日喀则市 2023 年高二年级统一质量检测试卷
理科数学
参考答案
1．B
【分析】解一元二次不等式化简集合A，根据交集的结果求解即可.
【详解】因为 A x 3 x 3 ， B {x | x a}，且 A B x 2 x 3 ，
所以 a 2．
故选:B.
2．C
【分析】根据复数的乘法运算法则化简 z1 z2 ，由纯虚数的概念求出 a，由复数的除法运算以及复数的模长
公式可得结果.
【详解】复数 z1 2 i, z2 1 ai，则 z1 z2 2 i 1 ai 2 a 2a 1 i，
a 2 0
依题意得， a ，解得
a 2，即 z 1 2i，
2 1 0
2
z1 2 i (2 i)(1 2i) 5i
z 1 2i i2 (1 2i)(1
，
2i) 5
z
所以 1 1.
z2
故选：C .
3．A
【分析】将 x 5代入回归直线方程，可得出销售额的预测值，然后利用残差的定义可求得结果.
【详解】x 5, y 50，带入线性回归方程，得a 20，将 x 5代入回归直线方程， y 6 5 20 50，
残差为60 50 10万元.
故选：A.
4．B
【分析】先根据递推公式代入计算出前几项的值，即可判别出数列 an 是以 3为最小正周期的周期数列，
1
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
根据周期数列的性质特点即可计算出 a2014的值，得到正确选项．
1 1
【详解】数列 an 中，a1 ,an 1 1 (n 2)2 a ，n
可知 a2 1
1 1 1 1
1
a ，
a3 1 2a ，
a4 1 a1，
1 2 a3 2
故数列 an 是以 3为最小正周期的周期数列，
1
所以 a2023 a1 .2
故选：B
5．A
1
【分析】利用两角和的正弦公式求得角C的值，利用三角形的面积公式得出 c ab，利用余弦定理结合
4
基本不等式可求得 ab的最小值.
【详解】 2sin A sin B 2sinC cosB，
即 2sinC cosB 2sin B C sin B 2sin BcosC 2cosBsinC sin B， sin B 2sin BcosC 0，
1 2 0 B ，则 sin B 0，得 cosC ， 0 C ，解得C .
2 3
1 1
由三角形的面积公式得 S ab sinC 3 ab 3 c ， c ab，
2 4 2 2
由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 ab 2ab ab 3ab，
即3ab
1
a2b2， ab 12，当且仅当 a b 2 3时等号成立，
4
因此， ab的最小值为12 .
故选：A.
6．C
【分析】分为恰有 2名学生所选的课相同，以及 4名学生所选的课全不相同两种情况，分别计算求解得出，
相加即可得出答案.
【详解】恰有 2名学生选课相同，
2
第一步，先将选课相同的 2名学生选出，有C4 6种可能；
3
第二步，从 6个项目中选出 3个排好，有A6 120 .
根据分步计数原理可得，方法有 6 120 720；
4 4名学生所选的课全不相同的方法有A6 360 .
根据分类加法计数原理可得，甲、乙、丙、丁这 4名学生至少有 3名学生所选的课全不相同的方法共有
2
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
720 360 1080 .
故选：C.
7．D
【分析】由题意可得 p的值及抛物线方程，设直线 AB的方程为 y kx 2，利用导数求得在点 A及点 B处
x x
的切线方程，联立可得 xM 1 2 ，由 M的横坐标为 4得 x1 x2 8，将 AB的方程代入抛物线方程，可2
得 x2 8kx 16 0，由韦达定理得 k 1，进而结合抛物线定义求得弦长．
【详解】由题意可得， F (0, 2)
p
，则 p 4，抛物线方程为 x2 = -8y，准线方程 y 2．
2
由题意，直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为 y kx 2，
2 2
设 A x1, y1 ,B x2 , y x2 ，其中 y 11 , y
x
2
2 ，
8 8
x2 x
由 y ，得 y ．
8 4
2
x x x在点 A处的切线方程为 y y1 1 x x1 ，化简得 y 1 x 1 ，①4 4 8
x x 2
同理可得在点 B处的切线为 y 2 x 2 ，②
4 8
x
联立①②得 x 1
x2
M ，由 M的横坐标为 4，得 x1 x2 8，2
将 AB的方程代入抛物线方程，可得 x2 8kx 16 0，
64k 2 64 0, x1 x2 8k 8 ，得 k 1，
y1 y2 k x1 x2 4 1 8 4 12，
p p
则 AB AF BF y y
2 1 2 2
p y1 y2 4 ( 12) 16．
故选：D．
8．B
【分析】求得 f (x) (2x x2 )e1 x a，根据题意得出方程 f (1) 1 a 2，即可求解.
