），
解得.
（2）列联表如下：
养殖法 箱产量 合计
箱产量 箱产量
旧养殖法 60 40 100
新养殖法 34 66 100
合计 94 106 200
零假设为：箱产量与养殖方法独立，即箱产量与养殖方法无关.
因，
所以推断不成立，即箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的基本思想；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求解即可.
（2）列出列联表，求出，即可得出结论.
19．【答案】（1）在中，由，
可知.
由于，，，
，，，.
（2）在中，，
所以，，
.
【知识点】数列与解析几何的综合；平面向量的线性运算；向量在几何中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意根据正弦定理可得BC的长，由 和正 可求得，再根据平面向量线性运算， 进而得出x，y的值.
（2）根据正弦定理和余弦定理可求出AC的长，进而得出，，利用余弦和差化积得到 ，再根据余弦定理得出BD的长.
20．【答案】（1）过作//交线段于，连接.
//，平面，平面，//平面，
又//平面，，平面，
平面//平面，
平面平面，
平面平面，根据面面平行的性质定理，//
又//，四边形是平行四边形，
，而，
故，得，得.
（2）
，（为四边形的面积），得.
由，得，
由余弦定理，，则，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则，
作直径，由圆内接四边形对角互补，则，
故，，故重合，
此时为直径，直径为，以为原点，射线为轴，
过垂直于的方向为轴，如图建立空间直角坐标系.
则，
所以，
设平面的法向量为，则即
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）做辅助线构建平面和平面PBC平行，然后结合面面平行的性质定理来解决；
（2）通过棱锥的体积得到底面积，根据底面的数据可推出BC是直径，然后建立空间直角坐标系处理.
21．【答案】（1）方法1：依题意，取值为，每次取到白球的概率.
因为，故
方法2：依题意，取值为，每次取到白球的概率.
则
所以分布列为
0 1 2 3
故
（2）抛掷两颗骰子，记点数之和除以3的余数等于为事件，
则点数之和等于的分别有种；种；
种；种情况；故.
点数之和等于4有种；
等于7有种；
等于10有种；故.
点数之和等于2有种；等于5有种；
等于8有种；
等于11有种，故.
所以.
记摸出的3个球中至少有2个白球记为事件，则
，
，
由全概率公式可得
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）方法1：根据求 .
方法2：计算列出分布列，求期望.
（2）分别计算点数之和除以3的余数等于 的概率P(Ai) ，再由全概率公式求解.
22．【答案】（1），
所以，
令得，令得.
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）（i），
设，
存在唯一且，使得.
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，是极小值点.
若，则，不满足要求，
故要使函数有两个不相等的零点，则.
于是.
（ii）①，②，
①-②得，整理得③.
下证：.不妨设，令，则.
可化为，即.
令，于是在上单调递增，
又，所以，从而，
得.
于是③式可化为，得.
得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）求导， 再由f'(x)>0 ， f'(x)<0求解；
（2）（i）求导得，设，由零点存在定理得到存在唯一且，使得 ，然后根据函数f(x)有两个不相等的零点，由.求解；
（ii）根据题意得， 等价于 ，再由化归思想，将问题等价转化为求证，令 ，则转化为即，令，利用导数法证明.
1 / 1浙江省金华十校2022-2023学年高二下学期数学期末联考试卷
1．（2023高二下·金华期末）设集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C.
【分析】求出集合M ，计算即可.
2．（2023高二下·金华期末）“且”是“复数是纯虚数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：若a=0且b=1 ，则复数z=a+bi=i 是纯虚数，故充分性成立；
若复数 是纯虚数，则a=0且b≠0 ，故必要性不成立，
故“a=0且b=1 ”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件.
故选：A
【分析】根据充分条件、必要条件及纯虚数的定义判断即可.
3．（2023高二下·金华期末）设，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：∵
∴01，
∴a故选：D
【分析】根据指数函数的单调性可得01 ，即可求解.
