山西省2023年中考数学试卷
1．（2023·山西）计算的结果为（ ）．
A．3 B． C． D．
2．（2023·山西）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山西）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·山西）山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（ ）
A．千瓦时 B．千瓦时
C．千瓦时 D．千瓦时
5．（2023·山西）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山西）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山西）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023·山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·山西）计算（+）（﹣）的结果为 .
12．（2023·山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）
13．（2023·山西）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．
14．（2023·山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
15．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
16．（2023·山西）（1）计算：；
（2）计算：．
17．（2023·山西）解方程：．
18．（2023·山西）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
19．（2023·山西）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
20．（2023·山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）。
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
21．（2023·山西）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1） ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，…
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指： ．
依据2是指： ．
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
（3）在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
22．（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
23．（2023·山西）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
（1）求直线的函数表达式及点C的坐标；
（2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：原式=1×3=3；
故答案为：A.
【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 不是轴对称图形 ，故不符合题意；
B、不是轴对称图形 ，故不符合题意；
C、是轴对称图形 ，故符合题意；
D、不是轴对称图形 ，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此项错误，故不符合题意；
B、， 此项错误，故不符合题意；
C、， 此项错误，故不符合题意；
D、， 此项正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法与除法、积的乘方及幂的乘方分别计算，再判断即可.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1464亿千瓦时=1464×108千瓦时=1.464×1011千瓦时；
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-40°=50°，
∴∠DBC=∠CAD=50°.
故答案为：B.
【分析】由直径所对的圆周角是直角，可得∠BAD=90°，从而得出∠CAD=∠BAD-∠BAC=50°，利用同弧所对的圆周角相等即可求解.
6．【答案】B
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得： ；
故答案为：B.
【分析】由挂重后弹簧的长度=不挂物体时弹簧的长度+挂物体后的伸长长度即可列式.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，∵AB∥OF，∠1=155°，
∴∠BFO=180°-∠1=25°，
∵∠POF=∠2=30°，
∴∠3=∠POF+∠BFO=30°+25°=55°；
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可求出∠BFO=25°，由对顶角相等可得∠POF=∠2=30°，根据三角形外角的性质可得∠3=∠POF+∠BFO，据此即可求解.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把A（-2，a）代入中，得a=-2 ，
把B（-1，b）代入中，得b=-4，
把c（3，c）代入中，得c=，
∵-4＜-2＜，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】将A、B、C的坐标分别代入反比例函数解析式中，可求出a、b、c的值，继而比较即可.
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ 过点的两条切线相交于点 ，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠ACB+∠AOB=360°-（∠OAC+∠OBC）=180°，
∵α+∠ACB=180°，
∴∠AOB=α=60°，
∵OA=1.5km，
∴的长为=πkm；
故答案为：B.
【分析】由切线的性质可得∠OAC=∠OBC=90°，利用四边形内角和可得∠ACB+∠AOB=180°，由邻补角的定义可得α+∠ACB=180°，从而得出∠AOB=α=60°，然后根据弧长公式即可求解.
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设中间正六边形的中心为D，连接BD，
∵P，Q（0，-3）， 且图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙 ，
∴AB=BC=，OQ=3，∠ODB=30°，
∴OA=OB=，OC=，OD=1，BD=2OD=2，
∴CM=DQ=BD=2，
∴M（，-2）
【分析】设中间正六边形的中心为D，连接BD，由P、Q的坐标及正六边形的性质可得AB=BC=，OQ=3，∠ODB=30°，从而求出CM、CO的长，即得点M坐标.
