参考答案：
1．B
【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数，所以的虚部为.
故选：B.
2．B
【分析】根据常数的导数为，即可判断.
【详解】因为，所以.
故选：B
3．A
【分析】由已知条件求出的值，再由回归直线过样本中心点即可求解.
【详解】因为样本处的残差为，即，所以，
所以回归方程为：，
因为，，
因为样本中心点在回归直线上，所以，解得：，
故选：A.
4．D
【分析】根据给定函数，利用导数的几何意义求出，再利用齐次式法计算作答.
【详解】因为，则，因此，
所以.
故选：D
5．D
【分析】利用，对选项逐一分析判断即可.
【详解】因为点的直角坐标为，设点对应的极坐标为，
则，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
6．B
【分析】根据框图计算可得时，则，此时跳出循环输出结果．
【详解】根据框图可得：
开始 循环1 循环2 循环3 循环4 循环5
x 2 3 5 9 17 33
k 1 2 3 4 5 6
输出，则，此时跳出循环
故选：B．
7．B
【分析】根据图形可知：第一个图形需要3根火柴棒，后面每多一个图形，则多用2根火柴棒，根据此规律即可计算求解.
【详解】结合图形，发现：搭第个图形，需要，
则搭第10个图形需要根火柴棒，
故选：.
8．A
【分析】由丁和丙的说法矛盾，说明有一人说了真话，其它人都说假话，即可确定能证明此题的人.
【详解】由题设知：丁和丙的说法矛盾，他们有一人说了真话，则甲、乙说了假话，又四名同学中只有一人会证明此题，
∴甲会证明，乙、丙、丁都不会证明，
故选：A.
9．B
【解析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果.
【详解】解：由题意，，
又，∴．
则．
故选：B．
【点睛】本题考查根据导数的几何意义求值，难度较易.求导数值看对应切线的斜率，求函数值除了可以代入函数求值还可以代入切线方程求值.
10．C
【分析】把曲线的参数方程化为普通方程，利用验证法分别将选项中的点代入普通方程进行验证，即可得出答案.
【详解】由参数方程为（为参数）消去可得：
，
对于A，令，故A不正确；
对于B，令，故B不正确；
对于C，令，故C正确；
对于D，令，故D不正确；
故选：C.
11．A
【分析】求导，得到切线方程的斜率，进而求出切线方程，求出与坐标轴围成的三角形面积.
【详解】由，可得，又，，
故在点处的切线方程为，即.
令得，令得，
所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为.
故选：A.
12．D
【分析】求出函数的导数，由题设可得，从而可求，注意检验.
【详解】因为，所以，
又函数在处取得极值，
所以，即．
此时，
当或时，，当时，，
故是的极大值点，故符合题意．
故选：D．
13．③
【详解】分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．
详解：A：由a b∈R，不能类比得x y∈I，如x=y=i，则xy=﹣1 I，故①不正确；
B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x=i，则x2＜0，故②不正确；
C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故③正确；
D：若x，y∈I，当x=1+i，y=﹣i时，x+y＞0，但x，y 是两个虚数，不能比较大小．故④错误
故4个结论中，C是正确的．
故答案为：③．
点睛：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．
14．且
【分析】根据反证法的原理可知.
【详解】根据反证法的原理可知，求证或时，应首先假设且.
故答案为：且
15．①④
【分析】根据回归分析有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】解：回归直线经过样本点中心，①正确.
线性回归方程对应的直线不一定经过样本数据点，②错误.
在残差图中，残差点分布的代状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，③错误.
在回归分析中，越接近越好，④正确.
故答案为：①④
16．68
【分析】根据等高堆积条形图进行数据分析，即可得到答案.
【详解】由等高堆积条形图进行数据分析，这100名学生中经常锻炼的人数为：.
故答案为：68
17．证明见解析
【分析】利用分析法即可证明结论
【详解】要证，
只要证，
只要证，
只要证，
18．(1)，变量和线性相关性程度很强
(2)
【分析】（1）根据公式求出相关系数约等于，从而得到答案；
（2）根据公式计算出，，得到答案.
【详解】（1）由题意，，
因为，
所以
因为，所以变量和线性相关性程度很强.
（2）
根据得，
所以年销售量关于年投资额的经验回归方程为.
19．（1）能在犯错概率不超过的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关，详见解析（2）
【分析】（1）计算，与临界值表作比较，得到答案.
