(共8张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
类型一巧用乘法公式计算
1.计算：
(1)(3W2+√/12)（√/18-2W3);
解：原式=(3W2+2W3)(3√2-2√3)
=(3√2)2-(2√3)2
=18-12
=6;
类型二先化简，再求值
2.先化简，再求值：a二÷(a-2ab-)
a
其中a=2十√3，b=2-√3.
解：原式=8ga=2+v3,6=2-v3,
原式=
2√3
类型三利用整体思想代入求值
3.已知Wx+√y=√5+W3,√xy=W15-3,
则x十y=8+2√3.
4已知a6=3ab=2,求侣+√2的值.
解：（√g+√0）=6++2=+b+2a
ab
=a=98+0Ng+
ab
=32
/2
2
5.已知α=√5十2，b=√5一2，求下列式子的值：
(1)a2b+ab2;
(2)a2-3ab+b;
(3)(a-2)(b-2).
解：由题意得：a+b=2√5，ab=1.
(1)a2b+ab2=ab(a+b)=25;
(2)a2-3ab+b2=(a+b)2-5ab=20-5=15;
(3)(a-2)(b-2)=ab-2(a+b)+4=1-
4W5+4=5-4wW5.
6.已知a一b=/3十2，b一c=3-√/2.求
a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.
解：由a-b=√3+√2，b-c=√3-√2，得a-c=
23,∴.原式=2[(a-b2+(a-c2+(b-c)2]=
2[(3+V2)2+(2V3)2+(W3-√2)2]=11.(共8张PPT)
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人
类型一配方法在解方程中的应用
1.解方程：x2-2x-2019=0.
解：(x-1)2=2020,
x-1=±2√/505，
.∴.x1=1+2/505,x2=1-2/505.
类型二配方法在求二次三项式中的待定
系数的应用
2.若代数式16x2+kxy+4y2是完全平方
式，则k的值为
(D)
A.8
B.16
C.-16
D.士16
3.已知x2十6x+m2是完全平方式，则m=
士3
4.已知关于x的二次三项式x2十(k十1)x十
k一2k十1是完全平方式，求k的值
解：由题意，得k十1=士2(k-1),.∴.k=3或k=
1
3
类型三配方法在求二次三项式的最大
(小)值中的应用
5.对关于x的二次三项式x2十4x十9进行
配方得x2十4x十9=(x十m)2十n.
(1)求m,n的值；
(2)求x为何值时，x2十4x十9有最小值，
并求出它的最小值.
解：(1)'.∴x2+4x+9=(x+m)2+n=x2+2mx+
t+1n,.∴.2m=4,+n=9..∴.m=2,n=5;
(2).m=2,n=5,.∴.x2+4x+9=(x+2)2+5.
.∴.当x=-2时，x2十4x十9有最小值，最小值为
5.
6.利用配方法证明：无论x取何实数值，代
数式-2x-x十1的值总不大于
证明：”-22-+4=-2x+4)’+
,而
-2(+4)≤0.-2(x+4°+8
33
81
-22-x+48.放结论成立.
类型四
利用配方法解多元方程
7.已知a十+4a一2b十5=0，求3a2十5一
5的值.
解：.a2+b2+4a-2b+5=0,.∴.(a2+4a+4)+
(b2-2b+1)=0,
即(a+2)2+(b-1)2=0.
.∴.a+2=0,且b-1=0..∴.a=-2,b=1.
..3a2+5b2-5=3×(-2)2+5×12-5=12.
8.若a,b,c是△ABC的三边长且满足a2一
6a十b2一8b十√c一5十25=0，请根据已知
条件判断其形状.
解：将原式配方，得a2-6a+9+b2-8b+16+
/c-5=0,.∴.(a-3)2+(b-4)2+/c-5=0.
.∴.(a-3)2=0,且(b-4)2=0,且/c-5=0.
.∴.a=3,b=4,c=5..32+42=52,即a2+b2=
c2,∴.△ABC为直角三角形.(共8张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
类型一四边形与动态问题
1.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC
=12cm,点E,F,G分别从A,B,C三点
同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速
运动，点E的运动速度为1cm/s,点F的
运动速度为3cm/s,点G的运动速度为
1.5cm/s,当点F到达点C(即，点F与，点
C重合)时，三个点随之停止运动.在运动
过程中，△EBF关于直线EF的对称图形
是△EB'F.设点E,F,G运动的时间为t
(单位：s).
(1)当t=
s时，四边形EBFB为正
方形；
(2)若以点E,B,F为顶点的三角形与以
点F,C,G为顶点的三角形相似，求t
的值.
解：(1)2.5：
A
(2)分两种情况，讨论如下：
①若△EBFp△FCG,则有
EB_B
,即10-=36，解
B
G
FCCG’12-3t1.5t1
B
得t=2.8;②若△EBF∽
BE_BF
△GCF,则有C
即10
3t
5t
。,解得t
12-3t9
=-14-2/69(不合题意，舍去)或t=-14+
2√69.
..当t=2.8s或t=(-14+2√/69)s时，以点
E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点
的三角形相似.
2.如图，正方形ABCD中，点P为射线DC
上的一个动点，点Q为AB的中点，连接
PQ,DQ,过点P作PE⊥DQ于点E.
(1)请找出图中一对相似三角形，并证明；
(2)若BA=4,以点P,E,Q为顶点的三角
形与△ADQ相似，试求出DP的长.