【详解】 f (x) (2x x2 )e1 x a，因为函数 f x 的图象在点 1, f 1 处的切线斜率为 2，
可得 f (1) 1 a 2，解得 a 1 .
故选：B.
9．D
【解析】根据题意，可知 5局 3胜制，甲以 3:2获胜，则第 5局甲胜，且前 4局甲胜 2局，根据二项分布
即可求出概率.
3
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
【详解】解：由题可知，5局 3胜制，甲以 3:2获胜，
则第 5局甲胜，且前 4局甲胜 2局，
P 2 C 2 (2)2 (1)2 16故所求概率为
3 4
.
3 3 81
故选：D.
【点睛】本题考查独立重复试验求概率以及二项分布的实际应用，属于基础题.
10．C
* 5m
【分析】设男生的人数为：5m m N ，根据题意可列出 2 2列联表，由公式求出K2 ，由3
3.841 5m 6.635求出5m的取值范围，可得答案.
3
*
【详解】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5m m N ，由题意可列出 2 2列联表：
男生 女生 合计
喜欢吃甜食 2m 4m 6m
不喜欢吃甜食 3m m 4m
合计 5m 5m 10m
K 2 n(ad bc)
2 10m (2m m 4m 3m)2 5m
a b c d a c b d 6m 4m 5m 5m 3 .
由于有95%的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，
所以3.841
5m
6.635；解得：11.523 5m 19.905，因为m N*，
3
故5m的可能取值为：12,13,14,15,16,17,18,19，
即男生的人数可以是：12,13,14,15,16,17,18,19，
所以选项 ABD错误，选项 C正确.
故选：C.
11．D
【分析】根据正方体的性质判断 A，根据面面平行的性质得到四边形MBND1是平行四边形，再由
A1D1 BM ，即可判断 B，当M 为 AA1的中点时 N为CC1的中点，即可判断 C，建立空间直角坐标系，利
用向量法说明 D.
【详解】对于 A：在正方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1 平面 A1B1C1D1，
4
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
显然平面MBND1与平面 A1B1C1D1不平行，故直线 BB1不可能垂直平面MBND1，故 A错误；
对于 B：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 是棱 AA1上一点，平面MBD1与棱CC1交于点N，
由平面 BCC1B1 //平面 ADD1A1， 并且 B,M ,N ,D1四点共面，
平面 BCC1B1 平面 BND1M BN，平面 ADD1A1平面 BND1M MD1，
∴MD1 //BN， 同理可证 ND1 //MB，故四边形MBND1是平行四边形，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，由几何知识得， A1D1 平面 ABB1A1，
∵ BM 平面 ABB1A1，∴ A1D1 BM ，
若MBND1是正方形，有MD1 BM，
此时M 与 A1重合时，但显然四边形 A1BCD1不是正方形，故 B错误；
对于 C：当M 为 AA1的中点时，N为CC1的中点，所以 A1M //C1N 且 A1M=C1N，
所以 A1MNC1为平行四边形，所以 A1C1 //NM，
A1C1 平面MBND1，MN 平面MBND1，所以 A1C1 //平面MBND1，故 C错误；
对于 D：设正方体边长为 2，建立空间直角坐标系如下图所示，
由几何知识得， A 2,0,0 ,B 2, 2,0 ,C 0, 2,0 ,B1 2, 2, 2 ,D1 0,0, 2 ,
∴D1B 2,2, 2 ,AC 2,2,0 ,AB1 0,2,2 ,
∵D1B AC D1B AB1 0，
∴D1B AC, D1B AB1，
∵ AC AB1 A， AC 平面 ACB1， AB1 平面 ACB1，
∴D1B 平面 ACB1，
5
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
∵D1B 平面MBND1，
∴任意平面MBND1与平面 ACB1垂直，故 D正确.
