浙江省舟山市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

舟山市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题卷
注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
第Ⅰ卷 选择题部分（共60分）
一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面，直线，若且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．己知幂函数的图象过点，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度v（单位：）与燃料质量M（单位：）、火箭质量m（单位：）的函数关系为．若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）
（参考数值为，结果精确到，）
A． B． C． D．
5．现随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定的三角形网格内，每个数字只能使用一次，则中间一行均为奇数的填法的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的部分图象如图所示，，则满足的整数取值可能为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知四棱锥中，正三角形的边长为2，平面，且，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题Ⅱ（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．舟山某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．该样本数据的中位数和众数均为85
C．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改
D．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生4人
10．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点分别为，下列描述正确的是（ ）
A．
B．
C．若是关于的实系数方程的一个根，则
D．若复数满足，则的最大值为
11．设函数，其中表示中的最小者，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，则
C．当时，则 D．
12．已知是边长为1的正方形边上的两个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最大值为1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是_____________．
14．已知，则_____________．
15．欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____________种上楼梯的方法．
16．在三棱锥中，，点分别是的中点，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积是_____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）在直角坐标系中，是坐标原点，向量，其中．
（1）若与的夹角为，求的值；
（2）若，求的最小值．
18．（本题满分12分）记的内角的对边分别为，函数，角满足．
（1）求的值；
（2）若，且在下列两个条件中选择一个作为已知，求边上的中线长度．
①的周长为； （2）的面积为．
19．（本题满分12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的倍．若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提出零假设为：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到．
（1）根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况；
（2）求被抽样调查的总人数，并依据小概率值的卡方独立性检验，分析该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；
（3）用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为，求随机变量的方差．
附：
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．（本题满分12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平行于和的平面分别与交于四点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本题满分12分）在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定．
（1）若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率；
（2）若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案：
①从BCD三个选项中随机选一个作为答案；
②从BCD选项中随机选两个作为答案；
③直接选择BCD作为答案；
为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由．
22．（本题满分12分）已知函数满足，函数，其中．
（1）求的值域（用表示）；
（2）求的取值范围；
（3）若存在实数，使得有解，求的取值范围．
舟山市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（答案）
一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
B B A C A C D B
二、选择题Ⅱ（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9 10 11 12
ACD BD ABD AD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．1 15．21 16．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（1）因为与的夹角为，所以，
解得
（2）因为
又，则，即，
即得
又，故
分当且仅当且，即时取得等号，
所以．
18．解：（1），
由得，因为，
所以，所以
（2）由正弦定理边化角得
所以或得（舍）或所以，
选①，因
所以周长，解得
设边上的中线为，由余弦定理得
即
选②因
所以三角形面积，解得
设边上的中线为，由余弦定理得
即
19．解：（1）设被调查的总人数为人，列联表如下：
性别 亚运会项目 合计
了解 不了解
男生
女生
合计
男生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为和；
女生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为和；
由，可见，在被调查者中，男生了解亚运会项目是女生了解亚运会项目的频率的1.2倍，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为男生了解亚运会项目的概率大于女生了解亚运会项目的概率，即男生更了解亚运会项目．
（2），
所以，被调查的总人数为400人．
因为，我们推断不成立，即认为该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（3）由题意，，
则
20．解：（1）四边形是矩形，下面给出证明：
因为，由已知得平面平面，
所以平面平面．
因为平面平面，平面平面，
所以，同理，所以．同理，
所以四边形是平行四边形．
取中点，连接，则．因为，所以，
．所以平面，从而，四边形是矩形．
（2）设到平面的距离为，即为到平面的距离．
作交于点，由（1）知平面平面，
所以平面．
设直线与平面所成角为，则．
设，在中，，
在中，，
在中，，所以
．
，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为
解法二：设与面所成角为到面距离为，设中点，
因为面面，所以，
所以，
又在矩形中，，所以
解法三：向量法
作垂直交于，连接，易知，则
所以即为二面角的平面角，，所以，所以，即面面，如图以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，，
设面的法向量为则
令，得，则
，
设与面所成角为，
21．（1）解：设事件“第20题为双选题”，事件“第20题得2分”，
，
根据全概率公式有
（2）在20道多项选择题中，双选题出现的概率为，
三选题出现的概率为．
①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时，
若正确答案为两个选项，则得分的分布列为
0 2
的期望为；若正确答案为三个选项，则得分的期望为2；
故．
（2）当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，
若正确答案为两个选项，则得分的分布列为
0 5
的期望为；若正确答案为三个选项，则得分的期望为2；
故．
（3）当乙同时选择BCD三个选项作答时，若正确答案为两个选项，则得分的期望为0：
若正确答案为三个选项，则得分的期望为5；故．
因此，建议乙同学选择方案②作答．
解法二：（2）在20道多项选择政中，双选项由现的概率为，三选题出现的概率为．
①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时，
设得分为变量，则的可能取值为0、2
的概率分布列为
0 2
所以；
②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，
设得分为变量的可能取值为0、2、5
的分布列为
0 2 5
所以．
③当乙同时选择BCD三个选项作答时，设得分为变量的可能取值为0、5
的分布列为
0 5
故．
因此，
建议乙同学选择方案②作答．
22．解析：（1）因为在上单调递增，
当时，；当时，．
所以的值域为．
（2）因为，所以或．
由（1）知，，
所以，即的取值范围是．
（3）．因为，所以，
此时和均成立，所以的定义域为．
①当时，令，则．
所以恒有解，满足条件，此时．
②当时，，
因为，所以，
此时在上单调递减，
所以，与矛盾，此时不存在．
综上所述，的取值范围是．
（3）②解法二：当时，，
所以，
此时，
即无解，不符合题意，此时不存在．
综上所述，的取值范围是．