解：(1)△ADQp△EPD,证明
PC
如下：.PE⊥DQ,.∠DEP=
∠A=90°，.'∠ADC=
90°
E
.∴.∠AD0+
∠EDP=
90°，
∠EDP+∠EPD
90°，
A
Q
B
.∠ADQ=∠EPD,.△ADQ
o△EPD;
△ADO△EPD,EP
ED
.·2x=25-x
AD AO
4
2
.∴.x=√5，.∴.DP=/DE2+EP2=5;②当△AD0
CD△EQP时，设EQ=2a,则EP=a,同理可得
2√5-2a
=
a
=2,a=号5，DP=
4
/DE2+EP2=2.
综上所述，DP长为2或5.
类型二三角形与动态问题
3.如图，在平面直角坐标系
内，已知点A(0,6),点B
A
(8,0).动点P从点A开始
P
在线段AO上以每秒1个单
位长度的速度向点O移动，
B
同时动点Q从点B开始在线段BA上以每
秒2个单位长度的速度向点A移动，设点
P,Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相
似？并求出此时点P的坐标.
解：(1)设直线AB的解析式为y=kx十b,由题
k=3
意得
b=6,
4’.直线AB的
8k+b=0,
解得
b=6,
解折式为y=-3
x+6;
4(共15张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
模型一三角型模型
类型1：背靠背型（模型展示）
已知三角形中的两角
C
(/A和/B)及一边(AC或
BC),在三角形内作高CD,
A
B
构造两个直角三角形求解，
D
公共边CD是解题的关键
1.(随州中考)在一次海上救援中，两艘专业
救助船A,B同时收到某事故渔船的求救
讯息，已知此时救助船B在A的正北方
向，事故渔船P在救助船A的北偏西30
方向上，在救援船B的西南方向上，且事
故渔船P与救助船A相距120海里.
(1)求收到求救讯息时，事故渔船P与救
助船B之间的距离；
(2)若救助船A,B分别以40海里/小时、
30海里/小时的速度同时出发，匀速直
线前往事故渔船P处搜救，试通过计
算判断哪艘船先到达.
解：(1)作PC⊥AB于C,则∠PCA=北
∠PCB=90°，由题意得：PA=120
东
B
海里，∠A=30°，∠BPC=45,.∴.P℃=
PA=60..BC=PC=60.PB=
1
W2PC=60W2(海里)；
(2).PA=120,PB=60√2，∴.救
助船A到达需要
=3(小时)，救助船B到达
需要602=2V2(小时)，3>2V2,救助船B
30
先到达.
类型2：母子型（模型展示）
已知三角形的两角（∠1和∠2）及其
中一边，在三角形外作高BC,构造两个直
角三角形求解，公共边BC是解题的关键.
R
2.(河池中考)如图，在河对岸有一棵大树
A,在河岸B点测得A在北偏东60°方向
上，向东前进120m到达C点，测得A在
C的北偏东30°方向上，求河的宽度.（精
确到0.1m,参考数据：√2≈1.414，√/3≈
1.732)
解：过点A作AD⊥直线BC,
北
垂足为点D,在Rt△ABD中，
BD
tan∠BAD=
D,.BD=AD·
B
tan60°=√3AD;在Rt△ACD中，tan∠CAD=
CD
,CD=AD·tan30°=SAD.BC=B1
AD
CD=23
AD=120,.∴.AD≈103.9..∴.河的宽度
3
约为103.9米.
类型3：拥抱型（模型展示）
单独解每个三角形再加减：
A
B
E
3.如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的
标语牌，即CD=3m.数学活动课上，小明
和小红要测量标语牌的底部点D到地面
的距离.测角仪支架高AE=BF=1.2m,
小明在E处测得标语牌底部点D的仰角
为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C
的仰角为45°，AB=5m,依据他们测量的(共7张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
方法1比较被开方数法
1.比较下列各组二次根式的大小：
(1)45与6W3;
(2)10√2与4/13.
解：(1)'.'4W5=/4×5=/80,6W3=/6×3=
/108,且√80(2).·10√2=/102×2=/200,4/13=
/42×13=/208,且√2004/13.
方法2平方法
2.比较下列各组二次根式的大小：
(1)-7√2与-3√/10；
(2)W6+√/11与√/14十3；
8)时4与2.
2
解：(1).(-7√2)2=98，(-3√10)2=90，且
98>90,.∴.-7√2<-3√/10；
(2)'.'(W6+√11)2=17+2√66，(/14+√3)2=
17+242,且2√/66>242，.∴.√6+/11>
/14+W3;
8)(104)=6+V3丽，(v22=
12=6+36,且35<≤√36，.10+14
2
/12.
方法3作差法
3.比较9与号的大小
9-1-=19-30v19-1
33
3
子
方法4倒数法
4.比较下列各组二次根式的大小：
(1)W3-√2与2-√3；
(2)√/15-/14与/14-√/13.
解：1)3+2，。云=2+3，卫
√3-√2
2-√3
√3+√2<2+√3，.∴W3-√2>2-W3;
(2).
=√/15+W14,
/15-√/14
√/14-/13
/14+√/13，且/15+√/14>/14+/13，
../15-/14方法5中间值法
5.比较5+2与√37一1的大小.
解：2<5<3，∴.4<√5+2<5，.67,.∴.5华师大版九年级数学上册
人
类型一数字问题和传播问题
1.今年春季某地区流感爆发，开始时有4人
患了流感，经过两轮传染后，共有196人
患了流感.若每轮每人传染的人数相同，
则每轮每人传染的人数为6人·
2.一个两位数，十位上的数字比个位上的数
字的平方小2，如果把这个数的个位数字
与十位数字交换，那么所得到的两位数比
原来的数小36，求原来的两位数，
解：设原来两位数的个位数字是x,则[10(x2
2)+x]-(10x+x2-2)=36,解得x1=3,x2
三
-2(不合题意，舍去)，x2-2=7.所以原来的两
位数为73.