4．（2023高二下·金华期末）一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：如图正六棱锥P-ABCDEF中，底面中心为O ，取AB的中点M ，连接PM ，OM
则AB⊥PM，AB⊥OM，所以∠PMO为侧面和底面的夹角，即∠PMO=60°，
因为PO⊥底面ABCDEF ，OM底面ABCDEF ，
所以PO⊥OM，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：A
【分析】正六棱锥P-ABCDEF中，底面中心为O，则∠PMO为侧面和底面的夹角，根据的值可求得.
5．（2023高二下·金华期末）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数 的图像向左平移个单位得到函数 的图像，
又函数 是偶函数，则有 ， 解得 ，
所以 .
故选：C．
【分析】根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出 ，可得 .
6．（2023高二下·金华期末）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示：
时间t/（单位：天） 10 20 70
销售价格Q（单位：元/千克） 100 50 100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为（　　）
A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间Q的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数，
函数 在a≠0时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合，
所以应选取 进行描述，
将表中数据（10，100），（20，50），（70，100） 代入 可得
所以Q=0.1(t-40)2+154，
当t=40时杨梅销售价格最低，
而6月5日时t=22 ，6月15日时t=32 ，6月25日时t=42 ，7月5日时t=52 ，
所以t=42时杨梅销售价格最低.
故选：C.
【分析】根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间Q的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数，应选取进行描述，将表中数据代入可得 ，利用配方法结合日期可得答案.
7．（2023高二下·金华期末）已知定义在上的三个函数，其中为偶函数，是奇函数，且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，则（　　）
A．是奇函数，且在上单调递增
B．是偶函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递增
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】令M(x)=f(x)g(x) ，N(x)=g(x)h(x) ，
因为f(x)为偶函数， g(x)，h(x)是奇函数，
所以M(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-M(x) ，N(-x)=g(-x)h(-x)=g(x)h(x)=N(x)
即M(x)是奇函数， N(x)是偶函数，
因为g(x)，h(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增， h(x)在R上单调递减，
所以当x∈（-∞，0） 时， g(x)单调递增， h(x)单调递减，且g(x)<0 、 h(x)>0 ，
任取x1，x2∈（-∞，0） ，设x1则g(x1)所以-g(x1)>-g(x2)>0
所以以-g(x1)h(x1)>-g(x2)h(x2)>0
所以N(x1)所以N(x)=g(x)h(x)在（-∞，0） 上单调递增，
因为不知道f(x)在（-∞，0）上的符号，所以M(x)=f(x)g(x)在（-∞，0）上的单调性无法判断，
故选：D
【分析】根据奇偶性和单调性的定义判断即可，其中两个函数相乘的单调性与这两个函数的单调性、符号有关.
8．（2023高二下·金华期末）正方体的棱长为分别为棱的中点，则该正方体的外接球被平面所截的圆的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球面距离及相关计算；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：正方体的外接球直径2R为体对角线长 ，即 ，
取CC1中点P，连接PE ，则PE中点O为外接球的球心，
于是O到平面EFG的距离是P到平面EFG的距离的一半，下求P到平面EFG的距离.
过E作EM⊥FG ，垂足为M ，过P作PQ⊥EM ，垂足为Q ，连接AF，AG，AC，BD，
根据题干数据， ，
由于PC=EA且PC // EA，则四边形PEAC为平行四边形，故 PE//AC ，
显然AC⊥BD ，根据中位线性质 FG//BD ，则AC⊥FG ，于是 PE⊥FG，
又EM⊥FG ， PE，EM平面PEM ， PE∩EM=E，则FG⊥平面PEM ，
又PQ平面PEM ，故FG⊥PQ ，
又PQ⊥EM ，FG∩EM=M ，FG，EM平面EFG ，故 PQ⊥平面EFG ，
又 ，则 ， ，
由PE //AC ，则 ，于是 ，
即P到平面EFG的距离为 ，于是O到平面EFG的距离是 ，
设正方体的外接球被平面EFG所截的圆的半径为r ，则 ，
于是截面圆面积为 .
故选：C
【分析】正方体的外接球直径即为体对角线的长，然后只需求出球心到平面EFG的距离，即可由勾股定理确定半径.