故选：D
12．C
6
【分析】设第 n个正方形的边长为 an ，根据分形特点可得{ an }是以 9为首项， 为公比的等比数列，从
3
而可得第 5个正方形的边长.
【详解】设第 n个正方形的边长为 an ，则由已知可得 an an 1 sin15 an 1 cos15
an 1 1 1 6∴ ，
an sin15
cos15 2 sin 60 3
∴{ an }
6
是以 9为首项， 为公比的等比数列，
3
2
a 2 6
∴ 3 a1q 9 6 .
3
故选：C．
13．①④
1 1
【详解】试题分析：① P 2 P 0 2 ， P 0 2 p，
2 2
P 2 1 0 P 0 2 p，故①对；②命题“ x R, x 2 x 1 0 ”的否定是
2
“ x R, x 2 x 1 0 ”，故②错；③中当 时不等式不成立，故③错；④若对于任意的
n N ,n2 a 4 n 3 a 0恒成立， 恒成立，令 在
上单调递减；在 上单调递增， ，
(n 1) 8 17 1 6 6
n 1 3 3
1
，所以 a的取值范围是 , 成立.故本题正确为①④. 3
考点：命题的真假判断与应用.
【易错点睛】本题主要考查简易逻辑，考查的知识点多，需要较好的基础，属于常考题型. 对于命题真假
的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命
题的真假.命题的真假判断涉及的知识点多，面广，起到了桥梁的作用，学生须仔细分别.本题难度中等.
6
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
14．24
【分析】由等差中项的性质即可求解.
【详解】因为在等差数列 an 中，有 a1 a5 a2 a4 2a3 ，所以由 a1 a2 a3 a4 a5 120，
得5a3 120，a3 24，又 a3 a7 2a5 ，所以 2a5 a7 a3 24 .
故答案为：24
15．2
【分析】取双曲线的一条渐近线，根据右焦点 F (2,0)到一条渐近线的距离为 3，可求得 a,b，即可求出双
曲线的离心率
x2 y2 b
【详解】不妨取双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线 y x，即 bx ay 0，a b a
b 2b 2b 2b
易得 c 2，则右焦点 F (2,0)渐近线 y x的距离 3，
a a2 b2 c 2
所以b 3，则 a c2 b2 1，
c
所以双曲线的离心率 e 2 .
a
故答案为：2
16．2
【分析】先求第 3项与第 4项的二项式系数，由条件求 n，再列方程求 a .
n
【详解】二项式 ax 1 的展开式的通项公式为
T Ck ax n k 1k Ckan k n kk 1 n n x ， k 0,1, 2, ,n，
2 3
所以第 3项的二项式系数Cn，第 4项的二项式系数为Cn，
因为第 3项的二项式系数与第 4项的二项式系数相等，
C2 3所以 n Cn，解得 n 5，
所以在 ax 1 n 2 3的展开式中 x3的系数为C5a ，解得 a 2，
故答案为：2.
17．(1) an n 1， n N*
(2) (n 2) 2n
1
3
n 1
【分析】（1）根据 an ,Sn的关系求通项公式；
7
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
（2）利用错位相减法和裂项相消法求和.
【详解】（1）因为2Sn n n a1 1 ，
所以当 n 1时，2a1 1 a1 1，故 a1 0；
当 n 2时，2Sn 1 (n 1)(n 1 a1 1)，
作差，得2an n(n 1) (n 1)(n 2)，
即 an n 1，此式对 n 1也成立，
故数列 an 的通项公式为 an n 1， n N*．
（2）由（1）知，bn (n 1)
1
2n 1
n n ，( 1)
不妨令cn (n 1) 2
n 1
，且数列 cn 的前 n项和Wn，
则Wn 1 2 2 2
2 3 23 (n 1) 2n 1，
2W 1 22 2 23n 3 2
4 (n 1) 2n，
作差，得 Wn 2 2
2 23 2n 1 (n 1) 2n，
即W nn (n 2) 2 2．
T b 1 b b b W 1 1 1 1 1 则 n 1 2 3 n n 2 2 3 n n 1
W 1 1 n (n 2) 2
n 1 3 ，
n 1 n 1
1
即数列 bn 的前 n项和Tn为 (n 2) 2n 3 .n 1
π
18．(1)任选一个条件，都有 A
3
(2) 3
4
【分析】 1 选择①：先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式、辅助角公
式进行求解；选择②：先利用正弦定理将边角关系转化为边边关系，再利用余弦定理进行求解；选择③：
先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式进行求解；
（2）先利用正弦定理将 sin B sinC 1转化为b c 2 3，再结合余弦定理得到 bc=1，进而利用三角形的
面积公式进行求解.