11．【答案】-1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（+）（﹣ ）
=-
=2﹣3
=﹣1
∴（+）（﹣ ）的结果为﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，求出算式（+）（﹣ ）的结果为多少即可．
12．【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图形中有4=2×2个白色圆片，
第2个图形中有6=2×3个白色圆片，
第3个图形中有8=2×4个白色圆片，
第4个图形中有10=2×5个白色圆片，
······，
则第n个图形中有2×（n+1）=2n+2个白色圆片；
故答案为：（2n+2）；
【分析】观察已知图形可求出第1个、第2个、第3个、第4个图形中白色圆片的个数，据此可得第n个图形中有2×（n+1）=2n+2个白色圆片.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： 在中， ，AD∥BC，
∴∠ABC=∠D=60°，
由作图知AB=BE，BP平分∠ABE，
∴△ABE是等边三角形，∠ABO=∠EBO=30°，
∴AO=BO，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBO=30°，
在Rt△FAO中，∠AFO=30°，
∴tan∠AFO=tan30°==，
∴OF：OE=OF：OA=；
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠D=60°，AD∥BC，结合作图可得∠ABO=∠EBO=30°，AO=BO，由平行线的性质可得∠AFB=∠EBO=30°，根据tan∠AFO=tan30°==即可求解.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将 《论语》《孟子》《大学》《中庸》 分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
‘
由树状图知共有12种等可能情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》 共有2种，
∴ 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率为；
故答案为：.
【分析】利用树状图列举出共有12种等可能情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》 共有2种，然后利用概率公式计算即可.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
16．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算绝对值、乘方、负整数指数幂及括号里，再计算乘法，最后计算减法即可；
（2）利用单项式乘多项式、完全平方公式将原式展开，再利用去括号、合并同类项即可.
17．【答案】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
18．【答案】（1）69；69；70
（2）解：（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
（3）解：结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将7个数据从小到大排列：67，68， 69，69，71，72，74，
∴中位数为69；
这7个数据中69出现2次，次数最多，故众数为69；
平均数为（67+68+69+69+71+72+74）÷7=70；
故答案为：69，69，70.
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的定义分别求解即可；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数直方图即可得解.
19．【答案】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．
根据题意，得，
解得．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨．
（2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意，得．
解得．
因为为整数，取最大值，所以．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨，根据“ 已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等”，列出方程组并解之即可；
（2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥，根据“ 载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行 ”列出不等式并求出m的最大整数解即可.
20．【答案】解：过点作于点，延长交于点，
∴．
由题意得，在中，．
∴．
∴．
由题意得，，四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵．
∴．
∴，
∴．
答：的长约为的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 过点作于点，延长交于点，由，分别求出EF=，FD=3，易证四边形是矩形，从而求出CH=1，利用邻补角定义求出∠BCH=45°，根据分别求出BC≈1.4，BH=1，利用AB=AH-BH即可求解.
21．【答案】（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求
（3）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和，
证明如下：∵点分别是边的中点，
∴．
∴．
同理．
∴四边形的周长．
即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：（1）材料中的依据1是指：三角形中位线定理； 依据2是指： 平行四边形的定义 ；
故答案为：三角形中位线定理；平行四边形的定义 ；
【分析】（1）由三角形中位线定理和平行四边形的判定进行填空即可；
（2） 只要是对角线互相垂直的四边形即可（答案不唯一）；
（3）由三角形中位线定理可得，即得EF+GH=AC，同理可得 ，从而得出四边形的周长，即可得解.
22．【答案】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）解：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再由，可得，从而证得四边形为正方形；
（2）①由可得，再根据 ，可得BC=AM， 由（1）得， 利用等量代换即得结论；
② 设的交点为M，过M作于G， 先证， 利用等腰三角形三线合一的性质可得点G是的中点，利用解直角三角形求出DG、DM的长，从而求出AM的长，再证， 利用相似三角形的对应边成比例求出AH的长即可.
23．【答案】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）解：①点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．
∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．
∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②如图3，由（1）得，．
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A（4，0） ，利用待定系数法求出直线AB解析式，再求出x=0时y值，即得C的坐标；
（2）①由题意知， 可得，由点C坐标可得=2， 分两种情况：当点在直线上方时 ，=2，解之即可； 当点在直线下方时，=2， 解之即可；
② 由（1）得， ，则EQ=m-1，证明．
可得，据此求出FQ=-m+4，即得FQ=DE，从而证四边形为矩形，继而得出 ∴，利用二次函数的性质求解即可.