9．（2023高二下·金华期末）已知平面向量的夹角为，且满足，则（　　）
A． B．
C． D．在上的投影向量的模为
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】 解： ，故A正确；
∵ ，∴ ，故B正确；
∵ ，∴ ，故C正确；
在 上的投影向量的模为 ，故D错误.
故选：ABC.
【分析】利用数量积的定义求解可判断A；验证可判断B；由结合数量积运算可判断C；利用投影向量的概念求解可判断D.
10．（2023高二下·金华期末）已知函数，则（　　）
A．是的极值点 B．是的最小值
C．最多有2个零点 D．最少有1个零点
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】解：由题意得 ，
而 ，
所以当 时，f'(x)<0 ，当时 ，f'(x)<0，当时 ，f'(x)>0，
故f(x)在 时为减函数，在时为减函数，在时为增函数，
且f'(1)=0 ，所以x=1是f(x)的极值点，故A正确；
对于D：取 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当x0 ，
取 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， f(x)<0，
又f(x)在 为连续函数，
所以f(x)在上存在1个零点，故D正确；
对于C：当m>6时，f(1)=6-m<0 ， ，
所以 ，
又f(x)在 上为减函数，所以存在唯一 ，使得 ，
，
又f(x)在上为增函数，所以存在唯一 ，使得 ，
所以当m>6时，在 上有两个零点，则f(x)在定义域上存在3个零点，故C错误；
对于B： f(1)=6-m，当m<6时，f(1)>0 ，
由上知存在 ，使得 f(x)<0 ，故 f(1)不是 f(x)的最小值，故B错误；
故选：AD
【分析】求f'(x)确定f(x)在定义域上的单调性及极值可判断选项A；用零点存在性定理判断f(x)在上存在1个零点可判断选项D；分析f(x)在上可能的零点个数可判断选项C；根据 f(1)有可能为正值，可判断选项B.
11．（2023高二下·金华期末）三棱锥中，平面且，分别为垂足，为中点，则（　　）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A,B
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为AB⊥平面BCD，CD平面BCD，所以AB⊥CD，
又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC平面ABC，则CD⊥平面ABC，
BE平面ABC，则CD⊥BE，又AC⊥BE，AC∩CD＝C，AC，CD平面ACD，
则BE⊥平面ACD，又AD平面ACD，则BE⊥AD，
又BF⊥AD，BE∩BF＝B，BE，BF平面BEF，则AD⊥平面BEF，
因为AD平面ABD，所以平面BEF⊥平面ABD，故A正确；
对于B，因为BE⊥平面ACD，BE平面BEF，所以平面BEF⊥平面ACD，故B正确；
对于C，若平面BEF⊥平面ABC，由平面BEF∩平面ABC＝BE，AC平面ABC，AC⊥BE，
则AC⊥平面BEF，又AD⊥平面BEF，则AC∥AD，与AC与AD相交矛盾，故C错误；
对于D，记AG∩BF＝H，若平面BEF⊥平面AGC，且平面BEF∩平面AGC＝EH，
过B作BM⊥EH于M，连接AM，则BM⊥平面AGC，而CG平面AGC，则BM⊥CG，
AB⊥平面BCD，CG平面BCD，则AB⊥CG，
BC＝CD，G为BD的中点，则CG⊥BD，
又AB∩BD＝B，AB，BD平面ABD，则CG⊥平面ABD，
而BF平面ABD，则CG⊥BF，
又BM⊥CG，BM∩BF＝B，BM，BF平面BMF，则CG⊥平面BMF，即CG⊥平面BEF，
又CG⊥平面ABD，则平面ABD与平面BEF重合，矛盾，故D错误．
故选：AB．
【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A；由BE⊥平面ACD，结合面面垂直的判定定理可判断B；若平面BEF⊥平面ABC，则AC⊥平面BEF，又AD⊥平面BEF，则AC∥AD，与AC与AD相交矛盾，从而可判断C；记AG∩BF＝H，过B作BM⊥EH于M，则BM⊥平面AGC，BM⊥CG，又AB⊥CG，CG⊥BD，则CG⊥平面ABD，得CG⊥BF，则CG⊥平面BEF，则平面ABD与平面BEF重合，矛盾，从而可判断D．
12．（2023高二下·金华期末）金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为万人，每晚最多能接纳的客流量为万人，主办公司决定通过微信公众号和其他进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市投入的广告费与每晚增加的客流量存在如下关系：
x/万元 1 2 3 4 5 6
y/千人 5 6 8 9 12 20
参考数据：
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：
现用曲线拟合变量与的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计（精确到），依所求回归方程为预测依据，则（　　）
A．
B．曲线经过点
C．广告费每增加万元，每晚客流量平均增加人
D．若广告费超过万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
【答案】B,D
【知识点】最小二乘法；线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由题知
，所以A错；
所以 ，
令x=log221 ，求得y≈10 ，B正确；
由上式可知， x每增加1 ， y应该平均增加0.4 ，C错；
若x>9 ， y>107.6，
而每晚最多能接纳的客流量为10万人，故D正确.