类型二增长率问题
3.某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产
量为2000kg,根据市场需要，今年该农场
扩大了种植面积，并且全部种植了高产的
新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率
是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总
产量为60000kg,求南瓜亩产量的增长
率.
解：设南瓜亩产量的增长率为x,则种植面积的
增长率为2x,依题意，得10(1+2x)×2000(1+
x)=60000,解这个方程，得x1=0.5=50%,
x2=-2(不合题意，舍去).
答：南瓜亩产量的增长率为50%.
类型三几何问题
4.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的
一边利用长为12m的住房墙，另外三边
用25m长的建筑材料围成，为方便进出，
在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的
门，所建矩形猪舍的长、宽分别为多少时，
猪舍面积为80m
解：设矩形猪舍垂直于住
住房墙
房墙的一边长为xm,则
矩形猪舍的另一边长为
(26-2x)m,则x(26-
2x)=80,解得x1=5,
x2=8.当x=5时，26-2x=16>12(舍去)；当
x=8时，26-2x=1012.
答：所建矩形猪舍的长为10m,宽为8m时，猪
舍面积为80m2.
5.某地计划对矩形广场进行扩建改造.如
图，原广场长50m,宽40m,要求扩充后
的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域
的扩建费用每平方米30元，扩建后在原
广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费
用每平方米100元.如果计划总费用
642000元，扩充后广场的长和宽分别是多
少米？
解：设扩充后广场的长为
扩
3xm,宽为2xm,依题意得：
3x·2x·100+30(3x·2x-
原广场
暖
50×40)=642000,解得x1=
30,x2=-30(舍去)，所以3x=90,2x=60.
答：扩充后广场的长为90m,宽为60m.(共16张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
模型一平行线型
模型展示
A
E
D
A
D
E
B
C
B4
C
DE∥BC
1.如图所示，已知D,E分
别是△ABC的AB,AC
边上的点，且DE∥BC,
DE:BC=1:3,那么AE:B
AC等于
(B)
A.1:9
B.1:3
C.1:1
D.1:2
2.(江西中考)如图，在△ABC中，AB=8,
BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平
分线，BD交AC于点E,求AE的长
解：.'BD为∠ABC的平分
线，∴.∠ABD=∠CBD,.
AB∥CD,.∴.∠D=∠ABD,
E
∴.∠D=∠CBD,.BC=
CD,∴.BC=4,.∴.CD=4,.B
AB∥CD,∴.△ABECの△CDE,
AE
CE
.AE=2CE.AC=6=AE+CE
4
.∴.AE=4.
模型二斜交型
模型展示
B
B
蝶形（对顶角）
共角型
共角共边型
(可得到比例中项)
3.如图，在△ABC中，AB=
AC,∠A=36°，∠ABC的平
分线交AC于点D,∠ACB
D
的平分线交BD于点E,且
CD=1,则DE的值为
(A)
A.5,1B.5+1C.5+3
D.5-1
2
2
2
4.如图，点D、E分别为△ABC的边AC、AB
上的点，BD,CE交于点O,且0
试问△ADE与△ABC相似吗？请说明
理由.
解：△ADE∽△ABC.理由如
下：易证△EOD)△BOC,从而
可得∠DEO=∠DBC.再证
△BOE)△COD,从而可得
∠EBD=∠ECD.所以可得
B
∠ABC=∠ADE,又因为∠A=∠A,所以△ADE
)ΛABC.
5.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，
点E,F分别在AC,BC边上，连接AF,
BE相交于点P,∠APE=60°.
(1)求证：△APE∽△ACF;
(2)若AE=1,求AP·AF的值.
(1)证明：.'△ABC是等边三
角形，.∠C=60°，.·∠APE
力
E
=60°，.∠C=∠APE,又
∠PAE=∠CAF,.∴.△APED
B
△ACF;
(2)解：△APE∽△ACR,AE=
AF
40,又AE=
1,AC=3,..AP·AF=AE·AC=3.
模型三双垂直型
模型展示
A
C
E
D
B
B
D
AC BC.DE AB ACI BC.CDAB
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
BC=3,AC=4,AB的垂直平分线交BC
的延长线于点E,则CE的长为(B)
C.2
D.2(共8张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
类型一利用根与系数的关系求代数式的值
1.（广东中考)已知x1,x2是一元二次方程
x2一2x=0的两个实数根，下列结论错误
的是
(D)
A.x1丰C2
B.x12-2x1=0
C.x1+x2=2
D.x1·x2=2
2.(凉山州中考)已知x1,x2是一元二次方
程3x2=6一2x的两根，则x1一x1x2+x2
的值是
8
A.
4
B.
8
3
c.-
3
D.
3
3.(攀枚花中考)已知x1,x2是方程x2一
2x-1=0的两根，则x12十x22=6
4.（泸州中考)已知x1,x2是一元二次方程
x2一x一4=0的两实根，则(x1十4)(x2十
4)的值是16
5.设m,n是一元二次方程x2十2x一7=0
的两个根，则m2+3m十n一mm=
12
6.已知实数m,n满足3m2十6m一5=0,3m2十
6m-5=0,且m≠，则%%
：-22
5
7.（南充中考)已知关于x的一元二次方程
x2十(2m一1)x十m2一3=0有实数根.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m=2时，方程的根为x1,x2,求代
数式(x12十2x1)(x22+4x2十2)的值.