（2）所取样本中，就业为所学专业为人，设为，，，非所学专业为人，设为，，排列出所有情况共10种，满足条件的7种，得到答案.
【详解】（1）由题知：，
故能在犯错概率不超过的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关.
（2）由题知，所取样本中，就业为所学专业为人，设为，，，非所学专业为人，设为，.从人中任取人，其结果有，，，，，，，，，共种情形.
其中事件至少有人就业非所学专业为时事件，共有种情形，，即所求概率为.
【点睛】本题考查了独立性检验，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力.
20．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解不等式，即可得解；
（2）参变分离可得恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
则，
由得，所以函数的单调递增区间为.
（2）不等式，即，即.
所以问题可转化为恒成立，
令，
则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，即，
所以，即实数的取值范围是.
21．（1） （2）
【详解】试题分析：
(1)首先利用消去参数，得到普通方程，再由得到的极坐标方程；
(2)首先将直线与曲线转化为直角坐标方程，联立直线与曲线，求得交点坐标，再转化为极坐标.
试题解析：
因为曲线的参数方程为 ，消去参数，得：
，由于 ，∴
∴曲线的极坐标方程为：
（2） 直线
，联立方程：
解得： 或
所以交点的极坐标为：，
点睛：极坐标与参数方程的核心要实现三种坐标的转化，其中直角坐标方程是桥梁，对于本题的第二问就是将极坐标方程转化成普通直角坐标方程，从而求出交点坐标．
22．(1)，
(2)
【分析】（1）求出导函数，确定单调性后可得极值，再计算出区间端点处函数值后比较得最值；
（2）问题转化为在上有两个不等的实根，再转化为二次方程在上有两个不等的实根，然后由二次方程根的分布知识可得．
【详解】（1）当时，，，
，
当时，，单调减；当时，，单调增，
则当时，有极小值，即，
当时，，当时，，，
∴；
（2）在上有两个不同的极值点，，即
在上有两个不同解，
即在上有两个不同解，
令，则在上有两个不同解，对称轴为，
由根的分布可得，
∴ 即．绝密★启用前
标为 1, 3 ，则它的极坐标可能为（ ）
2023-2023 学年海南州中学第二学期高二期末考试 π 2π π 2π
A 2, B 2, ． ． 3 C． 2, ． 2,3 3
D
3
数 学（文） 6．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢
满分：150 考试时间：120min 友饮一斗.”基于此情景设计了如图所示的程序框图，若输入 x 2，输出 x 33，则判断框中可以填（ ）
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一.选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．若复数 z
1 i
，则 z的虚部为（ ）
2 i
1 1 1
A． B． C． i
1
D． i
5 5 5 5
2．若 y cos
π
，则 y （ ）
3
A 3 B 0 C 1 D 3 A． k 4 B． k 5 C． k 6 D． k 7． ． ．
2 2
．
2
7．用火柴棒按下图的方法搭三角形，前 4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，第 10个图形需要
3．某工厂为研究某种产品的产量 x（吨）与所需某种原材料的质量 y（吨）的相关性，在生产过程
用多少根火柴（ ）
中收集 5组对应数据 x, y ，如下表所示.（残差＝观测值－预测值）
x 3 4 5 6 7
y m A．20 B．21 C．22 D．234.0 2.5 0.5 0.5
8．某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题．甲和丁均说自己不会证明；乙说：丙会证明；丙
根据表中数据，得出 y关于 x的线性回归方程为 y 1.4x a ．据此计算出在样本 4,2.5 处的残差为
说：丁会证明．已知四名同学中只有一人会证明此题，且只有一人说了真话．据此可以判定能证明此
0.5，则表中m的值为（ ） 题的人是（ ）
A．1.5 B．1.2 C． 1.2 D． 1.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．曲线 f (x) ln x
2
在 x 1处切线的倾斜角为
cos
，则 （ ）
x sin 4cos 9．已知函数 f x 的图象与直线 x 2y 1 0相切于点 2, f 2 ，则 f 2 f 2 （ ）
1 1
A． B． C．1 D． 1 1
5 5 A．2 B．1 C．0 D． 2
5．在平面直角坐标系 xOy中，以原点O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点M 的直角坐
x t 1,
10．参数方程为 （ ty 为参数）的曲线必过点（ ） t
2 2t
1
{#{QQABBQIEogAoABJAABgCEQESCkOQkAAACKgOxBAIsAAACANABAA=}#}
A． 1,2 B． 2,1 C． 2,3 D． 0,1