故选：BD
【分析】利用题目的数据，得出c1，c2的最小二乘估计，即可得出回归方程，逐个选项判断即可.
13．（2023高二下·金华期末）二项式展开式的常数项是　 　.
【答案】
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
令36-4r=0 ，解得r=9 ，
则其展开式的常数项为 .
故答案为： -220.
【分析】先求出通项公式，再令x的幂指数等于0 ，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.
14．（2023高二下·金华期末）曲线在处的切线方程为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
当x=0时， ， ，
故切线方程为：y-1=1·(x-0) ，即x-y+1=0 .
故答案为：x-y+1=0 .
【分析】根据导数的几何意义即得.
15．（2023高二下·金华期末）现有连在一排的9个房间，若把甲乙丙三人每人一间随机安排住宿，则恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率是　 　.
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲乙丙三人每人一间随机安排共有 种安排方法，
其中恰好只有甲乙两人住的房间相邻的方法有 种，
所以所求概率为 .
故答案为： .
【分析】利用捆绑法及排列数公式，结合古典概型的概率公式求解.
16．（2023高二下·金华期末）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是　 　.
【答案】或
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：当 时，f(x)=ex-x ，f'(x)=ex-1，故f(x)在上单调递增，
当时， f(x)=x2+a在上单调递减，
令t= f(x) ，则当时， ；当时， ，
则题意转化为 时， f(t)>t恒成立.
令 ，则 ，
当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，
故 ，则 ．
所以，当t>0时，f(t)=et-t≥et-t=(e-1)t>t恒成立.
当a>0时， ，f(t)>t 恒成立.
当a≤0时， ，f(t)>t 恒成立.
只需考虑a≤0且 时， f(t)=t2+a>t，即a>-t2+t恒成立，
当a≤-4时， ， y=-t2+t单调递增，
则由a>-t2+t恒成立，得a>-(a+4)2+a+4，解得a<-6 ，
当-4则由a>-t2+t恒成立，得a>-02+0=0 ，矛盾，
综上可得：或 .
故答案为：或 ．
【分析】令t= f(x)，则题意转化为时， f(t)>t恒成立，根据a与t的取值范围分类讨论，列出不等式求解.
17．（2023高二下·金华期末）已知.
（1）求的大小；
（2）设函数，求在上的最大值.
【答案】（1）由得，
则，
因为，所以，
解得，即，
又，所以，则.
（2），
，所以，
当，即时，的最大值为2.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式及二倍角公式展开可得，即，根据角的范围可得答案；
（2）利用三角恒等变换化简 ，利用三角函数的性质可得f(x)的最大值.
18．（2023高二下·金华期末）海水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示.
（1）求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值：
（2）根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
养殖法 箱产量 合计
箱产量<50 箱产量50
旧养殖法 　 　 　
新养殖法 　 　 　
合计 　 　 　
（）
【答案】（1），
解得.