解：(1)由题意得△=(2m-1)2-4(m2-3)≥0，
3
.m<4
(2)当m=2时，方程为x2+3x+1=0,.∴.x1+
x2=-3,x1x2=1,K12+3x1+1=0,22+3x2+
1=0,∴.(x12+2x1)(x22+4x2+2)=（x12+
2x1+x1-x1)(x22+3x2+2+2)=(-1-x1)
(-1+x2+2)=(-1-x1)(x2+1)=-x2-
x1x2-1-X1=-(x1+x2)-1x2-1=3-2=
1.
10.已知方程x2十4x一2m=0的一个根a比
另一个根3小4，则α=-4,3=
0,m=0
11.(成都中考)已知x1,x2是关于x的一元
二次方程x2一5x十a=0的两个实数根，
且x一x=10,则a=
21
4
12.已知关于x的一元二次方程x2一4x十
m=0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程有两实数根分别为x1,x2,且
满足5x1十2x2=2,求实数m的值.
解：(1).·方程x2-4x+m=0有实数根，
.∴△=b2-4ac=(-4)2-41m≥0..∴.m≤≤4；
(2).·方程x2-4x十m=0的两实数根分别为
X1,x2,.x1+2=4①，又.5x1+2x2=2②，联
立①②解方程组得
/=-2,
x2=6,m=1·2=
-2×6=-12.(共9张PPT)
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人
类型一相似与四边形的综合
1.如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是
边BC延长线上的一点，AE与CD相交
于点F,则图中的相似三角形共有(C)
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
A
B
C
B
(第1题图)
(第2题图)
2.（铜仁中考)如图，四边形ABCD为菱形，
AB=2,∠DAB=60°，点E、F分别在边
DC、BC上，且CE=}CD,CF=3CB,则
△CEF
D
A
B
2
C.v3
D.
9
3.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，
F是AM的中点，EF⊥AM,垂足为点F,交
AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证：△ABMの△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
(1)证明：.·四边形ABCD是正A
方形，∴.∠B=90°，AD∥BC,
.∴∠AMB=∠EAF..·EF
F
AM,.∴.∠AFE=90°，.∠B
=
B
∠AFE,.∴.△ABM∽△EFA;
M
(2)解：.'∠B=90°，AB=12,BM=5,∴.AM
=
/122+52=13..·F是AM的中点，.∴.AF=
2AM=6.5.△ABM∽△EFA,
BM_AM
·FA
EA
即
6.
5AEAE=16.9.四边形ABCD
5-13
是
正方形，.∴.AD=AB=12,∴.DE=AE-AD=4.9.
类型二相似与函数的综合
4如图，点A在双曲线y-上，点B在双
曲线y=(k≠0)上，AB∥x轴，过点A
C
作AD⊥x轴于点D,连接OB,与AD相
交于点C.若AC=2CD,求k的值.
解：过点B作BE⊥x轴于点y1
E,延长线段BA,交y轴于
B
点F.AB∥x轴，∴AF⊥y
轴，.∴.四边形AFOD是矩
形，四边形OEBF是矩形，O
D
E
x
.∴.AF=OD,BF=OE,·.AB=DE..·点A在双曲
线y=三上，∴SE有m=3,同理可得S张F
k.AB∥OD,∴△ODC△BAC,∴.
OD
BA
CA
号7，·AB=20D,D220D,·SE0r
拒形AF0D=9,∴.k=9.
3S
5.如图，直线y=ax十1与x轴、y轴分别相
交于A,B两点，与双曲线y三(x>≥0)相
交于点P,PC⊥x轴于点C,且PC=2,点
A的坐标为（一2,0）.
(1)求双曲线的表达式；
(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，
且QH⊥x轴于点H,当以点Q,C,H
为顶点的三角形与△AOB相似时，求
点Q的坐标.
解：(1)把A(-2,0)代入
y=ax+1,得-2a+1=0,
.a=
..y=
2x+1.
PC=2,·∴.点P的纵坐标(共9张PPT)
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类型一与对应顶点有关的分类讨论问题
1.如图，在△ABC中，已知D、E分别是
AB、AC边上的点，且AD=3,AB=8,
AC=10,若△ADE与△ABC相似，则
AE的长为
(C)
A.
15
B.
或号
1
或号
1
5
D.
4
12
C
D
A
B
B
P
(第1题图
(第2题图)
类型二与截线位置有关的分类讨论问题
3.(齐齐哈尔中考)经过三边都不相等的三
角形的一个顶点的线段把三角形分成两
个小三角形，如果其中一个是等腰三角
形，另外一个三角形和原三角形相似.那
么把这条线段定义为原三角形的“和谐分
割线”.如图，线段CD是△ABC的“和谐
分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD
和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度
数为
113°或92
B
B
A
X
D
(第3题图)
(第4题图)
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
y一x十3与坐标轴交于AB两点，坐标
平面内有一点P(m,3),若以P、B、O三点
为顶点的三角形与△AOB相似，则m=
士4或士
9
5.如图，平面直角坐标系
中，已知点A(8,0)和点B
B
P
(0,6),点C是AB的中
点，点P在折线AOB
A
X
类型三与动点有关的分类讨论问题
6.如图，在钝角三角形
ABC中，AB=5cm,
AC=10cm,动点D
B
从A点出发到B点停止，动点E从C点
出发到A点停止.点D运动的速度为
1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒，如
果两点同时运动，那么当以点A、D、E为
顶点的三角形与△ABC相似时，运动的
时间是2.5秒或4秒
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
BC=1,将另外一个含30°角的△EDF的
30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别
在AC、BC上，当点D在AB边上移动
时，DE始终与AB垂直.