11．曲线 f (x) xex e在 x 1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
e 2e 1 e 1
A． e B． C． D．
2 2 2
12．若函数 f (x) x3 ax2 3x 9在 x 3处取得极值，则a （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第 II 卷（非选择题 共 90 分） 三.解答题（本小题共 6小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤）
二.填空题（本小题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）
13．记 I 为虚数集，设 a,b R, x, y I ，则下列类比所得的结论正确的是__________． 17．已知 a 1，求证： a 1 a 1 2 a
①由 a·b R，类比得 x·y I
②由 a2 0，类比得 x2 0 18．某公司对其产品研发的年投资额 x（单位：百万元）与其年销售量 y（单位：千件）的数据进行
③由 a b 2 a2 2ab b2 2，类比得 x y x2 2xy y2 统计，整理后得到如下统计表；
④由 a b 0,a b，类比得 x y 0, x y x 1 2 3 4 5
14．用反证法证明命题“已知 x、 y R，且 x y 2，求证： x 1或 y 1”时，应首先假设“______”. y 1.5 2 3.5 8 15
15．下列说法正确的命题是___________（填序号）.
(1)求变量 x和 y的样本相关系数 r（精确到 0.01），并推断变量 x和 y的线性相关程度；（参考；若
①回归直线过样本点的中心 (x, y)；
r 0.75，则线性相关性程度很强；若0.30 r 0.75，则线性相关性程度一般，若 r 0.25，则线
②线性回归方程对应的直线 y b x a 至少经过其样本数据点 (x1, y1)，(x2 , y2 )，…， xn , yn 中的一个 性相关性程度很弱.）
点； (2)求年销售量 y关于年投资额 x的线性回归方程.
n n
③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高； xi x yi y xi yi nxy
i 1 i 1
④在回归分析中， R2为 0.98的模型比 R2为 0.80的模型拟合的效果好. 参考公式：样本相关系数 r n n n n ；线性回归方程
x x 2 2i yi y x 2 nx 2 y 2i i ny 2
16．某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取 100名学生（其中男生 60 i 1 i 1 i 1 i 1
n n
名，女生 40名），并绘制得到如图所示的等高条形图，则这 100名学生中经常锻炼的人数为_______． xi x yi y xi yi nxy
y b x a b i 1 i 1中 n 2 ,a y b xn ；参考数据 51 7.14
x x 2 x nx 2i i
i 1 i 1
2
{#{QQABBQIEogAoABJAABgCEQESCkOQkAAACKgOxBAIsAAACANABAA=}#}
x 2 2cos
21．在平面直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为
19．H大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的学历对就业专业是否为 y 2sin
（ 为参数），.以坐标原点 O为极
毕业所学专业有影响，就业指导中心从 2018届的毕业生中，抽取了本科和研究生毕业生各50名，得 点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 cos( ) 3
6
到下表中的数据.
(1)求曲线 C的极坐标方程;
就业专业 (2)求直线 l与曲线 C交点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).
就业为所学专业 就业非所学专业
毕业学历
本科 30 20
22．已知函数 f x x2 aln x 2
研究生 45 5
1 0.01 (1)当a 6时，求
y f x ， x 0, 4 的最大值和最小值.
（ ）根据表中的数据，能否在犯错概率不超过 的前提下认为就业专业是否为毕业所学专业与毕
业生学历有关； (2)若 f x 有两个不同的极值点x1，x2，且 x1 x2，求实数 a的取值范围.
（2）为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原则从本科毕业生中抽取一个容
量为5的样本，要从5人中任取 2人参加座谈，求被选取的 2人中至少有1人就业非毕业所学专业的概
率.
K 2 n(ad bc)
2
附： a b c d a c b d ,n a b c d
0.010
P(K2 k) 0.1 0.05 0.025 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2
20．已知函数 f (x) x x 1
ex
.
(1)求函数 f (x)的单调递增区间；
(2)若 ex f (x) a ln x 恒成立，求实数 a的取值范围.
3
{#{QQABBQIEogAoABJAABgCEQESCkOQkAAACKgOxBAIsAAACANABAA=}#}
