初中数学北师大版八年级上册第七章 平行线的证明：平行线的性质教案

第七章 平行线的证明
7. 4 平行线的性质
在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体.本节课安排《平行线的性质》旨在让学生能够区分平行线的判定和性质的区别和联系，逐步形成一个初步的、比较清晰的证明思路.
平行线的性质定理的证明；证明的一般步骤.
经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力；结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤.
通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性.
【教学重点】
证明的步骤和格式.
【教学难点】
理解命题、分清其条件和结论.正确对照命题画出图形.写出已知、求证.
教师准备课件，学生要将平行线的判定和性质熟悉并区分.
一、复习回顾
［师］上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？
这节课我们就来研究“如果两条直线平行”.
二、合作交流，探究新知
［师］在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：
两直线平行，同位角相等.
下面大家来分组讨论
议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？
［生甲］利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：两条直线平行，内错角相等.
［生乙］还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补.
［师］很好，下面大家来想一想：
（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？
（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
（3）你能说说证明的思路吗？
图6－23
［生甲］根据上述命题的文字叙述，可以作出相关的图形.如图6－23.
［生乙］因为“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”这个命题的条件是：两条平行线被第三条直线所截.它的结论是：内错角相等.所以我根据所作的图形.如图6－23，把这个文字命题改写为符号语言.即：
已知，如图6－23，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.
求证：∠1=∠2
［师］乙同学叙述得很好.
（投影片为上面的符号语言）你能说说证明的思路吗？
［生丙］要证明内错角∠1=∠2，从图中知道∠1与∠3是对顶角.所以∠1=∠3，由此可知：只需证明∠2=∠3即可.而∠2与∠3是同位角.这样可根据平行线的性质公理得证.
［师］丙同学的思路清楚.我们来根据他的思路书写证明过程.哪位同学上黑板来书写呢？
（学生举手，请一位同学来）
［生丁］证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
［师］同学们写得很好.通过证明证实了这个命题是真命题，我们可以把它称为定理.即平行线的性质定理.这样就可以把它作为今后证明的依据.
注意：（1）在课本中曾指出：随堂练习和习题中用黑体字给出的结论也可以作为今后证明的依据.所以像“对顶角相等”就可以直接应用.
（2）这个性质定理的条件是：直线平行.结论是：角的关系.在应用时一定要注意.
接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题.
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
［师］来请一位同学上黑板来给大家板演，其他同学写在练习本上.
图6－24
［生甲］已知，如图6－24，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）
图6－25
［生乙］老师，我写的已知、求证与甲同学的一样，但证明过程有一点不一样，他应用了直线平行的性质公理，我应用了直线平行的性质定理.（证明如下）
证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）
［师］同学们证得很好，都能学以致用.通过推理的过程得证这个命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题.我们把它称为定理，即直线平行的性质定理，以后可以直接应用它来证明其他的结论.
到现在为止，我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，那么你能说说证明的一般步骤吗？大家分组讨论、归纳.
［师生共析］好，我们来共同归纳一下.
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形.
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达.
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.
第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.
［师］接下来我们来做一练习，以进一步巩固证明的过程.
三、巩固新知
根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)：
1. 垂直于同一直线的两直线平行；
已知：直线b⊥a , c⊥a
求证：b∥c
2. 一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
已知：如图，AD是∠BAC的平分线，
BD⊥AB于B ,
CD⊥AC于C
求证：BD=BC
3. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线 a, b, c 被直线 d 所截，且a∥b,c∥b，
求证：a∥c
四、归纳小结
这节课我们主要研究了平行线的性质定理的证明，总结归纳了证明的一般步骤.
平行线的性质：
公理：两直线平行，同位角相等.
定理：两直线平行，内错角相等.
定理：两直线平行，同旁内角互补.
2.证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
略.