北师大版 八年级上册 数学4.1函数 教案

第四章 一次函数
4.1 函数
一、教学目标
1．经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，进一步感悟抽象的数学思想，积累抽象概括的活动经验.
2．初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系是不是函数关系，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识.
二、教学重点及难点
重点：
1．掌握函数概念．
2．判断两个变量之间的关系是否可看做函数．
3．能把实际问题抽象概括为函数问题．
难点：
1．理解函数的概念．
2．能把实际问题抽象概括为函数问题．
三、教学用具
多媒体课件.
四、相关资源
《摩天轮》动画，《摩天轮旋转时间与摩天轮上一点高度的关系图像》图片.
五、教学过程
【探究新知】
一、情景导入，引起兴趣
活动1 欣赏美丽的函数图象
活动2 尝试解决故事中的数学问题
你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝水，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是(　B　)
[说明与建议] 说明：利用学生非常熟悉的故事创设问题情境，引发学生兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法.建议：通过探究函数图象的一系列问题，使学生充分认识图象，从图象中获取信息，理解图象的实际含义，直观感受到数形结合解决这类问题的价值，从学法上给学生以指导，为后面学生自主解决函数图象问题作好铺垫.
做一做
1．按如图所示画圆圈，并填写下表．
层数n 1 2 3 4 5 …
圆圈总数 1 3 6 10 15 …
［师］在这个问题中的变量有几个？分别是什么？
［生］变量有两个，是层数与圆圈总数．
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零。因此，物理学中把-273℃作为热力学温度的零度。热力学温度T（K)与摄氏温度t（℃）之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
(1)当t分别为-43℃，-27℃，0℃，18℃时，相应的热力学温度T是多少？
(2)给定一个大于-273℃的t值，你能求出相应的T值吗？
［师］这个问题对大家来说难度不大，所以我直接让大家进行计算并回答．
［生］(1)当t=-43℃时，T=-43+273=220 K
当t=-27℃时，T=-27+273=246 K
当t=0℃时，T=0+273=273 K
当t=18℃时，T=18+273=291 K
能求出相应的T值．
设计意图：通过几个现实生活中的函数原型，让学生感受函数表示方式的多样性，以图像、表格、表达式三种形式呈现几个与生活相关的情境，并最终总结出函数的三种表示方法，从而使学生对函数有一个更为准确、全面的认识。选用做一做2的目的，一是提供以表达式表示的函数，有利于学生对函数形成全面的认识；二是该问题有一个特点，自变量的取值不仅可以是正数，也可以是零或负数，从而使学生对自变量的取值范围有更全面的认识。
议一议
［师］在上面我们共研究了三个问题，下面大家探讨一下，在这三个问题中的共同点是什么？相异点又是什么呢？
［生］相同点是：这三个问题中都研究了两个变量．
不同点是：在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系；第二个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关系；第三个问题是以代数表达式来表示两个变量间的关系的．
［师］非常棒，可见大家是经过了一番研究的，而且大家的研究水平已有很大提高，在学习的过程中就应该以这种探索的精神去解决问题，不仅能把知识学深、学透，更重要的是培养了大家解决问题的能力．这位同学基本上总结的是全面的．
上面分别以图象、表格、代数表达式三种形式呈现了生活化的场景，通过对这三个问题的研究，让大家明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性．
函数的概念
在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一个变量(自变量)的值，相应地就确定了另一个变量(因变量)的值．
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y 是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
表示函数的方法一般有：列表法、关系式法（也称为解析式、表达式）和图象法。
想一想：上述问题中，自变量能取哪些值？
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。
【典例精讲】
已知菱形ABCD的对角线AC长为4，BD的长x在变化，则菱形的面积为多少？
解：y=×4x，即y=2x．
本题中有几个变量，能把其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
有两个变量，即BD的长x，菱形的面积y，y是x的函数．
【课堂练习】
1.下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
① ②
图1 图2
③
通话时间t/分 0＜t≤3 3＜t≤4 4＜t≤5 5＜t≤6 6＜t≤7 …
话费y/元 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 …
2．下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系：
（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度．
（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径．
（3）x+3与x．
（4）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高．
（5）正方形的面积和梯形的面积．
（6）水管中水流的速度和水管的长度．
（7）圆的面积和它的周长．
（8）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高．
3.下列变化过程得出的函数关系式是否正确，如果错误，请指出正确的结果；如果正确，指出式子中的自变量和因变量．
(1)设一长方体盒子高为10 cm，底面是正方形，这个长方体的体积V(cm3)与底面边长a(cm)的关系式为V=10a2；
(2)某市出租车起步价是7元(路程小于或等于2千米)，超过2千米每增加1千米加收1．6元，出租车车费y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式为y=1.6(x－2)+7(x≥2)；
(3)计划花500元购买篮球，所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系为n=；
(4)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m2)与一边长l(m)之间的关系式为S=l(60－l)．
4．图3是弹簧挂上重物后，弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间的变化关系图．根据图象，回答问题：
图3
（1）不挂重物时，弹簧长多少厘米？
（2）当所挂物体的质量分别为5千克，10千克，15千克，20千克时弹簧的长度分别是多少厘米？
（3）当物体的质量x取0千克至20千克之间任一确定的值时，相应的弹簧的长度y能确定吗？反过来，弹簧的长度y是15~25之间一个确定的值，你能确定所挂重物的质量是多少吗？
（4）弹簧长度y可以看成是物体质量x的函数吗？
5 求下列函数的自变量x的取值范围．
（1）；
（2）y=x－1；
（3）；
（4）
6．如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中：
（1）______时气温最高，______时气温最低，最高气温是______，最低气温是______；
（2）20时的气温是______；
（3）______时的气温是6 ℃；
（4）______时间内，气温不断下降；
（5）______时间内，气温持续不变．
【答案】
1．①②③都含有两个变量，①中人均纯收入可以看成年份的函数，②中有效成分释放量是服用后的时间的函数，③中话费是通话时间的函数
2．（1）（2）（3）（4）（7）（8）是函数关系，（5）（6）不是．
3.解：(1)因为长方体的体积为长乘宽乘高，而长、宽、高分别为10、a、a．所以V=10a2正确．自变量是a，因变量是V．
(2)y=1.6(x－2)+7(x≥2)正确，其中x是自变量，y是因变量．
(3)n=正确．
其中a是自变量，n是因变量．
(4)S=l(60－l)错误．
因为60 m是矩形的周长，所以相邻两边的和为30 cm，其中一边长为l (m)，则另一边长为(30－l)m，所以S=l(30－l)．
4．（1）不挂重物时，弹簧长15 cm．
（2）当所挂重物的质量分别是5千克、10千克、15千克、20千克时，弹簧的长度分别为17.5 cm、20 cm、22.5 cm、25 cm
（3）当x取0~20之间任一确定值时，y都惟一确定；反之也是．
（4）y可以看成是x的函数．
5.分析：如果函数中含有偶次根式，则要求被开方数≥0．
.解：（1）的x的取值范围是：x≥1；
（2）y=x－1的x的取值范围是全体实数；
（3）的x的取值范围是：x≥1；
（4）的x的取值范围是全体实数；
6.(1)16，4，10℃，－4℃ (2)8℃ (3)10 (4)16－24 (5)12－14
设计意图:对求函数的定义域进行方法引导，偶次方根必需注意的地方．
六、课堂小结
本节课应掌握如下内容．
1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看做函数．
2．在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值．
3．函数的三种表达形式
(1)图象；
(2)表格；
(3)代数表达式．
七、板书设计
4.1函数
1．函数
2．表达形式