数学北师大版八年级上册 《一次函数与正比例函数》教案（含答案）

第四章 一次函数
4.2 一次函数与正比例函数
一、教学目标
1．经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识。
2．理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。
二、教学重点及难点
重点：
1．一次函数、正比例函数的概念．
2．一次函数、正比例函数的关系．
3．会根据已知信息写出一次函数的表达式．
难点：一次函数知识的运用．
三、教学用具
多媒体课件
四、相关资源
《弹簧》动画，《汽车行驶耗油》动画.
五、教学过程
【情境导入】
【探究新知】
身边的数学：你会选择哪种收费方式呢？
移动通信公司推出两种收费标准：
A类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计算．
B类收费标准：没有月租费，但通话费按0.25元/min计算．
1．写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的解析式．
2．如果每月平均通话时间为300 min，你会选择哪类收费方式？
[说明与建议] 说明：为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了学生熟悉的情景，既复习旧知识，又为学习新知识作好铺垫．建议：提示学生应分别写出A、B两类收费标准下应缴费用与通话时间之间的解析式．对于问题2，学生现在完成还有些难度，教师可只提出问题不做解释，从而引出本节课内容．
一次函数，正比例函数的概念
上面的两个函数关系式为y=0.2x+12，y=0.25x，都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式．并且自变量和因变量的指数都是一次．
一般地，如果2个变量x与y之间的函数关系式，可以表示为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）．
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．
注意：
1．自变量的指数为一次．
2．含自变量的式子为整式．
3．k ≠ 0
【典例精讲】
例1 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
①y=x－6；②y=；③y=；④y=7－x
A ①②③ B ①③④ C ①②③④ D②③④
分析：考察一次函数的定义：
答案：B
例2 写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
②圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系；
③一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）
解：①y=60x，是一次函数，也是正比例函数．
②，既不是一次函数，也不是正比例函数．
③y=50+2x， 是一次函数，也是正比例函数．
例3 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人某月收入3860元，他应缴个人工资薪金所得税为（3860－3500）×3%=10.8（元）
①当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴个人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式．
②某人某月收入为4160元，他应缴个人工资、薪金所得税多少元？
③如果某人本月缴个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少元？
解：①当月收入大于3500元而小于5000元时，
y=(x－3500)×3%，即y=0.03x－105
②当x=4160时，y=0.03×4160-105=19.8（元）
③因为（5000-3500）×3%=45（元），19.2＜45，所以此人本月工资、薪金收入低于5000元，设此人本月工资、薪金收入是x元，则19.2=0.03x-105，所以解得x=4140（元）
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
【课堂练习】
1．1．以下函数：①y=2x2+x+1 ②y=2πr ③y= ④y=(－1)x ⑤y=－(a+x)(a是常数) ⑥s=2t是一次函数的是________．
2．下列说法正确的是（ ）
A．一次函数是正比例函数
B．正比例函数是一次函数
C．正比例函数不是一次函数
D．一次函数不可能是正比例函数
3．下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；
(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；
(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．
4.当k=________时，y=(k+1)x+k是一次函数．
5.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付买本款y（元）与买本的个数x（个）之间的关系．
答：_______________________________________________________
（2）等腰三角形的周长是18，若腰长为y，底边长为x，则y与x之间的关系．并求出x的取值范围．
答：_______________________________________________________
（3）有一个长为120米，宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，则y与x的关系．
答：_______________________________________________
（4）据测试：拧不紧的水龙头每秒钟会滴下两滴水，每滴水约0.05毫升．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后水龙头滴了y毫升水．y与x之间的关系．
答：______________________________________________
（5）小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已有20元，从现在开始，每周存入5元，那么小明的存款y与从现在开始的周数x的关系为 ．
6. 已知函数y=(m+1)x+(m2－1)，当m取什么值时， y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例函数？
7．容积为800公升的水池内已贮水200公升，若每分钟注入的水量是15公升，设池内的水量为Q（公升），注水时间为t（分）．
（1）请写出Q与t的函数关系式．
（2）注水多长时间可以把水池注满？
（3）当注水时间为0.2小时时，池中水量是多少？
【答案】
②④⑤⑥ 2．B
3.(1) ，不属于一次函数．
(2)L＝2b＋16，属于一次函数，不属于正比例函数
(3)y＝120－5x，属于一次函数，不属于正比例函数．
(4)s＝40x，属于一次函数，也属于正比例函数．
4.1
5.(1)y=2.5x是一次函数，也是正比例函数
(2)y=9－x(0＜x＜9)是一次函数，不是正比例函数
(3)y=20－x是一次函数，不是正比例函数
(4)y=360x是一次函数，也是正比例函数
6.分析：本题考察一次函数的定义．
解：由函数是一次函数可得，m+1≠0，解得 m≠－1，
所以，m≠－1时，y是x的一次函数；
函数为正比例函数时，
m+1≠0且m2－1=0，解得 m=1，
所以，当m=1时，y是x的正比例函数．
7.(1)Q=200+15t
(2)注水40分钟可以把水池注满
(3)当注水0.2小时即12分钟时，池内有水380公升
六、课堂小结
1．一次函数、正比例函数的概念及关系．
2．能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式．
七、板书设计
4.2一次函数和正比例函数
1．一次函数
2．正比例函数