北师大版数学 八年级上册 5.6二元一次方程与一次函数 教案

第五章 二元一次方程组
5.6 二元一次方程与一次函数
一、教学目标
1．体会二元一次方程与一次函数的关系．
2．能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，发展几何直观．
二、教学重点及难点
重点：
1．二元一次方程和一次函数的关系．
2．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．
难点：数之间的对应关系即数形结合的意识和能力．
三、教学用具
多媒体课件
四、相关资源
《描点》动画，《一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图像》动画．
五、教学过程
【复习导入】
请同学们回忆：
1．二元一次方程的解？（使方程两边相等的未知数的值）
2．一次函数的图像是什么？（一条直线）
【探究新知】
试一试
1．问题：方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个解．
方程x＋y＝5的解有无数多个，如：
等．
2．在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图像上吗？（在）
3．在一次函数y＝5－x的图像上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5吗？
4．以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图像相同吗？
方程x＋y＝5的解有无数个，方程x＋y＝5的解以为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图像相同，是同一条直线．
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线．
设计意图：通过学生的思考和操作，揭示二元一次方程与一次函数之间的联系，建立起二元一次方程与一次函数图像（直线）之间对应关系，发展学生的几何直观。通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础．由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．
做一做
在同一直角坐标系内分别作出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图像，这两个图像有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？你能说明理由吗？
一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图像的交点为（2，3），因此，就是方程组的解．
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标．
设计意图：通过一个具体例子，探究二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系。进一步体会二元一次方程与一次函数之间的联系。教学时，可让学生再举一些例子，在此基础上明晰一般结论。这一结论揭示了求二元一次方程组的解与确定相应两条直线交点坐标之间的关系。据此可以借助二元一次方程组所对应的两个一次函数图象确定该方程组的解．
【典例精讲】
例1 用作图象的方法解方程组
解：由x－2y＝－2可得y＝，同理，由2x–y＝2可得y＝2x – 2，在同坐标系中作出一次函数y＝的图像和y＝2x – 2的图像．
观察图像，得两直线交于点（2，2），所以方程组的解是
例2 在图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作 的解．
答案：
设计意图：设计例1进一步揭示“数”的问题可以转化成“形”来处理，但所求解为近似解．通过例2，让学生深刻感受到由“形”来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把“形”的问题转化成“数”来处理．这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫．进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．
同学们你从本题中感悟到什么？
原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图像法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：
1．把二元一次方程化成一次函数的形式．
2．在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点．
3．交点坐标就是方程组的解．
想一想
1．有一组数同时适合方程x＋y＝2和x＋y＝5吗？
2．一次函数y＝2－x，y＝5－x的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？
没有一组数同时适合方程x＋y＝2和x＋y＝5；
一次函数y＝2 –x，y＝5－x的图像是两条平行的直线．
我们可以得到：
二元一次方程组无解 一次函数的图像平行（无交点）
二元一次方程组有一解 一次函数的图像相交（有一个交点）
二元一次方程组有无数个解 一次函数的图像重合（有无数个交点）
【课堂练习】
1．已知一次函数与的图象的交点为，则
答案：（1，-9）
2．在平面直角坐标系中画出下列二元一次方程的画象
（1）， （2）．
(
x
y
) (
x
y
4
2
)
3．利用图象法解二元一次方程组：
解：
x 0 1
y＝3x－2 －2 1
y＝2－x 2 1
分别画出两条直线，两条直线交点的坐标为（1，1），∴ 方程组的解为
图象如下图所示．
4．用图象法解下列二元一次方程组
（1） （2）
（3） （4）
【答案】4．（1） （2） （3） （4）
（5）由2x＋y＝4 得 y＝ －2x＋4 由 2x－3y＝12 可得 y＝ 在同一直角坐标系中作出函数y＝ －2x＋4和函数y＝的图像，观察图像可得交点为（3，－2），所以方程组的解是
设计意图：4个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况．加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性．
六、课堂小结
以“问题串”的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：
1．二元一次方程和一次函数的图象的关系；
（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上；
（2）一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
2．方程组和对应的两条直线的关系：
（1）方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；
（2）两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；
3．解二元一次方程组的方法增加1种：图象法．
强调的是由于作图的不准确性，由图象法求得的解是近似解．
设计意图：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．
七、板书设计
5.6 二元一次方程与一次函数
1．二元一次方程的图像实际上就是一次函数的图像
2．用图像法可以解二元一次方程组