北师大版 数学八年级上册 7.3平行线的判定 教案

第七章 平行线的证明
7.3 平行线的判定
一、教学目标
1．初步了解证明的基本步骤和书写格式．
2．会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”，并能简单应用这些结论．
3．在证明过程中，发展初步的演绎推理能力．
二、教学重点及难点
重点：了解并掌握平行线的判定公理和定理．
难点：了解证明的一般步骤．
三、教学用具
多媒体课件，三角板、直尺。
四、相关资源
《平行线判定》动画，《直线a、b被直线c所截得内错角》图片，插入《直线a、b被直线c所截得同旁内角》图片，《两个全等的直角三角板作出平行线》动画．
五、教学过程
【复习导入】
前面我们探究过两条直线平行的哪些判别条件？
【合作探究】
1.定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等互补，那么这两条直线平行．
简述为：内错角相等，两直线平行.
已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b
证明：∵ ∠1=∠2（已知）,∠1=∠3(对顶角相等）.
∴∠3=∠2（等量代换）.
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
2.定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简述为：同旁内角互补，两直线平行.
已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.
求证：a∥b
证明：∵ ∠1与∠2互补（已知）.
∴∠1+∠2=180°（互补的定义）.
∴∠1=180°-∠2(等式的性质）.
∵∠3+∠2=180° （平角的定义）.
∴∠3=180°-∠2(等式的性质）.
∴∠1=∠3（等量代换）.
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
做一做：如图，利用两个全等的直角三角板作出平行线，请说说其中的道理.
答：可以利用“内错角相等，两直线平行”说明两条直线平行.
设计意图：利用平行线的判定定理解释作图的道理.教学中还可以让学生利用手中的直尺、三角板等工具快捷地作出平行线，从而得到更多作平行线的方法，说明道理的方法也可能更为多样，开放教学.
【典例精析】
1.如图，直线l1、l2、l3、l4两两相交，且∠1＝∠2＝∠3.求证：l1∥l2，l3∥l4.
解析：∠1和∠2是直线l1、l2被直线l3所截得的同位角，∠2和∠3是直线l3、l4被直线l2所截得的同位角，所以由∠1＝∠2可以判定l1∥l2，由∠2＝∠3可以判定l3∥l4.
证明：∵∠1＝∠2(已知)，∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)．∵∠2＝∠3(已知)，∴l3∥l4(同位角相等，两直线平行)．
方法总结：利用平行线的判定公理进行推理证明的关键是分清同位角是哪两条直线被第三条直线所截构成的．
2.如图，已知AB，CD与直线EF分别相交于点B，C，且∠ABE＝∠DCF.求证：AB∥CD.
解析：由等角的补角相等可知∠ABC＝∠BCD.再由平行线的判定定理1即可得到结论．
证明：∵∠ABC＋∠ABE＝∠DCB＋∠DCF＝180°(邻补角的定义)，∠ABE＝∠DCF(已知)，
∴∠ABC＝∠DCB(等角的补角相等)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
方法总结：要证明两条直线平行，主要是指出图形中两条直线被第三条直线所截的角，观察是否有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补或由角的数量关系推得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
【课堂练习】
1.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )D
A.∠1=∠2
B.∠2=∠4
C.∠3=∠4
D.∠1+∠4=180°
【解析】∠1的对顶角与∠4是同旁内角，若∠1+∠4=180°，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b.
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( )C
A.75°
B.95°
C.105°
D.115°
【解析】∠1的同位角与∠2互为补角，所以∠2=180°-75°=105°.
3.如图，直线AE，CD相交于点O，如果∠A＝110°，∠1＝70°，就可以说明AB∥CD，这是为什么？
解析：由题意可知∠1＝∠AOD＝70°，又因为∠A＝110°，所以∠A＋∠AOD＝180°，故AB∥CD.
解：∵∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°，
∴∠AOD＝70°.
又∵∠A＝110°，
∴∠A＋∠AOD＝180°(等式的性质)，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
方法总结：(1)本题运用数形结合思想，平行线的判定是由角之间的数量关系到“形”的判定．要判定两直线平行，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角，若同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行．(2)若题中的结论能用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补中的一个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、互补角等知识来说明．
4.如图，已知DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，∠1＝∠2，∠ADC＝∠ABC，因此可推出图中哪些线段平行？为什么？
解析：结合图形以及已知条件，能证明DE∥BF，DF∥BE和AD∥BC.
解：DE∥BF，DF∥BE，AD∥BC.理由如下：
(1)DE∥BF.
∵∠1＝∠2(已知)，
∴DE∥BF(同位角相等，两直线平行)．
(2)DF∥BE.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC(已知)，
∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC(角平分线定义)．
∵∠ADC＝∠ABC(已知)，
∴∠2＝∠3(等量代换)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠1＝∠3(等量代换)，
∴DF∥BE(内错角相等，两直线平行)．
(3)AD∥BC.
由(2)知∠3＝∠1，又∵DE平分∠ADC(已知)，
∴∠ADE＝∠3(角平分线定义)，∠ADE＝∠1(等量代换)．
∴∠A＝180°－∠ADE－∠1＝180°－2∠ADE＝180°－∠ADC＝180°－∠ABC(三角形内角和为180°及等量代换)，即∠A＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
方法总结：解此类题应首先结合图形猜测结论，然后证明．证明两条直线平行，一般先找它们的截线，再求同位角相等(或内错角相等，同旁内角互补)来说明两直线平行．若没有公共截线，则需作出两直线的截线辅助证明．
设计意图：通过平行线的判定定理的运用，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式．
六、课堂小结
今天这节课你学到了什么知识？
1．平行线的基本事实．
2．平行线的判定定理及证明．
设计意图： 通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．
七、板书设计
7.3 平行线的判定
1．同位角相等，两直线平行
2．内错角相等，两直线平行
3．同旁内角互补，两直线平行