1 / 1山西省2023年中考数学试卷
1．（2023·山西）计算的结果为（ ）．
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：原式=1×3=3；
故答案为：A.
【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘.
2．（2023·山西）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 不是轴对称图形 ，故不符合题意；
B、不是轴对称图形 ，故不符合题意；
C、是轴对称图形 ，故符合题意；
D、不是轴对称图形 ，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.
3．（2023·山西）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此项错误，故不符合题意；
B、， 此项错误，故不符合题意；
C、， 此项错误，故不符合题意；
D、， 此项正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法与除法、积的乘方及幂的乘方分别计算，再判断即可.
4．（2023·山西）山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（ ）
A．千瓦时 B．千瓦时
C．千瓦时 D．千瓦时
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1464亿千瓦时=1464×108千瓦时=1.464×1011千瓦时；
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
5．（2023·山西）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-40°=50°，
∴∠DBC=∠CAD=50°.
故答案为：B.
【分析】由直径所对的圆周角是直角，可得∠BAD=90°，从而得出∠CAD=∠BAD-∠BAC=50°，利用同弧所对的圆周角相等即可求解.
6．（2023·山西）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得： ；
故答案为：B.
【分析】由挂重后弹簧的长度=不挂物体时弹簧的长度+挂物体后的伸长长度即可列式.
7．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，∵AB∥OF，∠1=155°，
∴∠BFO=180°-∠1=25°，
∵∠POF=∠2=30°，
∴∠3=∠POF+∠BFO=30°+25°=55°；
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可求出∠BFO=25°，由对顶角相等可得∠POF=∠2=30°，根据三角形外角的性质可得∠3=∠POF+∠BFO，据此即可求解.
8．（2023·山西）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把A（-2，a）代入中，得a=-2 ，
把B（-1，b）代入中，得b=-4，
把c（3，c）代入中，得c=，
∵-4＜-2＜，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】将A、B、C的坐标分别代入反比例函数解析式中，可求出a、b、c的值，继而比较即可.
9．（2023·山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ 过点的两条切线相交于点 ，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠ACB+∠AOB=360°-（∠OAC+∠OBC）=180°，
∵α+∠ACB=180°，
∴∠AOB=α=60°，
∵OA=1.5km，
∴的长为=πkm；
故答案为：B.
【分析】由切线的性质可得∠OAC=∠OBC=90°，利用四边形内角和可得∠ACB+∠AOB=180°，由邻补角的定义可得α+∠ACB=180°，从而得出∠AOB=α=60°，然后根据弧长公式即可求解.
10．（2023·山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设中间正六边形的中心为D，连接BD，
∵P，Q（0，-3）， 且图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙 ，
∴AB=BC=，OQ=3，∠ODB=30°，
∴OA=OB=，OC=，OD=1，BD=2OD=2，
∴CM=DQ=BD=2，
∴M（，-2）
【分析】设中间正六边形的中心为D，连接BD，由P、Q的坐标及正六边形的性质可得AB=BC=，OQ=3，∠ODB=30°，从而求出CM、CO的长，即得点M坐标.
11．（2023·山西）计算（+）（﹣）的结果为 .
【答案】-1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（+）（﹣ ）
=-
=2﹣3
=﹣1
∴（+）（﹣ ）的结果为﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，求出算式（+）（﹣ ）的结果为多少即可．
12．（2023·山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）
【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图形中有4=2×2个白色圆片，
第2个图形中有6=2×3个白色圆片，
第3个图形中有8=2×4个白色圆片，
第4个图形中有10=2×5个白色圆片，
······，
则第n个图形中有2×（n+1）=2n+2个白色圆片；
故答案为：（2n+2）；
【分析】观察已知图形可求出第1个、第2个、第3个、第4个图形中白色圆片的个数，据此可得第n个图形中有2×（n+1）=2n+2个白色圆片.