(1)设AD=x,CF=y,求y与x之间的函
数解析式，并写出函数自变量的取值
范围；
(2)如果△CEF与△DEF相似，求AD的长
解：(1).∠EDF=30°，
DEAB于D,.∴.∠FDB
=60°..∠A=30°，∠C
90°，.∠B
=60°，则
A30
B
FDB
:∠B=60°，
D
△BDF是等边三角形.BC=1,·.AB=2..∴.2
-x=1-y.y与x之间的函悬解析式为y=x
一1.·点E与点C重合时，根据勾股定理，得
AD三多x的取值范國为1≤号：
(2)在Rt△ABC中，.∠A=30°，BC=1,
.∴.AB=2.当∠FED=90°时，△CEF∽△EDF,
品那即式=，得泽y
1
·
∴.BF=
4=6
0=1-1=4AD=AB-BD=2号
5
5
当∠EFD=90°时，△CEF∽△FED,.
CF
CE
号即2v三2解得y·BP=DB=1
FE
3
1
2
2
4
3
,AD=AB-BD=2-
3
3
3
4
踪上所迷，AD的长为5或(共9张PPT)
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【教材母题】（教材PsT21)如图(1），先把一
张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为
MN;如图(2)，再把点B叠在折痕线上，得
到△ABE.过点B向右折纸片，使D、Q、A
三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ,
(1)求证：△PBEp△QAB;
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相
似，给出证明；如果不相似，请说明理由
B
E P
M
N
B
(1)
(2)
(1)证明：.·∠PBE+∠ABQ=90°，∠PBE+
PEB=90°，.∠ABQ=
∠BEP..∠BPE
∠AQB=90°，.∴.△PBE∽△QAD;
(2)解：△PBE和△BAE相以.证明：.'△PBE)
△OAB,·AB
EP
BO
0=PB船
PE
PB
.'∠EPB=∠EBA=90°，.∴.△PBE∽△BAE.
【母题变式】
1.如图，在△ABC中，AB=AC,点P,D分
别是BC,AC边上的点，且∠APD=∠B.
(1)求证：AC·CD=CP·BP;
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时，
求BP的长.
(1)证明：.AB=AC,..
∠B=∠C..'∠APD
∠B,.∴.∠APD=∠B
三
B
∠C..'∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+
∠CPD,.∴.∠BAP=∠CPD,.∴.△ABPo△PCD,
=CAB·CD=PC·BP.AB=AC,
·BP=AB.
CD
.∴.AC·CD=CP·BP;
2.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边
BC上移动（点E不与点B,C重合），满足
∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,
AC上.
(1)求证：△BDE∽△CEF;
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：
FE平分∠DFC.
证明：(1).AB=AC,.∴.∠B=
∠C,.'∠BDE=180°-∠B
∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-
∠DEB,∠DEF=∠B,.∴.∠BDE=
∠CEF,.∴.△BDE∽△CEF;
B
3.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交
于点C,∠DME=∠A=∠B=a,且DM
交AC于点F,ME交BC于点G.
(1)求证：△AMF∽△BGM;
(2)连接FG,如果a=45°，AB=4√2，
BG=3,求FG的长.
(1)证明：.'∠DME=A、
M
B
∠A=∠B=a,.∴.∠AMF+
/BMG=180°-a,又
G
.'∠AMF+∠AFM=
180°-a,.∴.∠AFM=
∠BMG,.∴.△AMFの
△BGM;(共8张PPT)
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类型一求线段的长和角的度数
1.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是
AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，
则∠CFE的度数为
(B)
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
A
E
B
B
M
(第1题图
(第2题图
类型二证线段或角相等
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC=
BD,E,F分别为AB,CD的中点，点O为
AC,BD的交点，M,N为EF与BD,AC
的交点.求证：OM=ON.
证明：取AD的中点H,连接
EH.HF.EH L BD.HFL
)AC,而AC=BD,·EH
B
HF,.∴.∠HEF=∠HFE.又.EH∥BD,HF∥
AC,∴.∠HEF=∠OMN,∠HFE=∠ONM,
.∴.∠OMN=∠ONM,.∴.OM=ON.
类型三证线段之间的位置关系或数量关系
4.如图，E为□ABCD中DC边的延长线上
一点，且CE=DC,连接AE,分别交BC,
BD于点F,G,连接AC交BD于点O,连
接OF,判断AB与O的位置关系和数
量关系，并证明你的结论
解：AB∥0F,OF=2AB.证
明：连接BE..·四边形ABCD
Be
是平行四边形，.OA=OC,
AB=DC,AB∥DE,又.CE=
DC,.∴.AB=CE,.AB∥CE,.∴.四边形ABEC是
平行四边形..∴.BF=CF,.OF是△ABC的中位
线AB∥0F,OF=2AB.
5.如图，自△ABC的顶点A向∠ABC和
∠ACB的平分线作垂线，垂足分别为D,
E,连接DE.求证：DE∥BC.
证明：延长AD,AE交
BC,CB的延长线于点
G,H..BD平分
∠ABC,.∴.∠1=∠2，
“.BDAD,.∴.∠ADB=
∠BDG=90°，·∴.△ABD≌△GBD,.∴.AD=DG.同
理，AE=EH,..ED∥BC
类型四
证线段互相平分
6.如图，E,F分别是四边形ABCD的边
AD,BC的中点，G,H是BD,AC的中点.
