黑龙江省哈尔滨市部分中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

哈尔滨市部分中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位，复数，则复数z的虚部为（ ）
A.i B. C.1 D.
2.已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，则 D.若，，，，则
3.若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）
A. B. C.4 D.12
4.已知向量，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5.已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在长方体中，，，E，F分别为棱，的中点，过BF的平面与直线平行，则平面截该长方体所得截面的面积为（ ）
A.3 B. C. D.
7.圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜古庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地而上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A.20m B.30m C. D.
8.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（ ）
A.
B.当，时，的面积为
C.若AD是的角平分线，且，则
D.当时，为直角三角形
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A.是纯虚数 B.对应的点位于第二象限
C. D.
10.下列说法错误的为（ ）.
A.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C.非零向量，，满足且与同向，则
D.非零向量和，满足，则与的夹角为30°
11.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c.下面四个结论正确的是（ ）
A.，，则的外接圆半径是4
B.若，则
C.若，则为钝角三角形
D.若，，，则的面积为或
12.在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有（ ）
A.当时，P到底面ABC的距离为
B.当正三棱锥的体积取最大值时，则有
C.当时，过点A作平面分别交线段PB，PC于点E，F（E，F不重合），则周长的最小值为
D.当变大时，正三棱锥的表面积一定变大
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知，，则在上的投影向量的坐标为______.
14.一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为______.
15.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的平分线交BC于D，若，则的最小值为______.
16.已知直三棱柱的底面为直角三角形，，，，，则四面体的体积为______，四棱锥的外接球的表面积为______.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）如图，在三棱柱中，M，N，P分别为AB，BC，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
18.（12分）已知，，.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
19.（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求角A；
（2）若的周长为8，外接圆半径为，求的面积.
20.（12分）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，P为的中点，M为的中点，
（1）求证：平面；
（2）若，，求M到平面的距离.
21.（12分）某公园有一块三角形空地，如图，在中，，，为了增加公园的观赏性，公园管理人员拟在中间挖出一个池塘AEF用来放养观赏鱼，E、F在边BC上，且.
（1）若，求EF的长；
（2）为节省投入资金，池塘的面积需要尽可能的小，记，试确定O为何值时，池塘的面积最小.
22.（12分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
哈尔滨市部分中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B A C D D D AD AC BCD ACD
13. 14. 6 15. 9 16. 1
17.（1）证明：因为M，N分别为AB，BC的中点.所以，
因为平面，平面，所以平面，
得证.
（2）证明：因为P为的中点.所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
中第（1）问，平面，，
平面ACP，平面ACP，
所以平面平面.
得证.
18.解：（1），，
由，
的最小正周期
由，，得：，
的单调递减区间为，；
（2）由可得：
当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0，
19.（1）由和得
即，
所以
即，
因为，所以，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以
（2）因为的外接圆半径为，
所以，所以，
由余弦定理得
所以，得，
所以的面积
20.（1）方法一：取的中点N，连接，MN，PN，
因为M为的中点，所以，而，所以，
又平面，平面所以平面，
又因为P为中点，所以，则四边形为平行四边形，
则，又平面，平面
所以平面，且，
所以平面平面，
则平面.
方法二：连接，交于点O，连接OP，PM，
因为M为中点，所以，又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面所以平面
（2）由（1）可知，M到平面的距离等于到平面的距离，设为h，
因为，所以，
而，，所以
21.（1）解：在中，，，则为等腰三角形，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，则为等腰三角形，且，
所以，，
又因为，所以，为等边三角形，故.
（2）解：因为，其中，
在中，，，，所以，，
由正弦定理可得
在中，，，，，
由正弦定理可得，
所以，
，
因为，所以，，则，
所以，当时，即当时，的面积取最小值.
22.（1）由正弦定理得，又
，
则，又，则，则，则；
（2），
由可得，
又为锐角三角形，则，可得，
则
，
又，则，则，即，
则.