答案
1-8 CDBAA CDA
9.ABD 10.BCD 11.ABC 12.BCD
单选题
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）（ C
）
A．1 B． C． D．
2.（导数定义）已知函数，则的值为（D ）
A． B． C．10 D．20
3．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知，则的值等于（ B）
A． B． C． D．
4.（含三角函数的导数切线斜率）曲线在点处的切线斜率为（A ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ A ）
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】本题利用导函数的性质，便可以解题.，函数为增函数，，函数为减函数，根据导函数图形找到对应区间就可以得出答案.
【详解】由图象知，当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，对应图象为A.
故选：A．
已知函数 在区间 单调递增, 则 的最小值为（C）
A. B. e C. D.
7.（二倍角公式）已知 为锐角, , 则 （D）
A. B. C. D.
8．（三角函数图像综合）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则在上的最大值为（ A ）
A． B．1 C． D．
多选题
9. 下列说法正确的是( ABD )
A.轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为
B.若，则=
C.已知为锐角，，角的终边上有一点，则1
D.在范围内，与角终边相同的角是和
10. （导数极值）若函数 既有极大值也有极小值, 则（BCD）
A. B. C. D.
11. 下列说法不正确的是(ABC )
A．存在x∈R，使得1－cos3x＝log2
B．函数y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π,且图象关于y轴对称
C．函数y＝cos 2的一个对称中心为
D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
【解析】在A中，因为cos x∈[－1,1]，
所以1－cos3x≥0，
因为log2所以不存在x∈R，
使得1－cos3x＝log2，故A错误；
在B中，函数y＝sin 2xcos 2x＝sin 4x的最小正周期为，故B错误；
在C中，令2＝＋kπ，k∈Z，
得x＝－＋，k∈Z，
所以函数y＝cos 2的对称中心为，k∈Z，故C错误；
在D中，因为cos(－3)＝cos 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故D正确．
故选ABC.
12.（导数综合-构造法）已知函数在R上满足，且当时，成立，若，则下列说法正确的有（BCD ）
A.为奇函数 B.为奇函数
C.在R上单调递减 D.
填空题
已知函数，则函数的最大值为 ___________．
15. 若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝_±._______.
【解析】由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以2＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±.
当 时, 小于 （填）
16.已知函数 , 如图, 是 直线 与曲线 的两个交点, 若 , =
四．解答题
17.（10分）（易）（诱导公式，弦化切）．
已知．
(1)化简；
(2)已知，求的值．
18．（12分）（中易）（导数极值和单调区间，证明不等式）
（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
(2)证明：；
19．（回归方程，列联表）（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份 1 2 3 4 5
违章驾驶人次 125 105 100 90 80
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
不礼让行人 礼让行人
驾龄不超过2年 24 16
驾龄2年以上 26 24
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会.
附：，.
，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1），；（2）没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关，礼让行人是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人.
【分析】（1）由已知求得，进一步套公式求出和的值，就求出线性回归方程，再令即可故居；
（2）补全列联表，根据数据计算，并下结论.
【详解】解：（1）由表中数据知，，，
所以，
，
所以，
所以，
所以令，则人，
故预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次为人次.
（2）根据表中的列联表补全得下表：
不礼让行人 礼让行人 合计
驾龄不超过2年 24 16 40
驾龄2年以上 26 24 50
合计 50 40 90
故，
所以没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关
礼让行人是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人.
20. (12分) （中）（导数切线，零点求参数范围）已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．
【解析】(1)f(x)＝ex(ax＋1)，
则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，
由题意知解得
∴a＝1，b＝3e.
(2)g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，
函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，
∴u(x)在(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，
∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.
又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，
∴实数m的取值范围为{m|－e21（12分）（中）（三角函数综合）
已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式和单调递增区间.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.（3）设，若恒成立，求实数c的最小值.
22．（古典概率，正态分布，分布列，期望）（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
人数 5 15 35 30 10 5
(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
【答案】(1)
(2)1587人
(3)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据表格，求出样本中笔试成绩不低于80分的考生人数和其中成绩优秀的人数，根据古典概型概率计算即可；
（2）根据表中数据求出平均数，根据正太分布曲线的对称性和即可求，从而估计成绩不低于82.4的人数；
（3）根据题意可知Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，根据独立事件概率的计算方法即可求出分布列，根据数学期望公式即可求出数学期望.
(1)
由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人．
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为.
(2)由表格中的数据可知，，
又，即，
∴，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人.
(3)考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则， ， ，
， ， ，
故Y的分布列为：
Y 0 3 4 6 7 10
P
∴．长春市九台区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
（满分150分，时间120分钟）
一．单选题（本题8小题，每小题5分，满分40分）
1.（ ）
A．1 B． C． D．
2.已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
3．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4.曲线在点处的切线斜率为（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
5.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
B． C． D．
已知函数 在区间（1,2）单调递增, 则 的最小值为（ ）
A. B. e C. D.
已知 为锐角, , 则 =（ ）
A. B. C. D.
8．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则在上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
二.多选题（本题4小题，每小题5分，少选2分，选错0分，满分20分）
9. 下列说法正确的是( )
A.轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为
B.若，则=
C.已知为锐角，，角的终边上有一点，则1
D.在范围内，与角终边相同的角是和
若函数 既有极大值也有极小值, 则（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列说法不正确的是( )
A．存在x∈R，使得1－cos3x＝log2
B．函数y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π，且图象关于y轴对称
C．函数的一个对称中心为
D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
12.已知函数在R上满足，且当时，成立，若，则下列说法正确的有（ ）
A.为奇函数 B.为奇函数
C.在R上单调递减 D.
三.填空题（本题4小题，每小题5分，满分20分）
13.已知函数，则函数的最大值为 ______．
14.若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，
且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝_____.
当 时, （填）
16.已知函数 , 如图, A,B是 直线 与曲线 的两个交点, 若 , =
四．解答题（本题6小题，满分70分）
17.（10分）已知．
(1)化简；
(2)已知，求的值．
18．（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
(2)证明：；
19．（12分）机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份 1 2 3 4 5
违章驾驶人次 125 105 100 90 80
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
不礼让行人 礼让行人
驾龄不超过2年 24 16
驾龄2年以上 26 24
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会.
附：，
，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
20.(12分) 已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．
（12分）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式和单调递增区间.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.（3）设，若恒成立，求实数c的最小值.
22．（12分）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
人数 5 15 35 30 10 5
(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