求证：EF和GH互相平分.
证明：连接EG、GF、FH
A
E
HE,.E、G分别是AD、BD
的中点...EG∥AB,EG=
2AR同理IF∥AB,HF=
B
AB,·EG∥HF,EG=HF,·四边形EGFE
是平行四边形，·∴.EF和GH互相平分.(共8张PPT)
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类型一回归定义
1.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点
A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，
B0=5,sin∠B0A=.
(1)求B点坐标；
(2)求cos∠BAO的值.
解：(1)B(4,3);
Ax
(2)c0s∠BA0=2V5
5
类型二巧设参数
2.如图，在△ABC中，
∠BAC=90°，AB=
AC,点D为边AC的
中点，DE⊥BC于点B
E,连接BD,则tan∠DBC=
1
3
3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
AD BC于点D,若BD：CD=3:2,求
tanB的值.
解：.·∠BAC=90°，AD⊥
BC,.∴.∠BAD+∠CAD
90°，∠B+∠BAD=90°，
B
∠ADB=
∠ADC=90°.
AD
.∴·∠B=∠CAD.∴.△BAD∽△ACD...
BD
CD
AD
.BD:CD=3:2,设BD=3k,则CD=2k,
则
AD=
3
k.AD=后k(负值己舍去)：
AD
AD
.∴.tanB=
=6k=⑥
BD
3k
3
类型三巧构直角三角形
4.如图，△ABC的各个顶点都在正方形的
格点上，则tanA的值为
(C)
A.
B.2g5
c
D.2
B
(第4题图
(第5题图)
6.如图，在△ABC中，D是AB的中点，
DC⊥AC,且tan∠BCD=-
求
sinA,
cosA,tanA的值.
解：过点D作DE
E
CD交BC于点E,在
Rt CDE
中，
tan∠BCD=
DE
3
CD
设DE=x,则CD=3x,
又.DCAC,.∴.DE∥AC,.∴.△DEB∽△ACB,
BD
BE
1
BA
BC
,AD=BD=
B,..BE=CE=
2 BC.DE =2
AC,AC=2DE=2x,在
Rt△ACD中，AC=2x,CD=3x,.∴.AD=W13x,
.sin4=313
3
13
c0s4=213
13
tanA
2
类型四
等角代换
7.如图，A,B,C三点在正方形网格线的交
点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转
得到△AC'B',则tanB'的值为
(B)
A号
B
C.
D②
B
R
(第7题图)
(第8题图(共7张PPT)
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类型一“放回”与“不放回”问题
1.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字
“灵“秀”“中”“国”的四个小球，除汉字不
同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先
搅拌均匀再摸球.
(1)甲从中任取一球，不放回，再从中任取
一球，请用树状图的方法，求出甲取出
的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或
“中国”的概率P1;
(2)乙从中任取一球，记下汉字后再放回
袋中，然后再从中任取一球，记乙取出
的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或
“中国”的概率为P2,指出P,P2的大
小关系（请直接写出结论，不必证明）
解：(1)画树状图为：
灵
秀
中
国
秀中国灵中国灵秀国灵秀中
共有12种不同取法，能满足要求的有4种，
B号1
123
(2)共有16种不同取法，能满足要求的有4种，
-6=4>
类型二
概率与方程、不等式、函数等知识
的综合
2.右图为甲、乙两个可
以自由转动的均匀
的转盘，甲转盘被分
成3个面积相等的
甲
扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇
形，每一个扇形都标有相应的数字，同时
转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘
中指针所指区域内的数字为m,乙转盘中
指针所指区域内的数字为n(若指针指在
边界线上时，重转一次，直到指针都指向
一个区域为止).
(1)请你用树状图法求出m十n>1的概率；
解：(1)画树状图如下：
甲
-10
0
所有等可能出现的结果有12种，其中|m+n>
1的情况有5种，所以|m+n>1的概率为
5
2
(2)点(m,m)落在函最y=-因米上的概率为
3-1
12
类型三概率与统计知识的综合
3.（巴中中考)为扎实推进“五育并举”工作，
某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、
围棋和足球四个社团活动，每个学生只选
择一项活动参加.为了解活动开展情况，学
校随机抽取部分学生进行调查，将调查结
果绘成如下表格和扇形统计图.
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
参加四个社团活动人数扇形统计图
足球
40%
围棋
篮球
舞蹈
根据以上信息，回答下列问题：
(1)抽取的学生共有200
人，其中参加
围棋社的有
40
人；
(2)若该校有3200人，估计全校参加篮球
社的学生有多少人？
(3)某班有3男2女共5名学生参加足球
社，现从中随机抽取2名学生参加学
校足球队，请用树状图或列表法说明
恰好抽到一男一女的概率.
解：(2)若该校有3200人，估计全校参加篮球社
的字生共有3200X00=480(人)1
(3)画树状图略；.·所有等可能出现的结果总数
为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
恰好抽到一男一女的概率为
_
0
5(共8张PPT)
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类型一二次根式被开平方数的非负性
(a≥0)的应用
1.已知y=2V2x-1+31-2x+3,求
1+1的值.
y
2
解：…
1=2+3=5.
类型二二次根式的非负性(Wα≥0)的应用
3.若√a十b十5+2a一b+1=0,则(b一
a)2020=
(B)
A.-1
B.1
C.52020
D.-52020
4.若(x一3)2与√y十2互为相反数，求6x十
y的平方根.
解：由题意，得(x-3)2+/y+2=0,.(x-3)2≥
0,√/y+2≥0，∴.x=3,y=-2,∴.6x+y=16,
.∴.6x+y的平方根为士4.