8
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
(1)
解：选择①：
因为 acosC 3asinC b c 0，
所以 sinAcosC 3sinAsinC sinB sinC，
所以 sinAcosC 3sinAsinC sinAcosC+cos AsinC sinC
即 3sinAsinC cosAsinC sinC，
又 sinC 0，所以 3sinA cosA 1，
sin A π 1所以 6
，又 0 A π，
2
A π π A π所以 ，得 ；
6 6 3
选择②：
因为 (sinB sinC) 2 sin 2A sinBsinC ，
所以 (b c)2 a 2 bc ，即 b2 c2 a2 bc，
b2 c2 a2 1
所以 cosA ，
2bc 2
又0 A π，所以 A
π
；
3
选择③：
因为 2cosA ccosB bcosC a，
所以 2cosA sinCcosB cosCsinB sinA，
所以 2cosAsin B C sinA，
即 2cosAsinA sinA
1
又 sinA 0，所以 cosA ，
2
π
又0 A π，所以 A ；
3
(2)
解：设 ABC外接圆的半径为 R，
b c
因为 sin B sinC 1，所以 1，
2R 2R
a
又 2R=2 3 ，所以
sin A b c 2 3，
9
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
又因为 a2 b2 c2 2bc cosA，
9 b c 2 1所以 2bc 2bc ，
2
即9 b c 2 3bc，解得 bc=1，
所以 ABC 1的面积为 S bc sin A 3 .
2 4
19．
【分析】（1）方法一：连接 BD交 AC于点 O，连接 OE，先证明OE∥PB，从而可证 PB//平面 AEC；方
法二：建立空间直角坐标系，用向量法先证明线线平行，从而可证线面平行；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）方法一：连接 BD交 AC于点 O，连接 OE，
因为四边形 ABCD是矩形，所以点O是 BD中点，又点 E是 PD中点，
所以OE∥PB，又OE 平面 AEC， PB不包含于面 AEC，故 PB//平面 AEC.
方法二：
取 AD的中点 O，连接PO，
因为 PA PD，所以PO AD，
又因为侧面 PAD 底面 ABCD，且侧面 PAD 底面 ABCD AD， PO 平面 PAD，
所以 PO 平面 ABCD .,
10
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
如图，建立空间直角坐标系O xyz，设 PA AD PD a, AB b，
3
则 P 0,0, a ,D
a ,0,0 ,E a ,0,
3 a ,B
a
2
,b,0 ，
2 4 4 2
F 0, b 连接 BD交 AC于点 F，则 , 0 .
2
a b EF , ,
3 a 3
a ,PB ,b, a 2EF，
4 2 4
2 2
EF∥PB，即 EF∥PB，又 EF 平面 AEC，且 PB不包含于平面 AEC， PB∥平面 EAC.
（2）设 PA AD PD AB a ，
3 P 0,0, a a则 , A ,0,0
,C
a ,a,0. ,D a ,0,0 .
2 2
2 2
AC ( a,a, 0),PC a ,a,
3
a a ,PD , 0,
3
a ，
2 2 2 2
n 设 1 x1, y1, z1 是平面 PAC的法向量，
ax1 ay 0 n1 AC 0
1
则
，即 a 3
n1 PC 0 x1 ay1 az 2 2 1
0
z 令 1 1，解得 x1 y1 3, n1 ( 3, 3,1)，
设 n2 x2 , y2 , z2 是平面 PCD的法向量，
a 3
n
PC 0 x 2 2
ay2 az 0
2 2 2
则
n
，即
2 PD 0 a 3
x2 az2 0 2 2
令 z2 1，解得 x2 3, y2 0, n
2 ( 3,0,1)，
所以 cos n
1,n
n1 n 2 12 n 1 n
，
2 7
1
设所求二面角的平面角为 ，由图可知 为锐角，则 cos ，
7
6
所以 sin .