13．（2023·山西）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： 在中， ，AD∥BC，
∴∠ABC=∠D=60°，
由作图知AB=BE，BP平分∠ABE，
∴△ABE是等边三角形，∠ABO=∠EBO=30°，
∴AO=BO，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBO=30°，
在Rt△FAO中，∠AFO=30°，
∴tan∠AFO=tan30°==，
∴OF：OE=OF：OA=；
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠D=60°，AD∥BC，结合作图可得∠ABO=∠EBO=30°，AO=BO，由平行线的性质可得∠AFB=∠EBO=30°，根据tan∠AFO=tan30°==即可求解.
14．（2023·山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将 《论语》《孟子》《大学》《中庸》 分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
‘
由树状图知共有12种等可能情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》 共有2种，
∴ 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率为；
故答案为：.
【分析】利用树状图列举出共有12种等可能情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》 共有2种，然后利用概率公式计算即可.
15．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
16．（2023·山西）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算绝对值、乘方、负整数指数幂及括号里，再计算乘法，最后计算减法即可；
（2）利用单项式乘多项式、完全平方公式将原式展开，再利用去括号、合并同类项即可.
17．（2023·山西）解方程：．
【答案】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
18．（2023·山西）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】（1）69；69；70
（2）解：（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
（3）解：结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将7个数据从小到大排列：67，68， 69，69，71，72，74，
∴中位数为69；
这7个数据中69出现2次，次数最多，故众数为69；
平均数为（67+68+69+69+71+72+74）÷7=70；
故答案为：69，69，70.
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的定义分别求解即可；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数直方图即可得解.
19．（2023·山西）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【答案】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．
根据题意，得，
解得．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨．
（2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意，得．
解得．
因为为整数，取最大值，所以．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨，根据“ 已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等”，列出方程组并解之即可；
（2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥，根据“ 载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行 ”列出不等式并求出m的最大整数解即可.
20．（2023·山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）。
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
【答案】解：过点作于点，延长交于点，
∴．
由题意得，在中，．
∴．
∴．
由题意得，，四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵．
∴．
∴，
∴．
答：的长约为的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 过点作于点，延长交于点，由，分别求出EF=，FD=3，易证四边形是矩形，从而求出CH=1，利用邻补角定义求出∠BCH=45°，根据分别求出BC≈1.4，BH=1，利用AB=AH-BH即可求解.
21．（2023·山西）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1） ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，…
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指： ．
依据2是指： ．
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
（3）在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求
（3）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和，
证明如下：∵点分别是边的中点，
∴．
∴．
同理．
∴四边形的周长．
即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：（1）材料中的依据1是指：三角形中位线定理； 依据2是指： 平行四边形的定义 ；
故答案为：三角形中位线定理；平行四边形的定义 ；
【分析】（1）由三角形中位线定理和平行四边形的判定进行填空即可；
（2） 只要是对角线互相垂直的四边形即可（答案不唯一）；
（3）由三角形中位线定理可得，即得EF+GH=AC，同理可得 ，从而得出四边形的周长，即可得解.
22．（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）解：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再由，可得，从而证得四边形为正方形；
（2）①由可得，再根据 ，可得BC=AM， 由（1）得， 利用等量代换即得结论；
② 设的交点为M，过M作于G， 先证， 利用等腰三角形三线合一的性质可得点G是的中点，利用解直角三角形求出DG、DM的长，从而求出AM的长，再证， 利用相似三角形的对应边成比例求出AH的长即可.
23．（2023·山西）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
（1）求直线的函数表达式及点C的坐标；
（2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）解：①点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．
∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．
∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②如图3，由（1）得，．
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A（4，0） ，利用待定系数法求出直线AB解析式，再求出x=0时y值，即得C的坐标；
（2）①由题意知， 可得，由点C坐标可得=2， 分两种情况：当点在直线上方时 ，=2，解之即可； 当点在直线下方时，=2， 解之即可；
② 由（1）得， ，则EQ=m-1，证明．
可得，据此求出FQ=-m+4，即得FQ=DE，从而证四边形为矩形，继而得出 ∴，利用二次函数的性质求解即可.
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