类型三二次根式的“双重”非负性(a≥0，
Wa≥0)的应用
5.已知x,y为实数，且满足√/1十x一(y一1)·
√1一y=0,求x2020-y2019的值
解：由已知得√1+x+(1-y)√1-y=0..1一
y≥0，∴.(1-y)√/1-y≥0，∴.1+x=0且1-
y=0,x=-1,y=1,∴.x2020-y2019=(-1)202w-
12019=0.
6.已知a(a一/3)≤0，若b=2一a,试求b的
取值范围.
解：.Wa≥0，.∴.a-√3≤0，.∴.a≤3，.a≥0，
∴.0≤a≤W3,.∴.-√3≤-a≤0，.∴.2-W3≤2-
a2,即2-W3b2.
类型四
利用Wa≥0求最值
7.当x取何值时，√/9x十1十3的值最小？最
小值是多少？
解：.9x+1≥0，../9x+1+3≥3，.∴.当x=
g时，V9x+1+3的值最小，最小为3.
类型五利用√α2的性质化简或求值
8.计算：√(4-√/17)2十V(5-√17)2=1.
9.在△ABC中，a,b,c为三角形的三边长，化简
(a-b+c)2-2c-a-b+√/(a-b-c)2.
解：.‘a,b,c为三角形的三边长，.a-b+c>0,
c-a-b<0,a-b-c<0,.原式=a-b+c-
2(a+b-c)+b+c-a=4c-2a-2b.(共8张PPT)
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人
技巧1构造平行线法
1.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF
交AC于点E,交BC的延长线于点F.求
证：AE·CF=BF·CE
证明：过点C作CM∥
AB交DF于点M.
.CM∥AB,.∴.∠FCM=
D
EM
∠B,∠FMC=∠FDB.
B
.∴.△CMFの
△BDF.
C
,BF=BD.又CM∥
CFCM
AD,·∴.∠A=∠ECM,∠ADE=
CME.
△ADE△CME.∴AE
-AD
.D为AB的
CE
CM
中点，BD=AD.:CM清
AD.BF AE
-CM··CF-CE
即
AE·CF=BF·CE.
技巧2三点定型法
2.如图，在口ABCD中，E是AB延长线上
的-点，DE交C于r求证E器
证明：.·四边形ABCD
C
是平行四边形，.AE∥
DC,∠A=∠C.∴.∠CDF=
B
∠E..∴.△PCD)△DAE.
DC_CF
AE AD
技巧3构造相似三角形法
3.如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边
上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB,
AC于点M,V.求证：BP·CP=BM·CN.
证明：连接PM、PN..MN是
AP的垂直平分线，.MA=
M/
MP,NA=NP..∴.∠1=∠2，
2
∠3=∠4.又.‘△ABC是等边
4
56
三角形，∴.∠B=∠C=∠BAC=
∠1+∠3=60°..∴.∠2+∠4=∠1+∠3=60°.
.∴∠5+∠6=120°.又.∠6+∠7=180°-
∠C=120°，.∠5=∠7..∴.△BPMの△CNP.
CN
CP,即BP·CP=BM·CN.
BP_B
BF AB
求证：BEBC
证明：由题意得∠BDF=
∠BAE=90°..·BE平分
E
F
∠ABC,·∴.∠DBF=∠ABE.
·△BDFp△BAE..∴·Ms
B
D
BE.:∠BAC=∠BDA=90,∠ABC=∠DBA
BE·
·△ABCp△DBA,∴.B=C·AB=BD
-BA’·BC-AB·
BF AB
BE
BC
技巧5等积代换法
5.如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC
的延长线上任取一点P,连接AP,作
BG⊥AP于点G,交CE于点D.求证：
CE=DE·PE.
证明：.·BG⊥AP,PEAB,
.∴∠AEP=∠DEB=∠AGB=
90°..∠P+∠PAB=90°，
∠PAB+∠ABG=90°.∴.∠P=
B
∠ABG..∴.△AEPの△DEB.
E
AEPE
DE
BE
,即AE·BE=PE(共9张PPT)
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类型一忽视一元二次方程的二次项系数
不为0
1.若方程(k一1)x2十√kx=1是关于x的一
元二次方程，则k的取值范围是
(C)
A.k≠1
B.k≥0
C.k≥0且k≠1
D.k为任意实数
2.已知一元二次方程(m一4)x2一6x十m2一
16=0的一根为0，则m=-4
类型二用公式法解方程时，忽略将方程化
为一般形式
4.用公式法解方程：2x2十5x=3.
解：2x2+5x-3=0,
4=25-4×2×(-3)=49,
-5±/49_-5±7
x=
4
4
.x1=-3,2=2
类型三解方程时，方程两边同除以含未知
数的式子导致方程漏解
5.解方程：5x(x+3)=(x+3)(x+1).
:(x+3)(5x-x-1)=0,
..x+3=0或4x-1=0,
.∴.X1=-3,x2=
7
4
类型四
运用根与系数的关系时忽视了△0
6.已知关于x的一元二次方程x2十(2m
3)x十m2=0的两个不相等的实数根a,B
满足1+号=1，求m的值.
a'B
解：.a=1,b=2m-3,c=m2,
.∴a十B=-(2m-3),a·B=1m2,
…①
:。+月-1那么$-1+。A@
.-(2m-3)=m2.
解得：m1=一3，m2=1.
即m的值为-3或1.
(1)找错：第④
步出现错误；
(2)改错：
解：(2).方程有两个不相等的实数根，∴.(2m-
32-4m>0,解得m<},·m=1不合题意
应舍去，.∴.m=-3.