7
14
20．(1)a 0.034；
33
3
(2)①1587 ；②分布列见解析；期望为
2
11
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
【分析】（1）由频率分布直方图的性质求 a，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中
随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古
典概型计算概率即可；
（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性
1
质求解参赛学生中成绩超过 79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量 服从二项分布 B 3, 2
，
根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.
【详解】（1）由频率分布直方图性质可得：
0.006 0.012 0.018 a 0.016 0.008 0.006 10 1
所以， a 0.034，
由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有10 0.006 100 6人，
获二等奖的有10 0.008 100 8人，获三等奖的有10 0.016 100 16人，
共有 30人获奖，70人没有获奖，
2
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为C100 ，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，
1 1
则事件A包含的基本事件的个数为C70C30，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以
1 1
P A C70C30 14 2 ，C100 33
14
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
33
（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，
35 0.006 10 45 0.012 10 55 0.018 10 65 0.034 10
75 0.016 10 85 0.008 10 95 0.006 10 64
2
则所有参赛学生的成绩 X 近似服从正态分布 N 64,15 ，
①因为 79， P X 0.6827，
1 0.6827
所以 P(X 79) P(X ) 0.15865，
2
故参赛学生中成绩超过 79分的学生数约为0.15865 10000 1587．
②由 64，得 P(X 64)
1
，
2
1
即从所有参赛学生中随机抽取 1名学生，该生竞赛成绩在 64分以上的概率为 2 ，
12
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
所以随机变量
服从二项分布 B 3,
1
，
2
P 0 C0 1
3 1 1 3 3
所以 3
， P 1 C1 ，
2 8 3 2 8
1 3P 2 C2 3 1
3 1
3 ， P 3 C3
3 ，
2 8 2 8
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
1 3 3 1
P
8 8 8 8
E np 3 .
2
2 2
21．(1) y x 1
9 5
(2)证明见解析
【分析】（1）由条件结合椭圆的定义和离心率的定义列方程求 a,b,c，由此可得椭圆方程；
（2）由已知设 l的方程为 y kx 2 k 0
1 1
，联立方程组利用设而不求法求 k k ，由此证明结论.1 2
【详解】（1）依题意， MNF2的周长为 MF2 MN NF2 MF1 MF2 NF1 NF2 4a 12，
解得 a 3 .
设椭圆C的半焦距为c，
因为椭圆C 2的离心率为 3 ，
e c 2 c 2所以 ，即 ，解得c 2 .
a 3 3 3
因为 a2 b2 c2，
所以 b a 2 c 2 32 22 5 .
y2 x2
所以椭圆C的标准方程为 1 .
9 5
（2）由（1）知， F1 0,2 ， A 0,3 .易知直线 l的方程为 y kx 2 k 0 .
y kx 2,
由 y2 x2 消去 y得 5k 2 9 x2 20kx 25 0 ，
1, 9 5
400k 2 500k 2 900 900 1 k 2 0 .
13
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
设M x1, y1
20k 25
， N x2 , y2 ，则 x1 x2 ， x x5k 2 9 1 2 .5k 2 9
k y1 3 kx1 2 3 kx1 1 k y2 3 kx 2 2 3 kx2 1所以 1 x1 x x
， 2
1 1 x2 x2 x
.
2
1 1
所以 k1 k2 k k 2k
x1 x2 6 k
x x x x 5 .1 2 1 2
k 1 1
1 k2 k k k
2 x k 1 x2 1 9 .
x1 x2 x1x2 x1x2 25
1 1 k
1
k2 10
所以 kk1 k2 k1 k
.
2 3
1 1 1 10
所以 ，为定值.k k1 k2 3
【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一
元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0或不存在等特殊情形．
22．(1)答案见解析
(2) a e 2
【分析】（1）求导后分 a 1与 a 1两种情况讨论即可；
ex 22 x 0 x 0 a x 1 e
x x2 1
（ ）方法一：讨论当 时成立，当 时参变分离可得 ，再构造函数 g x ，
x x
x 0，求导分析最小值即可；
x2 ax 1 2
1 h x x ax 1方法二：将题意转化为 x ，再构造函数 x ，求导分类讨论单调性与最大值 e max e
即可.