（2）列联表如下：
养殖法 箱产量 合计
箱产量 箱产量
旧养殖法 60 40 100
新养殖法 34 66 100
合计 94 106 200
零假设为：箱产量与养殖方法独立，即箱产量与养殖方法无关.
因，
所以推断不成立，即箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的基本思想；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求解即可.
（2）列出列联表，求出，即可得出结论.
19．（2023高二下·金华期末）如图，四边形是由与正拼接而成，设，.
（1）当时，设，求，的值；
（2）当时，求线段的长.
【答案】（1）在中，由，
可知.
由于，，，
，，，.
（2）在中，，
所以，，
.
【知识点】数列与解析几何的综合；平面向量的线性运算；向量在几何中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意根据正弦定理可得BC的长，由 和正 可求得，再根据平面向量线性运算， 进而得出x，y的值.
（2）根据正弦定理和余弦定理可求出AC的长，进而得出，，利用余弦和差化积得到 ，再根据余弦定理得出BD的长.
20．（2023高二下·金华期末）如图四棱锥，点在圆上，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上.
（1）若，当//平面时，求的值；
（2）若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）过作//交线段于，连接.
//，平面，平面，//平面，
又//平面，，平面，
平面//平面，
平面平面，
平面平面，根据面面平行的性质定理，//
又//，四边形是平行四边形，
，而，
故，得，得.
（2）
，（为四边形的面积），得.
由，得，
由余弦定理，，则，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则，
作直径，由圆内接四边形对角互补，则，
故，，故重合，
此时为直径，直径为，以为原点，射线为轴，
过垂直于的方向为轴，如图建立空间直角坐标系.
则，
所以，
设平面的法向量为，则即
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）做辅助线构建平面和平面PBC平行，然后结合面面平行的性质定理来解决；
（2）通过棱锥的体积得到底面积，根据底面的数据可推出BC是直径，然后建立空间直角坐标系处理.
21．（2023高二下·金华期末）袋子中有大小相同的12个白球和6个红球.
（1）若从袋中随机有放回地摸取3个球，记摸到白球的个数为，求随机变量的数学期望
（2）若把这18个球分别放到三个盒子中，其中0号盒子有1个红球5个白球，1号盒子有2个红球4个白球，2号盒子有3个红球3个白球，现抛掷两颗骰子，若点数之和除以3的余数为时，从号盒子中摸取3个球.求摸出的3个球中至少有2个白球的概率.
【答案】（1）方法1：依题意，取值为，每次取到白球的概率.
因为，故
方法2：依题意，取值为，每次取到白球的概率.
则
所以分布列为
0 1 2 3
故
（2）抛掷两颗骰子，记点数之和除以3的余数等于为事件，
则点数之和等于的分别有种；种；
种；种情况；故.
点数之和等于4有种；
等于7有种；
等于10有种；故.
点数之和等于2有种；等于5有种；
等于8有种；
等于11有种，故.
所以.
记摸出的3个球中至少有2个白球记为事件，则
，
，
由全概率公式可得
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）方法1：根据求 .
方法2：计算列出分布列，求期望.
（2）分别计算点数之和除以3的余数等于 的概率P(Ai) ，再由全概率公式求解.
22．（2023高二下·金华期末）已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不相等的零点，极值点为，证明：
（i）
（ii）
注：为自然对数的底数，.
【答案】（1），
所以，
令得，令得.
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）（i），
设，
存在唯一且，使得.
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，是极小值点.
若，则，不满足要求，
故要使函数有两个不相等的零点，则.
于是.
（ii）①，②，
①-②得，整理得③.
下证：.不妨设，令，则.
可化为，即.
令，于是在上单调递增，
又，所以，从而，
得.
于是③式可化为，得.
得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）求导， 再由f'(x)>0 ， f'(x)<0求解；
（2）（i）求导得，设，由零点存在定理得到存在唯一且，使得 ，然后根据函数f(x)有两个不相等的零点，由.求解；
（ii）根据题意得， 等价于 ，再由化归思想，将问题等价转化为求证，令 ，则转化为即，令，利用导数法证明.
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