类型五忽略实际问题中对方程根的检验
而出错
7.如图，幼儿园计划用30m
的围栏靠墙围成一个面积
为100m2的矩形小花园（墙长为15m),
则与墙垂直的边x为
(A)
A.10m
B.10m或5m
C.5 m
D.5m或8m
8.有一块长80cm,宽60cm的薄铁片，在四
个角截去四个相同的小正方形，然后做成
一个底面积为1500cm的没有盖子的长
方体盒子，求截去的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长为xcm.则有
(80-2x)(60-2x)=1500,解得x1=55(舍去)，
x2=15.
答：截去小正方形的边长为15cm.(共8张PPT)
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类型一规律探究题
1.（十堰中考)如图是按一定规律排成的三
角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9
行从左至右第5个数是
(B)
1
√2
√3
2
√5
√6
√7
22
3
/10
A.210
B./41
C.5√2
D./51
2.观察下列等式：
(1)3-2W2=(W2-1)2,
(2)5-2W6=(√3-√2)2，
(3)7-2/12=(W4-√3)2，
请你根据以上规律，写出第6个等式13-
2√42=（√7-√6）2.
3.小强在做题时发现：
1-52-=2
2
3-品-3v品、4-=4
(1)按上述规律，第5个等式应是
5-8=5N
(2)由此猜想第n个等式，并说明理由.
n
n-n2+1
n(t+1)-n
n
n2+1
+11
4.观察下列各式及其验证过程：
2得-2+号，验证：2√得
23
3
23-2+2
2(22-1)+2
2
22-1
22-1
2+
3
3y-3g,证：3、-
23
8
33-3+
、
3(32-1)+
、
32-1
32-1
V3+
8
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基
本思路，猜想4√5
的变形结果，并进
行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n
为任意自然数，且n≥2)表示的等式，
并给出证明，
解：1)猪超：4V语=、
验证：4
43-4+4
4(4-1)+4
/15
42-1
42-1
4+15
(2)n
n+-
21证明：nn-1
3-n+n
n(n2-1)+n
n2-1
n2-1
n2-1
n
类型二方法探究题
5.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号
的式子可以写成另一个式子的平方，如
3十2√2=(1十√2)，善于思考的小明进行
了以下探索：
设a+b√2=(m十n√2)2（其中a,b,m,n
均为整数)，则有a十b√J2=m2十2n2十
2mm·√2.
.∴.a=m2+2m2,b=2mm.这样小明就找到
了一种把类似于α+b2的式子化为平方
式的方法.
请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a,b,m,n均为正整数时，若a十b√3=
(m十n√3)2，用含m,n的式子分别表示
a,b,得：a=
,b=
(2)利用所探索的结论，找一组正整数α，
b,m,n填空：
3=
3)2;
(3)若a+4√3=(m十n√3)2，且a,m,n均
为正整数，求a的值.
解：(1)m2+3n2;2mn;
(2)13;4;1;2;(答案不骓一》
(3)依题意，得
a=m2+3n2,2n=4,且m、n
4=2mn,
为正整数，.∴.m=2,n=1或m=1,n=2,.∴.a=7
或13.(共9张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
类型一判断一元二次方程根的情况
1.一元二次方程4x2一2x十=0的根的情
况是
(B)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
2.下列一元二次方程：①(x一2)2=一1；
②x2-2x+1=0;③(x-2)2=1;④x2
2x一1=0.其中，有两个相等的实数根的
是②
3.（北京中考)关于x的一元二次方程ax2十
bx+1=0.
(1)当b=a十2时，利用根的判别式判断
方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出
组满足条件的α，b的值，并求此时方
程的根.
解：(1)△=b2-4a×1=(a+2)2-4a=a2+4≥
40,·∴.方程有两个不相等的实数根；
(2)△=b2-4a=0,可令b=2,a=1,此时方程为
x2+2x+1=0,..(x+1)2=0,.∴.x1=x2=-1.
(答案不唯一)
类型二利用根的判别式求字母的值或取
值范围
4.下列选项中，能使关于x的一元二次方程
ax2一4x十c=0一定有实数根的是(D
)
A.a>0B.a=0C.c>0
D.c=0
5.若一次函数y=3x一2与反比例函数y=
飞的图象有两个不同的交点，则飞的取值
范围是
k>-
3且k≠0
6.已知关于x的方程：（m+1)x2十2mx十
(m一3)=0有实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)m为何值时，方程有两个相等的实数
根，并求出这两个根.
解：(1)①当m+1=0即m=-1时，原方程为
一元一次方程-2x-4=0,x=-2.②当m十
1≠0即≠-1时，原方程为一元二次方程，
.·方程有实数根，∴.b2-4ac≥0，即(2m)2-
+1Dm-320,m2之号，当m2
2
且m≠-1时，一元二次方程(m+1)x2+2mx+
(m-3)=0有实数根.综合①②可知：m的取值
范围是m≥-3
2
(2)若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=
3
,即2m)2-4(m+1D(m=3)=0,m三
此时方程的解为：X1=x2=一3.
类型三利用根的判别式确定三角形的形状
7.已知a,b,c是三角形的三边长，且关于x
的一元二次方程(a十c)x2+bx+0,=0
4
有两个相等的实数根，试判断此三角形的
形状
饼：方程(a+c)2+bx+“4=0有两个相等
的实数根，△=b2-4(a+c)·aC=b-
4
a2+c2=0,∴.b2+c2=a2,.∴.此三角形是直角三
角形。