【详解】（1） f x ex a， x 0，
当 a 1时， f x 0恒成立，则 f x 在 0, 上单调递增；
14
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}
当 a 1时， x 0, ln a 时， f x 0，则 f x 在 0, ln a 上单调递减；
x ln a, 时， f x 0，则 f x 在 0, ln a 上单调递增．
（2）方法一： ex ax x2 1在 x 0恒成立，则
当 x 0时，1 1，显然成立，符合题意；
x 2
x 0 a e x 1
ex x2 1
当 时，得 恒成立，即a
x x min
ex x2g x 1 e
x x 1 x 1
记 ， x 0， g x x
，
x2
构造函数 y ex x 1， x 0，则 y ex 1 0，故 y ex x 1为增函数，则 ex x 1 e0 0 1 0 .
故 ex x 1 0对任意 x 0恒成立，则 g x 在 0,1 递减，在 1, 递增，所以 g x g 1 e 2min
∴ a e 2．
x2 ax 1 2
方法二： 1在 0, x ax 1 x 上恒成立，即 x 1．e e max
x2 ax 1 x 1 x a 1记 h x x ， x 0， h x ，e ex
当 a 1时， h x 在 0,1 单增，在 1, 单减，则 h x hmax 1
a 2
1，得 a e 2，舍：
e
a 2
当 0 a 1时， h x 在 0,1 a 单减，在 1 a,1 单增，在 1, 单减， h 0 1， h 1 ，
e
得0 a e 2；
当 a 0时， h x 在 0, 单减，成立；
当 a 0时， h x 在 0,1 单减，在 1,1 a 单增，在 1 a, 单减， h 0 1， h 1 2 a a
e1 a
，而
e1 a 1 a 1，显然成立．
综上所述， a e 2．
15
{#{QQABDQiAgggAABIAABgCAQUCCkGQkBCAAIgOQBAEoAAAiAFABAA=}#}绝密 ★ 启用前 为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二
日喀则市 2023 年高二年级统一质量检测试卷 课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择
1个项目.则甲、乙、丙、丁这 4名学生至少有 3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
理科数学
A．135种 B．720种 C．1080种 D．1800种
7 2 y
2 x2
．已知抛物线C : x 2py p 0 的焦点 F与 1的一个焦点重合，过焦点 F的直线与C交
注意事项： 8 4
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为 4，则弦长 AB
2.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
（ ）
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.试卷分值 150 分，考试时间 120 分钟。 A．12 B．14 C．15 D．16
第Ⅰ卷 选择题（共 60分） 8．已知函数 f (x) x2e1 x ax 的图象在点 1, f 1 处的切线与 2x y 1 0平行，则a （ ）
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） A． 1 B．1 C． 2 D．2
1．已知集合 A x | x2 9 0 ，B {x | x a 0}，且 A B x | 2 x 3 ，则a （ ） 9 2 1．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局 3胜制，每局甲赢的概率是 3 ，乙赢的概率是 3，则甲
A． 4 B． 2 C．2 D．4
以 3:2获胜的概率是（ ）
2．已知复数 z
z 8 32 16 16
1在复平面上对应的点的坐标为 (2,1)， z2 1 ai(a R)，且 z1 z
1
2 为纯虚数，则 z A． B． 81 C． 27 D．2 27 81
10．为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女
（ ）
2 4
A． 3 B． 5 C．1 D． 6 生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的 ，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的 ，5 5
3．某种产品的广告支出费用 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）的数据如下表： 若有95%的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（ ）
x 2 4 5 6 8 2 n(ad bc)
2
参考公式及数据：K a b c d a c b d ，其中n a b c d .
y 30 40 60 50 70 附： P K 2 k0 0.05 0.010
已知 y关于 x的线性回归方程为 y 6x a ，则当广告支出费用为5万元时，残差为（ ）万元 k0 3.841 6.635
A．10 B．14 C． 23 D． 24
1 1 A．7 B．11 C．15 D．20
4．已知数列 an 中，a1 ,a2 n 1 1 (n 2)a ，则 a2023 （ ）n 11．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 是棱 AA1上一点，若平面MBD1与棱CC1交于点N，
A 1． 1 B． 2 C．2 D．1
则下列说法中正确的是（ ）
5． ABC中，角A， B，C的对边分别为 a，b，c，且2sin A sin B 2sinC cosB，若 ABC的面积
S 3为 c，则ab的最小值为（ ）
2
A．12 B．24 C．28 D．48
6．“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，
高二数学试卷 第 1页（共 6页） 高二数学试卷 第 2页（共 6页）
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A．存在平面MBND1与直线 BB1垂直 (1)求数列 an 的通项公式；
B．四边形MBND1可能是正方形
b a 2a 1(2)令 nn n b T
C a a
，求数列 n 的前 n项和 n．
．不存在平面MBND1与直线 A n 1 n 21C1平行
D．任意平面MBND1与平面 ACB1垂直
12．分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽
的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀
的羽毛、菠萝等．如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方
2 2
形的对应边所成的角为15 ．若从外往里最大的正方形边长为 9，则第 3个正方形的边长为（ ） 18．在①acosC 3asinC b c 0；② (sinB sinC) sin A sinBsinC ；③ 2cosA ccosB bcosC a这
三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答．
问题： ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足______．
(1)求 A；
(2)若 a 3， sin B sinC 1，求 ABC的面积．
A 4 B 81 6 C 6 D 4 6． ． ． ．
8 3
第Ⅱ卷 非选择题（共 90分）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知命题：①设随机变量 N 0,1 ，若 P 2 p，则 P 2 0 1 p；②命题
2
“ x R, x2 x 1 0 ”的否定是“ x R, x2 x 1 0”；③在 ABC中，A B 的充要条件是 sin A sin B； 19．如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，侧面 PAD是正三角形，且侧面 PAD 底面 ABCD，E
2 1
④若对于任意的 n N ,n a 4 n 3 a 0恒成立，则实数 a的取值范围是 , ；以上命题中正 为侧棱 PD的中点. 3
确的是______（填写所有正确命题的序号）．
14．在等差数列 an 中，若 a1 a2 a3 a4 a5 120，则 2a5 a7 __________.
x2 y215．已知双曲线 F (2,0)
a2 b2
1(a 0,b 0)的右焦点 ．点 F到该双曲线渐近线的距离为 3，则双
曲线的离心率是_____________．
16 n．已知在 ax 1 的展开式中，第 3项的二项式系数与第 4项的二项式系数相等，且 x3的系数 (1)求证：PB//平面 EAC；
为 80，则a ______. (2)若 AD AB，试求二面角 A PC D的正弦值.
三、解答题（17-21 题每题 12 分，22 题 10 分，共 70 分）
17．已知数列 an 前 n项和为 Sn，满足 2Sn n(n a1 1)．
高二数学试卷 第 3页（共 6页） 高二数学试卷 第 4页（共 6 页）
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20．为了迎接 4月 23日“世界图书日” 2 2，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛 21 y x 2．已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为 3，过点F作直线 l（与a b 1
奖励规则如下，得分在 70,80 内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在 y轴不重合）交椭圆C于M ，N两点， MNF2的周长为12 .
90,100 内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取 100 (1)求椭圆 C的标准方程；
1 1 1
名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图． (2)若点 A是椭圆C的上顶点，设直线 l，AM ，AN的斜率分别为 k，k1，k2，当 k 0时，求证：k k 1 k2
为定值.
(1)求 a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获
奖的概率；
2 22．设函数 f x e
x ax ， x 0且 a R
(2)若我市所有参赛学生的成绩 X 近似服从正态分布 N , ，其中 15,
．
为样本平均数的估计
值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求函数 f x 的单调性；
①若我市共有 10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 79分的学生数（结果四舍 (2)若 f x x2 1恒成立，求实数 a的取值范围.
五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于 10000）随机抽取 3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩
在 64分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列 均值．
2
附参考数据：若随机变量 X 服从正态分布N , ，则
P X 0.6827,P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973．
高二数学试卷 第 5页（共 6页） 高二数学试卷 第 6页（共 6页）
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